泛函分析期末考试试卷（总分100 分）
一、选择题（每个 3 分，共 15 分）
1、设X是赋范线性空间，x,y X ，T 是 X 到 X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（）.
A．Tx Ty x y ，0 1 B. Tx Ty x y ，1
C. Tx Ty x y ，01
D. Tx Ty x y ，1
2、设X是线性空间，x,y X ，实数x称为 x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（）.
A.
x 0,
且 x
00 B.
x x
,
为任意实复数等价于 x
C. x y x y
D.xy x y
3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（）. A．收敛点列的极限是唯一的 B.基本点列是收敛点列C．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列
4、巴拿赫空间 X 的子集空间 Y 为完备的充要条件是（） .
A．集 X 是开的 B. 集 Y 是开的
C.集 X 是闭的
D. 集 Y 是闭的
5、设l p(1p) 的共轭空间为 l q，则有1 1
的值为（）. p q
A. 1
1
C. 1
1 B. D.
22
二、填空题（每个 3 分，共 15 分）
1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。
3、l1的共轭空间是（）。
4、设 X 按内积空间 成为内积空间，则对于X 中任意向量 x,y
成立不等式（）当且仅当 x 与 y 线性相关时不等式等号成立。5、设 T 为复希尔伯特空间 X 上有界线性算子，则 T 为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个 3 分，共 15 分）
1、设 X 是线性赋范空间， X中的单位球是列紧集，则 X必为有限维。
( )
2、距离空间中的列紧集都是可分的。( )
3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。( )
4、任何一个 Hilbert空间都有正交基。( )
5、设 X 是线性赋范空间， T 是 X X 的有界线性算子，若T 既是单
射又是满射，则T 有逆算子。 ( )
四、计算题（ 10 分）
叙述 l1空间的定义，并求l1上连续线性泛函全体所成的空间？。
五、证明题（第一个 5 分，其余 10 分一个，共 45 分）
1、若T为Banach空间X上的无界闭算子，证明T的定义域至多只能在X中稠密。
2 、设C[0,1]表示闭区间[0,1]上连续函数全体，对任何x, y C[0,1] ，令
1
d ( x, y)| x(t )y(t ) | dt , 证明 ( x, d ) 成为度量空间。
3、证明R n按范数|| x || max|n
i | 组成的赋范线性空间 X 与 R n按范数|| x ||| i |
i i 1
组成的赋范线性空间 Y 共轭。
4、设X是可分Banach空间，M是X中的有界集，证明M中每个点列含有
一个弱 * 收敛子列。
5、设H是内积空间，M为H的子集，证明M在H中的正交补是H中的闭线性子空间。
泛函分析期末考试试卷答案
一、选择题
1、 A
2、 D
3、 B
4、D
5、 D
二、填空题
1、柯西点列
2 、巴拿赫空间
3 、 l
4 、|| ≦||x||||y||
5、对于一切 x ∈ X,是实数 三、判断题 1、对 2、对 3、错 4、错 5、错 四、计算题
答： l 1
x (
1,
2 ,L
)
i
,
i
R,( i 1,2L
)
i 1
对于任意 x
(
1,
2 ,L n ,L ) ， y (
1 , 2
L
n ,L ) ，定义运算
x y ( 1
1,
2
2
L
n
n ) ， ax (a 1 , a 2 L a n )
l 1 按上述加法与数乘运算成为线性空间 x 1
i 1
i
l 1 按上述定义的范数构为 Banach 空间
令 e n (0,0 L 1,0L ), n 1,2L ， x n
n
( 1, 2 L
n ,0,0, L ), x n
i e
i
n
i 1
则 x
( 1,
2 L
n L ) l 1能被表示为 x
lim x n ，对任意给定 f
l 1 ' ，
n
n
n
n
令 f (e n )
n , n
1,2L 则 f ( x)
f (lim x n )
lim f ( x n ) lim
i f (e i )
i i .
n
n
n
i 1
i 1
又因为 e i
1 对于 i 有
i
f (e i ) f e i
1
f 。
由此可得 sup
i
f 即 ( 1
, 2
L
n
L
)
l
i
反之，对 b ( 1 , 2 L
n L )
l
，作 l 1
上泛函 f ( x) 如下 ：
n
l 1 ，显然 f 是 l 1 上线性泛函，又因为
f ( x)
i i ,
x (
1,
2
L
n L
)
i 1
f ( x)
i i
i i
sup
i .
i
sup
i
x 1 ,
i 1
i 1
i
i 1
i
