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三湘名校教育联盟.2019届高三第三次大联考文科数学试题Word版含答案

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三湘名校教育联盟.2019届高三第三次大联考文科数学试题第Ⅰ卷：选择题（共60分）一、选择题：共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{3,2,1,0,1,2}A =---，2{|3}B x x =≤，则AB =（ ）A ．{1,0,1}-B ．{0,2}C ．{3,2,1,0,1,2}---D ．[0,2]2.已知复数1z i =-，则221z zz -=-（ ） A ．2i B ．2 C ．2i - D ．-2 3.下面结论正确的是（ ）①一个数列的前三项是1，2，3，那么这个数列的通项公式n a n =*()n N ∈. ②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合理推理. ③在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.④“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 一定是9的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.A ．①② B.②③ C.③④ D.②④ 4.在D 为ABC ∆所在平面内一点，且3BC BD =，则AD =（ ） A.3123AB AC + B.1233AB AC + C.4133AB AC + D.2533AB AC + 5.下列说法正确的是（ ）A ．x ∀，y R ∈，若0x y +≠，则1x ≠且1y ≠-（ ） B.a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 C.命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是“x R ∀∈，都有2230x x ++>” D.“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题6.函数sin ||y x x =+，[,]x ππ∈-的大致图象是（ ）A. B. C. D.7.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题角“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红红点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（ ） A ．3盏灯 B ．192盏灯 C. 195盏灯 D ．200盏灯8.已知0a >且1a ≠，函数13log ,0(),0x x x f x a b x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩满足(0)2f =，(1)3f -=，则((3))f f -=（ ）A ．-3B ．-2 C. 3 D ．29.给出30个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这30个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可分别填入（ ）A. 30?i ≤和1p p i =+- B ．31?i ≤和1p p i =++ C. 31?i ≤和p p i =+ D ．30?i ≤和p p i =+10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．12π C. 2π D ．7π11.直线:l 42x y +=与圆:C 221x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 、OB 的倾斜角分别为α、β，则cos cos αβ+=（ ） A ．1817 B ．1217- C. 417- D ．41712.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线2y ax =上的两点1122(,),(,)A x y B x y 关于直线y x m =+对称，且1212x x =-，则m 的值为（ ） A ．32 B ．52C.2 D ．3 第Ⅱ卷：非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须回答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本小题共4题，每小题5分.13.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p = .14.从某校高中男生中随机抽取100名学生，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在[60,70)，[70,80)，[80,90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，则这2人的身高不在同一组内的频率为 ．15.已知0a >，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+的最小值为1，则a = ．16.设数列{}n a 的前n 向和为n S ，且121a a ==，{(2)}n n nS n a ++为等差数列，则{}n a 的通项公式n a = ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，2cos 2C c b +=. （1）求A ； （2）若12b =，求sin C .18. 