*作者:角狂风*
作品编号:1547510232155GZ579202
创作日期:2020年12月20日
实用文库汇编之初三数学九上压轴题难题提高题培优
题
一.解答题(共8小题)
1.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y轴于点M.
(1)求抛物线的表达式;
(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似(不包括全等)?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a >0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=OB=4,∠AOB=120°.(1)求这条抛物线的表达式;
(2)联结OM,求∠AOM的大小;
(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.
3.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A (2,0),B(6,0)两点,交y轴于点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交y轴于点E、F两点,求劣弧EF的长;
(3)P为此抛物线在第二象限图象上的一点,PG垂直于x轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1:2两部分?
4.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,﹣4),OB=2,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;(3)在此抛物线上,是否存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
5.已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(0,1),B (4,3).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)求tan∠ABO的值;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.
6.如图1,已知抛物线的方程C1:y=﹣(x+2)(x﹣m)(m>0)与
x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH 最小,求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F 为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
7.如图,已知抛物线y=x2﹣(b+1)x+(b是实数且b>2)与x
轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C.
(1)点B的坐标为,点C的坐标为(用含b的代数式表示);
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
8.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG 的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包
括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.
初三数学九上压轴题难题提高题培优题
参考答案与试题解析
一.解答题(共8小题)
1.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y轴于点M.
(1)求抛物线的表达式;
(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似(不包括全等)?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:由题意可知.解得.
∴抛物线的表达式为y=﹣.
(2)将x=0代入抛物线表达式,得y=1.∴点M的坐标为(0,1).设直线MA的表达式为y=kx+b,则.
解得.
∴直线MA的表达式为y=x+1.
设点D的坐标为(),则点F的坐标为().
DF=
=.
当时,DF的最大值为.
此时,即点D的坐标为().
(3)存在点P,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似.设P(m,).
在Rt△MAO中,AO=3MO,要使两个三角形相似,由题意可知,点P 不可能在第一象限.
①设点P在第二象限时,∵点P不可能在直线MN上,∴只能PN=3AN,∴,即m2+11m+24=0.解得m=﹣3(舍去)或
m=﹣8.又﹣3<m<0,故此时满足条件的点不存在.
②当点P在第三象限时,∵点P不可能在直线MA上,∴只能PN=3AN,
∴,即m2+11m+24=0.
解得m=﹣3或m=﹣8.此时点P的坐标为(﹣8,﹣15).
③当点P在第四象限时,若AN=3PN时,则﹣3,
即m2+m﹣6=0.
解得m=﹣3(舍去)或m=2.
当m=2时,.此时点P的坐标为(2,﹣).
若PN=3NA,则﹣,即m2﹣7m﹣30=0.
解得m=﹣3(舍去)或m=10,此时点P的坐标为(10,﹣39).
综上所述,满足条件的点P的坐标为(﹣8,﹣15)、(2,﹣)、(10,
﹣39).
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a >0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=OB=4,∠AOB=120°.(1)求这条抛物线的表达式;
(2)联结OM,求∠AOM的大小;
(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.
【解答】解:(1)如图,过点A作AD⊥y轴于点D,
∵AO=OB=4,
∴B(4,0).
∵∠AOB=120°,
∴∠AOD=30°,
∴AD=OA=2,OD=OA=2.
∴A(﹣2,2).
将A(﹣2,2),B(4,0)代入y=ax2+bx,得:作者:角狂风
作品编号:1547510232155GZ579202
创作日期:2020年12月20日
,解得:,
∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x;
(2)过点M作ME⊥x轴于点E,
∵y=x2﹣x=(x﹣2)2﹣,
∴M(2,﹣),即OE=2,EM=.
∴tan∠EOM==.
∴∠EOM=30°.
∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150°.
(3)过点A作AH⊥x轴于点H,
∵AH=2,HB=HO+OB=6,
∴tan∠ABH==.
∴∠ABH=30°,
∵∠AOM=150°,
∴∠OAM<30°,
∴∠OMA<30°,
∴点C不可能在点B的左侧,只能在点B的右侧.∴∠ABC=180°﹣∠ABH=150°,
∵∠AOM=150°,
∴∠AOM=∠ABC.
∴△ABC与△AOM相似,有如下两种可能:
①△BAC与∽△OAM,②△BAC与∽△OMA
∵OD=2,ME=,
∴OM=,
∵AH=2,BH=6,
∴AB=4.
①当△BAC与∽△OAM时,
由=得,解得BC=4.
∴C1(8,0).
②当△BAC与∽△OMA时,
由=得,解得BC=12.
∴C2(16,0).
综上所述,如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,
则点C的坐标为(8,0)或(16,0).
3.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A (2,0),B(6,0)两点,交y轴于点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交y轴于点E、F两点,求劣弧EF的长;
(3)P为此抛物线在第二象限图象上的一点,PG垂直于x轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1:2两部分?
