数列新定义专题

专题25新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定义）考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1数列新定义（10年10考）2024·全国新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷2020·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷2020·江苏卷2019·江苏卷、2018·江苏卷、2017·北京卷2017·江苏卷、2016·江苏卷、2016·北京卷2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷新高考数学新结构体系下，新定义类试题更综合性的考查学生的思维能力和推理能力;以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思维过程中领悟数学方法。

题目更加注重综合性、应用性、创新性，本题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入。

压轴题命题打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式多角度的提问，考查学生的数学能力，新定义题型的特点是;通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事”逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，难度较难，需重点特训。

考点2函数新定义（10年4考）2024·上海、2020·江苏、2018·江苏2015·湖北、2015·福建考点3集合新定义（10年3考）2020·浙江卷、2018·北京卷2015·山东卷、2015·浙江卷考点4其他新定义（10年2考）2020·北京卷、2016·四川卷考点01数列新定义一、小题1．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设正整数010112222k kk k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（）A ．()()2n n ωω=B ．()()231n n ωω+=+C ．()()8543n n ωω+=+D ．()21nnω-=2．（2020·全国新Ⅱ卷·高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈= ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +== 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)m i i k i C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（）A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001二、大题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．2．（2024·北京·高考真题）已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．3．（2023·北京·高考真题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r iB A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；(2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．4．（2022·北京·高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．5．（2021·北京·高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列：①10a p +≥，且20a p +=；②414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．（1）如果数列{}n a 的前4项为2，-2，-2，-1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由；（2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．6．（2020·北京·高考真题）已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.7．（2020·江苏·高考真题）已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为Sn ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ~k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ~1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且an ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ~3”数列，且an ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，8．（2019·江苏·高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．9．（2018·江苏·高考真题）设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．10．（2017·北京·高考真题）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，n cM n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．11．