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2014-2015年北京市海淀区九年级上学期期中数学试卷及答案

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2014-2015学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）如图图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x﹣1）2+13．（4分）袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球．下面说法正确的是（）A．这个球一定是黑球B．这个球一定是白球C．“摸出黑球”的可能性大D．“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大4．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0时，配方后得到的方程为（）A．（x﹣1）2=4 B．（x﹣1）2=﹣4 C．（x+1）2=4 D．（x+1）2=﹣45．（4分）如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，则的长为（）A．B． C． D．6．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（）A．29°B．31°C．59°D．62°7．（4分）已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=3 8．（4分）如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与A，B重合），过C 作AB的垂线交半圆于点D，以点D，C，O为顶点作矩形DCOE．若AB=10，设AC=x，矩形DCOE的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是．10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为．11．（4分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N （x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）12．（4分）如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB．∠CAE=15°且AE=AC，连接GE．将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则∠CAF的度数为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）解方程：x2+3x﹣1=0．14．（5分）如图，∠DAB=∠EAC，AB=AD，AC=AE．求证：BC=DE．15．（5分）已知二次函数的图象经过点（0，1），且顶点坐标为（2，5），求此二次函数的解析式．16．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．17．（5分）若x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2=0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．18．（5分）某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）如图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有天；（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．20．（5分）已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x﹣3=0（a≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．21．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF 的延长线上，∠D=∠G=30°．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．22．（5分）阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|=2，=，=，所以数列2，﹣1，3的价值为．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为；（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为，取得价值最小值的数列为（写出一个即可）；（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；=15时，求该抛物线的表达式；（2）当S△ABC（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y=kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于﹣8，求k的取值范围．24．（7分）将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．（1）连接BD，①如图1，若α=80°，则∠BDC的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限．以P 为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交⊙P于点B（m，n），其中m≥0．（1）若b=5，则点A坐标是；（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；（3）若点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，且△BQP是等腰三角形．①直接写出实数a的取值范围：；②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为，并求出此时点B 的坐标．2014-2015学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）如图图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：B．2．（4分）将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x﹣1）2+1【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向上平移1个单位得到的点的坐标为（0，1），所以所得到的抛物线的解析式为y=x2+1．故选：A．3．（4分）袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球．下面说法正确的是（）A．这个球一定是黑球B．这个球一定是白球C．“摸出黑球”的可能性大D．“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大【解答】解：∵布袋中有除颜色外完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，∴从布袋中随机摸出一个球是黑球的概率为=，摸出一个球是白球的概率为=，∴摸出黑球”的可能性大；故选：C．4．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0时，配方后得到的方程为（）A．（x﹣1）2=4 B．（x﹣1）2=﹣4 C．（x+1）2=4 D．（x+1）2=﹣4【解答】解：把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4，配方得（x﹣1）2=4．故选：A．5．（4分）如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，则的长为（）A．B． C． D．【解答】解：如图所示：∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，∴∠AOB==72°，∴的长为：=π．故选：D．6．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（）A．29°B．31°C．59°D．62°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=59°，∴∠A=90°﹣∠ABD=31°，∴∠C=∠A=31°．故选：B．7．（4分）已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=3【解答】解：∵二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的一个根是x=1．∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的另一根是t．∴1+t=4，解得t=3．即方程的另一根为3．故选：D．8．（4分）如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与A，B重合），过C 作AB的垂线交半圆于点D，以点D，C，O为顶点作矩形DCOE．若AB=10，设AC=x，矩形DCOE的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意结合图形，分情况讨论：如图，①当点C在半径OA上时，连接AD、BD；∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB=90°，而DC⊥AB，∴DC2=AC•BC，而AC=x，BC=10﹣x，∴DC=，而OC=5﹣x，∴y=（5﹣x）；②当点C在半径OB上，即点C′的位置时，同理可求：y=（x﹣5），综上所述，y与x的函数关系式为：y=．