一、任意角：
初中我们研究过锐角(0～90)的三角函数值，了解钝角(大于90，小于180的角)，平角(180)周角
(360)的概念。但实际生活中会遇到超过360的角，例如:体操转体720等，这需要把角的概念进行推广，而原来角的定义(从一点出发的两条射线所构成的图形)显然不能完成推广的任务，因此对角需要重新定义。
角:平面内一条射线绕着顶点(O)，从开始位置(OA)旋到结束位置(OB)所构成的图形。OA称为角的始边，OB称为角的终边。
规定:射线逆时针旋转而成的角为正角，顺时针旋转而成的角为负角，射线没有旋转时称为零角。
角进行重新定义后，角的分类也要重新进行，而这次分类是通过直角坐标系来完成的。我们把角的顶点放在坐标原点，角的始边放在某轴的正半轴上，根据终边的'位置，把角分成象限角与轴上角两类。即终边落在象限内(四个)称为象限角;终边落在轴上(四个)称为轴上角。因此今后我们考虑角的问题时，只考虑角的终边位置即可。
终边相同角的表示方法:
由于终边相同的角之间都相差360的整数倍，因此与角终边相同的角的集合为:
{某|某=k360+, kZ}。
其中可以是与角终边相同的任意一个角;一般情况下，取0到360之间的角。
注意:0到360是指:0360。
二、弧度制:
我们前面把角推广到任意角。实际上是解决了三角函数中定义域的问题。应该说我们所应用的角度数与实数是可以建立一一对应关系的。但如果就用角度数作为自变量的取值，会有一些不方便的地方(尤其是作图中)，因此引入了弧度制。
今后在表示角时，如无特殊规定，用角度制、用弧度制表示均可，但一定不要混用。为了给三角函数的教学作准备，建议大家尽量用弧度制表示角。
任意角与弧度制知识点汇总 一、任意角的定义和度量 1.任意角是指不在坐标轴上的角，可以是任意大小的角度。 2.任意角的度量可以使用度数和弧度数来表示。 3.度数是常用的角度度量单位，一个完整的圆为360度，所以一个直角为90度。 4.弧度是另一种角度度量单位，一个完整的圆的周长为2π，所以一个直角对应的弧度为π/2 5.任意角的度数和弧度数之间的关系是180度=π弧度。 二、度和弧度的换算公式 1.由于180度=π弧度，所以度数转换为弧度可以使用如下公式：弧度数=度数×(π/180)。 2.弧度转换为度数可以使用如下公式：度数=弧度数×(180/π)。 三、任意角的三角函数 1. 任意角的三角函数包括正弦、余弦和正切，它们分别用sin、cos 和tan表示。 2. 正弦函数的值等于任意角的对边与斜边的比值，sinθ = 对边/斜边。 3. 余弦函数的值等于任意角的邻边与斜边的比值，cosθ = 邻边/斜边。
4. 正切函数的值等于任意角的对边与邻边的比值，tanθ = 对边/邻边。 5.三角函数的值可以通过正弦、余弦和正切表或计算器来查找或计算。 四、任意角的三角函数的性质 1.正弦函数的值在-1和1之间变化，并且具有周期性，其周期为360 度或2π弧度。 2.余弦函数的值在-1和1之间变化，并且具有周期性，其周期为360 度或2π弧度。 3.正切函数的值不受限制，但也具有周期性，其周期为180度或π 弧度。 4.三角函数的值可以通过画图或使用计算器来确定。 五、任意角的三角函数的基本关系 1. 正弦函数和余弦函数是互余函数，即sinθ = cos(90度-θ)。 2. 正切函数和余切函数是互倒函数，即tanθ = cot(90度-θ)。 3. 三角函数的和差公式可以用来求解任意角的三角函数值，如 sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB。 4.三角函数的倍角公式和半角公式也可以用来求解任意角的三角函数值。 六、任意角与单位圆的关系 1.单位圆是半径为1的圆，它可以用来表示任意角的三角函数值。
任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 例1、若ο ο13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45） （180,270） 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3 π ． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角 585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。 例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.
