【必考题】数学高考一模试卷及答案

2024 年高三一模考试数学试题一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.已知样本数据为xx1、xx2、xx3、xx4、xx5、xx6、xx7, 去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比, 下列数字特征一定不变的是A. 极差B. 平均数C. 中位数D. 方差2.已知复数zz满足zz(1+i)=i2024, 其中i为虚数单位, 则zz的虚部为A. −12B. 12C. −12iD. √223.已知集合AA={xx∣xx=3nn,nn∈ZZ},BB={xx∣0≤xx≤6}, 则AA∩BB=A. {1,2}B. {3,6}C. {0,1,2}D. {0,3,6}4.pp:mm=2,qq:(mmxx+yy)5的展开式中xx2yy3项的系数等于 40 , 则pp是qq的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.已知向量aa=(sin θθ,cos θθ),bb=(√2,1), 若aa⋅bb=|bb|, 则tan θθ=A. √22B. √2C. √3D. √326.已知ff(xx)=xxℎ(xx), 其中ℎ(xx)是奇函数且在R上为增函数, 则A. ff�log213�>ff�2−32�>ff�2−23�B. ff�2−32�>ff�2−23�>ff�log213�C. ff�log213�>ff�2−23�>ff�2−32�D. ff�2−23�>ff�2−32�>ff�log213�7.已知圆C1:xx2+(yy−3)2=8与圆C2:(xx−aa)2+yy2=8相交于A、 B两点, 直线AB交xx轴于点P, 则SS△CC1PPCC2的最小值为A. 32B. 92C. 272D. √2328.若数列{aa nn}的通项公式为aa nn=(−1)nn−1nn, 记在数列{aa nn}的前nn+2(nn∈NN∗)项中任取两数都是正数的概率为PP nn, 则A. PP1=23B. PP9<PP10C. PP10<PP11D. PP11<PP12二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.9.已知函数ff(xx)=Asin (ωωxx+φφ)(AA>0,ωω>0,0<φφ<ππ)的部分图像如图所示, 令gg(xx)=ff(xx)−2sin2�ππ2+xx�+1, 则下列说法正确的有A. ff(xx)的最小正周期为ππB. gg(xx)的对称轴方程为xx=kkππ+ππ3(kk∈z)C. gg(xx)在�0,ππ2�上的值域为�−1,12�D. gg(xx)的单调递增区间为�kkππ+ππ3,kkππ+5ππ6�(kk∈z)10.如图, 在棱长为 2 的正方体AABBAAAA−AA1BB1AA1AA1中, PP为侧面AAAAAA1AA1上一点, QQ为BB1AA1的中点, 则下列说法正确的有A. 若点PP为AAAA的中点, 则过PP、QQ、AA1三点的截面为四边形B. 若点PP为AA1AA的中点, 则PPQQ与平面BBAAAA1BB1所成角的正弦值为√105C. 不存在点PP, 使PPQQ⊥AA1AAD. PPQQ与平面AAAAAA1AA1所成角的正切值最小为√5511.如图, 过点AA(aa,0)(aa>0)的直线AABB交抛物线yy2=2ppxx(pp>0)于AA,BB两点, 连接AAAA、BBAA,并延长, =−aa于MM,NN两点, 则下列结论中一定成立的有A. BBMM//AANNB. 以AABB为直径的圆与直线xx=−aa相切C. SS△AAAAAA=SS△MMAAMMD. SS△MMCCMM2=4SS△AAMMCC⋅SS△AACCMM三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.12.如图, 在正四棱台AABBAAAA−AA1BB1AA1AA1中, AA1BB1=√2,AABB=2√2,该棱台体积V=14√33, 则该棱台外接球的表面积为____________13.已知斜率为√3的直线过双曲线AA:xx2aa2−yy2bb2=1(aa>0,bb>0)的右焦点FF且交双曲线右支于AA、BB两点, AA在第一象限, 若|AAFF|=|AAFF|, 则AA的离心率为_________14.关于xx的不等式xxee aaxx+bbxx−ln xx≥1(aa>0)恒成立, 则bb aa的最小值为_______四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13 分) 已知数列{aa nn}的前nn项和为SS nn, 且SS nn=2aa nn−2(nn∈NN∗).(1) 求数列{aa nn}的通项公式;(2) 若bb nn=log2aa2nn−1,cc nn=1bb nn bb nn+1, 求证: cc1+cc2+cc3+⋯+cc nn<12.16.