所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示．故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是5．【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB=PA=5，故答案为：5．10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为4．【解答】解：根据题意得△=（﹣4）2﹣4k=0，解得k=4．故答案为4．11．（4分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N （x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 ＞y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）【解答】解：由y=x2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，∴2＜﹣x1＜4，∴y1＞y2．12．（4分）如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB．∠CAE=15°且AE=AC，连接GE．将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则∠CAF的度数为30°或60°．【解答】解：∵线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，∴AE=AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵AG=AB，∴AD=AG，在△AGE和△ADF中，，∴△AGE≌△ADF（SSS），∴∠DAF=∠CAE=15°，∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠CAD=45°，点F在AD的下方时，∠CAF=∠CAD﹣∠DAF=45°﹣15°=30°，点F在AD的上方时，∠CAF=∠CAD+∠DAF=45°+15°=60°，综上所述，∠CAF的度数为30°或60°．故答案为：30°或60°．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）解方程：x2+3x﹣1=0．【解答】解：这里a=1，b=3，c=﹣1，∵△=9+4=13，∴x=，则x1=，x2=．14．（5分）如图，∠DAB=∠EAC，AB=AD，AC=AE．求证：BC=DE．【解答】证明：∵∠DAB=∠EAC，∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，∴∠DAE=∠BAC，在△BAC和△DAE中，∴△BAC≌△DAE，∴BC=DE．15．（5分）已知二次函数的图象经过点（0，1），且顶点坐标为（2，5），求此二次函数的解析式．【解答】解：设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+5，把（0，1）代入解析式得，1=a（0﹣2）2+5，解得a=﹣1，则抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+1．16．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ABC=130°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°，∴∠AOC=2∠ADC=100°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°．17．（5分）若x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2=0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．【解答】解：依题意，得1﹣4m+2m2=0，∴2m2﹣4m=﹣1，∴2（m﹣1）2+3=2（m2﹣2m+1）+3=2m2﹣4m+5=﹣1+5=4．即2（m﹣1）2+3=4．18．（5分）某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？【解答】解：设每期减少的百分率为x，根据题意得：450×（1﹣x）2=288，解得：x1=1.8（舍去），x2=0.2解得x=20%．答：每期减少的百分率是20%．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）如图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有3天；（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．【解答】解：（1）根据统计图可得：空气质量指数大于200的有5日、8日、15日，共3天；故答案为：3．（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等，==．由图可知，其中有9天空气质量优良，则P（到达当天空气质量优良）20．（5分）已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x﹣3=0（a≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．【解答】解：（1）∵a≠0，∴原方程为一元二次方程．∴△=（a﹣3）2﹣4×a×（﹣3）=（a+3）2．∵（a+3）2≥0．∴此方程总有两个实数根．（2）解原方程，得x1=﹣1，x2=．∵此方程有两个负整数根，且a为整数，∴a=﹣1或﹣3．∵x1=﹣1，x2=．∴a≠﹣3．∴a=﹣1．21．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF 的延长线上，∠D=∠G=30°．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵OC=OD，∠D=30°，∴∠OCD=∠D=30°．∵∠G=30°，∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°．∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．∴OC⊥CG．又∵OC是⊙O的半径．∴CG是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=3．∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．设EO=x，则CO=2x．∴（2x）2=x2+32．解得x=（舍负值）．∴CO=2．∴FO=2．在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，∴GO=2CO=4．∴GF=GO﹣FO=2．22．（5分）阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|=2，=，=，所以数列2，﹣1，3的价值为．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为；（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为，取得价值最小值的数列为﹣3，2，﹣4；或2，﹣3，﹣4．（写出一个即可）；（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为11或4或7或10．【解答】解：（1）因为|﹣4|=4，||=3.5，||=，所以数列﹣4，﹣3，2的价值为．（2）数列的价值的最小值为||=，数列可以为：﹣3，2，﹣4，；或2，﹣3，﹣4．（3）当||=1，则a=0，不合题意；当||=1，则a=11或7；当||=1，则a=4或10．故答案为：；，﹣3，2，﹣4，；或2，﹣3，﹣4；11或4或7或10．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；=15时，求该抛物线的表达式；（2）当S△ABC（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y=kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于﹣8，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点，∴令y=0，即x2﹣（m﹣1）x﹣m=0，解得：x1=﹣1，x2=m，又∵点A在点B左侧，且m＞0，∴点A的坐标为（﹣1，0）；（2）由（1）可知点B的坐标为（m，0），∵抛物线与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣m），∵m＞0，∴AB=m+1，OC=m，=15，∵S△ABC∴m（m+1）=15，即m2+m﹣30=0，解得：m=﹣6或m=5，∵m＞0，∴m=5；则抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5；（3）由（2）可知点C的坐标为（0，﹣5），∵直线l：y=kx+b（k＜0）经过点C，∴b=﹣5，∴直线l的解析式为y=kx﹣5（k＜0），∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为﹣9，不符合题意；当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于﹣8，令y=﹣8，即x2﹣4x﹣5=﹣8，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=3，∴抛物线经过点（3，﹣8），当直线y=kx﹣5（k＜0）经过点（3，﹣8）时，可求得k=﹣1，由图象可知，当﹣1＜k＜0时新函数的最小值大于﹣8．24．