13．6实系数一元二次方程
成功的要领（学习要求）：
1．在复数集中，会判别实系数一元二次方程解的情况，并能熟练地求解实系数一元二次方程。
2．在复数集中，实系数一元二次方程根与系数的关系仍然成立。实系数一元二次方程在判别式∆<0时，方程的根是一对共轭虚根。
3.在复数集中，实系数二次三项式2(0)ax bx c a ++≠可以分解因式：
212()()ax bx c a x x x x ++=--
成功的准备（课前预习）：
实系数一元二次方程a 2x +bx+c=0(a,b,c ∈R,a 0≠)
(1)当∆=b ac 42->0时，方程有两不相等的实数根，2,1x =______________
(2)当∆=b ac 42-=0时，方程有两相等的实数根，x 1=x 2=______________
(3)当∆=b ac 42-<0时，方程有一对_____________根，2,1x =_____________
成功的探索（电子笔记）：
成功的尝试：（基础形成题） A ：口答
1：在复数范围内,下列命题中的真命题是（ ）
(A) 实系数一元二次方程在∆<0时无解。
(B) 对于实系数一元二次方程，根与系数的关系在∆<0时，不成立。
(C) 实系数一元二次方程的一根为2+i,则另一个根为2-i.
(D) 实系数一元二次方程一定有实数解.
2：已知x 1+x 2=3，x 1x 2=6则x 1，x 2应满足方程（ ）
（A ）2x +3x+6=0 （B ）2x +3x-6=0
（C ）2x -3x+6=0 （C ）2x -3x-6=0
3：若实系数一元二次方程的根为x 1=1+i 3，x 2=1-i 3则这个一元二次方程是（ ）
（A ）2x -2x+2=0 （B ）2x -2x+4=0
（C ）2x +2x+2=0 （D ）2x +2x+4=0
4：设关于x 的实系数一元二次方程a 2x +bx+c=0在复数集中的两个根为α，β则下列结论恒成立的是（ ）
（A ）α和β互为共轭复数 （B ）α+β=-a b ，αβ=a
c （C ）∆= b ac 42->0 （D ）∣α-β∣=αββα4)(2-+
B :填空
1：（口答）x ∈C,方程2x +1=0则x=__________
2：若x 1，x 2是一元二次方程2x -x+7=0的根，则221)(x x -=__________
3：方程42x +9=0的解是___________
4：方程2x +x+1=0的解是____________
5:已知方程2x +2x+k=0有一根为i 则k=___________
成功的小结：
1．实系数一元二次方程a 2x +bx+c=0(ab,c ∈R,a 0≠)
1)当∆=b ac 42
->0时，方程有两不相等的实根,2,1x =a ac b b 242-±-
(2)当∆=b ac 42-=0时，方程有两相等的实数根，x 1=x 2=-
a b 2
(3)当∆=b ac 42-<0时，由22244)2(a
ac b a b x -=+知：2b x a +=
则：x=2b a
-±
即：方程有一对共轭虚根，2,1x
2．根与系数的关系：当∆=b ac 42-<0时，对于共轭虚根x 1,x 2仍然有
x 1+x 2==-a b x 1x 2==a
c 3.在复数集中，实系数二次三项式2(0)ax bx c a ++≠可以分解因式：
212()()ax bx c a x x x x ++=--
成功的引伸：（思维拓展题）
1．若关于 x 的一元二次方程 有虚根，则实数x 的取值范围是
_________________.
2.在复数集中解关于x 的方程：
240()x ax a R ++=∈
3.在复数集中解下列一元二次方程
（1） (2)2320x x ++=
4.已知方程2x +2x+k=0有一根为i 则k=___________
成功的延续（课后作业）：
1.已知一元二次方程20()x mx n m n R ++=∈、，试确定一组m n 、的值，使该方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程.
