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专题10：数列的极限与函数的导数(含答案)

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1 专题十：数列的极限与函数的导数 极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变： （1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限： 1)cccn(lim是常数）,2)01limnn,3)nlim)1|(|0qqn. (2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。 （3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。 （4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。 （5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。 （6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。 【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对00、、、0型的函数或数列的极限，一般要先变形或化

简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14）xxxxcos)(lim=

【分析】这是00型，需因式分解将分母中的零因子消去，故xxxxcos)(lim =xxxcos)(lim=2。 2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须 2

先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如： （2004年广东,4）131211(limnnnn…+12112nnnn )的值为…（ ） （A）-1 （B）0 （C）21 （D）1 【分析】这是求无穷项的和，应先求前n2项的和再求极限12112nnnn=11n，∴原式=)1(limn

n

n=-1，故选)(A。

3，无穷等比数列的公比q，当|q|1时，各项的和qas11及重要应用。例如（2004年上海，4）设等比数列na（Nn）的公比21q，且)(lim12531nnaaaa=38，则1a 【分析】数列}{12na是首项为1a，公比是412q的等比数列，

∴)(lim12531nnaaaa=211qa=38，解得1a=2。 4，当且仅当axfxfoxxxxlimlim0时，axfoxxlim ，0xx时xf可有定义也可无定义。例如下列命题正确的是……………………………………………( ) (A)若1xxf,则0lim1xfx，B若222xxxxf,则2lim2xfx，

)(C若xxf1,则0limxfx， (D)若)0(1)0()(xxxxxf,则0)(lim0xfx。 【分析】(A)中1x无定义，（C）中x无定义，而(D) 0)(lim0xfx，1)(lim0xfx，故B是正确的。

5，函数xf在0xx处连续是指00limxfxfxx，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。 6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例如||xy在（0， 3

0）处的导数存在吗？为什么？ 【分析】1||lim|0||0|lim00xxxxxx，xxx|0||0|lim0 1||lim0xxx

∴||xy在（0，0）处的导数不存在。

7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。 8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。 【经典题例】 【例１】求下列数列的极限：

（１）)310(limnlnlggn；（２）nnnnnsincossincoslim（20）； （３）)]11()31()21()1(1[1limannnananann

；

（４）已知0a，数列{na}满足nnaaaaa1,11，若{na}的极限存在且大于零，求nnalim的值。 【例２】求下列函数的极限： （1）22312lim4xxx （2）2sin2coscoslim2xxxx

（3）)1311(lim21xxx （4）)11(lim22xxxx 【例３】求下列函数的导函数： （１）)(xf＝)sin(cosxxex； （２）)(xf＝)2(lncos2x； 4

（３）)(xf＝21lgxxx； （４）已知)(xf＝||323xxx，求)0(f。 【例４】设121nnqqqa（1,2qNn），nA（11aCn+ nnnnnaCaCaC3322）。（Ⅰ）用q和n表示nA；（Ⅱ）当13q时，

求nnnA2lim的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求xqxx11lim30的取值范围。

【例５】过点（2，0），求与曲线32xxy相切的直线方程。 【例６】（2004全国卷二，22）已知函数xxxf)1ln()( ，xxxgln)(。 （Ⅰ）求函数)(xf的最大值； （Ⅱ）设ba0，证明2ln)()2(2)()(0abbagbgag。

【例７】（2004广东卷，21）设函数)(xf=)ln(mxx，其中常数m为整数。 （Ⅰ）当m为何值时，)(xf0； （Ⅱ）定理：若函数)(xg在[ba,]上连续，且)(ag与)(bg异号，则至少存在一点),(0bax使0)(0xg。试用上述定理证明：当整数1m时，方程)(xf=0，在[mememm2,]内有两个实根。

【例８】溶液自深18cm，顶直径12cm的圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满水，已知当溶液在漏斗中之深为12cm时，其水平下落的速度为1cm∕min，问此时圆柱形容器中水面上升的速度是多少？ 5

