微积分-§2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数

h tan 500
两边对 t 求导

500
h
得： sec2 d 1 d h d t 500 d t
h = 500m 时, tan 1 , sec2 1 tan 2 2
d 1 1 140 d t 2 500
( rad/ min )
上顶直径8米的圆锥形容器中， 12. 水注入深8米，
解
两边取对数， 化为隐式 1 ( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
方程两边对x求导得
1 1 1 1 1 y 2 1 y x 1 3 x 1 x4
y x x x
解
x
xx
y ( x ) ( x ) ( x
d y
d x 2 dx x dx
2
y y
dy x y dx x y

(1 y )( x y ) ( x y )(1 y ) ( x y )2 2 xy 2 y ( x y)
2

2
x ( x y ) y( x y ) ( x y )3
解
方程两边对x求导得
1 y 1 y 2 x x

1 x y
2 2
( x 2 y 2 )

x
2
2
x y
2
yx y
x
2

1 x y
2 2

2 x 2 y y
2 x2 y2
yx y x yy dy x y dx x y

( t )
( t )
( t ) d x 1 dx d x d t ( t ) dy d t dy d t dy dt

的隐函数，则 F[ x, y( x)] 0 ( x D)；
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
2021/4/22
2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
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结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
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例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
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f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x

例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 消去参数 t 2
y t2
( x)2 2
x2 4
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
15
在方程
x y
(t (t
)中, )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t 1( x), y [ 1( x)]
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
当2<x<3时, y
( x 1)(x 2) (3 x)(4 x)
用同样的方法可得与上面相同的结果.
13
例8 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解： 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
25
布置作业
P111 习题2-4 1（3）, 3（2）; 4（3），6.
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解出 y
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
将y回代
11
例7 求
y ( x 1)(x 2) ( x 3)(x 4)
的导数
解：两边取对数 (假定 x>4 ), 得
ln y 1 [ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)] 2
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解 设气球上升t秒后, 其高度为h, 观察员视线
的仰角为 , 则
tan h
500 上式两边对t求导得
sec2 d 1 dh
dt 500 dt
500米 h
500米
tan 1, 1 tan2 sec2 .

例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x
把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出.
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例1 求由方程eyxye0所 例2 求由方程y52yx3x70 确定的隐函数y的导数 所确定的隐函数yf(x)在 解 方程中每一项对x求导得 x0处的导数y|x0
d 1 dh sec d t 500 d t
2
h
sec 2 1 tan 2
dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 d t 2 500
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主讲人： 苏本堂
二、由参数方程所确定的函数的导数
x j (t ) 设 y 与 x 的函数关系是由参数方程 确定的 y y (t ) 设xj(t)具有反函数tj-1(x) 且tj-1(x)与yy(t)构成 复合函数yy[j-1(x)] 若xj(t)和yy(t)都可导 则
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主讲人： 苏本堂
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
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例5 求yx sin x (x>0)的导数 解法一 两边取对数 得 ln ysin xln x