2.已知32i -是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数p 、q 的值. 迈向新的成功（高考模拟题）：
已知关于x 的方程240()x x m m R ++=∈的两个根为,αβ且2αβ-=，求m 的值。 220x kx k --=2
20x +=
第四章 一元二次方程 一元二次方程 【学习目标】: 1、正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2、知道一元二次方程的一般形式是c b a c bx ax 、、(02 =++是常数，0a ≠） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项； 【重点和难点】: 理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件 【知识回顾】 1、只含有____________ 个未知数，且未知数的最高次数是___________的整式方程叫一元一次方程 2、方程2（x+1）=3的解是________________ 3、方程3x+2x=含有_____个未知数，含有未知数项的最高次数是_________ ，它___（填“是”或“不是”）一元一次方程。 【预习指导】 1、 根据题意列方程： ⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。 解： 设正方形桌面的边长是xm ， 根据题意,得方程_______________， 则这个方程含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____。 ⑵如图，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，如果花园的面积是24㎡， 求花园的长和宽。 解：设花园的宽是xm,则花园的长是 m, 根据题意， 得：x(19－2x)=24， 去括号， 得:______________ 则这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次数是________。 ⑶如图，长5m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m 。若梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。 解：设梯子滑动的距离是xm ，根据勾股定理，滑动的梯子的顶端离地面 m ，则滑动后梯子的顶端离地面 m ，梯子的底端与墙的距离是 m 。 根据题意， 得： 去括号， 得：_____________________ 移项，合并同类项， 得：________________ 则此方程含有_____________个未知数，含有未知数项的最高次数是______。 2、概括归纳与知识提升： ⑴像0241922 =+-x x ，02 =-x x ，22=x 这样的方程，含有_____________个未知数，并
【课堂例题】 例1.已知32i -+是关于x 的方程220x px q ++=的一个根,求实数,p q 的值. 例2.已知方程210,x px p -+=∈R 的两根12,x x 满足12||2x x -=,求实数p 的值. 课堂练习 1.已知123x i =+是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根,求另一个根及,p q 的值. 2.若,αβ是方程2230x x ++=的两个根,求1 1 αβ+的值. 3.已知关于x 的方程240()x x m m ++=∈R 的两根为,αβ,且||2αβ-=,求m 的值. 4.若关于x 的方程22 230x kx k k ++-=有一个模为1的根,求实数k 的值.
【知识再现】 实系数一元二次方程20,(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 的两根为12,x x ,则 =+21x x __________；=?21x x _____________. 【基础训练】 1.已知12122,4x x x x +=-=-,则12,x x 满足方程( ) A.2240x x -+= B.2240x x +-= C.2240x x -+= D.2240x x --= 2.判断题: (真命题填写“√”,假命题填写“×”) (1)在复数范围内,方程20,(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 总有两个根.( ) (2)若12i +是关于x 的方程20,(,)x px q p q ++=∈C 的一个根, 则这个方程的另一个根是12i -.( ) (3)若关于x 的方程20x px q ++=有两个共轭虚根,则,p q 均为实数.( ) 3.已知两数之和为4,它们的积等于6,则这两个数为 . 4.已知关于x 的实系数一元二次方程20,(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 在复数集中的两个根是,αβ,下列结论中恒成立的是( ) A. ,αβ互为共轭复数 B. ,b c a a αβαβ+=- = C. 240b ac -≥ D. ||αβ-= 5.已知方程2360x x ++=的两根为,αβ,利用根与系数的关系计算: (1)22αβ+;(2)33αβ+. 6.已知关于x 的方程2 30,()x kx k ++=∈R 有两个虚根,αβ,且||αβ-=求实数k 的值. 7.关于x 的方程22 10,()x x t t +++=∈R 有一个模为3的根，求实数t 的值.
13．6实系数一元二次方程 成功的要领（学习要求）： 1．在复数集中，会判别实系数一元二次方程解的情况，并能熟练地求解实系数一元二次方程。 2．在复数集中，实系数一元二次方程根与系数的关系仍然成立。实系数一元二次方程在判别式∆<0时，方程的根是一对共轭虚根。 3.在复数集中，实系数二次三项式2(0)ax bx c a ++≠可以分解因式： 212()()ax bx c a x x x x ++=-- 成功的准备（课前预习）： 实系数一元二次方程a 2x +bx+c=0(a,b,c ∈R,a 0≠) (1)当∆=b ac 42->0时，方程有两不相等的实数根，2,1x =______________ (2)当∆=b ac 42-=0时，方程有两相等的实数根，x 1=x 2=______________ (3)当∆=b ac 42-<0时，方程有一对_____________根，2,1x =_____________ 成功的探索（电子笔记）： 成功的尝试：（基础形成题） A ：口答 1：在复数范围内,下列命题中的真命题是（ ） (A) 实系数一元二次方程在∆<0时无解。 (B) 对于实系数一元二次方程，根与系数的关系在∆<0时，不成立。 (C) 实系数一元二次方程的一根为2+i,则另一个根为2-i. (D) 实系数一元二次方程一定有实数解.