（2017·江苏·高考真题）对于给定的正整数k ,若数列{an }满足a a a a a a a --+-++-++++++=1111......2n k n k n n n k n k nk 对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an }是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列{an }是“P(3)数列”；（2）若数列{an }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an }是等差数列.12．（2016·江苏·高考真题）记{}1,2,,100U = .对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t = ，定义12k T t t t S a a a =+++ .例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,,T k ⊆ ，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C C D D S S S ⋂+≥.13．（2016·北京·高考真题）设数列A ：1a ，2a ,…N a (2N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“()G A 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出()G A 的所有元素；（2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则()G A ≠∅；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a -≤1（n=2,3,…,N ）,则()G A 的元素个数不小于N a -1a .14．（2016·上海·高考真题）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意{}1,n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.15．（2016·上海·高考真题）对于无穷数列{n a }与{n b }，记A={x |x =n a ，*N n ∈}，B={x |x =n b ，*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ⋂=∅且*N A B = ，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列．（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若n a =2n 且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通项公式．16．（2015·北京·高考真题）已知数列{}n a 满足：*1a N ∈，136a ≤，且1218{23618n n n n n a a a a a +≤=->，，，()12n =⋯，，．记集合{}*|n M a n N =∈．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．考点02函数新定义一、小题1．（2015·湖北·高考真题）已知符号函数1,0,sgn {0,0,1,0.x x x x >==-<()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-2．（2015·福建·高考真题）一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈ ，其中()1,2,,k x k n = 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,{0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于．二、大题1．（2024·上海·高考真题）对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”；(2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．2．（2020·江苏·高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()2222()f x x x g x x x D =+=-+=-∞+∞，，，，求h (x )的表达式；（2）若2()1()ln (),(0)f x x x g x k x h x kx k D =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()()()()422342248432(0f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，[],D m n ⎡=⊆⎣，求证：n m -≤3．（2018·江苏·高考真题）记()(),f x g x ''分别为函数()(),f x g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足()()00f x g x =且()()00f x g x =''，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与()222g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数()2f x x a =-+，()xbe g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间()0,+∞内存在“S 点”，并说明理由．考点03集合新定义一、小题1．（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ；下列命题正确的是（）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素2．（2015·山东·高考真题）集合M ，N ，S 都是非空集合，现规定如下运算：M N S = ()()(){|x x M N N S S M ∈⋂⋃⋂⋃⋂且}x M N S ∉⋂⋂．