2014年高考湖南文科数学试题及答案(word解析版)
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）【2014年湖南，文1，5分】设命题2:,10pxRx，则p为（ ）
（A）200,10xRx （B）200,10xRx （C）200,10xRx （D）200,10xRx
【答案】B
【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题p的否定为200,10xRx，故选B．
（2）【2014年湖南，文2，5分】已知集合{|2},{|13}AxxBxx，则AB（ ）
（A）{|2}xx （B）{|1}xx （C）{|23}xx （D）{|13}xx
【答案】C
【解析】由题可得{|23}ABxx，故选C．
（3）【2014年湖南，文3，5分】对一个容器为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,ppp，则（ ）
（A）123ppp （B）231ppp （C）132ppp （D）123ppp
【答案】D
【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123ppp，故选D．
（4）【2014年湖南，文4，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间,0上单调递增的是（ ）
（A）21()fxx
（B）2()1fxx （C）3()fxx （D）()2xfx
【答案】A
【解析】根据函数奇偶性的判断可得选项A、B为偶函数，C为奇函数，D为非奇非偶函数，所以排除C、D选项．由二次函数的图像可得选项B在,0是单调递减的，根据排除法选A．因为函数2yx在,0是单调递减的且1yx在0,是单调递增的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A在,0是单调递减的，故选A．
（5）【2014年湖南，文5，5分】在区间2,3上随机选取一个数X，则1X的概率为（ ）
（A）45 （B）35 （C）25 （D）15
【答案】B
【解析】在2,3上符合1X的区间为2,1，因为2,3的区间长度为5且区间2,1的区间长度为3，所以根据几何概型的概率计算公式可得35p，故选B．
（6）【2014年湖南，文6，5分】若圆221:1Cxy21x与圆222:680Cxyxym外切，则m（ ）
（A）21 （B）19 （C）9 （D）11
【答案】C
【解析】因为22226803425xyxymxym，所以25025mm且圆2C
的圆心为3,4，半径为25m，根据圆和圆外切的判定可得
2230401259mm，故选C．
（7）【2014年湖南，文7，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的2,2t，则输出的S属于（ ）
（A）6,2 （B）5,1 （C）4,5 （D）3,6
【答案】D
【解析】当2,0t时，运行程序如下：2211,9tt，32,6St，当0,2t时，33,1St， 则2,63,13,6S，故选D．
（8）【2014年湖南，文8，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、
加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】B
【解析】由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图、侧视图和俯视图的内切圆半径最小的是正视图（直
角三角形）所对应的2121lnlnxxexxx C.内切圆，所以最大球的半径为正视图直角形内切
圆的半径r，则2286862rrr，故选B．
（9）【2014年湖南，文9，5分】若1201xx，则（ ）
（A）2121lnlnxxeexx （B）2121lnlnxxeexx （C）1221xxxexe （D）1221xxxexe
【答案】C
【解析】设lnxfxex，则0,1x时，1xfxex的符号不确定，fx的单调性不确定．设xegxx，则0,1x时，210xxegxx，gx在0,1上单调递减，
1212122112xxxxeegxgxxexexx，故选C．
（10）【2014年湖南，文10，5分】在平面直角坐标系中，O为原点，(1,0),(03),(30)ABC，，，动点D满足||1CD，则||OAOBOD的取值范围是（ ）
（A）[4,6] （B）[19119+1]， （C）[2327]， （D）[717+1]，
【答案】D
【解析】点D的轨迹是以C为圆心的单位圆，设3cos,sin0,2D，
则OAOBOD223cos1sin3822cos3sin．
因为2cos3sin的取值范围是222223,237,7，
故827,82771,71OAOBOD，故选D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
（11）【2014年湖南，文11，5分】复数23ii（i为虚数单位）的实部等于 ．
【答案】3
【解析】由题可得所以23i3ii，3i的实部为3．
（12）【2014年湖南，文12，5分】在平面直角坐标系中，曲线222:212xtCyt（t为参数）的普通方程为 ．
【答案】10xy
【解析】联立222:212xtCyt，消t可得110xyxy．
（13）【2014年湖南，文13，5分】若变量yx，满足约束条件41yxxyy，则2zxy的最大值为 ．
【答案】7
【解析】作出不等式组41yxxyy表示的区域如下，则根据线性规划的知识可得目标函数
2zxy在点3,1处取得最大值7．
（14）【2014年湖南，文14，5分】平面上以机器人在行进中始终保持与点(1,0)F的距离和到直
线1x的距离相等．若机器人接触不到过点10P，且斜率为k的直线，则k的取值范围是 ．
【答案】,11,
【解析】由题设知机器人在以点(1,0)F为焦点的抛物线24yx上，且1ykx与抛物线24yx无交点，22441yxyykkykx方程204ykyk无实根，则0k且2101kk或1k，
所以,11,k．
（15）【2014年湖南，文15，5分】若3ln1xfxeax是偶函数，则a ．
【答案】23
【解析】因为fx为偶函数，所以33ln1ln1xxfxfxeaxeax
333ln13ln1322xxexaxeaxxaxa．
三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（16）【2014年湖南，文16，12分】已知数列na的前n项和22nnnSnN，．
（1）求数列na的通项公式；
（2）设2(1)nannnba，求数列nb的前2n项和．
解：（1）当1n时，111aS，当2n时，1nnnaSSn，∴*()nannN．
（2）由题意得：2(1)2(1)nannnnnban，∴数列nb的前2n项和2nT为
22212(222)(12342)22nnnTnn．
（17）【2014年湖南，文17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),ababababababababababababababab
其中aa，分别表示甲组研发成功和失败；bb，分别表示乙组研发成功和失败．
（1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平
均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．
解：（1）甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为102==153x甲．
方差为2221222=[(1)10(0)5]15339S甲；
乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为93==155x乙．
方差为2221336=[(1)9(0)6]155525S乙
22>
（2）记E{恰有一组研发成功}，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),ababababababab共有7个，根据古典概型的概率计算公式可得715PE． （18）【2014年湖南，文18，12分】如图，已知二面角MN的大小为60°，菱形ABCD
在面内，,AB两点在棱MN上，BAD60°，E是AB的中点，DO面，垂足为
O．
（1）证明：AB平面ODE；
（2）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．
解：（1）∵DO，AB，∴DOAB．∵四边形ABCD问菱形，60BAD，连结BD，则ABD为正
三角形．又E为AB的中点，∴DEAB．而DODED，∴AB平面ODE．