2：已知x 1+x 2=3，x 1x 2=6则x 1，x 2应满足方程（ ） （A ）2x +3x+6=0 （B ）2x +3x-6=0 （C ）2x -3x+6=0 （C ）2x -3x-6=0 3：若实系数一元二次方程的根为x 1=1+i 3，x 2=1-i 3则这个一元二次方程是（ ） （A ）2x -2x+2=0 （B ）2x -2x+4=0 （C ）2x +2x+2=0 （D ）2x +2x+4=0 4：设关于x 的实系数一元二次方程a 2x +bx+c=0在复数集中的两个根为α，β则下列结论恒成立的是（ ） （A ）α和β互为共轭复数 （B ）α+β=-a b ，αβ=a c （C ）∆= b ac 42->0 （D ）∣α-β∣=αββα4)(2-+ B :填空 1：（口答）x ∈C,方程2x +1=0则x=__________ 2：若x 1，x 2是一元二次方程2x -x+7=0的根，则221)(x x -=__________ 3：方程42x +9=0的解是___________ 4：方程2x +x+1=0的解是____________ 5:已知方程2x +2x+k=0有一根为i 则k=___________ 成功的小结： 1．实系数一元二次方程a 2x +bx+c=0(ab,c ∈R,a 0≠) 1)当∆=b ac 42 ->0时，方程有两不相等的实根,2,1x =a ac b b 242-±- (2)当∆=b ac 42-=0时，方程有两相等的实数根，x 1=x 2=- a b 2 (3)当∆=b ac 42-<0时，由22244)2(a ac b a b x -=+知：2b x a += 则：x=2b a -±
一元二次方程数学教学教案 一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的多项式方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)，其中ax²叫作二次项，a是二次项系数;bx叫作一次项，b是一次项系数;下面是小编为大家整理的一元二次方程数学教学教案5篇，希望大家能有所收获! 一元二次方程数学教学教案1 一、教材分析 1、教材的地位和作用 一元二次方程是中学教学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在一元二次方程的前面，学生学了实数与代数式的运算，一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组，上述内容都是学习一元二次方程的基础，通过一元二次方程的学习，就可以对上述内容加以巩固，一元二次方程也是以后学习(•指数方式，对数方程，三角方程以及不等式，函数，二次曲线等内容)的基础，此外，学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义。 2、教学目标及确立目标的依据 九年义务教育大纲对这部分的要求是：“使学生了解一元二次方程的概念”，依据教学大纲的要求及教材的内容，针对学生的理解和接受知识的实际情况，以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学目标。 知识目标：使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。 能力目标：通过一元二次方程概念的教学，培养学生善于观察，发现，探索，归纳问题的能力，培养学生创造性思维和逻辑推理的能力。 德育目标：培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。 3、重点，难点及确定重难点的依据 “一元二次方程”有着承上启下的作用，在今后的学习中有广泛的应用，因此本节课做为起始课的重点是一元二次方程的概念，一元二次方程(特别是含有字母系数的)化成一般形式是本节课的难点。 二、教材处理
复数范围内解一元二次方程 实系数一元二次方程ax+bx+c=0在实数范围内的解的情况：ax+bx+c=a（x +x）+c=a［x+x+（）］+c-=a（x+）+=0，即（x+）=。 设Δ=b-4ac（判别式）， 当Δ＞0时，方程有两个不等的实数解：x=。 当Δ=0时，方程有两个相等的实数解：x=。 当Δ＜0时，方程无实数解。 方程的根与系数的关系：x+x=-，xx=。 实系数一元二次方程ax+bx+c=0在复数范围内的解的情况： ax+bx+c=a（x+x）+c=a［x+x+（）］+c-=a（x+）+=0，即（x+）=。设Δ=b-4ac（判别式）， 当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根：x=。 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根：x=。 当Δ＜0时，方程有两个共轭虚数根：x=。 注意：实系数一元二次方程在复数范围内求解时，
①由于求根公式仍可使用，故方程的根与系数的关系也仍成立； ②若Δ＜0，则意味着方程有一对共轭的虚数根。 二 下面对两道例题进行解算。 例1：已知实系数一元二次方程2x+rx+s=0的一个根为-3+2i，求r，s的值。解：由题设得方程另一根为-3-2i，由韦达定理得s=2（-3+2i）（-3-2i）=2 6，r=-2（-3+2i-3-2i）=12。 例2：若关于x的方程x+5x+m=0的两个虚数根x，x满足|x-x|=3 ，求实数m的值。 解：方法一： 方程x+5x+m=0有两个虚根，则有Δ=25-4m＜0，m＞。 又|x-x|=|-|==3，4m-25=9， m=。 方法二： |x-x|=3， |x-x|=9，
即|（x-x）|=9，|（x+x）-4xx|=9。 又x+x=-5，xx=m， |25-4m|=9。 又25-4m＜0， 4m-25=9， m=。 三 上面我们解决了实系数一元二次方程求解问题，那么对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程又应该如何求解呢？ 例1：求方程x-2ix-5=0的解。 解：配方，得（x-i）-4=0，即（x-i）=4， x=2+i，x=-2+i。 另解：Δ=（-2i）-4×（-5）=-4+20=16， x=，x=，即x=2+i，x=-2+i。 例2：求方程（x+）=的解。