如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，点M 、N 为BC 、PA 的中点，且2PA AB ==.（1）证明：BC ⊥面AMN ； （2）求三棱锥N AMC -的体积；（3）在线段PD 上是否存在一点E ，使得//NM 平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由.19. 某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组对2016年1月—2016年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：（1）若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t）的关系为：0,01004400,1003001500,300t P t t t ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++20. 已知动圆P 与圆1:F 22(2)49x y ++=相切，且与圆2:F 22(2)1x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于M 、N 两个不同的点，求QMN ∆面积的最大值.21. 设函数()ln f x x ax =-()a R ∈.（1）若直线31y x =-是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()f x 在2[1,]e 上的最大值为1ae -（e 为自然对数的底数），求实数a 的值；（3）若关于x 的方程22ln(23)ln()x x t x x t x t --+--=-有且仅有唯一的实数根，求实数t 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线112cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（参数R θ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴.建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为3cos()3ρπθ=+，点Q的极坐标为)4π.（1）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出Q 点的直角坐标； （2）设P 为曲线1C 上的点，求PQ 中点M 到曲线2C 上的点的距离的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知()|1|f x ax =-，若实数0a >，不等式()3f x ≤的解集是{|12}x x -≤≤. （1）求a 的值； （2）若()()||3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围.三湘名校教育联盟.2019届高三第三次大联考文科数学试题参考答案一、选择题1-5:ACDAB 6-10:CCBDA 11、12：DA二、填空题13.1115 15.12 16.12n n - 三、解答题17.解：（1）因为1a =，2cos 2C c b +=，由余弦定理得2221222b c c b b +-⨯+=，即221b c bc +-=. 所以22211cos 222b c bc A bc bc +-===. 由于0A π<<，所以3A π=.（2）由12b =及221b c bc +-=，得2211()122c c +-=， 即24230c c --=，解得c =或c =（舍去）. 由正弦定理得sin sin c aC A=，得sin sin 60C =︒=. 18.解：（1）因为ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒所以AB BC AC ==， 又M 为BC 的中点，所以BC AM ⊥，而PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥, 又PA AM A ⋂=，所以BC ⊥面AMN .（2）因为11122AMC S AM CM ∆=⋅==，又PA ⊥平面ABCD ，2PA =，所以1AN =， 所以，三棱锥N AMC -的体积，1113326AMC V S AN ∆=⋅=⨯=（3）存在，取PD 中点E ，连结NE 、EC 、AE ，因为N 、E 分别为PA 、AD 中点，所以//NE AD 且12NE AD =， 又在菱形ABCD 中，//CM AD ，12CM AD =， 所以//NE MC ，NE MC =，即MCEN 是平行四边形， 所以//NM BC ，又BC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ， 所以//MN 平面ACE ，即在PD 上存在一点E ， 使得//NM 平面ACE，此时12PE PD ==19.解：（1）设在这一年内随机抽取一天， 该天经济损失(200,600]P ∈元为事件A ， 由2004400600t <-≤得150250t <≤， 频数为39，39()100P A ∴=. （2）根据以上数据得到2K 的观测值2100(638227) 4.575 3.84185153021k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关. 20.