假设集合{}A x a x b =<<，{}B x c x d =<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足：（1）0ab <，0cd <；0ef <；（2）b a d c f e -=-=-；（3）b a d c f e +<+<+．计算A B C =．3．（2015·浙江·高考真题）设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =⋃-⋂，其中card()A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立4．（2015·湖北·高考真题）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30二、大题1．（2018·北京·高考真题）设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈= ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α= 和()12,,,n y y y β= ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦ ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．考点04其他新定义1．（2020·北京·高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭2．（2016·四川·高考真题）在平面直角坐标系中，当(,)P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y xP x y x y-++，当P 是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A .②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．。

新高考新定义开放性和探究专题题型一：数列新题型1(2023·河北张家口·统考二模)欧拉函数φn n ∈N * 的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数，例如：φ1 =1,φ3 =2.数列a n 满足a n =φ2n ，其前n 项和为S n ，则S 10=()A.1024B.2048C.1023D.2047【答案】C【分析】根据欧拉函数的定义可求出a n =φ2n =2n -1，再由等比数列的前n 项和公式即可求出答案.【详解】根据欧拉函数的定义可得a 1=φ2 =1,a 2=φ22 =2,a 3=φ23 =4,a 4=φ24 =8，一般地，a n =φ2n =2n -1.事实上，φ2n 表示从1到2n 的正整数中，与2n 互质的正整数的个数，相当于去掉从1到2n 的正整数中所有2的倍数的个数(共2n -1个数)，因此，a n =φ2n =2n -2n -1=2n -1.所以，S 10=1+2+4+⋯+29=1023.故选：C .2(2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测)南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列a n 本身不是等差数列，但从a n 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列b n (则称数列a n 为一阶等差数列)，或者b n 仍旧不是等差数列，但从b n 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列c n (则称数列a n 为二阶等差数列)，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64⋯是一阶等比数列，则该数列的第8项是( )．A.28 B.215C.221D.228【答案】C 【分析】设b n -1=a na n -1，得到b n 为等比数列，求得b n =2n -1，结合a n =b n -1⋅b n -2⋯b 1⋅a 1，进而求得a 8的值．【详解】由题意，数列1，1，2，8，64，⋯为a n ，且为一阶等比数列，设b n -1=a na n -1，所以b n 为等比数列，其中b 1=1，b 2=2，公比为q =b 2b 1=2，所以b n =2n -1，则a n =b n -1⋅b n -2⋯b 1⋅a 1=21+2+3+⋯+n -2=2n -1 n -22,n ≥2，所以第8项为a 8=221．故选：C .3(2023·上海黄浦·统考二模)设数列a n 的前n 项的和为S n ，若对任意的n ∈N *，都有S n <a n +1，则称数列a n 为“K 数列”．关于命题：①存在等差数列a n ，使得它是“K 数列”；②若a n 是首项为正数、公比为q 的等比数列，则q ∈[2,+∞)是a n 为“K 数列”的充要条件．下列判断正确的是()A.①和②都为真命题B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题D.①和②都为假命题【答案】C【分析】根据给定的定义，按公差的取值情况分类探讨判断①；利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答.【详解】令等差数列a n的公差为d，当d≤0时，S1=a1≥a1+d=a2，不符合题意，当d>0时，S n-a n+1=na1+n(n-1)2d-(a1+nd)=d2n2-32d-a1n-a1，函数f(x)=d2x2-32d-a1x-a1的图象是开口向上的抛物线，对称轴x=32-a1d，存在x0>32-a1d，使得f(x0)>0，取不小于x0的正整数n，则有f(n)>0，即S n>a n+1，不符合题意，综上得①为假命题；等比数列a n首项a1>0，因为数列a n为“K数列”，则有a1=S1<a2=a1q，即q>1，S n=a1(1-q n)1-q,a n+1=a1q n，于是a1(1-q n)1-q<a1q n⇔q n+1-2q n+1>0⇔2-q<1q n，依题意，任意的n∈N*，2-q<1q n，函数y=1qx,x≥1在[1,+∞)单调递减，值域是0,1q ，因此2-q≤0⇔q≥2，所以q∈[2,+∞)是a n为“K数列”的充要条件，②是真命题，判断正确的是①为假命题，②为真命题.