[课 题]：§13.6 实系数一元二次方程. [教学目标]： 1. 理解在复数集中实系数一元二次方程总有两个根，并掌握根的求法； 2. 理解当0∆<时实系数一元二次方程有两个共轭虚根； 3. 掌握用根的判别式、根与系数的关系解决实系数一元二次方程的相关问题. [执 教]： [班 级]：高二（7）班 [时 间]：2019.5.6. [教学过程]： 复习问答：求复数a 的平方根，即：若2()x a a C =∈，则x 叫a 的平方根. 当a >0时，正数有两个平方根，它们互为相反数 当a =0时，零的平方根是零； 当a <0时，负数有两个平方根，它们互为共轭纯虚数(0)a ->； 当a 为虚数时，虚数有两个平方根()(,)m ni m n R ±+∈. 新课：实系数一元二次方程 解方程：20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠. (师生共同完成配方，分类开方求解) 1. 解的讨论： 当0∆>时，方程有两个不等实根；1,22b x a -±= 当0∆=时，方程有两个相等实根；122b x x a ==- 当0∆<时，方程有两个共轭虚根z z 、 2b i a -±= 2. 根与系数的关系. 12b x x a +=- ； 12c x x a ⋅=（有共轭虚根z z 、时，2||c z z z a ⋅==）. 3. 二次三项式的因式分解：2 ax bx c ++=()()12a x x x x -- 例1. 解方程：2 2450x x -+=.
练习：P 91 1，2，4 例2. 已知1i +是关于x 的方程2 0x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值. 练习：P 92 1，2，3 思考题： 1. 若方程2 20()x ax a R -+=∈有虚数根z ，则|z|=_________. 2. 若方程22440x x m -+-=的虚数根的模是3，则实数m=_________. 3. 方程()22240x i x i -++=的解为_______________. 4. 方程()()21120i x i x +---=的实数解x=________. 小结：讨论了实系数一元二次方程的解总有两个，要分情况判断； 要关注当0∆<时，方程有两个共轭虚根z z 、及2||c z z z a ⋅==的应用； 虚数系数的方程仍要应用复数相等的充要条件或因式分解等方法解方程. 作业：校本作业§13.6 实系数一元二次方程（1）
一元二次方程的相关教案【优秀3篇】 元二次方程篇一 [教材分析] 中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线。因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。一元二次方程有根与系数关系，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含有丰富的数学思想方法，也为学生们将来的学习打下了必要的基础。 [学生分析] 进入了初二下半学期，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。再加上我所执教的学生，他们有着较强的认知力与求知欲，基于以上思考，我在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。 [教学目标] 在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中，经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，得出一元二次方程根与系数的关系。 能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；已知一根求另一根及系数。 理解数学思想，体会代数论证的方法，感受辩证唯物主义认识论的基本观点。 [教学重难点] 发现并掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特殊到一般的发生发展过程 [教学过程] (一)复习导入 请学生求解表格内的方程，完成解法的交流以及求根公式的复习，求根公式向我们揭示了两根与系数间的关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？由此疑问，导入新课。 (二)探求新知 数学学科中由数到式的结构编排，让我们想到了从两根运算上的最简组合：和差积商展开进一步研究。初探新知中，我将学生们分成两组，分别对二次项系数为1 的一元二次方程两根进行和差积商的运算，之后将结果汇总展示，共同观察与系数的联系。我在这些方程中安排了两个无理根方程。当学生们发现这两个无理根在求和，求积后，竟变成了有理数，而且每一组两根和(积)都与系数有着密切的联系，此时的他们不难对两根和与两根积产生关注，经历了对二次项系数为1的一元二次方程两根和差积商的研究后，确定了课题并获得猜想：“两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项。”对于这一猜想，会有学生提出不同看法，他们提出研究二次项系数非1 的一元二次方程。学生的质疑启动再探新知。直接研究一元二次方程两根和、两根积与系数的关系。这一环节中我不再给出具体的方程要求研究，故除了部分同学自定义方程求根求和求积后产生猜想，还有部分同学对仍保留在板书部分的求根公式着手进行两根和，积的运算。这两种方案齐头并进，当前者通过不断验证来说明他们猜想的可靠度时，后者通过论证，在严格意义下，说明了此结论的正确性。对于论证中学生出现的问题，我们在第一时间内揪错指正， 在知识初探与再探后，学生获得了新知，得到了一元二次方程根与系数的关系， 三、训练感悟 我将之前从学生那里收集来的错解对照表中方程，询问检验其正误的方法。学生根据已
