数字信号处理4离散傅里叶变换的性质

X ep (k) X (k) Xop (k) 0
Re[X (k)] j Im[X (k)]
2020/4/24
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18
纯虚序列的共轭对称性
序列
Re[x(n)] 0 j Im[x(n)]
xep (n) xop (n)
四、离散傅里叶变换的性质
DFT正变换和反变换：
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNnk RN (k) n0
x(n)
IDFT[ X
(k )]
1 N
N 1
X (k )WNnk RN (n)
k 0
其中：
j 2
WN e N
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1
1、线性：
若
X1(k) DFT[x1(n)]
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10
定义：
圆周共轭对称序列： xep (n) x%e (n)RN (n) 1/ 2[x((n))N x*((N n))N ]RN (n)
圆周共轭反对称序列： xop (n) x%o (n)RN (n) 1/ 2[x((n))N x*((N n))N ]RN (n)
x(n)
DFT
X (k)
Re[ x(n)] j Im[x(n)]
X ep (k) Xop (k)
xep (n) xop (n)
Re[X (k)] j Im[X (k)]
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实数序列的共轭对称性
序列
Re[ x(n)] j Im[x(n)] 0
xep (n) xop (n)
DFT
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6
DFT
x(n) cos
2 nl
N
1 X ((k
2
l))N
X ((k
l )) N
RN (k)
DFT
x(n) sin
2 nl
N
1 X
2j
((k
l))N
X
((k
l))N
RN
(k )
证：IDFT
1
2
j
X
((k
l )) N
X
((k
l )) N
Baidu NhomakorabeaN
(k)
1 2j
定义： xm (n) x((n m))N RN (n)
周期 移位
取主值
x(n)
x%(n)
延拓
x%(n m) x((n m))N 序列
xm (n)
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3
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4
X m (k) DFT[xm (n)] DFT[x((n m))N RN (n)]
W mk N
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9
任意周期序列：x%(n) x%e (n) x%o (n)
其中： 共轭对称分量：
x%e (n) x%e*(n) 1/ 2[x%(n) x%*(n)] 1/ 2[x((n))N x*((N n))N ]
共轭反对称分量：
x%o (n) x%o*(n) 1/ 2[x%(n) x%*(n)] 1/ 2[x((n))N x*((N n))N ]
其中：
X ep (k)
X
* ep
((
N
k))N RN (k)
1/ 2[ X ((k))N X *((N k))N ]RN (k)
X
op
(k
)
X
* op
((N
k
))N
RN
(k
)
1/ 2[ X ((k))N X *((N k))N ]RN (k)
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共轭对称性
序列
其中：xe (n) xe*(n) 1/ 2[x(n) x*(n)]
xo (n) xo*(n) 1/ 2[x(n) x*(n)]
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xe
(n)
1 2
[x(n)
x* ( n )]
x((n))N
x%e (n)
1 2
[ x%(n)
x%* ( n )]
x*((N n))N
实部圆周奇对称 虚部圆周偶对称
Re[xop (n)] Re[xop ((N n))N RN (n)] Im[xop (n)] Im[xop ((N n))N RN (n)]
幅度圆周偶对称 幅角没有对称性
xop (n) xop ((N n))N RN (n)
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同理： X (k) Xep (k) Xop (k)
幅度圆周偶对称 xep (n) xep ((N n))N RN (n) 幅角圆周奇对称 arg[xep (n)] arg[xep ((N n))N RN (n)]
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13
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圆周共轭反对称序列满足：
xop (n) xo*p ((N n))N RN (n)
[
X
((k
l ))
N
RN
(k
)]
WNnl
x(n)
e
j
2 N
nl
x(n)
证：IDFT[ X ((k l))N RN (k)] IDFT[ X%(k l)RN (k)] IDFS[ X%(k l)]RN (n) WNnl x%(n)RN (n) WNnl x(n)
时域序列的调制等效于频域的圆周移位
则任意有限长序列：
x(n) xep (n) xop (n)
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圆周共轭对称序列满足：
xep (n) xe*p ((N n))N RN (n)
实部圆周偶对称 Re[xep (n)] Re[xep ((N n))N RN (n)] 虚部圆周奇对称 Im[xep (n)] Im[xep ((N n))N RN (n)]
X
(k
)
证：DFT [x((n m))N RN (n)] DFT[x%(n m)RN (n)]
DFS[x%(n m)]RN (k )
WNmk X%(k)RN (k)
W mk N
X
(k
)
有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移， 而对频谱幅度无影响。
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调制特性：
IDFT
WNnl
x(n)
WNnl
x(n)
j 2 nl
j 2 nl
e N e N x(n) x(n)sin 2 nl
2j
N
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7
3、共轭对称性
序列的Fourier变换的对称性质中提到： 任意序列可表示成 xe (n) 和 xo (n) 之和:
x(n) xe (n) xo (n)
X 2 (k) DFT[x2 (n)]
则 DFT[ax1(n) bx2 (n)] aX1(k) bX 2 (k)
a, b为任意常数
这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 相等，均为N，且 N max[N1, N2 ]
2020/4/24
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2
2、序列的圆周移位