【热身冲刺】 一、选择题： 1、下列数列极限为1的是…………………………………………………………（ ）(Anmmm)1(lim； )(Bnnmm)1(lim；

nnnC)9999.0()1(lim)(； )11(lim)(2nnennD。

2、已知65252lim221axxxx，则常数a的值为…………………………………（ ） 65)(A （B）56 526)(C 526)(D；

3、)1ln(3[lim111xexx]的值是………………………………………………（ ） 0)(A 1)(B eC)( )(D

不存在；

4、若)0()01(1111)(3xaxxxxxf且在点0x处连续，则a（ ）

23)(A 32)(B 0)(C 1)(D

5、若)1(xf为偶函数，且)1(f存在，则)1(f……………………（ ） （A）0 )(B x )(C 1 )(D-1； 6、设)(xf是函数)(xf的导函数，)(xfy的图象如图所示，则)(xfy的图象最有可能的是…………………………………………………………………（ ）

1 y 2 0 2 2

y

x D C B A

1 0 0 0 1 1 1 2 2 x x x

y y y 6

(A) (B) (C) (D) 7、函数1)(3xaxxf有极值的充要条件是……………………………（ ） （A）0.a 0)(aB 0)(aC （D）0a 8、(2004江苏卷，10)函数13)(3xxxf在区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是………………………………………………………………………………（ ） （A）1,-1 （B）1,-17 （C）3,-17 （D）9,-19 9、)(xf、)(xg分别是定义R上的奇函数和偶函数。当0x时，

0)()()()(xgxfxgxf，且0)3(f，则不等式0)()(xgxf的解集是（ ） （A）（-3，0）（3，） )3,0()0,3)((B （C）),3()3,( )3,0()3,)((D 10、三次函数)(xf=bbxx333在[1，2]内恒为正值的充要条件为………… （ ） （A）21b )(B 0b )(C 21b )(D 49b； 二、填空题： 11、曲线2212xy与2413xy在交点处的切线夹角是 （以弧度数作答）； 12、axf)(，则xxfxxfx)()2(lim0 ；

13、已知)(xf是x的一个三次多项式，若2)(lim2xxfx=4)(lim4xxfx=1， 则3)(lim3xxfx= 14、如图，1P是一块半径为1的半圆形纸板，在1P的左下端剪去一个半径为21的半

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考研数学极限与导数部分练习题(带答案)

考研数学极限与导数部分练习题(带答案)

