第29届中国数学奥林匹克

例谈生活中的算法问题

数学来源于生活，效劳于社会．新课程标准对应用性问题有较高的要求，贯穿于高中数学的始末．数学与生活息息相关，数学是有用的，在生活中做一件事情的方法和步骤有多种，生活中的许多问题都可以用算法描述，用程序框图表达．例如：

一、国王有多少小麦？

例1．相传古印度国王舍罕要奖赏他聪明能干的宰相达尔(国际象棋创造者〕，问他需要什么，达依尔说：“国王只要在国际象棋的棋盘第一格上放一粒麦子，第二格放二粒麦子，第三格放四粒，以后按比例每一格加一倍，一直放到第64格〔国际象棋棋盘是8×8=64格〕，我就感恩不尽了，其他我什么也不要了．〞国王想：“这还不容易！〞让人扛来一袋小麦，但不到一会儿全用没了，再来一袋很快又没有了，结果全印度的粮食全部用完还不够．国王很奇怪，怎样也算不清这笔账．现在我们用电子计算机来算一下，求需要多少体积的小麦(1m3约有1.42 ×108颗〕，请你设计一个算法，画出程序框图，用根本语句写出程序.

程序框图如下图：

程序如下：S=o

i=o

WHILE i<＝63

S= S＋2^i

i=i十1

WEND

V=S/(1.42*10^8)

PRINT V

END

二、申办第29届奥林匹克运动会

例2．北京获得了第29届奥林匹克运动会主办权．国际奥委会是通过对遴选出的5个申办城市进行表决而决定主办权的．表决的操作程序是：首先进行第一轮投票，如果一个城市得票超过总票数的一半，那么该城市将获得举办权；如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，那么将得票最少的城市淘汰，然后重复上述过程，直到选出一个申办城市为止．请设计一个算法表述上面过程，并画出程序框图．

解：算法如下：〔1〕投票；

(2)统计票数，如果有一个城市得票超过总票数的一半，那么该城市就获得主办权；否那么淘汰得票数最少的城市，转(1)；

(3)宣布主办城市．程序框图：如图〔1〕所示．

点评：算法本身就是用计算机解决一些实际问题的方法，一定要充分理解算法的程序性、有限性、构造性、精确性、问题的指向性等特点．

- 1 - 数学奥林匹克竞赛题目

数学奥林匹克竞赛是一场追求超越极限的竞赛，它充满了科学和数学的激情，以挑战困难的题目考验选手的智慧。数学奥林匹克的题目是无限的，可以涵盖从简单到复杂的各种类型，比如几何学、离散数学、抽象代数、微积分、概率论和数论等等。

数学奥林匹克竞赛的题目组成都很复杂，受到众多数学家的研究和完善。它们具有良好的提问思路、逻辑性和高度的严谨性，因此新出现的题目总是能够把现存的题目抛在脑后，而新的题目又以更高的难度来考验参赛者。

几何学是数学奥林匹克竞赛中最常见的题型。由于它的基本思想是“事物的形状与它们的比例关系”，所以它对参赛者的挑战程度不言而喻。参赛者需要在三维空间中找出图形的体积、表面积、曲线与角度等方面的解决方案。另外，一些高级的几何学题目会试探做定义参数、解方程和应用数学模型等，从而加大参赛者的挑战。

离散数学是数学奥林匹克竞赛中另一个常见的题型，其思路比较古老而又能把反复计算最小值和最大值的结果和游戏的结论结合起来。离散数学的题目一般都很有技巧，参赛者需要掌握一些离散数学的理论和方法，才能有效地分析抽象问题，找出有效的解决方案。

抽象代数是数学奥林匹克竞赛中另一个不可或缺的题型。它以对组合和结构特性进行研究为基础，让参赛者在给定的特定问题中，结合抽象代数的理论和元素，完成抽象的推理与证明，以达到有效地求解问题的目的。它不仅要求参赛者有数学素养，而且还要求参赛者具 - 2 - 备较高的抽象思维力，才能在抽象的领域里独立创新，寻求最佳的解决方案。