（7分）将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．（1）连接BD，①如图1，若α=80°，则∠BDC的度数为30°；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．【解答】解：（1）①∵线段AC，AD由AB旋转而成，∴AB=AC=AD．∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．∴∠BDC=∠BAC=30°．故答案为：30°．②不改变，∠BDC的度数为30°．方法一：由题意知，AB=AC=AD．∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．∴∠BDC=∠BAC=30°．方法二：由题意知，AB=AC=AD．∵AC=AD，∠CAD=α，∴∠ADC=∠C==90°﹣α．∵AB=AD，∠BAD=60°+α，∴∠ADB=∠B===60°﹣α．∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=（90°﹣α）﹣（60°﹣α）=30°．（2）过点AM⊥CD于点M，连接EM．∵∠AMD=90°，∴∠AMC=90°．在△AEB与△AMC中，，∴△AEB≌△AMC（AAS）．∴AE=AM，∠BAE=∠CAM．∴∠EAM=∠EAC+∠CAM=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°．∴△AEM是等边三角形．∴EM=AM=AE．∵AC=AD，AM⊥CD，∴CM=DM．又∵∠DEC=90°，∴EM=CM=DM．∴AM=CM=DM．∴点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上．∴α=∠CAD=90°．25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限．以P 为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交⊙P于点B（m，n），其中m≥0．（1）若b=5，则点A坐标是（0，10）；（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；（3）若点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，且△BQP是等腰三角形．①直接写出实数a的取值范围：a≥1；②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为，并求出此时点B的坐标．【解答】解：（1）过点P作PH⊥OA于点H，∴OA=2OH，∵b=5，∴OH=5，∴OA=10，∴点A坐标是（0，10）．故答案为：（0，10）．（2）连接BP、OP．∵b=5，PH⊥OA，∴OH=AH=5．∵OQ=8，∴QH=OQ﹣OH=3．在Rt△QHP中，PQ2=QH2+PH2=9+PH2，在Rt△PHO中，PO2=OH2+PH2=25+PH2=BP2，在Rt△BQP中，BQ2=BP2﹣PQ2=（25+PH2）﹣（9+PH2）=16．∴BQ=4．（3）①∵点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，∴b=a2，当Q与H重合时，易知a=b=1，∴a≥1，故答案为：a≥1；②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为，理由如下：∵△BQP是等腰直角三角形，PQ=，∴半径BP=2．又∵P（a，a2），∴OP2=a2+a4=（2）2．即a4+a2﹣20=0．解得a=±2．∵a＞0∴a=2．∴P（2，4）．如图，作BM⊥y轴于点M，则△QBM≌△PQH．∴MQ=PH=2，∴MB=QH==．∴B1（，6+）．若点Q在OH上，由对称性可得B2（，2﹣）综上，当PQ=时，B点坐标为（，6+）或（，2﹣）．。

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北京市海淀区 九年级数学上册 期中试题含答案【精品】

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初三第一学期期中学业水平调研数学2017.11学校班级___________姓名成绩 一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．一元二次方程3610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，6，1B ．3，6，1-C ．3，6-，1D ．3，6-，1-2．把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．21y x =-+D ．21y x =--3．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C =35°，则∠AOB 的大小为 A ．35° B ．55° C ．65°D ．70°4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是A B C D 5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是 A ．()222x -= B ．()222x +=C ．()222x -=-D ．()226x -=6．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．1207．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+的图象如图所示，则满足2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是A ．30x -<<B ．3x <-或0x >C ．3x <-或1x >D ．03x <<8．如图1，动点P 从格点A 出发，在网格平面内运动，设点P 走过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d . 已知d 与s 的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P 的运动路线的是ABC Dlllll二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P （1-，2）关于原点的对称点的坐标为________． 10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的 表达式：________．11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 的延长线上一点． 若∠B =110°，则∠ADE 的大小为________．12．抛物线21y x x =--与x 轴的公共点的个数是________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别 为（0，2），（1-，0），将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若 点A 的对应点A '的坐标为（2，0），则点B 的对应点B '的 坐标为________．14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4)y -，，2(1)y ，，则1y ________2y （填“＞”，“=”，或“＜”）．15．如图，⊙O 的半径OA 与弦BC 交于点D ，若OD =3，AD =2，BD =CD ，则BC 的长为________．16．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是_______________________________________________．三、解答题（本题共72分，第17题4分，第18~23题，每小题5分，第24~25题，每小题7分，第26~ 28题，每小题8分） 17．解方程：2430x x -+=．18．如图，等边三角形ABC 的边长为3，点D 是线段BC 上的点，CD =2，以AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE ．求CE 的长．19．已知m 是方程2310x x -+=的一个根，求()()()2322m m m -++-的值．20．如图，在⊙O 中，»»AB CD =．求证：∠B =∠C ．EB D CA21．如图，ABCD 是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG 的形状，其中点E 在AB 边上，点G 在AD 的延长线上，DG =2BE ．设BE 的长为x 米，改造后苗圃AEFG 的面积为y 平方米．（1）y 与x 之间的函数关系式为_____________________（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG 的面积与原正方形苗圃ABCD 的面积相等，请问此时BE 的长为多少米？22．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得120x x =成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．E23．古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”． 以21039x x +=为例，花拉子米的几何解法如下： 如图，在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为x 和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补 成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()2________39x +=+，从而得到此方程的正根是________．