1. 0ln(1)lim1cos x x x x→+=- .分析 当0x →时,2ln(1)~x x x +,21cos ~2x x -,利用等价无穷小代换可求出极限解 2200ln(1)limlim 21cos 2x x x x x xx →→+==- 2.cos 0x x →= .分析 先变形cos cos 1cos (1)xx x e ee e --=-,21cos (1)~1cos ~2xx ex ---,21~3x ,再利用等价代换求其极限解2cos cos 1cos 1cos 200032lim 23x x x x x x x x x ee e x --→→→→====. 3.求3limx x →.分析 分子有理化后等价无穷小代换求极限. 解0x x →→=001sin (1)x x x →→-==20114x x x →⋅==.4. 求极限.分析 该极限为型，先取对数，再使用洛必达法则.11ln lim (1)xxx e →+∞-0解5.求极限. 分析 将变形为，将分子分母中的，展开，再求极限. 解. 6.计算.分析 将分子中的函数，展开到相互抵消剩下第一项加上该项的高阶无穷小，再求极限.解从而7.设函数()()()2()12x x nxf x e e en =---,其中n 为正整数，求(0)f '.分析 (0)0f =，0x →时，1~xe x -，所以用导数定义求(0)f '简单.解()()()()()210012()(0)(0)lim lim11!0x x nxn x x e e en f x f f n x x-→→----'===---，所以选（A ）.8.设(1)(),(0)(,0)f x af x f b a b '+==≠, 求(1)f '.1211111ln 111limlimln(1)11lim1ln 1lim (1)x x x x x x xx xx e x xe e e xxe x e eeee →+∞→+∞→+∞⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭--⋅---→+∞-====011limcot x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭011limcot x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭30sin cos lim x x x x x →-sin x cos x 323233000()1()3!2!11sin cos lim cot lim lim x x x x x x o x x o x x x x x x x x x →→→⎡⎤-+--+⎢⎥-⎛⎫⎣⎦-== ⎪⎝⎭333011()()12!3!lim 3x x o x x →-+==403cos 2lim 2x x e x x -+→cos x 2x e 2x e),(!211442x o x x +++=x cos ),(!4!21442x o x x ++-=∴3cos 22-+x e x ),(!412!2144x o x +⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=403cos 2lim2x x e x x -+→4440)(127lim x x o x x +=→.127=分析 抽象函数求导数必须用导数的定义式. 解00(1)(1)()(0)()(0)(1)limlim lim (0)x x x f x f af x af f x f f a af ab x x x→→→+---''=====.9.设2(1)(1)()lim 1n x n x n x e ax bf x e --→∞++=+，问a 与b 为何值时，()f x 可导，并求()f x '． 分析 由连续及左右导数的定义即可得到答案. 解：1x >时，(1)lim n x n e -→∞=+∞；1x <时，(1)lim 0n x n e -→∞=；2,11(),12,1x x a b f x x ax b x ⎧>⎪++⎪∴==⎨⎪+<⎪⎩.由1x =处连续性得：11lim ()lim ()11x x f x f x a b -+→→==⇒+=. 由1x =处可导性得：(1)(1)f f -+''=，111(1)2(1)lim lim 11x x a b ax b ax b f f a x x ---→→+++-+-'===--， 21(1)(1)lim 21x x f f x ++→-'==-，故2a =.那么2a =，1b =.于是2, 1()1, 121,1x x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩， 2,1()2, 1x x f x x ≥⎧'=⎨≤⎩.10.曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a =（）. （A ）4e （B ）3e （C ）2e （D ）e分析 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则它们有共同的切点及斜率，从而解出a解 因与相切，故. 2x y =)0(ln ≠=a x a y 212a x x a x =⇒⋅=在上，时，.在上，时，. ln ln 1e 2e 22222a a a a aa ⇒=⋅⇒=⇒=⇒=， 所以选择（C ）2x y =2a x =2a y =)0(ln ≠=a x a y 2a x =2lna a y =2ln 21aa =。