微积分，又称为数学分析，它具有一定的难度，但是数学奥林匹克竞赛中它依然广泛存在。微积分要求参赛者具备一定的解决问题的能力，以及对复杂函数和变量之间关系的把握，以便在时间关系、最优化问题和微分方程等领域中，寻找最优解。它对参赛者来说非常考验战略思维能力和深刻把握复杂理论的能力。

名次省、姓名性别学校1上海张盛桐男上海市上海中学2吉林于翔宇男吉大附中3安徽孟培坤男马鞍山二中3广东黄峄凡男广东广雅中学3湖北王逸轩男武钢三中6河北杨 远男石家庄二中6江苏韩 啸男南师附中6上海于奕清男华东师范大学第二附属中学6上海鲁一逍男上海市上海中学10湖北段明阳男华中师大一附中11北京赵浩宇男人大附中12广西唐珑珂男南宁市第二中学12北京贾泽宇男人大附中14北京孙 谦男人大附中14湖北傅颢硕男华中师大一附中16北京林一衡男人大附中16重庆郑 洋男重庆巴蜀中学16河北高瑞奇男石家庄二中16河南熊泽都男河南省实验中学16湖南江 朗男长沙市雅礼中学16上海黄小雨男上海市上海中学16四川卢维潇男成都七中16浙江李永亮男乐成寄宿中学24河南朱宇轩男郑州外国语学校24湖北严子恒男武钢三中24浙江吴雨航男宁波市镇海中学27辽宁梁宇辰男东北育才学校27四川方一杰男成都七中嘉祥外国语学校29北京尚正元男人大附中29广东吴天昊男深圳中学29湖北王云崧男黄冈中学第 31 届中国数学奥林匹克获奖名单一等奖(112 人)29湖北郑云汉男襄阳市四中29辽宁孟 响男大连第二十四中29陕西武江铮男西工大附中29天津赵川喆男天津一中36河北解 说女衡水中学36湖北叶胥达男黄冈中学36湖北张嘉琦女华中师大一附中36湖北冯多多男华中师大一附中36辽宁王 瑞男大连育明高中36四川叶 添男成都七中嘉祥外国语学校36浙江滕丁维男乐成寄宿中学43重庆罗子茗男重庆南开中学43福建吴林桐男厦门双十中学43广东曾 琳女华南师范大学附属中学43广东唐山茖男华南师范大学附属中学43贵州卜辰璟男贵阳一中43湖南宋政钦男湖南师大附属中学43湖南左都云男湖南师大附属中学43吉林张博渊男东北师大附中43江苏丁力煌男南京外国语学校43辽宁邓佳蕊女东北育才学校43辽宁孔繁浩男东北育才学校43辽宁苏海舰男辽宁省实验中学43山东贝泰睿男泰安一中43上海梅灵捷男复旦大学附属中学43上海高皓天男上海市上海中学43上海蒋诗琪女上海市上海中学43浙江张劲松男宁波市镇海中学43浙江俞志远男宁波市镇海中学61北京欧阳铭晖男人大附中61广东何天成男华南师范大学附属中学61河北张 祺男衡水中学61湖南邱 添男长沙市雅礼中学61吉林曲梓安男吉大附中61吉林孙伟舰男东北师大附中61上海庄子杰男上海市上海中学61上海顾思远男上海市上海中学61浙江贝思捷女宁波市镇海中学61浙江骆思腾男温州中学71广东郑含之女深圳中学71浙江周俊英男浙江省诸暨中学71浙江蔡天乐男杭州二中74海南郭义销男海南中学74湖南周文杰男湖南师大附属中学74湖南刘其灵男湖南师大附属中学74江苏李煦恒男江苏省扬州中学74山东刘 坤女山东临沂第一中学74上海李欣哲男华东师范大学第二附属中学74上海范峻昊男上海市上海中学74新疆李通宇男乌鲁木齐市第一中学82安徽潘文初男合肥一中82北京邱厚德男人大附中82湖南王文瑞男长沙市雅礼中学82四川陈绪高男成都七中82浙江林 可男温州中学87广东胡颀轩男深圳中学87海南林道哲男海南中学87黑龙江秦家琰男哈三中87黑龙江姜 岩男哈师大附中87吉林李政铎男东北师大附中87吉林郭 鹏男东北师大附中87江苏纪一博男南师附中87江西曾 奕男临川二中87辽宁梁子昂男大连第二十四中87四川彭 淏男成都七中87天津尹嘉晖男天津市耀华中学87浙江徐士奥男乐成寄宿中学87浙江朱峰谷男乐成寄宿中学87浙江黄贤凯男乐成寄宿中学101安徽张淞源男合肥一中101安徽张文昌男合肥一中101福建林 挺男福建师范大学附属中学101广东王迩东男华南师范大学附属中学101河北杨帅杰男石家庄二中101河北张 苏男衡水中学101湖南吴 茁男长沙市雅礼中学101湖南刘恺睿男长沙市雅礼中学101江西黄国正男鹰潭市第一中学101四川罗月桐男成都七中101天津袁弘睿男天津市耀华中学101浙江蔡湘泽男乐成寄宿中学二等奖(124 