①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合： 例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解 ∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2 α ＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜ 2 α ＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2 α ＜n ·360°+270°. ∴ 2 α 是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3 α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜ 3 α ＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3 α ＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故 3 α 的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3 α ＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故 3 α 的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3 α ＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳 一、基础知识 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类? ???? 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式： 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
二、常用结论汇总——规律多一点 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广 设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ， tan α＝y x (x ≠0)． (3)象限角 (4)轴线角
5.1 任意角和弧度制 （基础知识+基本题型） 知识点一 任意角 1.角的概念 (1)角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 (2)角的表示：如图 射线OA 为始边，射线OB 为终边，点O 为角的顶点，图中角α可记为“角α”或“α∠”，也可简记为“α”。 2.角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 拓展： （1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面： ①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置。 （2）角的范围不再限于0 360. B O A O A B O A B A （B O
知识点二 象限角与终边相同的角 1.象限角 （1）象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （2）象限角的集合表示 }360 90360,x k k Z <<+⋅∈ }90360180360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }180360270360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }270360360360,k x k k Z ⋅<<+⋅∈ 2.终边相同的角 （1）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{S ββα==+}360,k k Z ⋅∈，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 （2）角的终边在坐标轴上的角的集合表示 ,k Z ∈}360,k k Z +⋅∈ }180,k k Z ⋅∈ }90360,k k Z +⋅∈ }90 360,k k Z +⋅∈
三角函数-任意角与弧度制 知识点 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。 2. 角的分类为了区别起见，我们规定: （1）正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角； （2）负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角； （3）零角：如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 注意：（1）角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角和零角 （2）在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”。 3.终边相同的角的表示方法：与α终边相同的角构成一个集合： { } 360,S k k Z ββα==+?∈o 注:（1） Z k ∈； （2）α是任意角； （3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 4.象限角：在直角坐标系内,角的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 非象限角：终边落在x 轴或y 轴上的夹角。 5.弧度与角度的互化 （1）弧度制的定义 比较两个同心圆，我们发现同一个圆心角所对应的弧长与半径对应成比例。
或者说同一个圆中弧长与半径之比是不变的。 因此我们有如下定义： 如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r （2）. 弧度角的定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 弧度单位：rad 。（此单位写不写都可以） （3）. 弧长公式：r l ?=α （4）. 角度与弧度的换算3602π=o rad ；180π=o rad 。 1°＝ π180rad ；1 rad ＝(180 π )° (3)特殊角的度数与弧度制对应表： （5）. 弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为S ＝12＝12|α|·r 2 题型一 终边相同的角的表示 【例1】写出与ο 75角终边相同的角的集合，并求在ο ο 1080~360范围内与ο 75角终边相同的角
知识点一：任意角的表示 ?????正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 知识点二：象限角的范围 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
任意角及弧度制知识点总结 一、任意角 1.任意角是指一个初始边在x轴正方向上的角度为α，终边在平面内可以任意取向的角。 2.任意角可以通过360度的整数倍来表示，例如α=30°+360°n，其中n为任意整数。 3.任意角也可以通过2π的整数倍来表示，例如α=π/6+2πn，其中n为任意整数。 4.任意角的定义并没有限制其大小范围，可以取正、负、零值。 5.任意角中，如果终边与x轴正方向相同，角度为正；如果终边与x 轴正方向相反，角度为负；终边在x轴上，角度为零。 二、弧度制 1.弧度制是角度的一种度量方式，用弧长与半径的比值来表示角的大小。 2. 弧度制的基本单位为弧度，用符号“rad”表示。 3.一圆的弧长等于该圆的半径时，对应的角度大小为1弧度。 4.弧度制与度数制之间的关系为：1圆周=360°=2π弧度。 5.角度与弧度之间的转换关系为：α(弧度)=α(度数)×π/180，或α(度数)=α(弧度)×180/π。 三、常见角度值的对应关系