(15 分) 某商场举行 “庆元宵, 猜谜语” 的促销活动, 抽奖规则如下: 在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1,2,3的空心小球, 球内装有难度不同的谜语. 每次随机抽取 2 个小球, 答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语, 答错则终止游戏. 已知标号为1,2,3的小球个数比为1:2:1, 且取到异号球的概率为57.(1) 求盒中 2 号球的个数;（2）若甲抽到 1 号球和 3 号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示, 请帮甲决策猜谜语的顺序 ()球号 1 号球 3 号球答对概率0.8 0.5奖金100 50017.(15 分) 如图, 已知AABBAAAA为等腰梯形, 点EE为以BBAA为直径的半圆弧上一点, 平面AABBAAAA⊥平面BBAAEE,MM为AAEE的中点, BBEE=AABB=AAAA=AAAA=2,BBAA=4.(1) 求证: AAMM/ /平面AABBEE;(2) 求平面AABBEE与平面AAAAEE所成角的余弦值.18.(17 分) 如图, 已知椭圆AA:xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)与yy轴的一个交点为AA(0,√2), 离心率为√22,FF1,FF2为左、右焦点, MM,NN为粗圆上的两动点, 且∠MMAAFF1=∠NNAAFF1.(1) 求粗圆AA的方程;(2) 设AAMM,AANN的斜率分别为kk1,kk2, 求kk1kk2的值;(3) 求△AAMMNN面积的最大值.19.(17 分) 帕德近似是法国数学家亨利. 帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法. 给定两个正整数mm,nn, 函数ff(xx)在xx=0处的[mm,nn]阶帕德近似定义为:RR(xx)=aa0+aa1xx+⋯+aa mm xx mm1+bb1xx+⋯+bb nn xx nn, 且满足: ff(0)=RR(0),ff′(0)=RR′(0),ff′′(0)=RR′′(0),⋯, ff(mm+nn)(0)= RR(mm+nn)(0).(注: ff′′(xx)=[ff′(xx)]′,ff′′′(xx)=[ff′′(xx)]′,ff(4)(xx)=[ff′′′(xx)]′,ff(5)(xx)=�ff(4)(xx)�′,⋯;ff(nn)(xx)为ff(nn−1)(xx)的导数)已知ff(xx)=ln (xx+1)在xx=0处的[1,1]阶帕德近似为RR(xx)=aaxx1+bbxx.(1) 求实数aa,bb的值;(2) 比较ff(xx)与RR(xx)的大小;(3) 若ℎ(xx)=ff(xx)RR(xx)−�12−mm�ff(xx)在(0,+∞)上存在极值, 求mm的取值范围.2024.03高三数学一模试题参考答案一、单选题 1—8．CADA BCBC二、多选题 9—11. ACD AB ACD三、填空题 12.16π 1313+ 14.-1 四、解答题15题解析：(1)由S n =2a n −2 ①当n =1时，S 1=2a 1−2=a 1解得a 1=2 当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2 ②①−②得a n =2a n−1 ∴a n =a 12n−1=2n经验证a 1符合上式，所以a n =2n ---------------------------------------6分 (2)证明：由(1)知a 2n−1=22n−1∴b n =log 2a 2n−1=2n −1，b n+1=2n +1------8分则c n =1b n b n+1=12(12n−1−12n+1)---------------------10分 c 1+c 2+c 3+⋯+c n =12(11−13+13−15+⋯+12n −1−12n +1)=12(1−12n +1)<12------------------------------------13分16. （1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n ，2n ，n ，则取到异号球的概率 P =2C n 1C 2n1+C n 1C n 1C 4n2=57 -----2分∴2∙5n 24n(4n −1)=57即n 2=2n 解得n =2 -----4分 所以盒中2号球的个数为4个. -----5分 （2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，因为猜对谜语的概率相互独立，记X 为甲获得的奖金总额，则X 可能的取值为0元，100元，600元， P (X =0)=0.2P (X =100)=0.8×(1−0.5)=0.4 P (X =600)=0.8×0.5=0.4X 的分布列为： -----8分X 的均值为 E (X )= -----9分 若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，记Y 为甲获得的奖金总额，则Y 可能的取值为0元，500元，600元， P (Y =0)=0.5P (Y =500)=0.5×(1−0.8)=0.1P (Y =600)=0.8×0.5=0.4 -----12分 Y 的分布列为：Y 的均值为E (Y )=290 -----13分 因为E (Y )>E (X )，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语. -----15分17.