解：（1）设圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为(,)x y ， 由于动圆P 与圆1F 只能内切， 所以12||7,|| 1.PF R PF R =-⎧⎨=-⎩则1212||||6||4PF PF F F +=>=，所以圆心P 的轨迹是以点1F ，2F 为焦点的椭圆. 且3,2a c ==，则2225b a c =-=.所以曲线C 的方程为22195x y +=. （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)Q x y ，直线MN 的方程为2x my =+，由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(59)20250m y my ++-=，则1222059m y y m +=-+，1222559y y m =-+.所以||MN == 2230(1)59m m +=+.因为//MN OQ ，所以QMN ∆的面积等于OMN ∆的面积. 点O 到直线:MN 2x my =+的距离d =所以QMN ∆的面积221130(1)||2259m S MN d m +=⋅=⨯+=.t =，则221(1)m t t =-≥，2305(1)9t S t =-+230304545t t t t==++. 设4()5(1)f t t t t =+≥，则222454'()5t f t t t-=-=， 因为1t ≥，所以2254'()0t f t t -=>.所以4'()5f t t t=+在[1,)+∞上单调递增. 所以当1t =时，()f t 取得最小值，其值为9.所以QMN ∆的面积的最大值为103. 说明：QMN ∆的面积2121||||2S OF y y =⋅-==21.解：（1）()ln f x ax x =-+，1'()f x a x∴=-， 设切点横坐标为0x ，则000013,ln 31,a x ax x x ⎧-=⎪⎨⎪-+=-⎩消去a ，得0ln 0x =，故01x =，得2a =-.（2）1'()f x a x =-，21x e ≤≤，2111e x ≤≤， ①当21a e≤时，'()0f x ≥在2[1,]e 上恒成立，()f x 在2[1,]e 上单调递增， 则2max ()()f x f e ==221ae ae -=-，得2211a e e e=>-，舍去； ②当1a ≥时，'()0f x ≤在2[1,]e 上恒成立，()f x 在2[1,]e 上单调递减，则max ()(1)f x f ==1a ae -=-，得111a e =<-，舍去； ③当211a e <<时，由2'()01f x x e >⎧⎨≤≤⎩，得11x a ≤<；由2'()01f x x e<⎧⎨≤≤⎩，得21x e a <<. 故()f x 在1[1,]a 上单调递增，在21[,]e a 上单调递减， 则max 1()()f x f a==1ln 1a ae --=-，得2ln 0ae a --=， 设()2ln g a ae a =--，21(,1)a e ∈，则1'()g a e a =-，21(,1)a e∈， 当211(,)a e e ∈时，1'()0g a e a=-<，()g a 单调递减， 当1(,1)a e ∈时，1'()0g a e a=->，()g a 单调递增， 故max 1()()0g a g e ==，2ln 0ae a ∴--=的解为1a e=. 综上①②③，1a e =.（3）方程22ln(23)ln()x x t x x t x t --+--=-可化为：221ln(23)(23)2x x t x x t --+--=1ln()()2x t x t -+-， 令1()ln 2h x x x =+，故原方程可化为2(23)()h x x t h x t --=-， 由（2）可知()h x 在(0,)+∞上单调递增，故2230x x t x t x t ⎧--=-⎨->⎩有且仅有唯一实数根，即方程20x x t --=（ж）在(,)t +∞上有且仅有唯一实数根，①当410t ∆=+=，即14t =-时，方程（※）的实数根为1124x =>，满足题意； ②当0∆>，即14t >-时，方程（※）有两个不等实数根， 记为1x ，2x ，不妨设1x t ≤，2x t >，Ⅰ）若1x t =，2x t >，代入方程（※）得220t t -=，得0t =或2t =，当0t =时方程（※）的两根为0，1，符合题意；当2t =时方程（※）的两根为2，-1，不合题意，舍去；Ⅱ）若1x t <，2x t >，设2()x x x t ϕ=--，则()0t ϕ<，得02t <<；综合①②，实数t 的取值范围为02t ≤<或14t =-. 22.解：（1）3cos()3ρπθ=+，得1cos sin 322ρθρθ-=. 故曲线2C的直角坐标方程为60x -=，点Q 的直角坐标为(4,4).（2）设(12cos ,4sin )P θθ，故PQ 中点(26cos ,22sin )M θθ++， 2C的直线方程为60x -=，点M 到2C的距离|26cos 2sin )6|2d θθ++-=|3cos 2θθ=-=|)26πθ+-|22=PQ 中点M 到曲线2C上的点的距离的最小值是2.23.（1）解：由|1|3ax -≤，得313ax -≤-≤，即24ax -≤≤. 因0a >时，24x a a-≤≤， 因为不等式()3f x ≤的解集是{|12}x x -≤≤ 所以21,42,a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2a =. （2）因为()()|21||21|33f x f x x x +--++=|(21)(21)|233x x --+≥=， 所以要使()()||3f x f x k +-<存在实数解，只需2||3k >. 解得23k >或23k <-. 所以实数k 的取值范围是22(,)(,)33-∞-+∞.。

