平面坐标变换 相似变换

解读坐标系中图形变换规律何㊀萍(湖北省恩施市龙凤镇民族初级中学㊀４４５００３)摘㊀要:图形的对称㊁平移㊁旋转与位似是几种重要的图形变换ꎬ在考题中变化多端ꎬ也是各级考试的难点.同学们在平面直角坐标系中作出变换的图形或根据图形变换求点的坐标ꎬ需要综合运用图形变换的性质特征ꎬ运用点的坐标的变化规律ꎬ根据图形的性质找到各点的对应点位置ꎬ从而得到解决问题的途径和方法.关键词:坐标系ꎻ图形变换ꎻ规律解读中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)１７－００１４－０２㊀㊀一㊁举例我们在学习位似变换前已经接触过平移变换㊁轴对称变换以及旋转变换等ꎬ这几类变换在中考中经常放在一起考查ꎬ一不留神就会出错ꎬ主要原因是没有理解图形变换的规律ꎬ把图形变换的方向与坐标的符号弄错.下面举一例对图形变换的规律进行剖析.例㊀如图１ꎬ在平面直角坐标系中ꎬәＡＢＣ的三个顶点都在格点上ꎬ点Ａ的坐标为(２ꎬ４)ꎬ请解答下列问题: (１)画出әＡＢＣ关于ｙ轴对称的әＡ１Ｂ１Ｃ１ꎬ并写出点Ａ１的坐标ꎻ(２)将әＡ１Ｂ１Ｃ１先向下平移２个单位ꎬ再向右平移５各单位ꎬ得到әＡ２Ｂ２Ｃ２ꎬ画出这个三角形ꎬ并说出点Ａ２的坐标ꎻ(３)以圆心Ｏ为位似中心作出әＡ２Ｂ２Ｃ２的位似图形әＡ３Ｂ３Ｃ３ꎬ要求әＡ２Ｂ２Ｃ２与әＡ３Ｂ３Ｃ３的相似比为２ʒ１.㊀㊀二㊁解析这道例题我们分下面三步来思考.１.关于轴对称和中心对称对称规律是:点Ｐ(ｘꎬｙ)关于ｘ轴对称的点Ｐ１的坐标为(ｘꎬ－ｙ)ꎻ关于ｙ轴对称的点Ｐ的坐标为(－ｘꎬｙ)ꎻ关于原点对称的点Ｐ３的坐标为(－ｘꎬ－ｙ).可归纳为:与谁对称谁不变ꎬ另一个变号ꎬ关于原点对称ꎬ横变纵也变.方法一:如图２所示ꎬ根据轴对称图形的对应点的连线段被对称轴垂直平分ꎬ找出Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ三点关于ｙ轴的对称点Ａ１㊁Ｂ１㊁Ｃ１的位置ꎬ再顺次连接ꎬ可得关于ｙ轴对称的图形әＡ１Ｂ１Ｃ１.然后根据图形写出点Ａ１的坐标(－２ꎬ４).方法二:根据图形和点Ａ的坐标(２ꎬ４)ꎬ分别找出点Ｂ和点Ｃ的坐标Ｂ(１ꎬ２)㊁Ｃ(５ꎬ３)ꎬ再根据轴对称规律ꎬ分别找出Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ三点关于ｙ轴的对称点的坐标Ａ１(－２ꎬ４)㊁Ｂ１(－１ꎬ２)㊁Ｃ１(－５ꎬ３)ꎬ再顺次连接ꎬ可得关于ｙ轴对称的图形әＡ１Ｂ１Ｃ１.２.关于平移平移规律是:左右移动时ꎬ横坐标左减右加ꎬ纵坐标不变ꎻ上下移动时ꎬ纵坐标上加下减ꎬ横坐标不变.方法一:图形的平移与图形上某点的平移相同ꎬ将点Ａ１㊁Ｂ１㊁Ｃ１先向下平移２个单位ꎬ再向右平移５个单位ꎬ得到点Ａ２㊁Ｂ２㊁Ｃ２的位置ꎬ再顺次连接ꎬ可得平移后的图形әＡ２Ｂ２Ｃ２.从图上可直接写出Ａ２的坐标是(３ꎬ２)ꎬ依次计算出Ｂ２㊁Ｃ２的坐标ꎬ连线(如图２)即画出所求әＡ２Ｂ２Ｃ２.方法二:观察图形和Ａ１点的坐标(－２ꎬ４)ꎬ根据点的平移规律 左减右加㊁上加下减 直接计算ꎬ得Ａ２(－２＋５ꎬ４－２)即Ａ２(３ꎬ２)ꎬＢ２(－１＋５ꎬ２－２)即Ｂ２(４ꎬ０)ꎬＣ２(－５＋５ꎬ３－２)即Ｃ２(０ꎬ１).由坐标确定点Ａ２㊁Ｂ２㊁Ｃ２的位置ꎬ再顺次连接ꎬ可得平移的图形әＡ２Ｂ２Ｃ２.３.关于位似变换位似的规律:两个位似图形是指它们的每组对应点所在的直线都经过同一点的特殊的相似图形.观察әＡ２Ｂ２Ｃ２ꎬ若以原点为位似中心ꎬ相似比是２:１ꎬ则由(２)中Ａ的坐标(３ꎬ２)ꎬ它的对应点Ａ的坐标就是(ｋｘꎬｋｙ)或(－ｋｘꎬ－ｋｙ).这里ｋ＝１２ꎬｘ＝３ꎬｙ＝２ꎬ求出Ａ３(１.