故选：C【点睛】关键点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.题型二：立体几何新定义4(2023·辽宁沈阳·统考一模)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体(八个面均为正三角形)的总曲率为()A.2πB.4πC.6πD.8π【答案】B【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为π，该正面体共6个顶点，因此，该正八面体的总曲率为6×2π-8π=4π.故选：B.5(2021·全国·统考模拟预测)图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为()A.100πB.600C.200πD.300π【答案】C【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为π3的圆弧构成，所以该零件底面周长为3×π3×20=20π，故其侧面积为200π．故选：C.6(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球(如图①)放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②)，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即12V球=πR2⋅R-13πR12⋅R=23πR3.现将椭圆x24+y29=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图③)，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于()A.32πB.24πC.18πD.16π【答案】D【解析】构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.【详解】解：构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为h0≤h≤3时，小圆锥底面半径为r，则h3=r2，∴r=23h，故截面面积为：4π-49πh2，把y=h代入x24+y29=1，即x24+h29=1，解得：x=±239-h2，∴橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4π-49πh2，由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：V=2V圆柱-V圆锥 =2×4π×3-13×4π×3=16π.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，根据祖暅原理得到橄榄球形几何体的体积.题型三：函数新定义7(2023·陕西商洛·统考二模)古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美．”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类一直在思考和探索数学的对称问题，图形中的对称性本质就是点的对称、线的对称．如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质．如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”．下列关于“优美函数”的说法中正确的有()①函数f x =x2x+2-x-1≤x ≤1 可以是某个正方形的“优美函数”；②函数f x =4cos 2x -π6 +3只能是边长不超过π2的正方形的“优美函数”；③函数f x =ln 4x 2+1-2x -1可以是无数个正方形的“优美函数”；④若函数y =f x 是“优美函数”，则y =f x 的图象一定是中心对称图形．A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】B【分析】根据“优美函数”的定义，可判断①③中的函数为奇函数，其图象为中心对称图形，可判断其正误，结合余弦函数的性质可判断②，作图分析，举出反例，判断④.【详解】对于①，f x =x 2x+2-x -1≤x ≤1满足f -x =-x2-x +2x =-f (x )，故为奇函数，则f x 图象原点对称，且连续，所以f x 可以是中心为原点且边长为2的正方形的“优美函数”，故①正确．对于②，令2x -π6=π2+k πk ∈Z ，得x =π3+k π2k ∈Z ，所以f x =4cos 2x -π6+3图象的对称中心为π3+k π2,3 k ∈Z ，故以π3+k π2,3k ∈Z 为中心的正方形都能被函数f x =4cos 2x -π6+3的图象平分，即f x =4cos 2x -π6+3可以同时是无数个正方形的“优美函数”，故②错误．对于③，令g x =ln 4x 2+1-2x ，x ∈R ,则g -x =ln 4x 2+1+2x =-ln 4x 2+1-2x =-f (x )，故g x 为奇函数．又因为f x 的图象是由g x 的图象向下平移一个单位长度得到的，所以f x 图象的对称中心为0,-1 ，故以0,-1 为中心的正方形都能被f x =ln 4x 2+1-2x -1的图象平分，故③正确．对于④，如图所示，图中两三角形面积相等，函数y =f x 是“优美函数”，但其图象不是中心对称图形，可知④错误，故选：B8(2021·陕西渭南·统考三模)已知符号函数sgn x =1,x >0,0,x =0,-1,x <0,偶函数f x 满足f x +2 =f x ,当x ∈0,1 时,f x =x ,则下列结论正确的是()A.sgn f x >0 B.f 40412=1C.sgn f 2k =0k ∈Z D.sgn f k =sgn k k ∈Z【答案】C【分析】利用偶函数以及函数周期为2,作出函数f x 的大致图象,数形结合即可逐个分析答案.【详解】根据题意得函数f x 是周期为2的函数,作出函数f x 的大致图象,如下图所示.