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首发]湖南省三湘名校教育联盟2019届高三下学期3月份联考(第三次)文科综合试题答案

首发]湖南省三湘名校教育联盟2019届高三下学期3月份联考(第三次)文科综合试题答案

2018-2019学年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷三文综（全国I卷）地理部分答案第I卷选择题36.（24分）（1）【参考答案】河流流域冬季气温低（低于0°C），降水以积雪形式存在，冬季水量小；（2分）春季大气降水加上积雪融水补给，河流水量大；（2分）夏秋季以雨水补给为主，降水较均匀，水量较稳定。

（2分）（2）【参考答案】调节径流，防御水旱灾害；提供充足水源；为农业生产提供廉价的水电；改善了河流通航条件，利于农产品运输；库区适宜发展水产业。

（答出其中四点得8分）（3）【参考答案】中国人口众多，粮食需求量大；（2分）乌克兰粮食产量大、品质好；（2分）两国距离较近，交通便利。

（2分）（4）【参考答案】煤炭、水电等能源充足；（1分）铁、猛等矿产资源丰富；（1分）铁路、港口提供便利的交通运输条件；（1分）邻近欧洲经济发达地区，市场广大。

（1分）37.（22分）（1）【参考答案】甲地：地处山区，适宜发展林业（或：水果等经济林木业）。

（2分）乙地：地处平原地区，适宜发展种植业。

（2分）丙地：地处湖区，适宜发展渔业（或：水产养殖业）。

（2分）（2）【参考答案】变化：湖北汽车工业布局从十堰一襄樊一武汉，从山区到平原。

（2分）原因：武汉水陆交通枢纽；信息的通达性更好；工业基础好；经济腹地更广阔，市场条件更加优越；科技人才集中、技术力量强。

（答出其中两点即可，每点2分，共4分）（3）【参考答案】与内河航运相比，高速公路和高速铁路更为快捷，运输效率更高；（2分）沿江城市之间的经济联系及社会经济发展及对客、货运输的需求不断增长。

（2分）（4）【参考答案】意义:（从经济、社会、生态三个角度回答，每个角度2分）①经济：缓解北京地区水资源的紧张状况，满足生产需要，促进经济发展；社会：保证生活用水，利于社会安定；生态：增加水源，保护生物多样性，改善生态环境；减少地下水开采，缓解地面沉降。

②经济：将丰富的水电输送到上海，缓解该地区的能源紧张状况，推动经济发展；减轻铁路交通运输的压力；生态：调整能源消费构成，改善大气环境质量；社会：满足生活用能，增加就业。

湖南省衡阳市2019届高考第三次联考三模数学试题(文)含答案

湖南省衡阳市2019届高考第三次联考三模数学试题(文)含答案

姓 名准考证号 绝密★启用前2019届高中毕业班联考（三）数学（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷—、选择题:本大题共12小题,每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M = {＞0|2x x x -} ,N = {＜11|xx }，则A. N M⊂≠B. M N ⊂≠C. N M =N D. R N M =2.若复数z 满足iii z 212+-=+ ( i 为虚数单位），则复数z 的虚部为 A. 2B.2iC. -2D.3.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月最低气温与最高气温（单位:℃)的数据，绘制了下面的折线图（图1).已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是A.每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关B. 10月份的最高气醢不低于5月份的最高气温C.月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月份D.最低气温低于0℃的月份有4个4.《莱茵徳纸草书》是世界上最古老的数学著作之一。

书中有一道这样类似的题目：把120个 面包分给5个人，使每人所得的面包数成等差数列，且较大的三份之和的71等于较小的两份之和，问最小的一份面包数为 A.2 B.3 C.4 D.55.已知n m ,是空间中两条不同的直线，βα,是两个不同的平面,则下列的命题为真命题的是A.若βαβα//,,⊂⊂n m ，则n m //B.若 βαα//,⊂m ,则β//mC.若βαβ⊥⊥,n ，则α//nD.若 l n m =⊂⊂βαβα ,,，且 l n l m ⊥⊥,,则 βα⊥ 6.已知数列{n a }的前n 项和为S,,执行如图2所示的程序框图,则输出的M 一定满足 A. 2nMS n =B.nM S n =C. nM S n ≥D. nM S n ≤ 7.在边长为a 的正三角形内随机任取一点P ，则点P 到三角形三个顶点的距离均大于2a的概率是A.π631211- B. π631- C.31 D. 41 8.一个三棱锥的三视图如图3所示，则该三棱椎的表面积是 A. 32+ B. 31+ C. 221+ D. 229.函数2||)(2-+-=-x x e e x f x x 的部分图象大致是10.已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且满足3)1(),()3(0=-=-f x f x f .数列{n a }满足 a 1 =1 且 a n =n(a n+1 -a n )(n ∈N ﹡),则=+)()(3736a f a fA.-3B.-2C.2D.311.已知椭圆E: 12222=-by a x （a >b >0)的左焦点为F 1, y 轴上的点P 在椭圆以外.且线段PF 1, 与椭圆E交于点M ，若||33||||1OP MF OM ==，则椭圆E 的离心率为 A.21 B. 23 C. 13- D. 213+12.已知函数)21(cos 8)(41332x e x f x x --=+-π，则函数)(x f 在),0(+∞∈x 上的所有零点之和为A. 6B.7C. 9D. 12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2019年最新湖南省高考数学三模试卷(文科)及答案解析