1. 30°=π/6 rad，45°=π/4 rad，60°=π/3 rad，90°=π/2 rad，180°=π rad 2. 120°=4π/6 rad，150°=5π/6 rad，210°=7π/6 rad， 240°=8π/6 rad，300°=10π/6 rad 四、任意角的三角函数 1. 任意角中的正弦值（sinα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的纵坐标与半径的比值。 2. 任意角中的余弦值（cosα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的横坐标与半径的比值。 3. 任意角中的正切值（tanα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的纵坐标与横坐标的比值。 4. 三角函数的周期性：sin(α+2nπ)=sinα，cos(α+2nπ)=cosα，tan(α+π)=tanα，其中n为任意整数。 5. 其他三角函数的关系式：cotα=1/tanα，secα=1/cosα， cscα=1/sinα。 五、任意角的三角函数性质 1. sinα是奇函数，即sin(-α)=-sinα。 2. cosα是偶函数，即cos(-α)=cosα。 3. tanα是奇函数，即tan(-α)=-tanα。 4. 在特殊角度上的三角函数值：sin0=0，sinπ/6=1/2， sinπ/4=√2/2，sinπ/3=√3/2，sinπ/2=1；
一、任意角： 初中我们研究过锐角(0～90)的三角函数值，了解钝角(大于90，小于180的角)，平角(180)周角 (360)的概念。但实际生活中会遇到超过360的角，例如:体操转体720等，这需要把角的概念进行推广，而原来角的定义(从一点出发的两条射线所构成的图形)显然不能完成推广的任务，因此对角需要重新定义。 角:平面内一条射线绕着顶点(O)，从开始位置(OA)旋到结束位置(OB)所构成的图形。OA称为角的始边，OB称为角的终边。 规定:射线逆时针旋转而成的角为正角，顺时针旋转而成的角为负角，射线没有旋转时称为零角。 角进行重新定义后，角的分类也要重新进行，而这次分类是通过直角坐标系来完成的。我们把角的顶点放在坐标原点，角的始边放在某轴的正半轴上，根据终边的'位置，把角分成象限角与轴上角两类。即终边落在象限内(四个)称为象限角;终边落在轴上(四个)称为轴上角。因此今后我们考虑角的问题时，只考虑角的终边位置即可。 终边相同角的表示方法: 由于终边相同的角之间都相差360的整数倍，因此与角终边相同的角的集合为: {某|某=k360+, kZ}。 其中可以是与角终边相同的任意一个角;一般情况下，取0到360之间的角。 注意:0到360是指:0360。 二、弧度制: 我们前面把角推广到任意角。实际上是解决了三角函数中定义域的问题。应该说我们所应用的角度数与实数是可以建立一一对应关系的。但如果就用角度数作为自变量的取值，会有一些不方便的地方(尤其是作图中)，因此引入了弧度制。 今后在表示角时，如无特殊规定，用角度制、用弧度制表示均可，但一定不要混用。为了给三角函数的教学作准备，建议大家尽量用弧度制表示角。
必修四_任意角与弧度制__知识点汇总【知识点一】弧度制的定义与计算 弧度（radian）是一个无量纲的量，用符号“rad”表示，是角度制的补充和扩展。弧度制的基本单位是弧度，一个完整的圆周有2π弧度，等于360度。 1.弧度与角度的转换关系： 弧度=角度×π/180 角度=弧度×180/π 2.弧度与弧长、半径之间的关系： 弧长=弧度×半径 3.弧度与角度的比较： 当两个角所对的弧长相等时，这两个角的弧度相等； 当两个角的弧度相等时，它们所对的弧长相等。 【知识点二】弧度制与角度制的换算 1.已知角的弧度，求角的度数： 角度=弧度×180/π 2.已知角的度数，求角的弧度： 弧度=角度×π/180 【知识点三】任意角的三角函数
1.任意角的终边与坐标轴正方向的夹角称为角的标准位置角。 2.在单位圆上定义任意角的三角函数： 弧度为θ的任意角的正弦、余弦、正切分别记作sinθ、cosθ、tanθ。 3.三角函数的正负性：正弦和正切函数在每个周期内正负变化，余弦函数在每个周期内正负不变。 4.基本三角函数的关系： sin^2θ + cos^2θ = 1 1 + tan^2θ = sec^2θ 1 + cot^2θ = csc^2θ 5.任意角的三角函数的周期性： sin(θ + 2π) = sinθ cos(θ + 2π) = cosθ tan(θ + π) = tanθ 【知识点四】任意角的三角函数的定义域、值域和奇偶性 1.三角函数的定义域和值域： sinθ的定义域为R，值域为[-1, 1] cosθ的定义域为R，值域为[-1, 1] tanθ的定义域为R - {(2n + 1) × π / 2 ，n∈Z}，值域为R
1.1任意角与弧度制知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α ∠可以简记成α。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、 C关系是（） A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊂C D．A=B=C 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与) k∈个周角的和。 k (Z （2）所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合 即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和 注意：
1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4 θ的角终边相同的角为 。 （2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ． 例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260180，-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点： 终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向的角： 终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称的角： 若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ） 。 A.重合 B.关于原点对称 C.关于x 轴对称 D.有关于y 轴对称 二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：
任意角及弧度制知识点总结 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（任意角及弧度制知识点总结）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为任意角及弧度制知识点总结的全部内容。