５ꎬ１)或Ａ３ᶄ(－１.５ꎬ－１).同理求出Ｂ３(Ｂ３ᶄ)ꎬＣ３(Ｃ３ᶄ)的坐标ꎬ合理连线(如图)ꎬәＡ３Ｂ３Ｃ３和әＡ３ᶄＢ３ᶄＣ３ᶄ即为符合要求的位似图形.利用图形变化确定点的坐标ꎬ关键是掌握点的坐标的变化规律ꎬ根据图形的性质找到各点的对应点位置ꎬ顺次连接可得变化后的图形.对称变换:成轴对称的两个图形中ꎬ其中一个图形上的所有点关于对称轴的对称点都在另一个图形上ꎬ轴对称图形的对应点的连接线段被对称轴垂直平分.对应线段相等ꎬ对应角相等.对应线段或其延长线相交ꎬ那么交点在对称轴上.旋转变换:图形通过旋转ꎬ图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度ꎬ任意一对对应点与旋转中心的连线的夹角都与旋转角相等ꎬ对应点到旋转中心的距离相等ꎬ对应线段相等ꎬ对应角相等ꎬ旋转过程中ꎬ图形的形状㊁大小都没有发生变化.平移变换:图形的平移包含两要素ꎬ一是平移的方向ꎬ二是平移的距离ꎬ判断平移的时候ꎬ只需要沿平移的 路径 进行平移便可确定其两要素.在平面直角坐标系中ꎬ如果把一个图形向左或向右平移ａ(ａ>０)个单位长度ꎬ那么图形上各个点的横坐标都减或加ａꎻ如果把一个图形向上或向下平移ａ(ａ>０)个单位长度ꎬ那么图形上各个点的纵坐标都加或减去ａ.位似变换:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比ꎬ两个位似图形的周长的比等于位似比ꎬ面积的比等于位似比的平方.如果位似变换是以原点为位似中心ꎬ相似比为ｋꎬ那么位似图形对应点的坐标的比等于ｋ或－ｋꎬ点(ｘꎬｙ)的对应点的坐标是(ｋｘꎬｋｙ)或(－ｋｘꎬ－ｋｙ)ꎬ根据位似比找出另一个图形的关键点.位似图形是相似图形的特例ꎬ不仅要求形状形同ꎬ而且还要求对应点的连线相交于同一点ꎬ因此位似图形一定是相似图形ꎬ但相似图形不一定是位似图形.可能在图形的中间㊁两个图形的同一侧或图形上.作一个图形的位似图形的基本步骤是:选定位似中心 连点 延长 截倍(分)等ꎬ而得到放大或缩小的图形ꎬ新图形与原图形就是位似图形.㊀㊀参考文献:[１]人民教育出版社ꎬ课程教材研究所ꎬ数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书数学参考书九年级(上㊁下册)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１３.[责任编辑:李克柏]师生互动㊀构建有启发性的初中数学课堂涂㊀卫(江苏省徐州经济技术开发区实验学校㊀２２１０００)摘㊀要:在新课程改革标准下ꎬ课堂教学模式发生了质的变化.在初中数学教学中ꎬ应当加强师生之间的互动.通过相互之间的互动ꎬ可以有效地提高学生的创造性思维能力.本文围绕如何在初中数学教学中开展互动式教学进行阐述ꎬ旨在提高课堂教学效果.关键词:初中数学ꎻ互动ꎻ讨论ꎻ情境ꎻ情感ꎻ教学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)１７－００１５－０２㊀㊀信息加工学习理论认为ꎬ信息之间的交流能让思维在相互碰撞中获得新的发展.在新课改背景下ꎬ师生互动的课堂教学模式越来越受到教育工作者的青睐.初中数学课堂中实行互动式的教学模式ꎬ能让学生爱上数学课堂ꎬ进一步促进学生独立思考ꎬ在课堂上能够跟上教师的步伐和思路ꎬ继而更好地提高学生的数学学习水平ꎬ提升学生的数学素养.㊀㊀一㊁营造和谐互动氛围ꎬ为互动教学做好准备兴趣是学习最好的教师.学生有了这种内在的兴趣动机ꎬ能够一定程度上激发他们学习的动力和热情ꎬ也能够更好地提高课堂效率.课堂环境对于课堂教学有着不。

