等差数列前n项和的教案

《等差数列的前n项和（1）》教学设计（一）教学内容等差数列的前n项和公式（1）（二）教材分析1. 教材来源《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列2. 地位与作用数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位.（三）学情分析1.认知基础：大部分学生具备了本节课所需要的计算能力.2.认知障碍：学生普遍无法完成从“高斯算法”到利用倒序相加法求一般等差数列的前n项和的思维转化。

（四）教学目标1. 知识目标：①探索并掌握等差数列的前n项和公式②理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.2.能力目标：使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，通过教学提高学生分析问题与转化问题的能力3.素养目标：通过学习等差数列前n项和公式的推导过程及性质，提升逻辑推理和数学运算素养（五）教学重难点：1. 重点：等差数列的前n项和的应用2.难点：等差数列前n项和公式的推导方法（六）教学思路与方法引导学生合作探究来完成“高斯算法”到“倒序相加法”的思维转变。

转化为同数求和是解决问题的思想。

通过数形结合，用倒置拼补，几何直观强化这种思想。

（七）课前准备多媒体献.高斯的算法：n倒序求和法S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a S n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1 2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a 所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+教学环节：小结思考布置作业小结教学环节：板书设计。

等差数列及其前n项和教案一、教学目标：1. 理解等差数列的定义及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算方法。

3. 能够运用等差数列的概念和前n项和公式解决实际问题。

二、教学内容：1. 等差数列的定义与性质等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，这个数列叫做等差数列。

等差数列的性质：（1）等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 (a1 + an) 或Sn = n/2 (2a1 + (n-1)d)2. 等差数列的前n项和的计算方法（1）利用通项公式法计算等差数列的前n项和：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 [2a1 + (n-1)d] （2）利用首项和末项法计算等差数列的前n项和：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 [2a1 + (n-1)d] 3. 实际问题中的应用例题：已知等差数列的前5项和为35，公差为3，求首项和末项。

解：设首项为a1，末项为an，则有：S5 = n/2 (a1 + an) = 5/2 (a1 + an) = 35a1 + an = 14an = a1 + (n-1)d = a1 + 43 = a1 + 12将an代入上式得：a1 + (a1 + 12) = 142a1 + 12 = 142a1 = 2a1 = 1an = a1 + 12 = 1 + 12 = 13三、教学重点与难点：重点：等差数列的定义与性质，等差数列的前n项和的计算方法。

难点：等差数列前n项和的计算方法的灵活运用。

四、教学方法：采用讲解法、例题解析法、练习法相结合的教学方法，通过PPT辅助教学，使学生更好地理解和掌握等差数列及其前n项和的知识。

五、教学准备：1. PPT课件2. 黑板、粉笔3. 教学案例及练习题六、教学过程：1. 导入：通过复习等差数列的定义与性质，引导学生进入本节课的学习。

等差数列前n项和优秀教案一、教学目标知识与技能：1. 理解等差数列的定义及其性质；2. 掌握等差数列前n项和的公式；3. 会运用等差数列前n项和公式解决实际问题。

过程与方法：1. 通过探究等差数列的性质，引导学生发现等差数列前n项和的规律；2. 利用公式法、图象法、列举法等多种方法求解等差数列前n项和；3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

情感态度与价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和自信心；2. 培养学生勇于探索、积极思考的精神；3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学重点与难点重点：1. 等差数列前n项和的公式；2. 运用等差数列前n项和公式解决实际问题。

难点：1. 等差数列前n项和的公式的推导；2. 灵活运用等差数列前n项和公式解决复杂问题。

三、教学准备教师准备：1. 等差数列的相关知识；2. 等差数列前n项和的公式；3. 教学案例和练习题。

学生准备：1. 掌握等差数列的基本知识；2. 具备一定的数学思维能力；3. 准备笔记本，做好笔记。

四、教学过程1. 导入：通过复习等差数列的基本知识，引导学生回忆等差数列的性质，为新课的学习做好铺垫。

2. 探究等差数列前n项和的公式：引导学生发现等差数列前n项和的规律，引导学生利用已知的等差数列性质推导出前n项和的公式。

3. 讲解等差数列前n项和的公式：讲解公式的含义、推导过程及其应用，让学生理解并掌握公式的运用。

4. 运用公式法、图象法、列举法等多种方法求解等差数列前n项和：通过具体案例，让学生学会运用不同的方法求解等差数列前n项和，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

