§3-2 自适应均衡技术(Adaptive Equalization Techniques)
Review ：分集有哪两层含义？合并的方式有哪几种？各自的基本思想是什么？分集是如何分类的？
一、均衡基础（Fundamentals of Equalization ）
====》 如何补偿信道的多径衰落？
均衡本质：产生与信道相反的特性，用来抵消信道的时变多径传播特性引起的码间串扰。均衡不用增加传输功率和带宽，即可改善移动通信链路的传输质量。均衡重在消除码间串扰，而分集重在消除深度衰落的影响。
均衡适用于信号不可分离多径且时延扩展远大于符号宽度的情况。
均衡有两个基本途径：
1、频域均衡，它使包括均衡器在内的整个系统的总传输函数满足无失真传输的条件(即H(w)=1)。它往往是分别校正幅频特性和群时延特性，模拟通信（序列均衡）通常采用这种频域均衡法。
2、时域均衡，就是直接从时间响应考虑，使包括均衡器在内的整个系统的冲激响应满足无码间串扰的条件(即h(t)=)(t δ)。数字移动通信面临的信号是时变信号，因此通常采用这种时域均衡法，来达到整个系统无码间串扰。随着码率的提高，时域均衡愈来愈复杂，研究热点逐步转入频域均衡。
均衡器常被放在接收机的基带或中频部分实现
二、均衡原理
图3-8 均衡器的实现框图
如果x (t )是原始基带号，f (t )是等效的基带冲激响应，即综合反映了发射机、信道和接
收机的射频、中频部分的总的传输特性，g (t )是发射机、信道、接收机的射频、中频部分和均衡器四者的等效冲激响应。
均衡器的期望输出值为原始信息x (t )。假定n b (t )= 0，则g (t )必须满足下式：
)()()()(t t h t f t g eq δ=⊗=-------（3-8）
其频域表达式如下：1)()(=f F f H eq -------（3-9）
式（3-9）的物理意义：将经过信道后的信号中频率衰落大的频谱部分进行增强，衰落小的部分进行削弱，以使所收到频谱的各部分衰落趋于平坦，相位趋于线性。均衡器实际上是传输信道的反向滤波器。
由于理想基带传输系统是按Nyquist 第一准则建立，其发送和接收滤波的传输函数是以Nyquist 取样频率fs 为中心的对称滚降函数。所以理想信道的冲击响应是h(t)，非理想（失真）信道的冲击响应是f(t) ，见下图3-9。
图3-9 信道失真和信道均衡
h （t ）为理想的冲激响应,在Nyquist 取样时刻，h （kTn ）=0（k ≠0）。
f （t ）在Nyquist 取样时刻，f （kTn ）≠0（k ≠0），从而形成码间串扰。
时域均衡的目的就是使经过均衡器的总冲激响应趋近h （t ），以到达消除非理想信道引起的码间串扰。
三、时域均衡原理
若x(t)是均衡器接收信号的脉冲响应，而z(t)是经过均衡器输出的总脉冲响应，则有： ⎰-=t eq d t h x t z 0)()()(τττ=τττ⎰-t
eq d h t x 0)()(
其中，heq （t ）是均衡器的脉冲响应。若令heq （t ）为：∑-=-=
N
N k k eq kT t C t h )()(δ 其中T=1/f N ，f N 为Nyquist 取样频率，C k 为加权系数。所以总脉冲响应可写为：
∑-=-=
N N k k kT t x C t z )()(
可见，引入均衡器后，输出波形z(t)为输入波形x(t)经过2N+1个不同时延的加权和。当t =nT 时，有∑-=-=
N N k k T k n f C nT z ))(()(或简写为∑-=-=N N k k n k n x C z 。
式中k n x -表示以n 为中心，前面第k 个符号在取样时刻t=nT 时对第n 个符号造成的码间串扰。所以均衡的过程就是调节加权系数C k (k ≠0)使00==
∑≠-=-N k N k k n k n f C z -----------------------------------（3-10）
问题：（1）如何产生系数序列{C k }？====》均衡器的主要工作，即各种均衡算法。
（2）如何使得{C k }随信道变化而变化？====》自适应均衡算法。
四、自适应均衡算法与准则( Equalization Algorithms and Criterions)
依据符号间干扰为最小，来调节加权系数k c （k ≠0）的算法，叫均衡算法，其依据的准则叫均衡准则。算法一般要求考虑自适应，即包括两步，第一：滤波过程，计算输出对输入信号的响应；第二：自适应过程，通过比较输出结果与期望响应产生估计误差，根据估计误差自动调整滤波器的参数。
自适应算法的性能指标(The Performance of An Algorithm)
⏹ 收敛速度:系指对于恒定输入，当迭代算法的迭代结果已经充分接近最优解
时，算法所需的迭代次数。
⏹ 失调：对自适应滤波器取总平均的均方差的终值与最优的最小均方差之间的
差距。
⏹ 计算复杂度：完成迭代次数所需的操作次数。
⏹ 数值特性：当算法以数字逻辑实现时，由于噪声和计算机中数字表示引入的
舍入误差，会导致计算的不精确。
均衡准则：最小峰值失真准则和最小均方误差准则。
⏹ 最小峰值失真准则：使干扰的峰值最小，消除取样点的符号干扰。
最小均方误差准则（LMS ）：使均衡器期望输出值d k 与实际输出值k
d ˆ的误差
e k =d k -k
d ˆ的均方值最小，使输出趋于理想的响应。 算法的基本思想:利用代价函数都是凹面向上的特点，寻找最小值。通常的求解算法是将代价函数D 对Ci 求导数，使导数为0，从而得到最佳Ci 值和Ci 的迭代公式，用于更新抽头系数。以下介绍三种常用的算法
1、 迫零算法
基本思想：应调整抽头系数Cn ，使信道和均衡器组合冲击响应的抽样值在间隔T N 的取样点除一个外全部为零。即),,2,1(0N k x C d N k i N i i k i k ±±±===∑≠-=-∧
迭代算法：一般的，为确定迫使码间串扰为零的抽头系数，需要解2N+1个联立方程。基于数学上可以证明“调整抽头系数的任何迭代法都能使干扰的峰值最小”的结论，求出实用抽头系数的方法：
新权重=原先权重 + 常数*预测误差*当前输入向量，即
)
,,2,1()(
)1(
N n I e C C j n n n j n j ±±±=+=-+ α---------------------------------------------
（3-11） 其中预测误差n e =期望输出值－预测输出值；a 是控制收敛速率和算法稳定性的步长。 通常要通过训练序列来调整均衡器权重（即抽头系数），在训练阶段之后，均衡器的抽头系数收敛到最佳值。再继续系数的自适应调整，采用一种简单的递推算法：
),,2,1()(
)1(
N n d e C C j n n n j n j ±±±=+=-+ α----------------------------------------（3-12）
2、最小均方算法(LMS ：least mean square)
基本思想：使均衡器的期望输出值和实际输出值之间的均方误差(MSE ：E[)(2
n e ])最小化。
性能：①干扰噪声越大，则失调噪声就越大。减小步长，可减小稳态失调噪声，提高算法的收敛精度。②变步长调整原则是：在初始收敛阶段或者未知系统参数发生变化时，步长应比较大，以便有较快的收敛速度和对时变系统的跟踪速度；而在算法收敛后，不管输入端干扰信号有多大，都应保持很小的调整步长以达到很小的稳态失调噪声。③不足之处：梯度LMS 算法的收敛速度是很慢的，特别是当输入协方差矩阵R NN 的特征值相差较大，即