10极限与导数

10极限与导数

极限与导数一、复习策略极限的概念及其渗透的思想在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具．1、有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数极限的和（或积），在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限．2、两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在．3、对型的极限，要分别通过“约去使分母为零的因式、同除以分子、分母的最高次幂、有理化分子”等变形，化归转化后再求极限值．4、求函数的极限的几种基本的方法:①代入法；②约去分母为零的因式；③分子、分母同除x的最高次幂；④有理化法5、函数f（x）在点x0处连续必须具备以下三个条件：函数f（x）在点x=x处有定义;函数f（x）在点x=x处有极限;函数f（x）在点x=x0处的极限值等于在这一点x0处的函数值，即f（x）=f（x）．导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具．在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1、导数的常规问题：(1)刻画函数(比初等方法精确细微)；(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线)；(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于n次多项式的导数问题属于较难类型．2、关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便．3、导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意．4、求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系；(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)；(3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数．也就是说，首先选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数．整个过程可简记为分解——求导——回代．熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．二、典例剖析例1、在处可导，则________，________．解：函数在处可导，则必连续，，，，∴．，，∴，．例2、(08福建)已知函数的导函数的图象如下图，那么图象可能是()解：从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B 答案，再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢，可明显看出的导函数是减函数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除AC ，最后就只有答案D 了，可以验证y=g(x)的导函数是增函数，增加越来越快． 答案：D例3、若数列{a n }的首项为a 1=1，且对任意n ∈N *，a n 与a n ＋1恰为方程x 2－b n x ＋c n =0的两根，其中0＜|c|＜1，当(b 1＋b 2＋…＋b n )≤3时，求c 的取值范围．解：首先，由题意对任意n ∈N *，a n ·a n ＋1=c n 恒成立．∴===c ．又a 1·a 2=a 2=c ．∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是首项为1，公比为c 的等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是首项为c ，公比为c 的等比数列．其次，由于对任意n ∈N *，a n ＋a n ＋1=b n 恒成立．∴==c ．又b 1=a 1＋a 2=1＋c ，b 2=a 2＋a 3=2c ，∴b 1，b 3，b 5，…，b 2n －1，…是首项为1＋c ，公比为c 的等比数列，b 2，b 4，b 6，…，b 2n ，…是首项为2c ，公比为c 的等比数列，∴(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )=(b 1＋b 3＋b 5＋…)＋(b 2＋b 4＋…)=＋≤3．解得c≤或c ＞1，∵0＜|c|＜1，∴0＜c≤或－1＜c ＜0．故c 的取值范围是(－1，0)∪(0，］．例4、(2006浙江)已知函数=x 3＋x 2，数列 {x n }(x n ＞0)的第一项x 1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在处的切线与经过(0，0)和(x n ，f(x n ))两点的直线平行(如图)．求证：当n时：(I)；(II)证明：(I)∵∴曲线在处的切线斜率∵过和两点的直线斜率是∴.(II)∵函数当时单调递增，而，∴，即因此又∵令则∵∴因此故例5、(07山东卷)设函数，其中．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．证明：因为，所以的定义域为．．当时，如果在上单调递增；如果在上单调递减．所以当，函数没有极值点．当时，令，得(舍去)，，当时，随的变化情况如下表：从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为．无极大值．当时，随的变化情况如下表：从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为．无极小值．综上所述：当时，函数没有极值点；当时，若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为，无极大值．