巧思妙解2011年高考数学题

巧思妙解2011年高考数学题（江苏卷）

杨洪林

1.（题18）如图，在平面直角坐标系x O y中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限.过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；

（2）当k= 2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k ＞0，求证：PA⊥PB.

【参考答案】

（1）…….

（2）…….

（3）解法一将直线PA的方程y= kx代入，解得x=±.记μ=，

则P（μ,μk）, A（-μ, -μk）,于是C（μ,0）.故直线AB的斜率为=，其方程为.

代入椭圆方程得（2 + k2）x2 -2μk2x–μ2（3k2 + 2）= 0, 解得x =或x = - μ .

因此B（, ），于是直线PB的斜率k1 =

== -.

因此k1 k= - 1，所以PA ⊥ PB.

解法二设P（x1, y1）,B（x2, y2）,则x1＞0, x2＞0, x1≠x2，A（-x1,-y1）,C（x1,0）.

设直线PB、AB的斜率分别为k1、k2，因为C在AB上，所以k2 ===

.

从而k1k+1=2k1k2+1 = 2··+ 1 =+ 1

= = = 0. 因此k1k = - 1，所以PA ⊥ PB.

·巧思·

①利用三角形中位线定理，便知OD∥PB（D为AB的中点），“证明PA ⊥PB”就转化为“证明OA ⊥OD”。

②将点A、B的坐标设为对称式（关于中点D对称），便得两个对称的等式，从而又得一个简单的关系式。

③利用所得的简单关系式和A、B、C三点共线的条件（k

= k BC），必可得到k OA·k OD = -1

AB

（条件都已用到）。

·妙解·

设AB的中点D（a,b），A（a+ m,b+ n），B（a - m,b - n），则C（-a -m,0），OD ∥PB.

且（a + m）2 + 2（b + n）2= 4 =（a - m）2 +2（b - n）2am + 2bn = 0.

k PA = = 2 k AC = 2 k AB = = - = - = -PA⊥PB.

【评注】

①“对称美”是数学美之一，设立“对称式”求解问题也是数学研究中经常采用的手法之一。

②将初中数学知识与高中数学结合运用，可以“化难为易、化繁为简、化深为浅、化神为

凡”。

③（1）中，根据“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”，便有：OQ=MQ（Q为MN

的中点）k= - k MN ==；（2）中，根据直线斜率的几何意义以及平行线等分线段

定理，便有：k = 2PC = 2OC = 2OE（AB交ON于E） d = 2OF（OF AB于F）= CE =（均比参考答案简洁，具体省略）。

2.（题19）已知a，b是实数，函数和是

的导函数，若≥0在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致.

（1）设a＞0，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；

（2）设a＜0且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a -b|的最大值.

【参考答案】

= 3x2+a, = 2x + b.

（1）……b≥2……

（2）令= 0，解得x=±.

若b＞0,由a＜0,得0∈（a, b）.又因为f ′（0）g ′（0）= ab＜0,

所以函数和在（a,b）上不是单调性一致的.因此b≤0.

现设b≤0. 当x∈（-∞，0）时，＜0；当x∈（-∞，-）时，＞0.

因此，当x∈（-∞，-）时，＜0.故由题设得a≥-,且b≥

-.

从而 -≤a＜0,于是 -≤b≤0.因此∣a - b∣≤，且当a = -，b = 0时等号成立.

又当a =-，b= 0时，= 6x（x2-）, 从而当x∈（-，0）时，

＞0，

故函数和在（-，0）上单调性一致.因此|a -b|的最大值为.

·巧思·

①由导函数和的连续性知：若在以a、b为端点的开区间上，≥0，则必定也有

f′（a）g′（a）≥0, f ′（b）g′（b）≥0.问题便转化为对“f ′（a）g′（a）≥0, f ′（b）g′（b）≥0”的探讨。

②由b≤0便知g′（a）＜0，g′（b）≤0，亦知f ′（a）≤0，f ′（b）≤0，从而问题得以方便、快捷地解决。

·妙解·

f ′（x）g′（x）≥0 f ′（a）g′（a）=（3a2 + a）（2a+ b）≥0, f ′（b）g′（b）=（3b2 + a）（2b + b）≥0.

f ′（0）g′（0）=ab及题设知b≤03a2 + a≤0,3b2 + a≤0 -≤a＜0, -≤b≤0∣a

- b∣≤

a = -＜x＜0 =b时，f ′（x）g′（x）=（3x2-）·2x＞0∣a - b∣max=.

【评注】

①题意是求满足“在以a、b为端点的开区间上，≥0”的条件，没有要求找

出使得“≥0”的所有区间，因此也就不必“多此一举”地求出方程= 0

的根以及的全部单调区间。

②解决问题要尽可能地简单、简洁、简便，就要尽可能地减少“多余劳动”、“重复劳动”、

“无效劳动”。

=1，前n项和为S n，已知3.（题20）设M为部分正整数组成的集合，数列｛a n｝的首项a

1

对任意整数k属于M，当n＞k时，都成立.

（1）设M =｛1｝，，求的值；

（2）设M =｛3，4｝，求数列｛a n｝的通项公式.

【参考答案】

（1）……a5的值为8.

（2）由题设知，当k∈M =｛3,4｝且n＞k时，S n+k+S n

= 2S n + 2S k且S n+1+k + S n +1-k= 2S n+1

-k

+ 2S k,，

两式相减得a n+1+k + a n +1 -k= 2a n+1，即a n+1+k - a n+1 =a n+1 - a n +1 -k .所以当n≥8时，

a n - 6, a n - 3, a n, a n+ 3, a n+ 6成等差数列，且a n - 6, a n - 2, a n + 2, a n + 6也成等差数列.

从而当n≥8时，2a n= a n + 3+a n -3 =a n + 6+ a n - 6（ ），且a n + 6+ a n - 6 = a n + 2+ a n -2 .

所以当n≥8时，2a n= a n + 2 + a n -2 ，即a n + 2 - a n = a n - a n -2 .

, a n - 1, a n + 1, a n + 3成等差数列，从而a n + 3 + a n -3 = a n + 1 + a n - 1 .

于是当n≥9时，a n

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