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，0），点P 的横坐标为2，将点A绕点P 旋转，使它的对应点B 恰好落在x 轴上（不与合）；再将点B 绕点O 逆时针旋转90°得到点C ． （1）直接写出点B 和点C 的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式．25．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点O 作O于点D ，CD ∥AB ．（1）求证：E 为OD 的中点；（2）若CB =6，求四边形CAOD 的面积．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：244y x x =-+和直线l ：2(0)y kx k k =->．（1）抛物线C 的顶点D 的坐标为________； （2）请判断点D 是否在直线l 上，并说明理由；55 5x x xx 5（3）记函数2442,22x x x y kx k x ⎧-+≤=⎨->⎩，，的图象为G ，点(0,)M t ，过点M 垂直于y 轴的直线与图象G 交于点11()P x y ，，22()Q x y ，．当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，结合图象，求k 的取值范围．27．对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≤，则称1d 为点P 的“引力值”；若12d d >，则称2d 为点P 的“引力值”．特别地，若点P 在坐标轴上，则点P 的“引力值”为0．例如，点P （2-，3）到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，因为23<，所以点P 的“引力值”为2．（1）①点A （1，4-）的“引力值”为________； ②若点B （a ，3）的“引力值”为2，则a 的值为________；（2）若点C 在直线24y x =-+上，且点C 的“引力值”为2，求点C 的坐标；（3）已知点M 是以D （3，4）为圆心，半径为2的圆上的一个动点，那么点M 的“引力值”d 的取值范围是．28．在Rt △ABC 中，斜边AC 的中点M 关于BC 的对称点为点O ，将△ABC 绕点O 顺时针旋转至△DCE ，连接BD ，BE ，如图所示．（1）在①∠BOE ，②∠ACD ，③∠COE 中，等于旋转角的是________（填出满足条件的的角的序号）；（2）若∠A =α，求∠BEC 的大小（用含α的式子表示）；（3）点N 是BD 的中点，连接MN ，用等式表示线段MN 与BE 之间的数量关系，并证明．初三第一学期期中学业水平调研数学参考答案2017．11一、选择题（本题共24分，每小题3分）9．（1，2-） 10．答案不唯一，例如2y x = 11．110° 12．2ED NMB CA13．（0，1）14．＞15．816．①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线．（注：写出前两个即可给3分，写出前两个中的一个得2分，其余正确的理由得1分） 三、解答题（本题共72分） 17．解法一：解：2441x x -+=，()221x -=，………………2分21x -=±，11x =，23x =．………………4分解法二：解：()()130x x --=，………………2分 10x -=或30x -=，11x =，23x =．………………4分 18．解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =BC =AC ，∠BAC =60°. ∴∠1+∠3=60°.………………1分 ∵△ADE 是等边三角形， ∴AD =AE ，∠DAE =60°. ∴∠2+∠3=60°.………………2分 ∴∠1=∠2.在△ABD 与△ACE 中12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）. ∴CE =BD .………………4分 ∵BC =3，CD =2， ∴BD =BC -CD =1.∴CE =1．………………5分321EDCBA19．解：∵m 是方程2310x x -+=的一个根，∴2310m m -+=.………………2分 ∴231m m -=-.∴原式22694m m m =-++-………………4分()2235m m =-+3=．………………5分20．方法1：证明：∵在⊙O 中，»»AB CD =， ∴∠AOB =∠COD .………………2分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴在△AOB 中，1902B AOB ∠=︒-∠，在△COD 中，1902C COD ∠=︒-∠.………………4分 ∴∠B =∠C ．………………5分方法2：证明：∵在⊙O 中，»»AB CD =， ∴AB =CD .………………2分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴△AOB ≌△COD （SSS ）.………………4分 ∴∠B =∠C ．………………5分21．解：（1）22416y x x =-++（或()()442y x x =-+）………………3分（2）由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得2241616x x -++=. 解得：12x =，20x =（不合题意，舍去）.………………5分 答：此时BE 的长为2米. 22．解：（1）∵方程()222110xm x m +-+-=有两个不相等的实数根，∴()()224141880m m m ∆=---=-+>，∴1m <．………………2分（2）存在实数m 使得120x x =.120x x =，即是说0是原方程的一个根，则210m -=.………………3分解得：1m =-或1m =.………………4分当1m =时，方程为20x =，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去． ∴1m =-．………………5分23．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()25 x +………………1分39 25 =+………………3分从而得到此方程的正根是 3 ．………………5分24．（1）点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3）；………………2分 （2）方法1：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++. 因为它经过A （1，0），B （3，0），C （0，3），则0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩………………4分 解得1,4,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩………………6分∴ 经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分 方法2：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），故可设其表达式为(1)(3)(0)y a x x a =--≠. ………………4分因为点C （0，3）在抛物线上，所以()()01033a --=，得1a =.………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分 方法3：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），则其对称轴为2x =. 设抛物线的表达式为()22y a x k =-+.………………4分将A （1，0），C （0，3）代入，得0,4 3.a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,1.a k =⎧⎨=-⎩………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分25．（1）证明：∵在⊙O 中，OD ⊥BC 于E ， ∴CE =BE .………………1分 ∵CD ∥AB ，∴∠DCE =∠B .………………2分 在△DCE 与△OBE 中,,.DCE B CE BE CED BEO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DCE ≌△OBE （ASA ）. ∴DE =OE .∴E 为OD 的中点．………………4分（2）解： 连接OC .∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°. ∵OD ⊥BC ，∴∠CED =90°=∠ACB . ∴AC ∥OD .………………5分 ∵CD ∥AB ，∴四边形CAOD 是平行四边形. ∵E 是OD 的中点，CE ⊥OD ， ∴OC =CD . ∵OC =OD ， ∴OC =OD =CD . ∴△OCD 是等边三角形. ∴∠D =60°.………………6分 ∴∠DCE =90°-∠D =30°. ∴在Rt △CDE 中，CD =2DE . ∵BC =6， ∴CE =BE =3.AAB∵22224CE DE CD DE +==，∴DE CD =.∴OD CD ==∴CAOD S OD CE =⋅=四边形………………7分26．（1）（2，0）；………………2分 （2）点D 在直线l 上，理由如下： 直线l 的表达式为2(0)y kx k k =->，∵当2x =时，220y k k =-=，………………3分 ∴点D （2，0）在直线l 上．………………4分 注：如果只有结论正确，给1分.（3）如图，不妨设点P 在点Q 左侧.由题意知：要使得124x x =+成立，即是要求点P 与点Q 关于直线2x =对称.又因为函数244y x x =-+的图象关于直线2x =对称， 所以当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，即要求点Q在244(2,13)y x x x y =-+><<的图象上.