人)113安徽胡 杨男合肥一中113北京刘 睿男北师大实验中学113广东张心捷男华南师范大学附属中学113河南古家旗男郑州市第一中学113湖北刘鹏飞男武汉二中113湖南谭华为男长沙市长郡中学113湖南刘宇峰男长沙市雅礼中学113吉林王皞琪男东北师范大学附属中学113辽宁李笑东男大连第二十四中113陕西陈嘉昊男西安高新第一中学113陕西陈 煜女西安交大附中113浙江何陶然男杭州二中125北京李冬煜男十一学校125北京黄 巍男北师大实验中学125广东沈城烽男华南师范大学附属中学125广西叶展宏男柳州高级中学125湖南仝方舟男长沙市长郡中学125湖南陈裕丰男长沙市长郡中学125江苏侯霁开男江苏省天一中学125山东倪中一男青岛二中125浙江洪俊伟男温州育英国际实验学校134安徽方晗兵男安徽池州市东至二中134北京彭俊尧男人大附中134北京薛彦钊男人大附中134河北刘天乐男石家庄二中134黑龙江迟舒乘男哈三中134湖北叶文昊男华中师大一附中134湖北崔锦成男华中师大一附中134湖南李文斌男长沙市长郡中学134江西章宇哲男吉安一中134山东常静楠女聊城一中134山西钱晨亮男山西大学附属中学134陕西刘溪恒男西安高新第一中学134陕西侯明荣女西安高新第一中学134上海崔琦文男华东师范大学第二附属中学134四川刘俊松男四川省绵阳中学134天津崔圣宇男天津市南开中学150甘肃胡明源男西北师大附中150河北霍明佳女衡水中学150湖南李师铨男长沙市雅礼中学150吉林于子越男吉大附中150江苏朱煜晨男南京外国语学校150江苏严淳译男江苏省启东中学150江西陈峻松男吉安一中150山东赵俊焱男胜利一中150上海赵轶凡男华东师范大学第二附属中学150上海乐兆颖女华东师范大学第二附属中学150上海贡安琦女上海市上海中学150云南陈致远男云南师大附中150浙江朱民哲男宁波市镇海蛟川书院163安徽王恒屹男安庆一中163北京王啸辰男清华附中163福建叶子逸男厦门双十中学163广东童家宝男中山纪念中学163广东程佳文男深圳中学163湖南肖新宇男长沙市雅礼中学163江西余扬昊男江西师大附中163上海朱昦曈女上海市市北初级中学163新疆张泽安男乌鲁木齐市第一中学163浙江金理泽男杭州学军中学173北京王雪莹女人大附中173重庆王杰文男重庆南开中学173重庆瞿国一男重庆育才中学173福建李 昱男泉州第五中学173福建王明璋男晋江市养正中学173河北杨宇轩男邯郸一中173河南李元泽男郑州市第一中学173湖北范 威男武汉二中173吉林卢旭洋男吉大附中173吉林初炜康男吉大附中173江苏高轶寒女南京外国语学校173江苏杨志强男江苏省姜堰中学173江西卢 健男鹰潭市第一中学173山东李兆林男山东章丘四中173上海冷 涛男华东师范大学第二附属中学173四川刘鹏达男成都外国语学校173浙江肖逸南男杭州二中190北京许鹤凡男北京四中190福建王靖涛男厦门第一中学190甘肃宋德英女西北师大附中190河北李高瞻男石家庄二中190河北李冀维男石家庄二中190黑龙江黄 桢男哈三中190湖北宋英剑男襄阳市四中190四川钟梓源男成都七中198北京孙榕泽男人大附中198北京彭宇辰男北师大实验中学198重庆冯欣宇男重庆巴蜀中学198福建林虹灏男福州第一中学198广东卢瑞彬男华南师范大学附属中学198河南冯润康男郑州外国语学校198江西祝奇文男余江县第一中学198辽宁刘松昆男大连育明高中198辽宁任一诺男大连第二十四中198山东胡家琦男山东省莱芜市第一中学198四川向雍立男成都七中198天津李杰宇男天津南开中学198浙江罗 昊男宁波市镇海中学211福建陈宇凡男厦门双十中学211福建张雨荷女厦门双十中学211广东李 振男深圳外国语学校211广西莫家熙男南宁市第三中学211河南夏 燚男郑州市第一中学211河南黄珮伦男郑州市第一中学211湖北曾御柏男武汉二中211湖北赵乐祺女武钢三中211湖南易晓冬男长沙市第一中学211吉林张湛唯男东北师大附中211江苏吴 