13.6（1）实系数一元二次方程 上海市新中高级中学 陶志诚 一、教学内容分析 本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac ∆=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计 理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用. 三、教学重点及难点 在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备 电脑、实物投影仪 五、教学流程设计
六、教学过程设计 （一）复习引入 1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式，我 们回顾一下： 当240b ac ∆=-≥ 时，方程有两个实数根：22b x a a =-± 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①：一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解？ 设问②：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？ [说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x 即为-1的平方根：i ±；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程. （二）讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况： 设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. 因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a +=-， 配方得
复数集内一元二次方程 的解法 Revised by Petrel at 2021
复数集内一元二次方程的解法 一、实系数一元二次方程 只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭， 1．判定下列方程根的情况，并解方程 （1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x （2）0122=+-x x 答：4 71i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值． |x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9． 3．已知实系数一元二次方程2x 2＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值． 二、复系数一元二次方程 虚根不一定成对，成对也不一定共轭。 1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？） 求方程x 2-2ix-7=0的解 解方程：x 2-4ix+5=0； 解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5351,221-= =（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，） 2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0． 2511 22=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±==
2311 22=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题 1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解． 2．已知方程x 2+mx+1+2i=0（m ∈C ）有实根，求|m|的最小值． 解方程 关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数解，则实数m 满足的条件是( C ) A ．41-≥m B ．41-≤m C ．121=m D ．12 1-=m R k ∈，方程04)3(2=++++k x i k x 一定有实根的充要条件是(D ) A ．4≥k B ．522-≤k 或522+≥k C ．23±=k D ．4-=k 一元二次方程缺少常数项，必有零根（一个特殊的实根） 设βα与是实系数一元二次方程0m x 2=++x 两个虚根，且3=-βα，求m 。答：25=m 利用∆-=∆-= -i βα 已知i 2321+-是方程022=++kx x （C k ∈）的一个根，求k 的值。答：i 2323+（不能用求根公式、虚根成对定理求解，可利用根适合方程解答） 关于x 的方程02=++a x x 有两个虚根，而且2=-βα，则实数a 的值是( A ) A ．45 B ．21 C ．5 2 D ．2 若方程035)(2)1(2=-++-+i x i a x i （R a ∈）有实根，求合适的a 。答：3 7= a 或－3 关于x 的方程22210123ix ix i x a x --=--有实数根，求实数x 的值。答：571-=a 或11。 7．设关于x 的方程0)3(22=+++i tx t t x 有纯虚数根，求实数t 的值。答：3-=a 8．
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1 学习目标 1、一元二次方程的求根公式的推导 2、会用求根公式解一元二次方程. 3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯 学习重、难点 重点：一元二次方程的求根公式. 难点：求根公式的条件：b2 -4ac≥0 学习过程： 一、自学质疑： 1、用配方法解方程：2x2-7x+3=0. 2、用配方解一元二次方程的步骤是什么? 3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢? 二、交流展示： 刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢?