数形结合易知f x ∈0,1 ,则sgn f x =0或sgn f x =1,故A 错误;f 40412=f 202012 =12,故B 错误;f 2k =0k ∈Z ,则sgn f 2k =0k ∈Z ,故C 正确;sgn k =1,k >00,k =0,-1,k <0(k ∈Z ),所以sgn k =1,k ≠00,k =0 (k ∈Z ),所以sgn f k ≠sgn k k ∈Z ,故D 错误.故选:C .9(2023·陕西安康·统考二模)宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图(如下图)将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数f x ，若存在圆C ，使得f x 的图象能将圆C 的周长和面积同时平分，则称f x 是圆C 的太极函数．下列说法正确的是()①对于任意一个圆，其太极函数有无数个②f x =log 122x +1 +12x 是x 2+y +1 2=1的太极函数③太极函数的图象必是中心对称图形④存在一个圆C ，f x =sin x +cos x 是它的太极函数A.①④ B.③④ C.①③ D.②③【答案】A【分析】根据“太极函数”、函数的对称性、对数运算等知识对选项4个说法进行分析，由此确定正确答案.【详解】对于①：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分，所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故①正确对于②：f -x =log 122-x+1 -12x =log 121+2x 2x-12x ，f x -f -x =log 122x+12x +12x+x =-x +x =0，所以f x 关于y 轴对称，不是太极函数，故②错误；对于③：中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心．但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故③错误；对于④：曲线f x =sin x +cos x =2sin x +π4存在对称中心，所以必是某圆的太极函数，故④正确．故选：A ．题型四：向量新定义10(2022·浙江·高三专题练习)定义d a ,b =a -b 为两个向量a ，b 间的“距离”，若向量a ，b满足下列条件：(ⅰ)b =1；(ⅱ)a ≠b ；(ⅲ)对于任意的t ∈R ，恒有d a ,tb ≥d a ,b，现给出下面结论的编号，①.a ⊥b ②.b ⊥a -b ③.a ⊥a -b ④.a ≥1⑤.a +b ⊥a -b 则以上正确的编号为()A.①③B.②④C.③④D.①⑤【答案】B【分析】根据题意可得a -tb 2≥a -b 2，转化为t 2-2ta ⋅b +2a ⋅b -1 ≥0对于任意的t ∈R 恒成立，即Δ≤0，整理得a ⋅b -1 2≤0，再利用向量的数量积逐一判断即可.【详解】由于d a ,b =a -b ，又对于t ∈R ，恒有d a ,tb ≥d a ,b ，显然有a -tb ≥a -b ，即a -tb 2≥a -b 2，则t 2-2ta ⋅b +2a ⋅b-1 ≥0对于任意的t ∈R 恒成立，显然有Δ=-2a ⋅b 2-42a ⋅b-1 ≤0成立，即a ⋅b -1 2≤0，则a ⋅b=1，故序号①错误，进而a ⋅b =a ⋅bcos θ=1，∵b =1，于是cos θ=1a ≤1，得a ≥1，即序号④正确.再由a ⋅b -1=0得a ⋅b -b 2=0，得b a -b =0，∴b ⊥a -b ，显然序号②正确.从而序号③错误，再由②a ≠b ，故序号⑤错误.综上知本题正确的序号为②④.故选：B .【点睛】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题.11(2023·全国·高三专题练习)互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距a ，b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记P a ,b ，则在x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ的斜坐标系中，下列选项错误的是()A.当θ=60°时A 1,2 与B 3,4 距离为23B.点A 1,2 关于原点的对称点为A -1,-2C.向量a=x 1,y 1 与b =x 2,y 2 平行的充要条件是y 1x 2=y 2x 1D.点A 1,2 到直线x +y -1=0的距离为2【答案】D【分析】根据“斜坐标系”的定义，结合向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设x 轴正方向的单位向量为e 1 ，y 轴正方向的单位向量为e 2，对于A 选项：由已知得e 1 ,e 2 =60°，所以e 1 ⋅e 2 =1×1×12=12.由A 1,2 ,B 3,4 及斜坐标的定义可知OA =e 1 +2e 2 ,OB =3e 1 +4e 2，AB =OB -OA =2e 1 +e 2 =2e 1 +e 2 2=2e 1 2+2e 1 ⋅e 2 +e 2 2=21+1+1=23，故A 选项正确；对于B 选项：根据“斜坐标系”的定义可知：点A 1,2 ，则OA =e 1 +2e 2 ，设A 1,2 关于原点的对称点为Ax ,y ，则OA ' =-OA =-e 1 -2e 2 =x e 1 +y e 2 ，由于e 1 ,e 2 不共线，所以x =-1y =-2 ，故B 选项正确；对于C 选项：a =x 1e 1 +y 1e 2 ,b =x 2e 1 +y 2e 2 ，若a 是零向量，则a ⎳b 成立，同时x 1=y 1=0，所以x 1y 2=x 2y 1成立，此时a ⎳b⇔x 1y 2=x 2y 1；若a 是非零向量，则a ⎳b ⇔存在非零常数λ，使b =λa⇔x 2e 1 +y 2e 2 =λx 1e 1 +λy 1e 2 ⇔x 2=λx 1λy 1=y 2 ⇔λx 2y 1=λx 1y 2⇔y 1x 2=y 2x 1，所以a ⎳b⇔x 1y 2=x 2y 1.故C 选项正确；对于D 选项：设直线x +y -1=0上的动点为P x ,y ,OP =x e 1 +y e 2 ，因为x +y -1=0，所以x +y =1，设OC =e 1 ,OD =e 2 ，则点P x ,y 在直线CD 上，所以直线x +y -1=0过点C 1,0 ,D 0,1 ，因为OA =e 1 +2e 2 ，则AC =OC -OA =2e 2 =2，AD =OD -OA =e 1 +e 2 =e 1 +e 2 2=3，由于OC =OD =1,OC ,OD =60°，所以CD =1.