. . 《点到直线的距离》
（获全国一等奖）
张学昭
一、教材分析
⒈教材的地位和作用
“点到直线的距离”是高中课本《平面解析几何》第一章“直线”的最后一节.其主要内容是：点到直线的距离公式的推导及应用。
在此之前.学生已经学习了两点间的距离公式、定比分点公式、直线方程、两直线的位置关系.同时也学习了用代数方程研究曲线性质的“以数论形.数形结合”的数学思想方法。在这个基础上.教材在第一章的最后安排了这一节。点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具.它使学生对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。点到直线的距离公式可用于研究曲线的性质如求两条平行线间的距离.求三角形的高.求圆心到直线的距离等等.借助它也可以求点的轨迹方程.如角平分线的方程.抛物线的方程等等。
⒉教材的内容安排和处理
教参安排“点到直线的距离”这部分内容的授课时间为2个课时。 . . 第一课时：侧重于公式的推导及记忆。
第二课时：侧重于公式的应用。
本节为第一课时。
⒊教材的重点和难点
本课时的教学重点是公式的推导及其结论以及简单的应用.教学难点是公式的推导。
教材中提供了两种推导公式的思路.思路Ⅰ用解析法.思路Ⅱ用解析法结合平面几何、三角的知识。高二的学生刚刚学解析几何.对解析法不够熟练.而且接触用解析法结合平面几何、三角的知识解决问题的例子不多.综合运用知识的能力不高.所以公式的推导是难点。
公式的推导使用的解析法或解析法结合其它的数学方法.在第二章圆锥曲线中经常用到；公式的推导过程渗透了多种数学思想（数形结合、等价转化等）.所以.公式的推导也是重点。
二、教学目的分析
根据以上分析和我校学生的具体情况.确定本节课的教学目的如下：
高一数学《点到直线的距离》说课稿
成立，它们与，点在直线外有什么关系?这并没有验证.而我们要求学生考虑问题要全面，为此我提出提问：①上式是由条件下得出，对成立吗?②点P在直线上成立吗?③公式结构特点是什么?用公式时直线方程是什么形式?通过学生的讨论，使学生了解公式适用的范围：任意点、任意直线.同时体现整体认识和分类讨论思想.
依据新课程的理念，教师要创造性地使用教材.在公式的推导过程中，我做了和教材不同的处理方法：(1)先特殊后一般的证法，(2)多角度构造三角形，(3)知识联系，向量解决.目的是让学生在考虑问题时有特殊到一般的意识，符合学生认知规律，使问题的解决循序渐进.向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点.而多角度考虑问题，发散学生思维.
(三)[变式训练 学会应用]
1、这一环节解决的主要问题是：
通过练习，熟悉公式结构，记忆并简单应用公式.通过例题的不同解法，进一步让学生体会转化(或化归)的数学思想.
2、具体教学安排：
由学生完成下列练习：
(1)解决课堂提出的实际问题.(学生口答)
(2)求点P0(-1,2)到下列直线的距离 ：
①3x=2 ②5y=3 ③2x+y=10 ④y=-4x+1 设计说明：练习1的设计解决了上课开始提出的实际问题.练习2的设计故意选特殊直线和非直线方程一般式，主要强调在公式应用时，直线方程是一般式，应用公式的准确性.
例题(3)求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.
我选取的是课本例题，课本只有一种具体点的解法.我通过本节课的学习，让学生对知识从深度和广度上进行挖掘.通过几何画板的演示，让学生直观看到思考问题的方法.除了选择直线上的点，还可以选取原点，求它到两条直线的距离，然后作和.或者选取直线外的点P，求它到两条直线的距离，然后作差.由特殊点到任意点，由特殊直线到任意直线，从而延伸出两平行线间的距离.目的是在整个过程中，让学生注意体会解题方法中的灵活性以及转化等数学思想方法.
点到直线的最大距离和最小距离
在平面几何中，点和直线是最基本的图形，而点到直线的距离也是一个非常重要的问题。在实际应用中，点到直线的距离经常被用来求解各种问题，如求解点到线段的距离、点到多边形的距离等等。本文将介绍点到直线的最大距离和最小距离的求解方法。
一、点到直线的距离
点到直线的距离是指从点到直线所在的垂线的长度。设点P(x1,y1)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则有：
d = |Ax1 + By1 + C| / √(A² + B²)
其中 | | 表示绝对值。
二、点到直线的最大距离
点到直线的最大距离是指点到直线所在的垂线的最大长度。求解点到直线的最大距离的方法是：首先求出点到直线的距离，然后求出点到直线的垂足，最后求出垂足到直线两端点的距离中的最大值。
具体来说，设点P(x1,y1)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则直线的垂足为：
x0 = (B²x1 - ABy1 - AC) / (A² + B²)
y0 = (-ABx1 + A²y1 - BC) / (A² + B²)
垂足到直线两端点的距离分别为：
d1 = √[(x0-x1)² + (y0-y1)²]
d2 = √[(x0-(x1-A))² + (y0-(y1-B))²]
则点到直线的最大距离为：
max(d1,d2)
三、点到直线的最小距离
点到直线的最小距离是指点到直线所在的垂线的最小长度。求解点到直线的最小距离的方法是：首先求出点到直线的距离，然后求出点到直线的垂足。
具体来说，设点P(x1,y1)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则直线的垂足为：
x0 = (B²x1 - ABy1 - AC) / (A² + B²)
y0 = (-ABx1 + A²y1 - BC) / (A² + B²)
则点到直线的最小距离为d。
四、点到线段的距离
点到线段的距离是指点到线段所在的垂线的长度。求解点到线段的距离的方法是：首先求出点到直线的距离，然后判断垂足是否在线段上，如果在，则点到线段的距离为垂足到点的距离，否则点到线段的距离为点到线段两端点的距离中的最小值。
1 空间中点到直线的距离怎么求
空间点到直线的距离公式：设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（Xo，Yo），则点P到直线L的距离为|AXo+BYo+C|/√（A²+B²）。
距离指同一时间下，空间两点之间的空间最短连线长。而为了强调这一点，往往会强调两点之间的”直线距离“。从而有的时候距离这一概念也还可以用于指物体移动的路程长。
距离的概念与位移的模（或大小）并不完全相同。由于位移是不同时刻（运动起始和终结两个时间点）的同一物体（在质点力学下指的是质点）所处位置的矢量差，其模对应的这一位置之间的连线长。其中由于位移与不同的参考系相关，而不同的参考系可能对应的状态不同，从而带来的问题是不在同一时刻下的坐标空间两点的距离会发生变化；也就是说针对不同的参考系同一物理过程的位移大小是不同的。而在现实世界里，点与点之间的距离是确定的，譬如北京和伦敦隔了八个时区的距离，但是如果以太阳为参考系，一个物体经历八个小时从北京的经度移动到伦敦的精度，该物体的横向位移大小为零。