三、互动探究： 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根. 注：(1)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号. (2)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值;当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解;当b2-4ac<0时，方程没有实数解.就不必再代入公式计算了. 四、精讲点拨： 例1、课本例题 总结:其一般步骤是： (1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值.(注意符号) (2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根) (3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根. 例2、解方程： (1)2x2-7x+3=0 (2) x2-7x-1=0 (3) 2x2-9x+8=0 (4) 9x2+6x+1=0
复数集内一元二次方程的解法 一、实系数一元二次方程 只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭, 1．判定下列方程根的情况,并解方程 1022=++x x ,0722=++x x ,0452=+-x x 20122=+-x x 答：4 71i x ±=,05322=+-x x ,09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1,x 2满足|x 1-x 2|=3,求实数m 的值． |x 1-x 2|=3,|x 1-x 22|=9；则|x 1＋x 22-4x 1x 2|=9,即|25-4m|=9． 3．已知实系数一元二次方程2x 2＋rx ＋s=0的一个根为2i-3,求r,s 的值． 二、复系数一元二次方程
虚根不一定成对,成对也不一定共轭; 1．求方程x 2-2ix-5=0的解．当b 2-4ac ≥0时,方程的解都是实数吗 求方程x 2-2ix-7=0的解 解方程：x 2-4ix+5=0； 解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5351,221-= =应用求根公式,不能用复数相等 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=b 2-4ac 为虚数, 2．解方程：x 2＋1＋ix ＋5i=0． 2511 22=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 2311 22=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题 1．方程x 2+m+2ix+2+mi=0至少有一实根,求实数m 的值和这方程的解． 2．已知方程x 2+mx+1+2i=0m ∈C 有实根,求|m|的最小值． 解方程 关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数解,则实数m 满足的条件是 C
第17章《一元二次方程》单元复习学案 【学习目标】 1.知道本章的知识结构，并能用书面形式整理出来. 2.会用不同的方法解一元二次方程. 3.理解一元二次方程的根的判别式，了解一元二次方程根与系数的关系. 4.掌握用一元二次方程解决实际问题的能力体会数学建模和化归思想. 【学习重难点】 重点：一元二次方程的解法、根的性质及其应用. 难点：配方法和建立一元二次方程或分式方程模型解决实际问题. 【学法指导】 通过复习回顾，探究本章的主要内容，理解掌握一元二次方程的解法及其应用. 【自主学习】 1.什么是一元二次方程？它的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的解法有哪些？ 3.一元二次方程根的判别式是什么？怎样用它判断一元二次方程根的情况？ 4.一元二次方程根与系数的关系是怎样的？ 5.列一元二次方程解应用题的一般步骤有哪些？ 【课内探究】 活动一 小组合作：请你整理出本章的知识结构图 活动二 练一练： 1.下列方程中，是一元二次方程的是 （ ） +21x =0 +bx +c C .(x -1)(x +2)=1 =0 2.已知关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x +a 2-1=0的常数项为0，则a 的值为 （ ） B .-1 C .1或-1 一元二次方程x 2=5x -6的一次项系数是__________. 4.已知关于x 的方程x 2+bx +a 的一个根是-a （a ≠0），则a -b =__________. 5.我市政府广场准备修建一个面积为200m 2的长方形草坪，它的长比宽多10m ，
设草坪的宽为x m，则可列方程为_________________. 活动三做一做： 1.若9x2-(k+2)x+4是完全平方式，则k =（） 或14 C.-10或14 或-14 2.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+6=4，则另一个是（） =-4 =4 C.x+6=4 +6=-4 3.方程4x2-x=-5化成一般形式后，b2-4ac的值是（） A. 81 B. 79 C.-79 D.-81 4.一球以15m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）近似地满足关系式：h=15t-5t2， 则小球回到地面的时间为（） A. 0s B. 3s C. 0s或3s D. 5s 5.将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式是__________. 6.已知关于x的方程x2-(m+2)x+1=0中，b2-4ac=5，则m的值为_________. 7.已知三角形两边长为2和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的解，则这个三角形的第三边长为_________. 8.解下列方程： （1）x2-6x+9=(5-2x)2（直接开平方法）；（2）2x2-3x-6=0（配方法）； （3）(x-3)(x-4)=5x（公式法）；（4）2(5x-1)2=3(1-5x)（因式分解法）. 活动四想一想： 1.下列方程中，有两不等实根的是（） A.x2-2x-1=0 +3=0 C.x2=-3 +4=0 2.方程x2-4mx=2-m(m为常数)根的情况是（） A.有两不等实根 B.有两等实根 C.没有实数根 D.无法判断 3.方程x2+1 3 =0的根的判别式△=_______. 4.在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若ac＜0，则它的根的情况是_____________. 5.关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，则a满足的条件是___________. 活动五试一试： 1.已知一元二次方程x2-3x-1=0的两个根分别为x1，x2则x12x2+x1x22的值为（） .3 C 2.若方程x2-x+k=0的两根之比为2，则k的值为（） A.1 3 B.- 1 3 C. 2 9 2 9 3.两数和为5，积为6，则这两个数是_____________. 4.点P(a，b)是直线y=-x+5上的点，且a，b是方程x2+px+6=0的两个实根，则p=______. 5.已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两个根，则x12-3x2+20=_________. 活动六考考你 1.若两个连续整数的积是20，则这两个数是（） 和5 和-4 C.4和5或-5和-4 ±和±5 2.某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为 x，由题意可列方程为（）