所以AD 2+CD 2=AC 2，所以AD ⊥CD ，所以点A 到直线x +y -1=0的距离为AD=3，故D 选项错误.故选：D12(2023·全国·高三专题练习)向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量a 与b ，a ×b 规定：①a ×b 为同时与a ，b垂直的向量；②a ，b ，a ×b 三个向量构成右手系(如图1)；③a ×b =a b sin a ,b ；④若a=x 1,y 1,z 1 ，b =x 2,y 2,z 2 ，则a ×b=+y 1,z 1y 2,z 2 ,-x 1,z 1x 2,z 2 ,+x 1,y 1x 2,y 2 ，其中a ,b c ,d=ad -bc ．如图2，在长方体中ABCD -A 1B 1C 1D 1，AB =AD =2，AA 1=3，则下列结论正确的是()A.AB ×AD =AA 1B.AB ×AD =AD ×ABC.AB -AD ×AA 1 =AB ×AA 1 -AD ×AA 1D.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V =AB ×AD ⋅C 1C【答案】C【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.【详解】解法一：AA 1 同时与AB ，AD 垂直；AA 1 ，AB ，AD三个向量构成右手系，且AB ×AD =AB AD sin AB ,AD =2×2×sin90°=4≠AA 1=3，所以选项A 错误；根据右手系知：AB ×AD 与AD ×AB 反向，所以AB ×AD ≠AD ×AB，故选项B 错误；因为AB -AD ×AA 1 =DB ×BB 1=22×3×sin90°=62，且DB ×BB 1 =-BD ×BB 1 与CA同向共线；又因为AB ×AA 1 =2×3×sin90°=6，且AB ×AA 1 与DA同向共线，AD ×AA 1 =2×3×sin90°=6，AD ×AA 1与DC 同向共线，所以AB ×AA 1 -AD ×AA 1 =62，且AB ×AA 1 -AD ×AA 1 与CA 同向共线，AB -AD ×AA 1 =AB ×AA -AD ×AA 1，故选项C 正确；因为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为2×2×3=12．又因为由右手系知向量AB ×AD 方向垂直底面向上，与C 1C 反向，所以AB ×AD ⋅C 1C<0，故选项D 错误；故选：C ．解法二：如图建立空间直角坐标系：AB =0,2,0 ，AD =-2,0,0 ，AA 1 =0,0,3 ，则AB ×AD=0,0,4 ，所以选项A 错误；C 1C =0,0,-3 ，则AB ×AD ⋅C 1C =-12，故选项D 错误；AD ×AB=0,0,-4 ，故选项B 错误；AB -AD =DB =2,2,0 ，则AB -AD ×AA 1 =6,-6,0 ，AB ×AA 1 =6,0,0 ，AD ×AA 1 =0,6,0 ，则AB ×AA 1 -AD ×AA 1 =6,-6,0 ．所以AB -AD ×AA 1 =AB ×AA 1 -AD ×AA 1 ，故选项C 正确；故选：C ．题型五：开放性题型13(2023·甘肃酒泉·统考三模)已知P 是平行四边形ABCD 对角线上的一点，且AP =λAB +μAD，其中λ∈0,1,μ∈ 0,1 ，写出满足条件的λ与μ的一组λ,μ 的值．【答案】13,23(答案不唯一，满足λ+μ=1或λ=μ即可)【分析】若P 在AC 上可得λ=μ，若P 在BD 上，根据共线定理的推论得到λ+μ=1，填写符合题意的答案即可.【详解】因为AC =AB +AD ，若P 在AC 上，则AC ⎳AP ，又AP =λAB +μAD ，所以λ=μ，若P 在BD 上，即P 、B 、D 三点共线，又AP =λAB +μAD，则λ+μ=1．故答案为：13,23(答案不唯一，满足λ+μ=1或λ=μ即可)14(2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测)已知⊙O :x 2+y 2=4，⊙C 与一条坐标轴相切，圆心在直线x -y +7=0上.若⊙C 与⊙O 相切，则⊙C 的一个方程为.【答案】x +4 2+y -3 2=9(答案不唯一)【分析】先根据已知得出⊙C 的圆心在⊙O 的外面.然后分⊙C 与x 轴相切以及⊙C 与y 轴相切，结合已知可得出两圆外切.列出方程，化简整理求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，⊙O :x 2+y 2=4的圆心为O 0,0 ，半径R =2，所以点O 0,0 到直线x -y +7=0的距离d =72=722>2，所以，直线与圆相离，所以⊙C 的圆心在⊙O 的外面.当⊙C 与x 轴相切时，设⊙C 的圆心C a ,a +7 ，则⊙C 的半径r 1=a +7 .因为⊙C 与⊙O 相切，且C 在⊙O 的外面，所以两圆外切.所以OC =R +r 1，即a 2+a +7 2=2+a +7 ，整理可得，a 2=4+4a +7 .若a ≤-7，整理可得a 2+4a +24=0无解，所以a >-7，所以a 2-4a -32=0，解得a =-4或a =8，所以⊙C 方程为x +4 2+y -3 2=9或x -8 2+y -15 2=225；当⊙C 与y 轴相切时，设圆心C a ,a +7 ，则⊙C 的半径r 2=a .由两圆外切可得，OC =R +r 2，即a 2+a +7 2=2+a ，整理可得a 2+14a +49=4+4a ，则a <0，所以有a 2+18a +45=0，解得a =-3或a =-15，所以⊙C 方程为x +3 2+y -4 2=9或x +15 2+y +8 2=225.故答案为：x +4 2+y -3 2=9.15(2023·新疆·校联考二模)已知函数f x 满足下列条件：①f x 是y =sin x 经过图象变换得到的；②对于∀x ∈R ，均满足-3=f -π6 ≤f x ≤f π3=1成立；③y =f x 的函数图象过点0,-2 ．请写出符合上述条件的一个函数解析式．