………………6分根据图象，临界位置为射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与1y =的交点(3,1)A 处，以及射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与3y =的交点(23)B 处.此时1k =以及k =k的取值范围是1k <<………………8分27．（1）①1，②2±；………………2分 注：错一个得1分.（2）解：设点C 的坐标为（x ，y ）.由于点C 的“引力值”为2，则2x =或2y =，即2x =±，或2y =±. 当2x =时，240y x =-+=，此时点C 的“引力值”为0，舍去； 当2x =-时，248y x =-+=，此时C 点坐标为（-2，8）；当2y =时，242x -+=，解得1x =，此时点C 的“引力值”为1，舍去； 当2y =-时，242x -+=-，3x =，此时C 点坐标为（3，-2）； 综上所述，点C 的坐标为（2-，8）或（3，2-）.………………5分 注：得出一个正确答案得2分.（3）1d≤≤.………………8分注：答对一边给2分；两端数值正确，少等号给2分；一端数值正确且少等号给1分.28．（1）③；………………1分（2）连接BM，OB，OC，OE.∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，M为AC的中点，∴MA=MB=MC=12 AC.………………2分∴∠A=∠ABM.∵∠A=α，∴∠BMC=∠A+∠ABM=2α.∵点M和点O关于直线BC对称，∴∠BOC=∠BMC=2α.………………3分∵OC=OB=OE，∴点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上.∴12BEC BOCα∠=∠=.………………4分（3）12MN BE=，证明如下：连接BM并延长到点F，使BM=MF，连接FD. ∵∠A=α，∠ABC=90°，∴∠ACB=90°-∠A=90°-α.∴∠DEC=∠ACB=90°-α.∵∠BEC=α，∴∠BED=∠BEC+∠DEC=90°.∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB=α.∵MB=MC，∴∠MBC=∠ACB=90°-α.∴∠MBE=∠MBC+∠CBE=90°.OMNABDCEBD∴∠MBE+∠BED=180°.∴BF∥DE.………………6分∵BF=2BM，AC=2BM，∴BF=AC.∵AC=DE，∴BF=DE.∴四边形BFDE是平行四边形.………………7分∴DF=BE.∵BM=MF，BN=ND，DF.∴MN=12BE.………………8分∴MN =12注：如果只有结论正确，给1分.解答题解法不唯一，如有其它解法相应给分.。

2015-2016学年第一学期海淀期中初三数学试题及答案

2015-2016学年第一学期海淀期中初三数学试题及答案

海淀区九年级第一学期期中测评数 学 试 卷（分数：120分 时间：120分钟） 2015.11学校 姓名 准考证号 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1．一元二次方程2230x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A ．2,1,3B ．2,1,3-C ． 2,1,3-D ．2,1,3-- 2．下列图形是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．3．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知⊙O 的半径是4，OP 的长为3，则点P 与⊙O 的位置关系是 A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．不能确定5．将抛物线2y x =沿y 轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为A ．22y x =+ B ．22y x =- C ．()22y x =+ D ．()22y x =-6．已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，则这个扇形的面积为A ．9πB ．6πC ．3πD ．π 7．用配方法解方程243x x +=，下列配方正确的是A ．()221x -= B ．()227x -= C ．()227x += D ．()221x +=8．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列选 项中不正确．．．的是 A ．0a < B ．0c >C ．0 <12ba-< D ．0a b c ++<9．如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径．若 33=∠DBC ，则A ∠等于A ． 33B ．57C ．67D ．6610．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.经测试得出部分数据如下表：x /分 … 2.66 3.23 3.46 …y /米…69.1669.6268.46…下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是A ．7分B ．6.5分C ．6分D ．5.5分 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．方程240x -=的解为_______________．12. 请写出一个开口向上且经过(0, 1)的抛物线的解析式_________． 13．若二次函数225y x =-的图象上有两个点(2,)A a 、(3,)B b ， 则a____b （填“<”或“=”或“>”）．14．如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC =100°，则∠ABC =______°．15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x 为_______米（2取1.4）．16．如图，O 是边长为1的等边△ABC 的中心，将AB 、BC 、CA 分别绕点A 、点B 、点C 顺时针旋转α（0180α︒<<︒），得到'AB 、'BC 、'CA ，连接''A B 、''B C 、''A C 、'OA 、'OB ． （1）''A OB ∠=_______〬； （2）当α= 〬时，△'''A B C 的周长最大．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程：232x x =-．18．若抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值．19．已知点(3, 0)在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，求此抛物线的对称轴．20．如图，AC 是⊙O 的直径，P A , PB 是⊙O 的切线，A , B 为切点， 25=∠BAC ．求∠P 的度数．21．已知x =1是方程2250x ax a -+=的一个根，求代数式23157a a --的值．22．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m ，水面宽AB 为1.6m ．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m ，求水面下降的高度．23．已知关于x 的方程)0(0)3(32>=---a a x a x . （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根大于2，求a 的取值范围．24．在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m ，那么它的下部应设计为多高（5取2.2 ）．25．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的弦，AB =2，AC =2，AD =1，求∠CAD 的度数．26．抛物线21y xbx c =++与直线22y x m =-+相交于A (2,)n -、B (2,3)-两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若14≤≤-x ，则21y y -的最小值为________.27.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点D . P 为AB 延长线上一点，2PCD BAC ∠=∠. （1）求证：CP 为⊙O 的切线； （2）BP =1，5CP =. ①求⊙O 的半径；②若M 为AC 上一动点，则OM +DM 的最小值为 .28.探究活动：利用函数(1)(2)y x x =--的图象(如图1)和性质，探究函数(1)(2)y x x =--的图象与性质.下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)函数(1)(2)y x x =--的自变量x 的取值范围是___________；(2)如图2，他列表描点画出了函数(1)(2)y x x =--图象的一部分，请补全函数图象；图1 图2解决问题：设方程1(1)(2)04x x x b ----=的两根为1x 、2x ，且12x x <，方程21324x x x b -+=+的两根为3x 、4x ，且34x x <.若12b <<，则1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系为 （用“<”连接）．29．在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的⊙O 与x 轴负半轴交于点A ，点M 在⊙O 上，将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q . 点N 为x 轴上一动点（N 不与A 重合 ），将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P . PQ 与x 轴所夹锐角为α. （1） 如图1，若点M 的横坐标为21，点N 与点O 重合，则α=________︒； （2） 若点M 、点Q 的位置如图2所示，请在x 轴上任取一点N ，画出直线PQ ，并求α的度数；（3） 当直线PQ 与⊙O 相切时，点M 的坐标为_________.