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(2,0),B(6,0),;
∴,
解得;
∴抛物线的解析式为:;
(2)易知抛物线的对称轴是x=4,
把x=4代入y=2x,得y=8,
∴点D的坐标为(4,8);
∵⊙D与x轴相切,∴⊙D的半径为8;
连接DE、DF,作DM⊥y轴,垂足为点M;
在Rt△MFD中,FD=8,MD=4,
∴cos∠MDF=;
∴∠MDF=60°,
∴∠EDF=120°;
∴劣弧EF的长为:;
(3)设直线AC的解析式为y=kx+b;
∵直线AC经过点,
∴,
解得;
∴直线AC的解析式为:;
设点,PG交直线AC于N,则点N坐标为,
∵S
△PNA :S
△GNA
=PN:GN;
∴①若PN:GN=1:2,则PG:GN=3:2,PG=GN;
即=;
解得:m1=﹣3,m2=2(舍去);
当m=﹣3时,=;
∴此时点P的坐标为;
②若PN:GN=2:1,则PG:GN=3:1,PG=3GN;
即=;
解得:m1=﹣12,m2=2(舍去);
当m=﹣12时,=;
∴此时点P的坐标为;
综上所述,当点P坐标为或时,△PGA的面积被直线AC分成1:2两部分.
4.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,﹣4),OB=2,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;(3)在此抛物线上,是否存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)由OB=2,可知B(2,0),
将A(﹣2,﹣4),B(2,0),O(0,0)三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c,得
解得:
∴抛物线的函数表达式为.
答:抛物线的函数表达式为.
(2)由,
可得,抛物线的对称轴为直线x=1,
且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线,
连接AB交直线x=1于点M,M点即为所求.
∴MO=MB,则MO+MA=MA+MB=AB
作AC⊥x轴,垂足为C,则AC=4,BC=4,∴AB=
∴MO+MA的最小值为.
答:MO+MA的最小值为.
(3)①若OB∥AP,此时点A与点P关于直线x=1对称,
作者:角狂风
作品编号:1547510232155GZ579202
创作日期:2020年12月20日
由A(﹣2,﹣4),得P(4,﹣4),则得梯形OAPB.
②若OA∥BP,
设直线OA的表达式为y=kx,由A(﹣2,﹣4)得,y=2x.
设直线BP的表达式为y=2x+m,由B(2,0)得,0=4+m,即m=﹣4,∴直线BP的表达式为y=2x﹣4
由,解得x1=﹣4,x2=2(不合题意,舍去)
当x=﹣4时,y=﹣12,∴点P(﹣4,﹣12),则得梯形OAPB.
③若AB∥OP,
设直线AB的表达式为y=kx+m,则,
解得,∴AB的表达式为y=x﹣2.
∵AB∥OP,
∴直线OP的表达式为y=x.
由,得x2=0,解得x=0,
(不合题意,舍去),此时点P不存在.
综上所述,存在两点P(4,﹣4)或P(﹣4,﹣12)
使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形.
答:在此抛物线上,存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四
边形是梯形,点P的坐标是(4,﹣4)或(﹣4,﹣12).
5.已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(0,1),B (4,3).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)求tan∠ABO的值;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.
【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(0,1),B (4,3),
∴,
解得,
所以,抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+1;
(2)如图,过点B作BC⊥x轴于C,过点A作AD⊥OB于D,
∵A(0,1),B (4,3),
∴OA=1,OC=4,BC=3,
根据勾股定理,OB===5,
∵∠OAD+∠AOD=90°,∠AOD+∠BOC=90°,
∴∠OAD=∠BOC,
又∵∠ADO=∠OCB=90°,
∴△AOD∽△OBC,
∴==,
即==,
解得OD=,AD=,
∴BD=OB﹣OD=5﹣=,
∴tan∠ABO===;
(3)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b是常数),
则,
解得,
所以,直线AB的解析式为y=x+1,
设点M(a,﹣a2+a+1),N(a,a+1),
则MN=﹣a2+a+1﹣a﹣1=﹣a2+4a,
∵四边形MNCB为平行四边形,
∴MN=BC,
∴﹣a2+4a=3,
整理得,a2﹣4a+3=0,
解得a1=1,a2=3,
∵MN在抛物线对称轴的左侧,抛物线的对称轴为直线x=﹣=,
∴a=1,
∴﹣12+×1+1=,
∴点M的坐标为(1,).
6.如图1,已知抛物线的方程C1:y=﹣(x+2)(x﹣m)(m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH 最小,求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F 为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)将x=2,y=2代入抛物线的解析式得:﹣×4×(2
﹣m)=2,
解得:m=4,
经检验:m=4是分式方程的解.
∴m的值为4.
(2)y=0得:0=﹣(x+2)(x﹣m),解得x=﹣2或x=m,
∴B(﹣2,0),C(m,0).
由(1)得:m=4,
∴C(4,0).
将x=0代入得:y=﹣×2×(﹣m)=2,
∴E(0,2).
∴BC=6,OE=2.
∴S
=BC?OE=×6×2=6.
△BCE
(3)如图1所示:连接EC交抛物线的对称轴于点H,连接BH,设对称轴与x轴的交点为P.
∵x=﹣,
∴抛物线的对称轴是直线x=1.
∴CP=3.
∵点B与点C关于x=1对称,
∴BH=CH.
∴BH+EH=EH+HC.
∴当H落在线段EC上时,BH+EH的值最小.
∵HP∥OE,
∴△PHC∽△EOC.
∴,即.解得HP=.
∴点H的坐标为(1,).
(4)①如图2,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x
轴于F′.
∵BF∥EC,
∴∠BCE=∠FBC.
∴当,即BC2=CE?BF时,△BCE∽△FBC.
设点F的坐标为(x,﹣(x+2)(x﹣m)),由,得
.
作者:角狂风
作品编号:1547510232155GZ579202
创作日期:2020年12月20日
解得x=m+2.
∴F′(m+2,0).
∵∠BCE=∠FBC.
∴,得,解得:.
又∵BC2=CE?BF,
∴,整理得:0=16.此方程无解.
②如图3,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,