若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为，无极小值．例6、(2006湖北) 设x=3是函数f(x)=(x2＋ax＋b)e3－x(x∈R)的一个极值点．(1)求a与b的关系式(用a表示b)，并求f(x)的单调区间；(2)设＞0，=()．若存在使得||＜1成立，求的取值范围．解：(1)，由f′(3)=0得，所以，令f′(x)=0得．由于x=3是f(x)的极值点，故x1≠x2，即a≠－4，当时，，故f(x)在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．当a＞－4时，x1＞x2，故f (x)在(－∞，－a－1]上为减函数，在[－a－1，3]上为增函数，在[3，＋∞)上为减函数．(2)当a＞0时，－a－1＜0，故f(x)在[0，3]上为增函数，在[3，＋∞)上为减函数．因此f(x)在[0，4]上的值域为，而在[0，4]上为增函数，所以值域为．注意到，故由假设知解得．故的取值范围是．例7、定义在(0，＋∞)上的函数，其中e=2.718 28…是自然对数的底数，a∈R.(1)若函数f(x)在点x=1处连续，求a的值；(2)若函数f(x)为(0，1)上的单调函数，求实数a的取值范围；并判断此时函数f(x)在(0，＋∞)上是否为单调函数；(3)当x∈(0，1)时，记g(x)=lnf(x)＋x2－ax. 试证明：对，当n≥2时，有解：(1)∵f(1)=1，，已知f(x)在点x=1处连续，∴有e a－1=1. ∴a=1.(2)当x∈(0，1)时，此时，，∵，，∴不可能在(0，1)上恒小于0.故f(x)在(0，1)上必为增函数. ∴－2x2＋ax＋10在(0，1)上恒成立.在(0，1)上恒成立.设，x∈(0，1). ∵u(x)在(0，1)上是增函数，u(x)＜1.∴当a≥1时，f(x)在(0，1)上是增函数.当a=1时，f(x)在(0，＋∞)上也是增函数；当a＞1时，∵，此时，f(x)在(0，＋∞)上不是增函数.(3)当x∈(0，1)时，g(x)=lnf(x)＋x2－ax=lnx. 当n≥2时，欲证，即证需证即需证猜想：，其中t∈(0，1).下面证明之. 构造函数，t∈(0，1).∵，∴h(t)在(0，1)上是减函数，而，∴h(t)＞0，即有同理，设s(t)=lnt－t＋1，t∈(0，1).∵，∴s(t)在(0，1)上是增函数，而，∴s(t)＜0，即有故有，其中t∈(0，1).分别取，有，，，…相加，得即∴即∴冲刺练习一、选择题1、[n(1－)(1－)(1－)…(1－)]等于（）A．0B．1C．2D．32、数列{a n}中，a1=，a n＋a n＋1=，n∈N*，则(a1＋a2＋…＋a n)等于（）A．B．C．D．3、已知的值是（）A．B．0C．8D．不存在4、在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．05、设f0(x) = sinx，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，f n＋1(x) = f n′(x)，n∈N，则f2005(x)=（）A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx6、已知对任意实数，有，，且时，，，则时（）A．，B．，C．，D．，7、经过原点且与曲线y=相切的方程是（）A．x＋y=0或＋y=0B．x－y=0或＋y=0C．x＋y=0或－y=0D．x－y=0或－y=08、已知函数f(x)=函数f(x)在哪点连续（）A．处处连续B．x=1C．x=0D．x=9、已知二次函数的导数为，，对于任意实数，都有，则的最小值为（）A．3B．C．2D．10、设函数，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当时，与的大小关系是（）A．B．C．D．与的大小不确定[提示]二、填空题11、=__________．12、曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为=__________．13、设f(x)=x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)= __________．14、若直线y=3x＋1是曲线y=x3－a的一条切线，则实数a的值是_______．15、函数y=f(x)的导函数的图象如下图所示，给出下列判断:①函数y=f(x)在区间(－3，－)内单调递增;②函数y=f(x)在区间(－，3)内单调递减;③函数y=f(x)在区间(4，5)内单调递增;④当x=2时，函数y=f(x)有极小值;⑤当x=－时，函数y=f(x)有极大值.则上述判断中正确的是_____________．16、已知函数f(x)=ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′(x)的图象经过点(0，1)，(2，0)，如图所示.求：(Ⅰ)x的值；(Ⅱ)a，b，c的值.[答案]三、解答题17、已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为．(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间．[答案]18、(08江苏卷17)某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A，B 及CD的中点P 处，已知AB=20km，CB =10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且A，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm．(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；②设OP=x(km) ，将y表示成x的函数关系式．(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．[答案]19、设数列a1，a2，…，a n，…的前n项的和S n和a n的关系是S n=1－ba n－，其中b是与n无关的常数，且b≠－1．