图1 图2 备用图海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案DAAABBCDBC二、填空题（本题共18分，每小题3分） 题 号 111213 14 1516 答 案 ,21=x 22-=x21y x =+（答案不唯一）<1300.6120，150三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：2320.x x -+= ……………………………………………1分0)2)(1(=--x x ． ……………………………………………3分∴01=-x 或02=-x ．∴2,121==x x . ………………………………………………………5分18．解：∵抛物线a x x y ++=32与x 轴只有一个交点，∴0∆=，………………………………………2分即940a -=．……………………………………………4分 ∴49=a ．……………………………………………5分19．解：∵点(3, 0)在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，∴k k -++⨯-=)3(33302．………………………………………2分 ∴9=k ．……………………………………………3分 ∴抛物线的解析式为91232-+-=x x y ．∴对称轴为2=x ．……………………………………………5分20．解：∵P A ,PB 是⊙O 的切线，∴P A =PB ．………………………………………1分∴PBA PAB ∠=∠．………………………………………2分∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥P A ．∴90=∠PAC º．………………………………………3分 ∵25=∠BAC º，∴65=∠PAB º．………………………………………4分∴502180=∠-=∠PAB P º．………………………………………5分21．解：∵1=x 是方程0522=+-a ax x 的一个根，∴0512=+-a a ．………………………………………2分 ∴152-=-a a ．…………………………………………3分 ∴原式7)5(32--=a a ………………………………………4分10-=．………………………………………5分22．解：如图，下降后的水面宽CD 为1.2m ，连接OA , OC ，过点O 作ON ⊥CD 于N ，交AB 于M ．………………………… 1分∴90ONC ∠=º.∵AB ∥CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=º． ∵ 1.6AB =， 1.2CD =， ∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==． …………………………2分 在Rt △OAM 中，∵1OA =，∴220.6OM OA AM =-=． ………………………………3分 同理可得0.8ON =．………………………………4分 ∴0.2.MN ON OM =-=答：水面下降了0.2米．…………………………5分23．（1）证明： 22)3()(34)3(+=-⨯⨯--=∆a a a ．……………………………1分∵0>a ， ∴2(3)0a +>．即0>∆．∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分（2）解方程，得3,121ax x =-=．……………………………………………4分 ∵方程有一个根大于2，∴23>a． ∴6>a ．……………………………………………5分24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有2::BC BC AC =，即AC BC 22=．设BC 为x m. …………………………………1分依题意，得)2(22x x -=．.………………………………………3分 解得,511+-=x 512--=x （不符合题意，舍去）．……4分51 1.2-≈．答：雕像的下部应设计为1.2m ．…………………………5分25． 解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC . ………1分∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=º． 在Rt △ACB 中， ∵2=AB ，2AC =， ∴2BC =．∴45BAC ∠=º．………………2分 ∵1OA OD AD ===，∴60BAD ∠=º．………………3分∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=º．………………4分当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒．∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=º．∴CAD ∠为15º或105º． …………………5分26．解：（1）∵直线m x y +-=22经过点B （2，-3），∴m +⨯-=-223．∴1=m ．……………………………………………1分 ∵直线22y x m =-+经过点A （-2，n ），∴5n =．……………………………………………2分∵抛物线21y xbx c =++过点A 和点B ， ∴⎩⎨⎧++=-+-=.243,245c b c b ∴⎩⎨⎧-=-=.3,2c b ∴3221--=x x y ．……………………………………………4分（2）12-. ……………………………………………5分27．（1）证明：连接OC . ……………………………1分∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ，∴∠POC =∠PCD ．……………………………2分∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠ODC =90︒．∴∠POC+∠OCD =90º．∴∠PCD+∠OCD =90º．∴∠OCP =90º．∴半径OC ⊥CP ．∴CP 为⊙O 的切线． ……………………………………………3分（2）解：①设⊙O 的半径为r .在Rt △OCP 中，222OC CP OP +=． ∵1,5,BP CP == ∴222(5)(1)r r +=+． ………………………4分解得2r =．∴⊙O 的半径为2． ……………………………………………5分 ②2143． ……………………………………………7分28．解：（1）1x ≤或2x ≥；……………………………………………2分（2）如图所示：……………………………………5分1342x x x x <<<. .……………………………………………7分29. 解：（1）60. ……………………………………………2分（2）.……………………………………………3分连接,MQ MP .记,MQ PQ 分别交x 轴于,E F .∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△MAQ 和△MNP 均为等边三角形. ………………4分∴MA MQ =，MN MP =，60AMQ NMP ∠=∠=︒.∴AMN QMP ∠=∠. ∴△MAN ≌△MQP . .………………………………5分∴MAN MQP ∠=∠.∵AEM QEF ∠=∠，∴60QFE AMQ ∠=∠=︒.∴60α=︒. .…………………………………………….6分（3）（32，12）或（32-，12-）. ………………………8分x yF E P Q AO MN。

北京海淀2015初三期中试题答案

北京海淀2015初三期中试题答案

海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题 号1 2 3 45 6 7 8 9 10 答 案D A A ABBCDBC二、填空题（本题共18分，每小题3分）题 号11 12 13 14 15 16 答 案,21=x 22-=x21y x =+（答案不唯一）<1300.6120，150三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：2320.x x -+=……………………………………………1分0)2)(1(=--x x ． ……………………………………………3分∴01=-x 或02=-x ．∴2,121==x x . ………………………………………………………5分18．解：∵抛物线a x x y ++=32与x 轴只有一个交点，∴0∆=，………………………………………2分即940a -=．……………………………………………4分∴49=a ．……………………………………………5分19．解：∵点(3, 0)在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，∴k k -++⨯-=)3(33302．………………………………………2分 ∴9=k ．……………………………………………3分∴抛物线的解析式为91232-+-=x x y ．∴对称轴为2=x ．……………………………………………5分20．解：∵PA ,PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ．………………………………………1分∴PBA PAB ∠=∠．………………………………………2分 ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥PA ．∴90=∠PAC º．………………………………………3分 ∵25=∠BAC º，∴65=∠PAB º．………………………………………4分∴502180=∠-=∠PAB Pº．………………………………………5分21．解：∵1=x 是方程0522=+-a ax x 的一个根，∴0512=+-a a ．………………………………………2分 ∴152-=-a a ．…………………………………………3分 ∴原式7)5(32--=a a ………………………………………4分10-=．