2019年最新湖南省高考数学三模试卷(文科)及答案解析

湖南省高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1}2．已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为（）A．B．C．D．23．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（）A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A．8 B．2 C．D．6．已知数列{a n}中，a1=25，4a n+1=4a n﹣7，若用S n表示该数列前n项和，则（）A．当n=15时，S n取到最大值B．当n=16时，S n取到最大值C．当n=15时，S n取到最小值D．当n=16，S n取到最小值7．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．18．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④9．在[0，π]上随机取一个数x，则事件“2sin cos+cosx≥”发生的概率为（）A．B．C．D．10．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．211．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．12．定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）A．f（x）=（x﹣1）2，T将函数f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）=2x﹣1﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称C．f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称D．，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知G 是△ABC 的重心，若直线PQ 过点G ，与AC ，BC 分别交于P ，Q ，设=m ，=n，则+= ．14．已知流程图如图所示，输出的y 值，则输入的实数x 值 ．15．弹簧振子的振动在简谐振动，如表给出的振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移y 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动的函数解析式为 ．AC BC 直线AB 过椭圆+=1中心，且和椭圆相交于点A ，B ，P （x ，y ）为椭圆上异于A ，B 的任意一点，用各类比的方法可得k AP •K BP = ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f （x ）=sinωx +cosωx（ω＞0）的周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y=f （x ）在区间[0，π]上的图象；（Ⅱ）函数y=f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？18．两组学校的社会实践活动各有7位人员（下文分别简称为“甲小组”和“乙小组”）．两小组成员分别独立完成一项社会调查，并形成调查报告，每位成员从启动调查到完成报告所用的时间（单位：天）如表所示：A，乙小组选出的人记为B．（Ⅰ）求A所用时间不小于13天的概率；（Ⅱ）如果a=18，求A所用的时间比B所用时间长的概率．19．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM∥平面BDE；（2）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c ＞0）．（Ⅰ）若c=2，且F2关于直线y=x+的对称点在椭圆E上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）如图所示，若椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点，试求这个平行四边形的面积的最大值．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l过定点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3a|，（a∈R）（I）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜6成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】找出集合M与N的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N={﹣2，﹣1，0}．故选C2．已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为（）A．B．C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式混合运算，化简求解即可．【解答】解：复数z=2i+=2i+=2i+1﹣i=1+i．复数z的模为：．故选：B．3．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（）A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数【考点】命题的否定．【分析】原命题给出的是全称命题，全称命题的否定一定是特称命题．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：“至少有一个实数的平方不是正数”．故选D．4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．5．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A．8 B．2 C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，求出ω的值即可．【解答】解：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，k∈Z，所以ω=6k+；k=0时，ω=故选C6．已知数列{a n}中，a1=25，4a n+1=4a n﹣7，若用S n表示该数列前n项和，则（）A．当n=15时，S n取到最大值B．当n=16时，S n取到最大值C．当n=15时，S n取到最小值D．当n=16，S n取到最小值【考点】等差数列的性质．【分析】由4a n+1=4a n﹣7，变形为：a n+1﹣a n=﹣，利用等差数列通项公式可得：a n．令a n ≥0，解得n即可得出结论．【解答】解：∵4a n+1=4a n﹣7，变形为：a n+1﹣a n=﹣，∴数列{a n}是等差数列，公差为﹣，首项为25．∴a n=25﹣（n﹣1）=．令a n≥0，解得n≤15．∴当n=15时，S n取到最大值．故选：A．7．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1【考点】向量的共线定理．【分析】设，将向量用向量、表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．【解答】解：设则====（）∴∴故选A．8．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．【解答】解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D9．