任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3。 终边相同的角的表示： （1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上),注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。如与 角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度. (2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上） 。 （3）终边与终边关于轴对称。 （4）终边与终边关于轴对称. （5）终边与终边关于原点对称. (6）终边在轴上的角可表示为：;终边在轴上的角可表示 为：;终边在坐标轴上的角可表示为： .如的终边与的终边关于直线对称，则＝____________。 4、与的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定。如若是第二象 限角，则是第_____象限角 5。弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad ）. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P 是的终边上的任意一点 (异于原点）,它与原点的距离是，那么,, ，，.三角函数值只与角的大小有关， 而与终边上点P 的位置无关。如 (1）已知角的终边经过点P （5，－12),则的值为＿＿. （2）设是第三、四象限角,，则的取值范围是_______ （3）若 ,试判断 的符号 x αθαθ⇔2()kk αθπ=+∈Z 1825-αθαθ⇔()kk αθπ=+∈Z αθx ⇔2()kk αθπ=-+∈Z αθy ⇔2()k k απθπ=-+∈Z αθ⇔2()k k απθπ=++∈Z αx ,k k Z απ=∈αy ,2k k Z π απ=+∈α,2 k k Z π α= ∈α6 π x y =αα2 α α2α ||l R α=211||22 S l R R α==57.3≈α(,)x y α0r >s i n ,c o s y x r r αα==() t a n ,0y x x α=≠cot x y α=(0)y ≠sec r x α= ()0x ≠()c s c 0r y y α=≠αααcos sin +αm m --= 43 2sin αm 0| cos |cos sin |sin |=+αα αα)tan(cos )cot(sin αα⋅y T A x α B S O M P
任意角和弧度制 知识点一：任意角的表示 ⎧⎪ ⎨⎪⎩ 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 任意角 角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为________、________、________. ②按终边位置不同分为________和________． 知识点二：象限角的范围 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 知识点三：终边角的范围 3、与角α终边相同的角的集合为{} 360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域． 知识点四：弧度制的转换 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α= ． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180 π = ，180157.3π⎛⎫ =≈ ⎪⎝ ⎭ ． 弧度制 ①1弧度的角：_______________________________________________叫做1弧度的角．
知识点一：任意角 正角: 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角 : 按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角 2、象限角：角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几 象限，则称 为第几象限角． 第一象限角的集合为 k 360 k 360 90 , k 第二象限角的集合为 k 360 90 k 360 180 , k 终边在 x 轴上的角的集合为 k 180 ,k 终边在 y 轴上的角的集合为 k 180 90 ,k 终边在坐标轴上的角的集合为 k 90 , k 3、终边相同的角： 与角 终边相同的角的集合为 k 360 ,k * 4、已知 是第几象限角，确定 n * 所在象限： 若 是第 k 象限角，把单位圆上每个象限的圆弧 n n 等分，并从 x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上 1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号 k 的区域是角 终边所在的范围。 n 知识点二、弧度制的转换： 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度． 6、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是 l ． r 7、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 ，1 ， 1 180 57.3 ． 180 特殊角的弧度数： 知识点五：扇形 8、若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ， 则弧长公式： l r ，扇形周长： C 2r l ，扇形面积： S 21lr 12 r 2． 第三象限角的集合为 k 360 180 k 360 270 , k 第四象限角的集合为 k 360 270 k 360 360 , k
任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象 限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈o . 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角 函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如 （1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 （2）设α是第三、四象限角，m m --=43 2sin α，则m 的取值范围是_______ （3）若0|cos |cos sin |sin |=+αα αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号 7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站y T A x α B S O M P
任意角的概念与弧度制
任意角的概念与弧度制 1、角的概念的推广： 角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是 一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径. 3、弧度制的概念及换算： 规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写. 在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角 为，则 所以，rad，(rad)，1(rad). 4、弧度制下弧长公式： ；弧度制下扇形面积公式. 类型一：象限角 1．已知角；
(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角； (2)集合，,那么两集合的关系是什么？ 解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：， 则令， 得 解得，从而或 代回或. (2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合; 而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集 合，从而：. 总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.