昊男江苏省常州高级中学211江苏李正辉男江苏省平潮高级中学211山西屈开儒女运城市康杰中学211陕西宋彦轲男西工大附中211陕西淮泽宇女西安交大附中211四川李为远女成都七中211天津穆禧龙男天津市南开中学211云南高敏博男云南师大附中211浙江苑之宇男杭州二中230北京周展平男人大附中230河南夏萌霏男郑州外国语学校230湖北孙上雯女武钢三中230江苏徐蔡博男江苏省启东中学230上海朱 峰男上海市上海中学230四川冯一倡男成都七中230四川陈奕宏男四川省南充高中三等奖(109 人)237广东齐文轩男深圳中学237贵州王崇宇男遵义市第一高级中学237河南李子健男安阳市第一中学237湖北郑建昊男黄冈中学237江西杨 铖男吉安一中237辽宁毕梦达男辽宁省实验中学237山西张天远男运城市康杰中学237陕西陈百良男西安铁一中237上海沈梓暘男复旦大学附属中学237四川邓心砚男成都七中247安徽于越韬男安徽淮北一中247河北倪行健男石家庄二中247江西蒋瑞辰男九江一中247江西彭 帆男吉安一中247辽宁梁玮达男大连第二十四中247上海徐可涵女上海市上海中学247四川宣涵潇男成都七中247天津李宇轩男天津市耀华中学247天津晏 妮女天津市耀华中学247天津王一然男天津市实验中学247云南徐 恺男云南师大附中258广东叶浩宇女深圳中学258河南梁嘉豪男郑州外国语学校258河南陈徐行男郑州市第一中学258湖北白宇川男华中师大一附中258湖南段剑儒男长沙市雅礼中学258吉林曲江明男东北师大附中258吉林陈 阳男吉大附中258内蒙古高 乾男呼和浩特市第二中学258宁夏寇金润男银川一中258宁夏王卓凡男银川一中258陕西唐家璇男西安高新第一中学258上海吴嘉诚男复旦大学附属中学258上海韩 笑男上海市市北初级中学273北京董 玥女清华附中273福建赖嘉琪女泉州第五中学273甘肃贺智桐男甘肃省兰州第一中学273广东刘 盼女华南师范大学附属中学273黑龙江李无为男大庆一中273湖北涂博威男华中师大一附中273湖南罗文林男湖南师大附属中学273辽宁李沛桐男东北育才学校273宁夏张兴昊男银川二中273四川杨鸿铭男成都七中273四川李奇颗男四川省南充高中273北京夏晨曦男北师大二附中273重庆龙利男重庆巴蜀中学273重庆覃移杭男重庆巴蜀中学273广西奉明璇男柳州高级中学273黑龙江王浩程男哈三中273黑龙江韩昊辰男哈师大附中273黑龙江史宇辰男哈师大附中273黑龙江毛宇鹏男大庆一中273吉林张天昊男吉大附中273吉林于 卓男东北师范大学附属中学273吉林于钟博男吉大附中273江西彭奕涛男南昌二中273江西彭逸凡男江西省景德镇一中273山东张浩哲男山东省实验中学273山西潘 杰男太原五中273陕西侯谷庾男西安高新第一中学273陕西吉宇轩男西安高新第一中学273陕西王一涵男西工大附中273四川马润杰男四川省绵阳中学273四川周 洋男四川省绵阳中学273天津李峪林男天津市耀华中学273天津于蕴晨女天津一中273西藏王一琪女西藏民大附中273新疆石宜民男乌鲁木齐市第七十中学273云南李筱航男云南师大附中309安徽王海涵男安徽淮北一中309北京卢丹葳女北师大实验中学309重庆宋金峰男重庆巴蜀中学309重庆廖铁犁男重庆南开中学309重庆席子涵男重庆南开中学309重庆曾俊齐男重庆南开中学309重庆孙鸿蕊女重庆南开中学309重庆邓嵎木男西南大学附属中学309重庆马辛宇男重庆一中309甘肃付泽邦男西北师大附中309甘肃王镜权男甘肃省兰州第一中学309广东邓海航男深圳市高级中学309贵州刘赞辉男贵阳一中309贵州武洪锐男贵阳一中309海南陈太毅男海南中学309海南冯思钦男海南中学309河北张俊豪男衡水中学309黑龙江滕 飞男大庆外国语学校309江苏马行宇男江苏省淮阴中学309内蒙古吴 涛男鄂尔多斯市一中309内蒙古于心蕊女赤峰四中309内蒙古丁 力男赤峰二中309宁夏石文江男固原一中309青海吴俊辰男青海湟川中学309青海王悦翔男青海湟川中学309青海桑宇晨男青海油田一中309青海肖睿轩男青海湟川中学309山东韩增瑞男山东省泰安第一中学309山西贾泽军男山西大学附属中学