绕原点旋转变换公式旋转变换是在微积分中一种非常重要的变换形式，它能够将某空间中的点，绕某一点旋转一定角度，从而改变空间中点的位置和方向。

绕原点旋转变换，也称作旋转坐标变换，是指以原点为中心，沿着某一方向，绕原点旋转一定的角度，从而改变一个坐标系的坐标。

在理论中，绕原点旋转变换的基本公式可以用下面的形式表达： x’=x*cosθ+y*sinθy’=-x*sinθ+y*cosθ其中x’y’分别表示旋转后的新坐标，x，y则表示旋转前的坐标，θ则表示绕原点旋转的角度。

在绝大多数情况下，变换是有方向性的，即一个正方向的变换等价于一个负方向的变换反向。

也就是说，旋转一定角度表示为-θ，相当于向反方向旋转一定角度θ。

因此，绕原点旋转变换公式也可以表示为：x’=x*cos(-θ)+y*sin(-θ)y’=-x*sin(-θ)+y*cos(-θ)同样的，当θ=90°时，可以得到：x’=-yy’=x在几何中，绕原点旋转变换也以此形式来表达。

以平面坐标系为例，求出平面座标坐标之间的变换关系，就可以理解绕原点旋转变换的原理及其核心公式。

在坐标系中，当我们以原点O为中心，沿x轴正方向，绕原点旋转1/4圈时，也就是旋转90°，我们可以得到如下变换关系：x’=x*cos90°+y*sin90°=0+y*1=yy’=-x*sin90°+y*cos90°=-x*0+y*1=x又称为相似变换。

当原点O作为变换的中心时，所有的点都不会改变其相对位置，即原点把坐标系中任意两点之间的距离按比例变换，而不改变它们间的相对位置。

也就是说，绕原点旋转变换是一种结构不变的变换形式，它能够按照一定的角度，将某两点之间的距离进行放大或者缩小，而不会改变它们之间的相对位置。

此外，绕原点旋转变换公式还可以用来研究坐标系中点的运动，例如，匀速直线运动和匀速圆周运动。

如果以匀速直线运动的对象为x轴，则绕原点旋转变换公式可以表示为：x’=x*cosθ-vty’=x*sinθ即被运动物体每秒的变化距离与x轴的距离的比率为θ，即θ/t 的大小，t为任意时刻。

