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第二讲 映射及映射法
知识、方法、技能
1．映射的定义
设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作.:BAf
（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的.
（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.
（3）映射包括集合A和集合B，以及集合A到B的对应法则f，三者缺一不可.
（4）对于一个从集合A到集合B的映射来说，A中的每一个元素必有惟一的，但B中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.
2．一一映射
一般地，设A、B是两个集合，.:BAf是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A到B上的一一映射.
3．逆映射
如果f是A与B之间的一一对应，那么可得B到A的一个映射g：任给Bb，规定
abg)(，其中a是b在f下的原象，称这个映射g是f的逆映射，并将g记为f—1.
显然有（f—1）—1= f，即
如果f是A与B之间的一一对应，则f—1是B与A之间的一一对应，并且f—1的逆映射是f.
事实上，f—1是B到A的映射，对于B中的不同元素b1和b2，由于它们在f下的原象不同，所以b1和b2在f—1下的像不同，所以f—1是1－1的.
任给bafAa)(,设，则abf)(1.这说明A中每个元素a在f—1都有原象.因此，f—1是映射上的.
这样即得f—1是B到A上的1－1映射，即f—1是B与A之间一一对应.从而f—1有逆映射.:BAh由于任给bahAa)(,设，其中b是a在f—1下的原象，即f—1(b)=a，所以，
映射重要知识点总结
一、映射的定义
1.1 映射的概念
映射是一种将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。具体来说，如果从集合A到集合B的每个元素a都能找到集合B中的唯一元素b与之对应，那么我们就说存在从集合A到集合B的一个映射。我们通常用f: A → B来表示这个映射，其中f表示映射的规则，A称为定义域，B称为值域，而对应的元素对(a, b)称为映射对。
1.2 映射的表示方式
映射可以用图、公式、表格等形式来表示。在图中，我们可以用箭头连接集合A和集合B的元素，表示它们之间的对应关系；在公式中，我们可以用f(x) = y来表示映射的规则，其中x表示集合A中的元素，y表示集合B中的元素；在表格中，我们可以将集合A的元素和对应的集合B的元素按一定顺序排列，表示它们之间的对应关系。
1.3 映射的例子
为了更好地理解映射的概念，我们可以举几个具体的例子。比如说，将一个学生的学号与他的成绩对应起来，就是一个映射；将一个人的身高与体重对应起来，也是一个映射；将一个城市的名称与它的人口数量对应起来，同样也是一个映射。
二、映射的性质
2.1 单射、满射和双射
在研究映射的性质时，我们通常关注三个重要的性质，即单射、满射和双射。
- 单射：如果一个映射f: A → B满足对任意的x1, x2∈A，只要x1≠x2就有f(x1)≠f(x2)，那么我们就说这个映射是单射。单射也可以表述为：对于集合A中的任意两个不同的元素，它们在集合B中的像也是不同的。
- 满射：如果一个映射f: A → B满足对于集合B中的任意元素y，都能在集合A中找到一个元素x与之对应，那么我们就说这个映射是满射。
- 双射：如果一个映射既是单射又是满射，那么我们就说这个映射是双射。
2.2 映射的复合
在实际问题中，有时我们会遇到多个映射的复合。设有两个映射f: A → B和g: B → C，我们可以定义它们的复合映射g∘f: A → C为：对于A中的任意元素x，它在C中对应的像为(g∘f)(x) = g(f(x))。复合映射的性质值得我们去探讨和总结。 2.3 映射的逆
集合映射的概念
集合映射是数学中的重要概念，它描述了两个集合之间的关系。简单来说，集合映射是将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的一个元素。
具体来说，设有两个集合A和B，集合A中的元素称为定义域，集合B中的元素称为值域。集合映射可以表示为f：A→B，其中f表示映射的名称或符号。
对于集合A中的每个元素a，映射f将其映射到集合B中的一个元素b。这个映射可以用一个对应关系来表示，例如{(a1, b1), (a2, b2), ...}。其中，(a1, b1)表示映射f将元素a1映射到元素b1上。
举个例子，假设集合A表示一个班级的学生，集合B表示学生的成绩。我们可以定义一个映射f，将每个学生映射到他们的成绩。例如，如果学生A的成绩是90分，学生B的成绩是80分，那么映射f可以表示为{(学生A, 90), (学生B,
80)}。
总结来说，集合映射描述了两个集合之间的元素对应关系，它可以将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的一个元素。
·６０· 第六章 线性空间
§1 集合映射
一 授课内容：§1 集合映射
二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.
三 教学重点:集合映射的有关定义。
四 教学难点:集合映射的有关定义.
五 教学过程：
1。集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念
定义：(集合的交、并、差） 设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。
定义:（集合的映射) 设、为集合。如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为
如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.
若都有 则称为单射.若 都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.
2.求和号与求积号
(1）求和号与乘积号的定义
为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.
设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:
， 。
当然也可以写成
， 。
（2）求和号的性质 ·６１· 容易证明,
,，.
事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：
分别先按行和列求和,再求总和即可。
§2 线性空间的定义与简单性质
一 授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质
二 教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.
三 教学重点：线性空间的定义与简单性质。
四 教学难点：线性空间的定义与简单性质.
五 教学过程:
1。线性空间的定义
(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：