5. 练习与巩固：布置一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。

五、课后反思教师在课后要对教案进行反思，分析教学过程中的优点与不足，针对性地调整教学方法，以提高教学效果。

关注学生的学习情况，了解学生在学习等差数列前n项和过程中遇到的问题，及时给予解答和指导。

2.3 等差数列的前项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究 的最值. 如果A n ，B n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，则1212--=n n n n B A b a ． 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、 复习准备：1、等差数列求和公式：2)(1n n a a n S +=，d n n na S n 2)1(1-+= 2、在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a , a 10=b , 求a 15; (2) 若a 3+a 8=m , 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14; (4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.二、讲授新课：1、探究：等差数列的前n 项和公式是一个常数项为零的二次式.例1、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n . 练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？ 探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前n 项和的最值问题：① 例题讲解：例2、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1） 当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.例3、已知等差数列....,743,724,5的前n 项的和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值。

等差数列的前n项和公开课教案等差数列的前n项和一．教学目标：（1）把握等差数列前n项和公式的推导和应用；（2）体味方程、函数和数形结合的数学思想；（3）进展同学数学抽象、规律推理和数学建模等学科核心素质；（4）感触数学文化，品尝数学魅力.二．教学重点：等差数列前n项和公式的推导及应用教学难点：等差数列前n项和公式的推导三．教学过程：（一）公式探索公元前4世纪，古希腊毕达哥拉斯学派数学家常用小石子在沙滩上摆成各种外形来讨论各种有形数。

比如：三角形数：1，3，6，10，......1 3 6 10 ......问题1：三角形数的第100个数是？【同学活动】分组研究，展示成绩问题2：三角形数的第n个数是？【同学活动】分组研究，展示不同办法，在比较争辩中感悟倒序相加的优势追问1：为什么要对和式配对？追问2：为什么要倒序相加？追问3：能再举出一个可以用倒序相加法求和的数列吗？追问4：全部等差数列都可以用倒序相加法求和吗？【同学活动】回答问题，互相补充小结：我们借助“倒序相加”这一手段，将和式转化为n个相同数求和的问题，实现了化多为少的目的，而终于这一目的可以达到的根本缘由是：等差数列自身的性质。

（二）公式应用问题3：在等差数列{}n a 中，（1）1503,101a a ==，求50S ；（2）113,2a d ==，求10.S 由（2）推导公式：1(1)2n n n d S na -=+.问题4：在等差数列{}n a 中，已知1315,,222n n d a S ===-，求1a 及n .（三）感悟提升问题5：回顾刚刚的探索过程，我们有什么收获？【同学活动】绽开研究，总结收获1. 数学学问：（1）1()2n n a a S +=（2）1(1)2n n n d S na -=+2. 数学办法：倒序相加（除了可以对等差数列求和还可以对哪些数列求和？）3. 数学思想：数形结合，方程思想，函数思想4. 数学文化：北宋时期的沈括提出了隙积术，南宋时期的杨辉发明白垛积术；《九章算术》、《张丘建算经》等我国经典数学著作中都讨论过等差数列的求和问题。

附件 1-4
第二届湘西州中小学青年教师教学竞赛
教学设计表
学段：高中科目：数学编号：（组委会填写）
设计意图：培养学生观察、比较、分析、归纳等能力.
问题4、从方程的角度来看，可以解决什么问题？
学情预设：知三求一的问题
设计意图：培养学生用方程（组）思想分析问题、解决问题的能力。

问题5、如何更好的记忆公式？跟以前学过的什么公式类似呢？
引导学生回忆梯形的面积公式，并作出以下的分析
设计意图：培养学生类比、反思等思维能力.
设计意图：这些问题串的设计，是为了达到：数学公式课的教学，不仅要知道公式的来龙去脉，还要知道公式是什么，记住公式且挖掘公式的内涵与外延.更重要的是公式有何用，怎样用？让学生对公式课的学习有个系统、全面的认识，形成一套科学而有效的探究公式的方法.力求体现“授之于鱼，不如授之于鱼渔”的教学价值.
（五）剖析例题，理解巩固
例1、众所周知，中国的著名运动员姚明在篮球领域中取得了巨大的成就，他是整个中国的骄傲，甚至是整个亚洲的骄傲.但是同学们了解姚明刚去NBA时的辛酸吗？初到NBA，姚明为了更快的适应NBA 的高强度对抗，给自己指定了为期10天的投篮训练计划，从第一天到第十天的投篮个数依次如下表：
600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 请问：姚明这十天一共投了几个篮？
例2、求等差数列2、4、6、8、…、142的和.
设计意图：1、从数学知识角度出发：学生要达到会选用公式从。