………………………………………5分22．解：如图，下降后的水面宽CD 为1.2m ，连接OA , OC ，过点O 作ON ⊥CD 于N ，交AB 于M ．………………………… 1分∴90ONC ∠=º.∵AB ∥CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=º． ∵ 1.6AB =， 1.2CD =， ∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==．…………………………2分 在Rt △OAM 中，∵1OA =，∴220.6OM OA AM =-=． ………………………………3分 同理可得0.8ON =．………………………………4分 ∴0.2.MN ON OM =-=答：水面下降了0.2米．…………………………5分23．（1）证明：22)3()(34)3(+=-⨯⨯--=∆a a a ．……………………………1分∵0>a ，∴2(3)0a +>．即0>∆．∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分（2）解方程，得3,121ax x =-=．……………………………………………4分 ∵方程有一个根大于2，∴23>a． ∴6>a ．……………………………………………5分24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有2::BC BC AC =，即AC BC 22=．设BC 为x m.…………………………………1分依题意，得)2(22x x -=．.………………………………………3分解得,511+-=x 512--=x （不符合题意，舍去）．……4分51 1.2-≈．答：雕像的下部应设计为1.2m ．…………………………5分25．解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC . ………1分∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=º． 在Rt △ACB 中，∵2=AB ，2AC =，∴2BC =．∴45BAC ∠=º．………………2分 ∵1OA OD AD ===，∴60BAD ∠=º．………………3分∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=º．………………4分当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒．∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=º． ∴CAD ∠为15º或105º．…………………5分26．解：（1）∵直线m x y +-=22经过点B （2，-3），∴m +⨯-=-223．∴1=m ．……………………………………………1分 ∵直线22y x m =-+经过点A （-2，n ）， ∴5n =．……………………………………………2分 ∵抛物线21y xbx c =++过点A 和点B ，∴⎩⎨⎧++=-+-=.243,245c b c b∴⎩⎨⎧-=-=.3,2c b ∴3221--=x x y ．……………………………………………4分 （2）12-.……………………………………………5分27．（1）证明：连接OC . ……………………………1分∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ，∴∠POC =∠PCD ．……………………………2分 ∵CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ODC =90︒．∴∠POC+∠OCD =90º． ∴∠PCD+∠OCD =90º． ∴∠OCP =90º． ∴半径OC ⊥CP ．∴CP 为⊙O 的切线． ……………………………………………3分 （2）解：①设⊙O 的半径为r.在Rt △OCP 中，222OC CP OP +=．∵1,5,BP CP ==∴222(5)(1)r r +=+． ………………………4分解得2r =．∴⊙O 的半径为2． ……………………………………………5分 ②2143． ……………………………………………7分28．解：（1）1x ≤或2x ≥；……………………………………………2分（2）如图所示：……………………………………5分1342x x x x <<<. .……………………………………………7分29.解：（1）60. ……………………………………………2分（2）.……………………………………………3分连接,MQ MP .记,MQ PQ 分别交x 轴于,E F .∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△MAQ 和△MNP 均为等边三角形. ………………4分 ∴MA MQ =，MN MP =，60AMQ NMP ∠=∠=︒. ∴AMN QMP ∠=∠.∴△MAN ≌△MQP . .………………………………5分 ∴MAN MQP ∠=∠. ∵AEM QEF ∠=∠， ∴60QFE AMQ ∠=∠=︒.∴60α=︒. .…………………………………………….6分 （3）（32，12）或（32-，12-）. ………………………8分xyF EPQAO MN。

北京市海淀区九年级数学上学期期中复习试卷(二次函数)(含解析)

北京市海淀区九年级数学上学期期中复习试卷(二次函数)(含解析)

2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（二次函数）一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．将抛物线y=3x2向上平移1个单位得到的抛物线是．2．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为．3．若二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴只有一个交点，则m= ；当x= 时，y有最值是；当0＜x＜1时，y随x的增大而，y的取值范围是．4．若二次函数y=mx2﹣（2m+2）x﹣1+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是．5．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0，△0．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则：（1）对称轴方程；（2）a﹣b+c 0，4a+2b+c 0；（用“＜”，“=”或“＞”号连接）（3）当x 时，y随x增大而减小；（4）方程ax2+bx+c=0的解为；（5）由图象回答：当y＞0时，x的取值范围；当y=0时，x= ；当y＜0时，x的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）8．已知抛物线y=ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是．9．抛物线y=（x﹣h）2﹣k的顶点坐标为（﹣3，1），则h﹣k= ．10．请写出与抛物线y=x2形状相同，且经过（0，﹣5）点的二次函数的解析式．二、解答题（共4小题，满分0分）11．二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（2，﹣9），且当x=﹣1时，y=0，（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的顶点坐标．12．已知函数y1=ax2+bx+c，它的顶点坐标为（﹣3，﹣2），y1与y2=2x+m交于点（1，6），求y1、y2的函数解析式．2（2）作直线y2=﹣x+3，则当y2在y1的图象下方时，x的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（二次函数）参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．将抛物线y=3x2向上平移1个单位得到的抛物线是y=3x2+1 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解答．【解答】解：将抛物线y=3x2向上平移1个单位得到的抛物线是y=3x2+1．故答案是：y=3x2+1．2．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣3 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先得到抛物线y=x2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣3．故答案为y=（x+2）2﹣3．3．若二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴只有一个交点，则m= ；当x= 时，y有最小值是0 ；当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，y的取值范围是y≥0 ．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的最值．【分析】首先根据二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴只有一个交点，求出m的值，根据二次函数的性质进行填空即可．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴只有一个交点，∴（﹣5）2﹣4m=0，∴m=，当x=时，二次函数有最小值为0，当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，y的取值范围是y≥0，故答案为；；小；0；减小；y≥0．4．若二次函数y=mx2﹣（2m+2）x﹣1+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是m＞﹣且m≠0 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数y=mx2﹣（2m+2）x﹣1+m的图象与x轴有两个交点，可得△=[﹣（2m+2）]2﹣4m×（﹣1+m）＞0且m≠0．