一元二次方程 学习目标： 1、进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型； 2、正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元 二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。 3、会进行简单的一元二次方程的试解； 4、理解方程的解的概念，发展有条理的思考与表达能力； 5、会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义 自主学习： （一）、根据题意列方程： （1）有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形? （2）我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度. （3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？ （二）、探索新知： （１）、问题：上述４个方程是不是一元一次方程？有何共同点？①；②；③。（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____,只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___的方程叫做一元二次方程。 （3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为(a,b,c为常数，且）的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。a为，b 为，c为。 注：1、一元二次方程必须满足三个条件：a ；b ；c 。 2、任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：. 二次项（或二次项系数）、一次项（或一次项系数）、常数项都要包含它前面的符号。 3、二次项系数0 a≠是一个重要条件，不能漏掉（想一想为什么呢？） 例： 1、下列列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？ （1）2 50 x -=（2 2x -=（3） 2 12 30 x x +-= （4）3 30 x x -=（5）230 x xy +-= 2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 2 351 x x =-(2) (2)(1)6 x x +-=(3) 2 470 x -= 练习： 1、下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）
一元二次方程根与系数的关系（2）导学案（新版新人教版） 第7时一元二次方程根与系数的关系（2） 一、学习目标1．已知一元二次方程两根的关系求参数的取值范围；2．已知一元二次方程两根的关系会求参数； 3．会求含有一元二次方程两根的代数式的值 二、知识回顾1．一元二次方程的一般形式是什么？ 2 一元二次方程的求根公式是什么？ （） 3 判别式与一元二次方程根的情况： 是一元二次方程的根的判别式，设，则 （1）当时，原方程有两个不相等的实数根； （2）当时，原方程有两个相等的实数根； （3）当时，原方程没有实数根 4 一元二次方程ax2+bx+=0(a≠0)有两个实数根x1，x2与系数a,b,的关系是什么？ ， 三、新知讲解几种常见的求值： 1
四、典例探究 1．已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围 【例1】已知关于x的方程设方程的两个根为x1,x2，若求的取值范围 总结： 如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+=0(a≠0)的两个实数根，则有．这是著名的韦达定理 已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条 练1．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2+1）x+2+2=0的两个实数根，且x1，x2满足x1•x2﹣x12﹣x22≥0，求的取值范围 【例2】（201•丹江口市一模）已知关于x的方程x2﹣2（+1）x+2﹣3=0 （1）当取何值时，方程有两个实数根？ （2）设x1、x2是方程的两根，且（x1﹣x2）2﹣x1x2=26，求的值．
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇） 《一元二次方程》优秀教案1 教学目标： 1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型 2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。 3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。 教学重点 1、一元二次方程及其它有关的概念。 2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。 教学难点 1、建立一元二次方程实际问题的数学模型． 2、把一元二次方程化为一般形式 教学方法：指导自学，自主探究 课时：第一课时 教学过程： （学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）
一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念） 1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容；化简上述三个方程.。 2、你发现上述三个方程有什么共同特点？ 你能把这些特点用一个方程概括出来吗？ 3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念 你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点？你还掌握了什么？ 二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握） １、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？ ①②③ ④x2+2x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=0 2、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1) 3、若关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k的值是多少？ 4、关于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程? 5、以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程？ 三、反思：（学生，进一步加深本节课所学内容）