等差数列前n项和的公式教案概述本教案旨在帮助学生理解和掌握等差数列前n项和的公式。

通过逐步引导学生对等差数列的特点和性质进行探究，培养学生的逻辑思维能力，并通过实例锻炼学生的应用能力。

教学目标1.理解等差数列的定义和特点；2.掌握等差数列前n项和的公式；3.能够运用公式计算等差数列前n项和。

教学重难点1.了解等差数列的概念及其性质；2.掌握等差数列前n项和的公式的推导过程；3.能够通过实例练习计算等差数列前n项和。

教学准备•黑板、白板、彩色粉笔/白板笔；•等差数列的实例题材料。

教学过程第一步：引入1.向学生介绍等差数列的概念：等差数列是指一个数列中任意相邻两项之差相等的数列。

2.引导学生观察以下数列：3，7，11，15，19，23…3.提问学生：你能找出这个数列的规律吗？4.引导学生思考，指导他们发现规律：每一项与前一项之差都是4。

5.总结规律：等差数列的每一项与前一项之差是相等的。

第二步：探究等差数列前n项和的公式1.引导学生思考，探究等差数列前n项和的求解方法。

假设等差数列的首项为a，公差为d。

2.让学生尝试计算前几项的和，如：3+7+11+15+19=55。

3.鼓励学生寻找规律：拆分数列，将每一项与最后一项之和相加并除以2，即(3+23)/2=26，与上一步结果相同。

4.引导学生观察拆分之后的数列：3,23；7,19；11,15。

5.提问学生：你能发现拆分之后的数列有什么特点吗？每组两项之和是否相等？6.引导学生思考，推导等差数列前n项和的公式。

(n/2) * (2a + (n-1)d)7.通过实例演算，让学生掌握公式的使用方法。

第三步：练习1.提供一些等差数列的实例题目，让学生练习使用前面学到的公式计算前n项的和。

2.提醒学生注意边界情况，如首项或公差为负数的情况。

3.检查学生的练习结果，并给予必要的指导和纠正。

总结通过本教案的学习，我们掌握了等差数列前n项和的公式，学会了使用公式计算等差数列前n项的和。

等差数列的前n项和公式第一课时1.课时教学内容等差数列前n项和公式2.课时学习目标(1)会推导等差数列前n项和公式；(2)会用等差数列的前n项和公式解决简单问题。

3.教学重点与难点重点∶等差数列的前n项和的应用。

难点∶等差数列前n项和公式的推导方法。

4.教学过程设计环节一情景引入200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100=？你准备怎么算呢？高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一。

他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献。

问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释。

高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=101×50=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，n，…前100项的和问题。

等差数列中，下标和相等的两项和相等。

设a n=n,则a1=1，a2=2，a3=3，…如果数列{a n}是等差数列，p,q,s,t∈N∗且 p +q =s +t,则a p +a q =a s +a t可得：a 1+a 100=a 2+a 99=⋯=a 50+a 51问题2：你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？ 解：原式=(1+101)+(2+100)+⋯+(50+52)+52 =102×50+51 =5151解法2：原式=(1+2+⋯+100)+101=[(1+100)+(2+99)+⋯+(50+51)]+101=101×50+101 =5151解法3：原式=0+1+2+⋯+100+101=(0+101)+(1+100)+⋯+(50+51)=101×51 =5151问题3：你能计算1＋2＋3＋… ＋n 吗？ 需要对项数的奇偶进行分类讨论.当n 为偶数时， S n =(1+n )+[(2+(n −1)]+⋯+[(n2+(n2−1)] =(1+n )+(1+n )…+(1+n ) =n2(1+n ) =n(1+n)2当n 为奇数数时， n －1为偶数S n =(1+n )+[(2+(n −1)]+⋯+[(n +12−1)+(n +12+1)]+ n +12=(1+n )+(1+n )…+(1+n )+ n+12=n−12(1+n )+n+12=n(1+n)2对于任意正整数n ，都有1＋2＋3＋… ＋n =n(1+n)2问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？ S n = 1+ 2 + 3 +⋯+nS n = n +(n −1)+(n −2)+⋯+1 将上述两式相加，得2S n=(n+1)+[(n−1)2]+[(n−2)+3]+⋯+(1+n)=(1+n)+(1+n)+⋯+(1+n)=n(1+n)所以S n=1+2+3+⋯+n=n(1+n)2问题5:上述方法的妙处在哪里？倒序求和法S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a nS n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1 2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n+a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a1所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+⋯+(a1+a n)=n(a1+a n)即：S n=n(1+n)2问题6:这种方法能够推广到求等差数列{a n}的前n项和吗？S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a n,S n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1.2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n+a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a1所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+⋯+(a1+a n)=n(a1+a n)所以S n=n( a1+a n)2得到等差数列前n项和公式：S n=n( a1+a n)2追问1：你能用文字语言表达这个公式吗？首项加末项乘以项数除以2.追问2：这个公式还有什么含义？等式两边同除以n,S nn =(a1+a n)2，即a1+a2+a3+⋯+a nn =(a1+a n)2前n项平均数等于首项与第n项的平均数问题7：能不能用a1和d来表示S n呢？将a n=a1+(n−1)d代入公式整理得S n ＝na1+n(n−1)2d追问：如果不利用前面结论，你还有其他方法得到上述公式吗？S n=a1+a2+a3+⋯+a n,=a1+(a1+d)+(a1+2d)+⋯+[a1+(n−1)d]=na1+[1+2+3+(n−1)d]=na1+n(n−1)2d等差数列的前n项和公式公式S n＝n(a1+a n)2功能1：已知a1,a n,n 求S n功能2：已知S n a1,a n,n中任意3个，求第4个。