在[0，π]上随机取一个数x，则事件“2sin cos+cosx≥”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先化简不等式，确定满足sin（x+）≥且在区间[0，π]内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．【解答】解：∵2sin cos+cosx≥，即sinx+cosx≥，即sin（x+）≥，∴sin（x+）≥，又∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴在区间[，]内，满足sin（x+）≥时，x+∈[，]，∴在区间[0，π]内，满足sin（x+）≥时，x∈[，]；∴事件“2sin cos+cosx≥”发生的概率为P==．故选：B．10．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．11．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==．故选：D．12．定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）A．f（x）=（x﹣1）2，T将函数f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）=2x﹣1﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称C．f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称D．，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称【考点】函数的图象．【分析】对于A：T是将函数f（x）的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域；对于B：f（x）=2x﹣1﹣1，其值域为（﹣1，+∞），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=﹣2x﹣1+1，再求出其值域即可进行判断；对于C：f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，得到的函数解析式是2﹣y=2（﹣2﹣x）+3，即y=2x+3，它们是同一个函数；对于D：，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为[﹣1，1]，从而得出答案．【解答】解：对于A：T是将函数f（x）的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域，故T属于f（x）的同值变换；对于B：f（x）=2x﹣1﹣1，其值域为（﹣1，+∞），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=﹣2x﹣1+1，值域为（1，+∞），T不属于f（x）的同值变换；对于C：f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，得到的函数解析式是2﹣y=2（﹣2﹣x）+3，即y=2x+3，它们是同一个函数，故T属于f（x）的同值变换；对于D：，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为[﹣1，1]，故T属于f（x）的同值变换；故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知G是△ABC的重心，若直线PQ过点G，与AC，BC分别交于P，Q，设=m，=n，则+= 3 ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】用表示出，根据P，G，Q三点共线列出方程得出m，n的关系．【解答】解：取AB中点D，连结CD，则，∵G是△ABC的重心，∴=+．∵=m，=n，∴，，∴+．∵P，G，Q三点共线，∴，∴．故答案为：3．14．已知流程图如图所示，输出的y值，则输入的实数x值﹣2 ．【考点】程序框图． 【分析】算法的功能是求y=的值，分当x ≥0时和当x ＜0时求得输出y=时的x 值即可得解．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，当x ≥0时，y=（x+2）2=⇒x=﹣（舍去）或﹣（舍去）； 当x ＜0时，y=3x =⇒x=﹣2， 故答案为：﹣2．15．弹簧振子的振动在简谐振动，如表给出的振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移y 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动的函数解析式为 y=﹣20cos（t ） ．【分析】由表格中的数据得到振幅A=20，周期T=12t 0，过点（0，﹣20），从而写出解析式即可．【解答】解：由表格可知， 振幅A=20，周期T=12t 0=，解得：ω=，又函数图象过（0，﹣20），可得：﹣20=20sinφ，解得：φ=2kπ+，k∈Z，故振动函数解析式为：y=20sin（t+2kπ+）=﹣20cos（t），k∈Z．故答案为：y=﹣20cos（t）．16．在圆x2+y2=r2中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点，则有k AC•K BC=﹣1，设直线AB过椭圆+=1中心，且和椭圆相交于点A，B，P（x，y）为椭圆上异于A，B的任意一点，用各类比的方法可得k AP•K BP= ﹣．【考点】类比推理．【分析】由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质．【解答】解：由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质，即k AC•k BC=﹣，证明如下：设点A的坐标为（m，n），则点B的坐标为（﹣m，﹣n），进而可知=1，又设点P的坐标为（x，y），则k AP=，k BP=∴k AP•k BP=，将y2=b2（1﹣），n2=b2（1﹣）代入得k AP•k BP=﹣．故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象；（Ⅱ）函数y=f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（ωx+），由此根据周期为π求得ω的值．根据五点法，求出对应的五点，即可画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∴T==π，解得：ω=2，∴f（x）=sin（2x+），列表：﹣2x+2x+）（Ⅱ）把y=sinx的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+）的图象；再把所得图象上的点的横坐标变为原来的倍，可得y=sin（2x+）的图象．18．两组学校的社会实践活动各有7位人员（下文分别简称为“甲小组”和“乙小组”）．两小组成员分别独立完成一项社会调查，并形成调查报告，每位成员从启动调查到完成报告所用的时间（单位：天）如表所示：A，乙小组选出的人记为B．（Ⅰ）求A所用时间不小于13天的概率；（Ⅱ）如果a=18，求A所用的时间比B所用时间长的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P （A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“A所用的时间比B所用时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；【解答】解：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件“A所用时间不小于13天”等价于“甲是A组的第4或第5或第6或第7个人”∴A所用时间不小于13天的概率P（A4∪A5∪A6∪A7）=P（A4）+P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“A所用的时间比B所用时间长”，则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=19．