A2 整数的求解

A2－001 哪些连续正整数之和为1000？试求出所有的解．

【题说】 1963年成都市赛高二二试题 3．

【解】 设这些连续正整数共n个（n＞1），最小的一个数为a，则有

a＋（a＋1）＋…＋（a＋n－1）＝1000

即

n（2a＋n－1）＝2000

若n为偶数，则2a＋n－1为奇数；若n为奇数，则2a＋n－1为偶数．因a≥1，故2a＋n－1＞n．

同，故只有n＝5，16，25，因此可能的取法只有下列三种：

若n＝5，则 a＝198；

若n＝16，则 a＝55；

若n＝25，则 a＝28．

故解有三种：

198＋199＋200＋201＋202

55＋56＋…＋70

28＋29＋…＋52

A2－002 N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是整数的四次方．

【题说】 第九届（1977年）加拿大数学奥林匹克题3．

【解】 设b为所求最小正整数，则

7b2＋7b＋7＝x4

素数7应整除x，故可设x＝7k，k为正整数．于是有

b2＋b＋1＝73k4

当k＝1时，（b－18）（b＋19）＝0．因此b＝18是满足条件的最小正整数．

A2－003 如果比n个连续整数的和大100的数等于其次n个连续数的和，求n．

【题说】 1976年美国纽约数学竞赛题 7．

s2－s1＝n2＝100

从而求得n＝10．

A2－004 设a和b为正整数，当a2＋b2被a＋b除时，商是q而余数是r，试求出所有数对（a，b），使得q2＋r＝1977．

【题说】 第十九届（1977年）国际数学奥林匹克题 5．本题由原联邦德国提供．

【解】 由题设a2＋b2＝q（a＋b）＋r（0≤r＜a＋b），q2＋r＝1977，所以

q2≤1977，从而q≤44．

若q≤43，则r＝1977－q2≥1977－432＝128．

即（a＋b）≤88，与（a＋b）＞r≥128，矛盾．

因此，只能有q＝44，r＝41，从而得