相似变换矩阵相似变换矩阵是几何学中的一个概念，它可以用来描述坐标空间中的一种变换方式，也叫作坐标变换。

它是一种从一个坐标空间到另一个坐标空间的变换，这个变换可以改变坐标空间中特定点的位置，但保持坐标空间中其他点的位置不变。

这种变换可以表示为一个矩阵，基于这个矩阵可以对每一个特定点进行变换。

相似变换矩阵可以用于描述多种类型的坐标变换，包括平移、旋转、缩放和剪切的坐标变换。

这些变换都可以用相似变换矩阵来表示，这些变换可以通过不同的矩阵乘积来表示。

相似变换矩阵可以表示一个特定类型的坐标变换，它是一个可以用来描述变换过程的矩阵。

相似变换矩阵的元素可以用数学公式表示，也可以用实际的图形表示出来，并且可以使用特定的变换方式来计算变换矩阵的元素。

相似变换矩阵通常用于表示投影变换，这是一种从一个坐标空间的变换到另一个坐标空间的变换，也就是说，它表示从一个坐标空间到另一个坐标空间的多重映射。

这种变换可以在计算机图形学中用来实现三维物体在一个平面上的将其映射到另一个平面上的变换。

相似变换矩阵也可以用来描述视图变换，这是一种从视点到物体的坐标变换，也就是说，它表示将一个物体从视图中的一个视角变换到另一个视角。

这种变换可以用来描述物体从一个视角移动到另一个视角的过程，也可用来描述物体在视图中旋转的过程。

最后，相似变换矩阵最为重要的是它能用于描述坐标空间中特定点的变换，即可以改变某些点在坐标空间中的位置，而不影响其他点的位置。

简而言之，相似变换矩阵是一种可以用于描述从一个坐标空间到另一个坐标空间的变换的工具，可以用于描述多种类型的坐标变换，包括平移、旋转、缩放和剪切的坐标变换，以及投影变换和视图变换。

总之，相似变换矩阵是几何学中一种重要的概念，在计算机图形学中应用十分广泛，可以用来描述坐标空间中的不同类型的变换，这些变换可以用相似变换矩阵来表示，并且可以使用特定的变换方式来计算变换矩阵的元素。

浅析⼏种常⽤坐标系和坐标转换⼀般来讲，GPS直接提供的坐标（B,L,H）是1984年世界⼤地坐标系(Word Geodetic System 1984即WGS-84)的坐标，其中B为纬度，L为经度，H为⼤地⾼即是到WGS-84椭球⾯的⾼度。

⽽在实际应⽤中，我国地图采⽤的是1954北京坐标系或者1980西安坐标系下的⾼斯投影坐标（x,y,），不过也有⼀些电⼦地图采⽤1954北京坐标系或者1980西安坐标系下的经纬度坐标（B,L），⾼程⼀般为海拔⾼度h。

GPS的测量结果与我国的54系或80系坐标相差⼏⼗⽶⾄⼀百多⽶，随区域不同，差别也不同，经粗落统计，我国西部相差70⽶左右，东北部140⽶左右，南部75⽶左右，中部45⽶左右。

现就上述⼏种坐标系进⾏简单介绍，供⼤家参阅，并提供各坐标系的基本参数，以便⼤家在使⽤过程中⾃定义坐标系。

1、1984世界⼤地坐标系WGS-84坐标系是美国国防部研制确定的⼤地坐标系，是⼀种协议地球坐标系。

WGS-84坐标系的定义是：原点是地球的质⼼，空间直⾓坐标系的Z轴指向BIH（1984.0）定义的地极（CTP）⽅向，即国际协议原点CIO，它由IAU和IUGG共同推荐。

X轴指向BIH定义的零度⼦午⾯和CTP⾚道的交点，Y轴和Z，X轴构成右⼿坐标系。

WGS-84椭球采⽤国际⼤地测量与地球物理联合会第17届⼤会测量常数推荐值，采⽤的两个常⽤基本⼏何参数：长半轴a=6378137m；扁率f=1:298.2572235632、1954北京坐标系1954北京坐标系是将我国⼤地控制⽹与前苏联1942年普尔科沃⼤地坐标系相联结后建⽴的我国过渡性⼤地坐标系。

属于参⼼⼤地坐标系，采⽤了前苏联的克拉索夫斯基椭球体。

其长半轴 a=6378245，扁率 f=1/298.3。

1954年北京坐标系虽然是苏联1942年坐标系的延伸,但也还不能说它们完全相同。

3、1980西安坐标系1978年，我国决定建⽴新的国家⼤地坐标系统,并且在新的⼤地坐标系统中进⾏全国天⽂⼤地⽹的整体平差,这个坐标系统定名为1980年西安坐标系。

中央子午线对平面坐标转换精度的影响作者：曹学东张新兵来源：《名城绘》2019年第08期摘要：本文介绍了四个具有代表性的平面坐标转换模型，并通过实例分析了相似变换模型和正形多项式模型的适用性，以及中央子午线对平面坐标转换精度的影响。

对于区域性基础测绘和中小型工程测绘项目中涉及的平面坐标转换问题，具有一定的指导意义和实用价值。

关键词：中央子午线、相似变换模型、正形多项式模型、坐标转换、精度众所周知，我国历史上采用的坐标系统包括1954年北京坐标系和1980西安坐标系以及众多的地方独立坐标系，并積累了大量的测绘成果。