一、等差数列的概念与性质教学目标：1. 理解等差数列的定义及其性质；2. 能够识别和判断一个数列是否为等差数列；3. 掌握等差数列的通项公式。

教学内容：1. 等差数列的定义：介绍等差数列的定义，即数列中相邻两项的差是常数；2. 等差数列的性质：介绍等差数列的性质，如任意一项都可以用首项和公差表示，任意一项与前一项的差等于公差等；3. 等差数列的通项公式：介绍等差数列的通项公式，即第n项等于首项加上公差乘以(n-1)。

教学活动：1. 通过实例引入等差数列的概念，引导学生发现等差数列的性质；2. 通过练习题，让学生练习判断一个数列是否为等差数列，并找出其首项和公差；3. 引导学生推导出等差数列的通项公式，并通过练习题巩固。

二、等差数列的前n项和教学目标：1. 理解等差数列前n项和的定义及其计算方法；2. 能够计算一个等差数列的前n项和；3. 掌握等差数列前n项和的性质。

教学内容：1. 等差数列前n项和的定义：介绍等差数列前n项和的定义，即数列中前n项的和；2. 等差数列前n项和的计算方法：介绍等差数列前n项和的计算方法，即利用首项、末项和项数的关系进行计算；3. 等差数列前n项和的性质：介绍等差数列前n项和的性质，如前n项和与首项、末项和项数的关系。

教学活动：1. 通过实例引入等差数列前n项和的定义，引导学生发现等差数列前n项和的性质；2. 通过练习题，让学生练习计算一个等差数列的前n项和，并运用其性质；3. 引导学生探究等差数列前n项和的计算方法，并通过练习题巩固。

三、等差数列的求和公式教学目标：1. 理解等差数列的求和公式及其推导过程；2. 能够运用求和公式计算等差数列的前n项和；3. 掌握求和公式的应用。

教学内容：1. 等差数列的求和公式：介绍等差数列的求和公式，即前n项和等于首项加末项乘以项数除以2；2. 等差数列求和公式的推导过程：介绍等差数列求和公式的推导过程，引导学生理解公式的来源；3. 等差数列求和公式的应用：介绍等差数列求和公式的应用，如计算特殊数列的前n项和。

等差数列及其前n项和教案一、教学目标：1. 理解等差数列的概念，能够识别等差数列的通项公式。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算方法。

3. 能够运用等差数列的性质解决实际问题。

二、教学内容：1. 等差数列的概念：定义、通项公式。

2. 等差数列的前n项和的计算方法：公式、性质。

3. 等差数列的应用：解决实际问题。

三、教学重点与难点：1. 重点：等差数列的概念、通项公式；等差数列的前n项和的计算方法。

2. 难点：等差数列的应用。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解等差数列的概念、通项公式、前n项和的计算方法。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用等差数列的知识解决问题。

3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生的学习兴趣和积极性。

五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考等差数列的概念。

2. 讲解：讲解等差数列的概念、通项公式，引导学生理解等差数列的性质。

3. 练习：让学生自主完成等差数列的前n项和的计算，巩固所学知识。

4. 应用：分析实际问题，引导学生运用等差数列的知识解决问题。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等差数列的概念、通项公式和前n项和的计算方法。

6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学反思：在课后对教学效果进行反思，了解学生的掌握情况，对教学方法进行调整，以提高教学效果。

六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 作业评价：检查学生作业的完成情况，评估学生对等差数列概念和前n项和计算方法的掌握程度。

3. 测验评价：进行等差数列相关知识的测验，评估学生的学习效果。

七、教学拓展：1. 等差数列的进一步研究：引导学生探讨等差数列的性质，如项数与项的关系、项的取值范围等。

2. 等差数列与其他数列的关系：介绍等差数列与等比数列等其他数列的联系和区别。

3. 等差数列在实际问题中的应用：举例说明等差数列在生活中的应用，如统计数据处理、财务计算等。