【解答】解：∵原函数是二次函数，∴m≠0．∵二次函数y=mx2﹣（2m+2）x﹣1+m的图象与x轴有两个交点，则△=b2﹣4ac＞0，△=[﹣（2m+2）]2﹣4m×（﹣1+m）＞0，4m2+8m+4﹣4m2+4m＞0，12m+4＞0．∴m＞﹣．综上所述，m的取值范围是：m＞﹣且m≠0．故答案是：m＞﹣且m≠0．5．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a ＞0，b ＜0，c ＞0，△= 0．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与y轴交点的位置，与x轴交点的个数即可判断．【解答】解：由开口方向可知：a＞0，由对称轴可知：﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交点在y的正半轴，∴c＞0，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴△=0，故答案为：a＞0，b＜0，c＜0，△=0．6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则：（1）对称轴方程x=﹣1 ；（2）a﹣b+c ＜0，4a+2b+c ＞0；（用“＜”，“=”或“＞”号连接）（3）当x ＜﹣1 时，y随x增大而减小；（4）方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣3，x2=1 ；（5）由图象回答：当y＞0时，x的取值范围x＜﹣3或x＞1 ；当y=0时，x= ﹣3或1 ；当y＜0时，x的取值范围﹣3＜x＜1 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用抛物线与x轴的交点为对称点可得到抛物线的对称轴；（2）观察函数图象，利用x=﹣1，y＜0和x=2，y＞0求解；（3）根据二次函数的性质求解；（4）根据抛物线与x轴的交点问题求解；（5）观察图象，写出抛物线在x轴上方或与抛物线与x轴的交点或抛物线在x轴下方所对应的自变量的取值范围或取值．【解答】解：（1）抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），所以抛物线的对称轴为直线x=﹣1；（2）∵x=﹣1，y＜0，∴a﹣b+c＜0；∵x=2，y＞0，∴4a+2b+c＞0；（3）当x＜﹣1时，y随x增大而减小；（4）方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣3，x2=1；（5）当y＞0时，x的取值范围为x＜﹣3或x＞1；当y=0时，x=﹣3或1；当y＜0时，x 的取值范围为﹣3＜x＜1．故答案为x=﹣1；＜，＞；＜﹣1；x1=﹣3，x2=1；x＜﹣3或x＞1；﹣3或1；﹣3＜x＜1．7．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 ＞y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：由y=x2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，∴2＜﹣x1＜4，∴y1＞y2．8．已知抛物线y=ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是y2＜y3＜y1．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把三点的坐标分别代入可求得y1、y2、y3，再比例其大小即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），∴y1=16a﹣8a+m=8a+m，y2=4a﹣4a+m=m，y3=a+2a+m=3a+m，∵a＞0，∴m＜3a+m＜8a+m，即y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1．9．抛物线y=（x﹣h）2﹣k的顶点坐标为（﹣3，1），则h﹣k= ﹣2 ．【考点】二次函数的性质．【分析】由二次函数的顶点式可求得h和k的值，则可求得答案．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣h）2﹣k的顶点坐标为（﹣3，1），∴h=﹣3，﹣k=1，解得h=﹣3，k=﹣1，∴h﹣k=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故答案为：﹣2．10．请写出与抛物线y=x2形状相同，且经过（0，﹣5）点的二次函数的解析式y=x2﹣5或y=﹣x2﹣5 ．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】先从已知入手：由与抛物线y=x2形状相同则|a|相同，且经过（0，﹣5）点，即把（0，﹣5）代入得c=﹣5，写出二次函数的解析式．【解答】解：设所求的二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，∵与物线y=x2形状相同，∴|a|=1，a=±1，且经过（0，﹣5），所以c=﹣5，∴所求的二次函数的解析式为：y=x2﹣5或y=﹣x2﹣5．二、解答题（共4小题，满分0分）11．二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（2，﹣9），且当x=﹣1时，y=0，（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的顶点坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）将（2，﹣9）、（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，利用待定系数法即可确定二次函数的解析式；（2）把（1）中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标．【解答】解：（1）将（2，﹣9）、（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，得，，解这个方程组，得，所以所求二次函数的解析式是y=x2﹣4x﹣5；（2）y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，所以顶点坐标是（2，﹣9）．12．已知函数y1=ax2+bx+c，它的顶点坐标为（﹣3，﹣2），y1与y2=2x+m交于点（1，6），求y1、y2的函数解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．【分析】根据已知设出抛物线的解析式y=a（x+3）2﹣2，把（1，6）代入即可求得a的值，即可求得y1的函数解析式；把（1，6）代入y2=2x+m即可求得m的值，即可求得y2的函数解析式．【解答】解：根据题意，设抛物线的解析式y=a（x+3）2﹣2，∵抛物线经过点（1，6），∴6=a（1+3）2﹣2，解得a=，∴抛物线的解析式为y1=（x+3）2﹣2．把（1，6）代入y2=2x+m得6=2×1+m，解得m=4，∴y2的函数解析式为y2=2x+4．2（2）作直线y2=﹣x+3，则当y2在y1的图象下方时，x的取值范围是x＜1或x＞2 ．【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．【分析】（1）由题目所给表格可观察得出答案；（2）可先求得二次函数解析式，联立两函数解析式可求得两函数图象的交点坐标，可画出两函数图象，则可求得答案．【解答】解：（1）由表可知当x=1时，y有最大值，∴二次函数图象开口向下，其顶点坐标为（1，2）；（2）∵抛物线顶点坐标为（1，2），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+2，∵当x=0时，y=1，∴1=a+2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y1=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，联立两函数解析式可得，解得或，两函数图象如图所示：当y2在y1的图象下方时，结合图象x＜1或x＞2，故答案为：x＜1或x＞2．14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）欲求直线BC的解析式，需要求得点B、C的坐标，由抛物线解析式求得点A、B的坐标，然后根据点的对称性得到点C的坐标；然后由待定系数法来求直线方程；（2）根据抛物线解析式y=﹣x+2易求D（4，6），由直线y=x+1易求点（0，1），点F（4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t=1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t=3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）．∵，∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点B的坐标为（1，）．又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，∴点C的坐标为（2，2），且点C在抛物线上．设直线BC的解析式为y=kx+b．∵直线BC经过点B（1，）和点C（2，2），∴解得∴直线BC的解析式为：y=x+1；（2）∵抛物线y=﹣x+2中，当x=4时，y=6，∴点D的坐标为（4，6）．∵直线y=x+1中，当x=0时，y=1．当x=4时，y=3，∴如图，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t=1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t=3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．。