经国务院批准，我国自2008年7月1日起启用2000国家大地坐标系，新系统与现行国家大地坐标系转换、衔接的过渡期为8至10年。

现有各类测绘成果在过渡期内可沿用现行国家大地坐标系并逐步转换到2000国家大地坐标系，2008年7月1日后新生产的各类测绘成果应采用2000国家大地坐标系[1]。

对于区域性基础测绘和中小型工程测绘项目而言，坐标系统转换涉及两个方面，一是现有各类测绘成果的坐标系统逐步转换到2000国家大地坐标系，二是使用1954年北京坐标系或1980西安坐标系起算数据，生产2000国家大地坐标系测绘成果，而这些均涉及平面坐标的系统转换。

由于高斯投影长度变形的特点，平面坐标的系统转换除要求重合点具有足够的数量、合理的分布和必要的精度外，新旧平面坐标的中央子午线和转换模型的选择也至关重要。

1 平面坐标转换模型1.1 一般多项式模型2.2 实例数据与解算结果在北纬46°00′～46°16′、东经83°43′～83°59′区域（约1000km2），按2′的经纬间隔生成9×9个格网结点的大地坐标，以此作为1980西安坐标系的大地坐标，并据此在1980西安坐标系至2000国家大地坐标系的坐标改正数模型中内插得到相应的2000国家大地坐标系的大地坐标。

专题11图形的位似变换与综合与实践测量与误差（4个知识点8种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.位似图形的概念（重点）知识点2.图形的放大与缩小（重点）知识点3.平面直角坐标系中图形的位似变换知识点4.利用相似三角形解决测量问题（重点）【方法二】实例探索法题型1.利用位似图形求图形的面积、周长等。

题型2.画位似图形题型3.确定位似中心题型4.平面直角坐标系中的位似图形题型5.利用相似三角形解决测量问题题型6.利用位似图形解决实际问题题型7.位似与相似、函数的综合运用题型8.规律探究题【方法四】仿真实战法考法1. 位似变换考法2. 相似三角形的应用【方法五】成果评定法【学习目标】1.学会用位似变换把一个图形放大或缩小，了解平面直角坐标系下位似变换图形坐标的特点。

2.了解相似变换、位似变换，位似图形及其有关概念。

3.掌握常用的测量物体高度的方法，并会用这些方法测量物体的高度。

【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.位似图形的概念（重点）1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

这时的相似比又称为位似比。

相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。

2、联系：位似图形是特殊的相似图形。

2）相似图形与位似图形的区别与联系：区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。

联系：位似图形是特殊的相似图形。

3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。

4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。

【例1】（2022秋·九年级单元测试）如图，下面三组图形中，位似图形有（ ）A．0组B．1组C．2组D．3组【答案】C【分析】根据位似图形的性质逐一进行判断即可得到答案．【详解】解：Q 三组图形都是相似图形，第一组和第三组图形的对应点连线所在的直线经过同一点，第二组图形的对应点连线所在的直线不经过同一点，\第一组和第三组图形是位似图形，第二组不是位似图形，故选：C ．【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形必须同时满足两个条件：①两个图形是相似图形；②两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，二者缺一不可．【变式】（2023·河北保定·校考一模）如图，ABC V 与DEC V 都是等边三角形，固定ABC V ，将DEC V 从图示位置绕点C 逆时针旋转一周，在DEC V 旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．DEC V 总与ABC V 位似B ．DEC V 与ABC V 不会位似C ．当点D 落在CB 上时，DEC V 与ABC V 位似D ．存在DEC V 的两个位置使得DEC V 与ABC V 位似【答案】D【分析】根据位似图形的定义判断即可．【详解】Q ABC V 与DEC V 都是等边三角形，\ABC V 总与DEC V 相似．Q 在DEC V 旋转的过程中，只有当点D 落在线段AC 和线段AC 的延长线上，AD 和BE 相交于点C ，\在DEC V 旋转的过程中，只有当点D 落在线段AC 和线段AC 的延长线上，DEC V 与ABC V 位似．故选：D ．【点睛】本题主要考查了位似图形的定义，熟练掌握位似图形的定义是解本题的关键．知识点2.图形的放大与缩小（重点）利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。