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM∥平面BDE；（2）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，利用向量平行得到线线平行，从而说明线面平行；（2）设出线段AC上P点的坐标，由PF与CD所成的角是60°，得到向量与所成的角的余弦值的绝对值等于，由此可求得P点的坐标．【解答】（1）证明：如图建立空间直角坐标系．设AC∩BD=N，连结NE，则，E（0，0，1）∴又，，∴．∴，且NE与AM不共线，∴NE∥AM，又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE．（2）设P（t，t，0），则=，=．又∵与所成的角为60°，∴，解之得或（舍去），故点P为AC的中点时满足题意．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c ＞0）．（Ⅰ）若c=2，且F2关于直线y=x+的对称点在椭圆E上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）如图所示，若椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点，试求这个平行四边形的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得，c=2，设F2关于直线y=x+的对称点为（m，n），运用点关于直线的对称条件，解方程可得m，n，代入椭圆方程，可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）①当直线AD的斜率不存在时，求出三个点的坐标，然后求解平行四边形的面积；②当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x﹣c），与椭圆方程联立，设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．利用韦达定理，连结AF1，DF1，表示出面积表达式，然后求解最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，c=2，即a2﹣b2=4，设F2关于直线y=x+的对称点为（m，n），可得=﹣，n=•（m+2）+，解得m=﹣2，n=，将（﹣2，）代入椭圆方程可得+=1，解得a=3，b=，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）①当直线AD的斜率不存在时，此时易得A（c，），B（﹣c，），C（﹣c，﹣），D（c，﹣），所以平行四边形ABCD的面积为|AB|•|CD|=；②当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x﹣c），将其代入椭圆方程，整理得（b2+a2k2）x2﹣2ca2k2x+a2c2k2﹣a2b2=0．设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．则x1+x4=，x1x4=．连结AF1，DF1，则平行四边形ABCD的面积S=2=|F1F2|•|y1﹣y4|=2c|y1﹣y4|，又（y1﹣y4）2=k2（x1﹣x4）2=k2[（x1+x4）2﹣4x1x4]=k2[（）2﹣4•]=•，由a＞b，可得（k2+）2﹣k2（1+k2）=k2+，当a≤b时，（y1﹣y4）2＜，即有S＜；当a＞b时，S与k的取值有关，无最值．综上，当a≤b时，平行四边形的面积取得最大值；当a＞b时，S与k的取值有关，无最值．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（a x﹣1）lna，h'（x）=2+a x ln2a，当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，…又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（﹣∞，0），故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）…（Ⅱ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1…又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：数，所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．…因为，令，因为，所以在a∈（0，+∞）上是增函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）…所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即，函数在a∈（0，1）上是减函数，解得．综上可知，所求a的取值范围为．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．【解答】证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l过定点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，得ρ2sin2θ=4ρcosθ，由此能求出曲线C的直线坐标方程．（2）由直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），得直线l的直角坐标方程是x+y=1．由此能求出直线l被曲线C截得的线段AB的长．【解答】解：（1）由ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，得ρ（1﹣2sin2θ）+8cosθ﹣ρ=0，所以ρsin2θ=4cosθ，所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即曲线C的直线坐标方程为y2=4x．（2）因为直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），所以直线l在y轴上的截距为1，又因为直线l过定点（1，0），由直线方程的截距式，得直线l的直角坐标方程是x+y=1．联立，消去y，得x2﹣6x+1=0，又点（1，0）是抛物线的焦点，由抛物线的定义，得弦长|AB|=x A+x B+2=6+2=8．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3a|，（a∈R）（I）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜6成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=1时，原不等式可化为|x﹣3|+|2x﹣1|＞5，通过对x取值范围的讨论，去掉式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）+x=|x﹣3a|+x，则g（x）=，易知函数g （x）=f（x）+x最小值为3a，依题意，解不等式3a＜6即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|可化为|x﹣3|+|2x﹣1|＞5，当时，不等式为3﹣x+1﹣2x＞5，∴，当时，不等式即3﹣x+2x﹣1＞5，∴x＞3，所以x∈∅，当x＞3时，不等式即x﹣3+2x﹣1＞5，∴x＞3，综上所述不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞3}．…（Ⅱ）令g（x）=f（x）+x=|x﹣3a|+x，则g（x）=，所以函数g（x）=f（x）+x最小值为3a，根据题意可得3a＜6，即a＜2，所以a的取值范围为（﹣∞，2）．…。