(1)求an 和an－1的关系式；(2)写出用n和b表示an的表达式；(3)当0＜b＜1时，求极限Sn．[答案]20、已知f(x)=ax－ln(－x)，x∈[－e，0)，，其中e=2.718 28…是自然对数的底数，a∈R.(1)若a=－1，求f(x)的极值；(2)求证：在(1)的条件下，；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．1-5 CCCDC 6-10 BADCB提示：1、原式=［n××××…×］==2．2、2(a1＋a2＋…＋a n)=a1＋［(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(a n－1＋a n)］＋a n=＋[＋＋…＋]＋a n．∴原式=［＋＋a n］=(＋＋a n)．∵a n＋a n＋，∴a n＋a n＋1=0，∴a n=0．∴原式＝, 选C．1=3、，．4、=3x2－8，由题意得0＜3x2－8＜1，解之得或，其中整数x的可取值为0个，选(D)．5、，由此继续求导下去，四个一循环，又2005故选C.6、由已知f(x)为奇函数，图像关于原点对称，在对称区间的单调性相同; g(x)为偶函数，在对称区间的单调性相反，当x＞0时，f′(x)＞0，g′(x) ＞0，递增，当x ＜0时， f(x)递增， f′(x)＞0; g(x)递减， g′(x)＜0．7、设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k=，另一方面，y′=()′=，故y′(x0)=k，即或x02＋18x0＋45=0，得x0(1)=－3， x0(2)=－15，对应有y0(1)=3，y0(2)=，因此得两个切点A(－3，3)或B(－15，)，从而得y′(-3)= =－1及y′(-15)=，由于切线过原点，故得切线：l A:y=－x或l B:y=－．8、f(x)= f(x)=f()．9、＝，依题意，有：，可得，＝＝＋1≥2＋1≥2＋1＝2，故选(C)．10、与的图象在轴上有公共点，∴.∵，，由题意，∴令，则．∴在其定义域内单调递减，∵，∴当时，，即.11、解析：12、±1解析：∵=3x2，∴在(a，a3)处切线为y－a3=3a2(x－a)，令y=0，得切线与x轴交点()，切线与直线x=a交于(a，a3)，∴曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为S=，令S=，解得a=±1.13、n!解析：设g(x)=(x＋1)(x＋2)……(x＋n)，则f(x)=xg(x)，于是f′(x)=g(x)＋xg′(x)，f′(0)=g(0)＋0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！．14、－3或1解析：设切点为P(x0，y0)，对y=x3－a求导数是=3x2，∴3x02=3.∴x0=±1.(1)当x=1时，∵P(x0，y0)在y=3x＋1上，∴y=3×1＋1=4，即P(1，4).又P(1，4)也在y=x3－a上，∴4=13－a.∴a=－3.(2)当x=－1时，∵P(x0，y0)在y=3x＋1上，∴y=3×(－1)＋1=－2，即P(－1，－2).又P(－1，－2)也在y=x3－a上，∴－2=(－1)3－a.∴a=1.综上可知，实数a的值为－3或1.15、③解析：当x∈(4，5)时，恒有f′(x)＞0.16、解法一：(Ⅰ)由图像可知，在(－∞，1)上f′(x)＞0，在(1，2)上f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f′(x)＞0故f(x)在(－∞，1)， (2，＋∞)上递增，在(1，2)上递减，因此f(x)在处取得极大值，所以．(Ⅱ)由f′(1)=0， f′(2)=0， f(1)=5．得解得a=2， b=－9， c=12.解法二：(Ⅰ)同解法一．(Ⅱ)设又由f(1)=5，即得m=6．所以a=2，b=－9，c=12．17、解：(Ⅰ)由f(x)的图象经过P(0，2)，知d=2，所以由在M(－1，f(－1))处的切线方程是，知故所求的解析式是(Ⅱ)解得当当故内是增函数，在内是减函数，内是增函数．18、(Ⅰ)①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则，故，又OP＝，所以，所求函数关系式为．②若OP=x(km) ，则OQ＝10－，所以OA=OB=．所求函数关系式为．(Ⅱ)选择函数模型①，．令0 得，因为，所以=，当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当=时，．这时点P位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处．19、解：(1)a n=S n－S n－1=－b(a n－a n－1)－=－b(a n－a n－1)＋ (n≥2)．解得a n=(n≥2)．20、(1)∵f(x)=－x－ln(－x)，f′(x)=－1，∴当－e＜x＜－1时， f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，此时f(x) 单调递增，∴f(x)的极小值为f(－1)=1．(2)∵f(x)的极小值即f(x)在[－e，0)上的最小值为1，∴| f(x)|min=1，令h(x)=g(x)＋，又∵，∴当－e＜x＜0时， h′(x) ＜0，且h(x)在x=－e处连续．∴h(x)在[－e，0)上单调递减，∴h(x)max=h(－e)=∴当x[－e，0)时，(3)假设存在实数a，使f(x)=ax－ln(－x)有最小值3，[－e，0)，f′(x)=，①当a≥时，由于(－e，0)，则f′(x)=a且f(x) 在x=－e处连续．∴函数f(x)=ax－ln(－x)是[－e，0)上的增函数，∴f(x)min=f(－e)= －ae－1=3，解得a=(舍去).②当a＜时，则当－e＜x＜时，f′(x)=a此时f(x)=ax－ln(－x) 是减函数，当时，f′(x)=a此时f(x)=ax－ln(－x) 是增函数，∴f(x)min=f()=1－ln()=3，解得a=－e2.由①、②知，存在实数a=－e2，使得当[－e，0)时f(x)有最小值3．。