一元二次方程全章导学案(不分版本,通用) 初三数学备课组备课时间：上课时间：课型：任课班级： 主备人： 导学案：一元二次方程 研究目标： 1.理解方程是数学模型，能够将实际问题转化为一元二次 方程； 2.掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、 一次项系数及常数项。 研究重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程 的概念。 研究过程： 活动一：知识链接（5分钟） 1.下列方程中是一元二次方程的是：
1) 2x+3x=9，(2) (x+1)(x-1)=0，(3) 2y^2=0，(4) 2x+3/x- 1=0。 5) 3m=2，(6) 2x^2+3y-5=0. 2.把方程(2y-1)(2y+1)=1 化为一般形式为：ax^2+bx+c=0；其二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c。 3.若(m-3)x^n-2+3nx+3=0 是关于x的一元二次方程，则 m=？n=？ 4.下面哪些数是方程x^2-x-6=0 的根？-4，-3，-2，-1，1，2，3，4. 活动二：自主交流探究新知（25分钟） 1.自学教材P17-19，回答以下问题： 1) 一元二次方程的定义：只含有一个求知数（一元）， 并且求知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2) 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax^2+bx+c=0，其中a≠0，这种形式叫做一元二次方程的一般 形式。其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
注意：方程ax^2+bx+c=0 只有当a≠0 时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0 时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。 活动五：拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 2.二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。 1.当a不等于0时，关于x的方程a(x^2+x)=3x^2-(x+1)是一元二次方程。 2.一元二次方程的解是方程中使等号左右两边值相等的未知数的值。同时，需要指出方程的各项系数。 3.关于x的方程(m^2-m)xm+1+3x=6可能不是一元二次方程，因为它的次数可能大于二次。 活动一】知识链接（5分钟） 1.如果x^2=25，则根据平方根的意义，直接开平方得x=5或x=-5.如果x换元为2x-1，即(2x-1)^2=5，则也可以用直接开平方的方法求解。 2.(1) 解：由方程(2x-1)^2=5，得2x-1=±√5，即2x-1=√5或2x-1=-√5.∴x1=(1+√5)/2，x2=(1-√5)/2.(2) 解：由方程
一元二次方程数学教案 一元二次方程数学教案1 一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、2= 得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。 根与系数的关系也称为韦达定理(韦达是法国数学家)。韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组;韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。 通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。 通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。 (二)重点、难点 一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。
(三)教学目标 1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。 一元二次方程数学教案2 教学目的 1.了解整式方程和一元二次方程的概念； 2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。 3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学________于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。 教学难点和难点:重点: 1．一元二次方程的有关概念 2．会把一元二次方程化成一般形式 难点:一元二次方程的含义. 教学过程设计 一、引入新课 引例：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪? 分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。 2.这个问题用什么数学方法解决?(间接计算即列方程解应用题。 3．让学生自己列出方程( x（x十5）＝150 )
第二章 一元二次方程 花边有多宽（1） 学习目标： 1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。 2、会识别一元二次方程及各部分名称。 一，自主探究 活动内容： 问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m ，宽为５m ．地毯中央长方形图案的面积为１８m 2。 根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？ 问题二：你能找到关于102 、112 、122 、132 、142 这五个数之间的等式吗？ 得到等式102+112+122=132+142 之后你的猜想是什么？ 根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。 问题三：如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？ 二，总结归纳 活动内容： 归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。 一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。 经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax 2+bx+c=0(a ≠0)，即它的一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0)。 应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则有a ≠0； (2) 若a ≠0(b 、c 可以为零)，则ax2+bx+c=0是一元二次方程。 判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程；③二次项系数不能为零。简而言之是指经化简后，若符合ax2+bx+c=0(a ≠0) ，则为一元二次方程，否则不是。 三，学以致用 活动内容： 1、把方程(3x ＋2)2＝4(x －3)2化成一元二次方程的一般形式 ,并写出它的二次项系数、 8