(1)取BE 的中点N ，连接AN ，MN ，则MN //=12BC又∵AD //=12BC ∴MN //=AD∴ANDM 为平行四边形∴DM ∥AN -----3分 又DM ⊄平面ABE AN ⊂平面ABE∴DM ∥平面ABE -----5分(2)取AD 中点为F ，过点O 作直线BC 的垂线交BC ̂于点G ，分别以OG ，OC ，OF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ∵BC 为直径，∴BE =12BC∴∠BCE =30∘，∠BOE =60∘，∠EOG =30∘，在梯形ABCD 中易求高为√3 -----7分 ∴E(√3，−1，0)，C(0，2，0)，D(0，1，√3)，B(0，−2，0)，A(0，−1，√3) ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，−3，0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−1，√3)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，1，0)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，√3) ----9分设平面DCE 的法向量为m ⃗⃗ =(x ，y ，z)则{m ⃗⃗ ∙CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ∙CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0∴{√3x −3y =0−y +√3z =0令y =√3则x =3， z =1∴m ⃗⃗ =(3，√3，1)同理求得平面ABE 的法向量为n ⃗ =(1，−√3，1) -----13分 设平面ABE 与平面CDE 所成的角为α 则cos α=|m⃗⃗⃗ ∙n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |∙|n ⃗ ||=√6565∴平面ABE 与平面CDE 所成角的余弦值为√6565. -----15分18.解：（1）由题意得，2222b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解之得2242a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的程为221.42x y +=.----------------3分(2)由（1）知14所以b c AF O π==∠=,设直线AM 、AF 1、AN 的倾斜角分别为1112,tan ,tan ,,4、、、则k k 则MAF F AN αγθπαθβγαβθβγθ+=⎧∠=∠====⎨-=⎩所以πα+β=θ=22，--------------------------------------------------------6分所以所以即πα=-β=αβ==β121tan tan(),tan tan 1,12tan k k ----------------------------------------------------------------------------------------------8分 （3）设直线AM：=+1y k x解方程组⎧=+⎪⎨+=⎪⎩122142y k x x y得221211221212)0,,1212（同理得M Nk x x x x k k ++=∴=-=-++， 由（2）知112211,,2N k k x k =∴=-+ -------------------------------10分2222222221111sin 22()(1)又（y AMNM M M M M SAM AN MAN AM AM AN AM x x k x k x ∴=∠===⋅=+=+=+222222222221122211122222222222221212212111(1)(,,2,1()4,()41(N N N N N N N（）同理，，（）（）M M M N N M NM M N M M M kk AN k x x AM AN x x k k AM AN x y x y x x k x k x x x k AM AN x x AMAN AM AN x x x x k k k ++=+==⋅==+=+∴⋅=∴-⋅=-+=-222221114)(),2N N 1分M M x x k x x k =----------- 1111221111112211111122422211111111211111111221221116163216111,212(12)(2)252252()911,（）（）令t=则AMNM N AMNSk x x k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k o S k ∴==-=---++--=-=-==-----------++++++-+->=12692,,2932773当2即k =取等号，所以的最大值是1分AMN t t t t t S-±≤====+----------------------19.解：（1）由()l )1n(1()，ax R x x bxf x =+=+，223112(),(),(),(),1(1)(1)(1)知a abf x f x R x R x x x bx bx -''''''==-==++++由题意(0)(0)(0)(0)，f R f R ''==，所以11,212所以a=1,b=a ab =⎧⎨=-⎩ --------------------3分（2）由(1)知，2()2x R x x =+，令()()ln(1)2()(1),2-x Rx x x x f x x ϕ=>-+=-+ 则22214()1(2)(1)(2())，所以x x o x x x x x ϕϕ'=-=>++++在其定义域(-1,+∞)内为增函数，又(0)(0()()(0)0;(0)0,0()0() 1()()(0)0时， 时 ）f R x R x x f x x f x x R x ϕϕϕϕϕ==-=-≥=-=<∴≥<-=<()(); 0 1()().0所以时，时,f x R x f R x x x x ≥-<<<≥--------------7分222()()11()()()()ln(1),()2111(1)ln(1)ln(1)()1(3)由f x h x m f x m x R x xmx x x x h x m x x x x x ==--=+++-++'∴=-++++()1()()()()2由f x h x m f x R x =--在(0,+∞)上存在极值，所以()h x '在(0,+∞)上存在变号零点. []2()(1)ln(1),()21ln(1)12ln(1),1()21令则g x mx x x x g x mx x mx x g x m x '=+-++=+-++=-+''=-+()()0,()()(0)0,()()(0)00,,.0为减函数，在①当时，上为减函数，无零点，不满足条件g x g x g x g g x g x m g '''''<<=<=<+∞()()0,()()(00)0,()()(0)0,.,21②当2为增函数，在无零点，不满足1,即时，上为增函数，条件m m g x g x g x g g x g x g '''''+>>>>=>=∞min 11()02,1121101()0,()1()0,()22111()(1)2(1)ln(11)12ln 2;2222 即 当时，为减函数；时，为增函1③当021,0时，令数即，m m g x m x x mx g x g x x g x g x m mg x g m m m m m m''<<<<==∴=-+''''''<<-<>->''∴=-=---+=-+2221()1ln ,01,()0,(1)(12)ln 202110,01,(1)01,1ln(1)ln(1);11()(1)ln(1)1令易证恒成立；，H x x x x H x g m m mmx mx x m x m mx x mx x x x mx x g x x x x '=-+<<<∴-=-+<--><<∴-<∴>-∴+-+>-+++⎡⎤+=+-+⎢⎥+⎣⎦221()ln(1)1ln(1)ln(1)(1)ln(1),11ln(1)()(1)(1)(1)22令易证mx x mx l x x x mx x m x x m x x x m m l x m x m x m x +-=-+=+-+>-+=+-+-+++≤⎡∴>+-=+-++-⎢⎣2216161,1,(1)028(1)022令则1 (0<<)mx x x m m m x m m m m +-≥=-+=∴+-=->216()0,(1)0即l x l m ∴>->由零点存在定理可知，2021216,1()(,)122上存在唯x 在一零点m m m m l x m --⎛⎫+∞-∈ ⎪⎝⎭101()0,(),(0)0,21()0,(0,1)2时，为减函数所以此时，在 又由③知，当内无零点,x g x g x g mg x m''''<<-<='<----------------------------------- ----- ------17分()()10,0,.2上存在变号零点，综上所述实数m 的取值范在围为g x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴。