数列的极限

数列的极限

§2 数列的极限一、是非题:1. 当n 充分大后，数列}{n x 与常数A 越来接近，则.lim A x n x =∞→ [ ] 2. 如果数列}{n x 发散，则}{n x 必是无界数列。

[ ]3．如果对任意,0>ε存在正整数N ，使得当n>N 时总有无穷多个n x 满足|n x ε<-|a ， 则 .lim a x n n =∞→[ ]4. 如果对任意,0>ε数列}{n x 中只有有限项不满足|n x ε<-|a ，则.lim a x n n =∞→[ ]5. 若数列}{n x 与}{n y 都发散，则数列}{n n y x +发散。

[ ]6.若数列}{n n y x ⋅的极限存在，则}{n x 与}{n y 的极限也存在。

[ ]二、选择题:1. 根据 a x n n =∞→lim 的定义，对任给,0>ε存在正整数N ，使得对n >N 的 一切n x ，不等式ε<-a x n 都成立，这里的N 。

（A ）是ε的函数N(ε)，且当ε减少时N （ε）增大；（B ）是由ε所唯一确定的； （C ）与ε有关，但ε给定时N 并不唯一确定；（D ）是一个很大的常数，与ε无关。

2. ⎪⎩⎪⎨⎧=-为偶数当为奇数当n n n x n ,10,17，则 。

（A ）;0lim =∞→n n x （B ）;10lim 7-∞→=n n x（C ）;,10,,0lim 7⎩⎨⎧=-∞→为偶数为奇数n n x n n (D) 不存在n n x ∞→lim 。

3. 数列有界是数列收敛的 。

（A ）充分条件；（B ）必要条件；（C ）充分必要条件；（D ）既非充分又非必要条件。

4. 下列数列n x 中，收敛的是 。

（A ）nn x nn 1)1(--=； （B ）1+=n n x n ；（C ）2sinπn x n =；（D ）nn n x )1(--=。

5．下列命题不正确的是 。

大一数学

大一数学

大一数学⑴、数列：若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数a n，那末，我们称这列有次序的数a1，a2，…，a n，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。

第n项a n叫做数列的一般项或通项.注：我们也可以把数列a n看作自变量为正整数n的函数，即：a n=，它的定义域是全体正整数⑵、极限：极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。

例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。

设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A1；再作圆的内接正十二边形，其面积记为A2；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A3；依次循下去(一般把内接正6×2n-1边形的面积记为A n)可得一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3，…，An，…，它们就构成一列有序数列。

我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，An也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列A1，A2，A3，…，An，…当n→∞(读作n趋近于无穷大)的极限。

注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。

⑶、数列的极限：一般地，对于数列来说，若存在任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在正整数N，使得对于n＞N时的一切不等式都成立，那末就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a .记作：或注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接近的意思。

且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。

⑷、数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。

数列极限为a的一个几何解释：将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域即开区间(a-ε，a+ε)，如下图所示：因不等式与不等式等价，故当n＞N时，所有的点都落在开区间(a-ε，a+ε)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。