湖南省衡阳市2019届高三第三次联考(三模)文科数学(word版)试卷

湖南省衡阳市2019届高三第三次联考(三模)文科数学(word版)试卷

2019高中毕业班联考(三)数学(文科)注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择題)两部分。

答卷前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试題卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题:本大題共12小题，毎小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.若复数z 满足(12)(z i i i =-为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合{}{}()224log 0x x a x x ->=>，则实数a 值为 A,0 B.1 C.2 D.33.某民航部门统计的2019年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年 同期变化幅度的数据统计图表如图1所示，根据图表，下面叙述不手确的是A.同去年相比，深圳的变化幅度最小且厦门的平均价格有所上升B.天津的平均价格同去年相比涨幅最大且2019年北京的平均价格最高C.2019年平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D.同去年相比，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京4.若sin 0α<，则下列三角函数的值恒为负数的是A. cos α B n ta α C. cos 2αD n 2ta α5、已知不等式组000x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩表示的平向区域为D ，则区城D 的面积为A. B.2D.6.若双曲线223x ty t -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为.A. B. C. D.7.已知函数3,1()(4),1x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则f (2019)的值为 A.1 B,0 C. 1- D. 8-8.某儿何体的三图如图2所示、其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为 A. 43π B. 169π C. 4π D 8π9.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半、“打算按此比例偿还，他门各应偿还多少?该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还多少升粟？ A.253 B. 503 C. 507D. 1007 10. 著名的“31n +猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成 1. 右边的程序框图示意了31n +猜想，则输出的 n 为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 811.如图4，在四面体ABCD 中，AD ⊥BD ，截面PQMN 是矩形，则下列结论不一定正确的是A.平面BDC ⊥平面ADCB.AC ∥平面PQMNC.平面ABD ⊥平面ADCD.AD ⊥平面BDC12已知函数(),()x f x e g x ==若()()f m g n =成立，则n —m 的最小值为 A.12B. 1C. 2ln 2-D. 2ln 2+ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分，第(13)题-第(21)题为必考题，每个考生都必须作答 第(22)题一第(123)题为选考题，考生根据要求作答二、填空题:本大题共4小題，每小题5分，满分20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13.在集合253,,,6342ππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭内随机取一个元素x ，则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为______。

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