2024年高考数学模拟试题含答案(一)一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x - 1在区间（0，2）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a > 0B. a ≥ 1C. a ≤ 1D. a < 0【答案】C【解析】由题意知，f'(x) = 2 > 0，所以函数在区间（0，2）上是增函数。

又因为f(0) = -1，f(2) = 3，所以f(x)在区间（0，2）上的取值范围是（-1，3）。

要使得f(x)在区间（0，2）上是增函数，只需保证a ≤ 1。

2. 已知函数g(x) = x² - 2x + 1，则下列结论正确的是（）A. 函数g(x)在区间（-∞，1）上是增函数B. 函数g(x)在区间（1，+∞）上是减函数C. 函数g(x)的对称轴为x = 1D. 函数g(x)的顶点坐标为（1，0）【答案】D【解析】函数g(x) = x² - 2x + 1 = (x - 1)²，所以函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为x = 1。

根据二次函数的性质，当x > 1时，函数g(x)递增；当x < 1时，函数g(x)递减。

3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn =2an - 1，则数列{an}的通项公式是（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^nC. an = 2^n + 1D. an = 2^(n-1)【答案】D【解析】由Sn = 2an - 1，得an = (Sn + 1) / 2。

当n = 1时，a1 = (S1 + 1) / 2 = 1。

当n ≥ 2时，an = (Sn + 1) / 2 = (2an - 1 + 1) / 2 = 2an-1。

所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为an = 2^(n-1)。

4. 已知函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|，则函数h(x)的图像是（）A. 两条直线B. 两条射线C. 一个三角形D. 一个抛物线【答案】B【解析】函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|表示数轴上点x到点2的距离减去点x到点-1的距离。

2024届高三高考数学一模试题及答案(新高考)一、选择题（每题5分，共40分）1. 设集合A={x|2x-3>0}，集合B={x|x²-5x+6<0}，则A∩B的取值范围是（）A. (-∞, 2) ∪ (3, +∞)B. (1, 2) ∪ (3, +∞)C. (1, 3)D. (2, 3)答案：B2. 若函数f(x)=x²+ax+b在区间（-∞, 1）上是减函数，在区间（1, +∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A. a≤-2B. a≥2C. a≤1D. a≥-1答案：C3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则数列{an}的通项公式是（）A. an=2n-1B. an=2nC. an=n+1D. an=n-1答案：A4. 已知函数f(x)=ln(x-1)+2x在区间（1, +∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a≥1B. a≤1C. a≥2D. a≤2答案：A5. 若椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率为√2/2，则a²/b²的值是（）A. 2B. 1C. 1/2D. 1/4答案：C6. 已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=√3, b=2, C=π/3，则三角形ABC的面积S 是（）A. √3B. 1C. 2D. 3答案：C7. 若函数f(x)=x³-3x+1在区间（0, 2）上有极值点，则极值点的坐标是（）A. (1, -1)B. (1, 1)C. (2, -1)D. (2, 1)答案：B8. 若函数g(x)=2x-3/x在区间（0, +∞）上是减函数，则实数x的取值范围是（）A. x≤1B. x≥1C. x≤3D. x≥3答案：D二、填空题（每题5分，共40分）9. 若函数f(x)=x²+2x+k在区间（-∞, 1）上是减函数，在区间（1, +∞）上是增函数，则k的取值范围是________。

1、在复数平面上，点(3,4)代表的复数与它的共轭复数之间的距离是：A. 4B. 5C. 6D. 8（答案：D。

解析：点(3,4)代表的复数为3+4i，其共轭复数为3-4i。

两点间的距离公式为√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]，代入得√[(3-3)²+(4-(-4))²]=8。

）2、若一个等差数列的首项为2，公差为3，那么它的第5项是：A. 8B. 11C. 14D. 17（答案：C。

解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=5，得a5=2+(5-1)×3=14。

）3、已知一个圆的半径为r，若它的面积与边长为r的正六边形的面积相等，那么这个圆的半径r与正六边形的边长之比约为：A. 1:1B. 1:√2C. 1:√3D. 1:2（答案：C。

解析：圆的面积为πr²，正六边形的面积可以划分为6个等边三角形，每个三角形面积为(√3/4)r²，所以正六边形面积为(3√3/2)r²。

令两者相等，解得r与正六边形边长之比为1:√3（这里使用了近似值）。

）4、若一个三棱锥的底面是一个边长为a的等边三角形，高为h，那么它的体积V与a和h 的关系是：A. V=(1/3)a²hB. V=(1/3)ahC. V=(√3/12)a²hD. V=(√3/6)a²h（答案：C。

解析：等边三角形的面积S=(√3/4)a²，三棱锥体积V=(1/3)Sh=(1/3)×(√3/4)a ²h=(√3/12)a²h。

）5、在二项式展开式(1+x)⁵中，x³的系数是：A. 5B. 10C. 15D. 20（答案：B。

解析：二项式定理中，(a+b)ⁿ的展开式通项为C(n,k)a(n-k)bk。

代入a=1，b=x，n=5，k=3，得x³的系数为C(5,3)=10。