【答案】f x =2sin 2x -π6-1(答案不唯一)【分析】由①可设f x =A sin ωx +φ +B ，根据②，设A >0，求得A =2,B =-1，且ω=2，再由③求得φ的一个值为φ=-π6，即可求解.【详解】解：由①可设f x =A sin ωx +φ +B ，又由②可知，不妨设A >0，由-3=f -π6 ≤f x ≤f π3 =1，可得A =1-(-3)2=2,B =1+(-3)2=-1，且T =2π3--π6=π，所以ω=2πT=2，所以f x =2sin 2x +φ -1，由③，可得2sin φ-1=-2，即sin φ=-12，所以φ的一个值为φ=-π6，因此函数f x 的一个解析式为f x =2sin 2x -π6-1.故答案为：f x =2sin 2x -π6-1(答案不唯一).16(2023·江西南昌·校联考模拟预测)正割(Secant )及余割(Co sec ant )这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec ，csc 这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割sec α=1cos α，余割csc α=1sin α.已知函数f x =1sec x +1csc x，给出下列说法：①f x 的定义域为x x ≠k π,k ∈Z ；②f x 的最小正周期为2π；③f x 的值域为-2,-1 ∪-1,1 ∪1,2 ；④f x 图象的对称轴为直线x =-π4+k πk ∈Z .其中所有正确说法的序号为()A.②③B.①④C.③D.②③④【答案】A【分析】首先化简函数f x =2sin x +π4，再结合原函数的特征，求函数的定义域，以及根据三角函数的性质判断周期，值域和对称性.【详解】f x =1sec x +1csc x =cos x +sin x =2sin x +π4 ，由cos x ≠0，sin x ≠0，得x ≠k π2k ∈Z ，即f x 的定义域为x x ≠k π2,k ∈Z ，①错误；f x 的定义域关于原点对称，故f x 的最小正周期与函数y =2sin x +π4的最小正周期一致，均为2π，②正确；当x =0，π2，π，3π2时，y =2sin x +π4的值分别为1，1，-1，-1，考虑周期性可知，f x 的值域为-2,-1 ∪-1,1 ∪1,2 ，③正确；令x +π4=π2+k πk ∈Z ，得x =π4+k πk ∈Z ，即f x 图象的对称轴为直线x =π4+k πk ∈Z ，④错误，故选：A .17(2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm ，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm ，则估计该大树属于()A.一级B.二级C.三级D.不是古树【答案】C【分析】由条件抽象出等差数列的基本量，再结合等差数列的前n 项和，求n .【详解】设树干的截面圆的半径为r ，树干周长2πr =3.14，r =0.5m =50cm ，从内向外数：a 5=0.4，a n -4=0.2，S n =r =50=a 5+a n -4 ⋅n2=0.3n ，∴n =5003≈167年，所以为三级.故选:C18(2023春·江西·高三校联考阶段练习)若存在实数k 和m 使得函数f x 和g x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：g x ≤kx +m ≤f x 恒成立，则称此直线y =kx +m 为f x 和g x 的“分离直线”.有下列命题：①f x =x 2和g x =a ln x 之间存在唯一的“分离直线”y =2ex -e 时a =2e ；②f x =x 2和g x =1x(x <0)之间存在“分离直线”，且m 的最小值为-4，则()A.①、②都是真命題B.①、②都是假命題C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题【答案】A【分析】命题①，f(x)=x2和g(x)=2e ln x有公共点e,e，故隔离直线过该点，设为点斜式，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可求解；命题②，设隔离直线为y=kx+b，则x2-kx-m≥0kx2+mx-1≤0对任意x<0恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可求解；【详解】对于命题①，函数f(x)=x2和g(x)=2e ln x的图像在x=e处有公共点，若存在f(x)和g(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点e,e，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为y-e=k x-e，即y=kx-k e+e 由f(x)≥kx-k e+e x>0恒成立，即x2-kx+k e-e≥0x>0恒成立，(i)当k=0时，则x2≥e x>0不恒成立，不符合题意；(ii)当k<0时，令u x =x2-kx+k e-e x>0，对称轴x=k2<0，u x 在0,e上单调递增，且u e=0，故k<0不恒成立，不符合题意；(iii)当k>0时，令u x =x2-kx+k e-e x>0，对称轴x=k2>0，则u x min=uk2=-k24+k e-e=-k-2e24≥0，只有k=2e，即直线y=2e x-e下面证明g(x)=2e ln x≤2e x-e，令G(x)=2e x-e-2e ln x,求导G (x)=2e x-ex，令G(x)=0，得x=e，当x∈0,e时，G (x)<0，函数G(x)在区间0,e上单调递减；当x∈e,+∞时，G (x)>0，函数G(x)在区间e,+∞单调递增；故当x=e时，函数G(x)取得极小值，也是最小值，故G(x)≥0，即g(x)≤2e x-e 所以f(x)=x2和g(x)=2e ln x之间存在唯一的隔离直线y=2e x-e.所以命题①是真命题；对于命题②，设f(x)=x2和g(x)=1x(x<0)的隔离直线为y=kx+m，则x2≥kx+m1x≤kx+m对任意x<0恒成立，即x2-kx-m≥0kx2+mx-1≤0对任意x<0恒成立，由kx2+mx-1≤0恒成立，得k≤0(i)当k=0时，则m=0符合题意；(ii)当k<0时，则x2-kx-m≥0对任意x<0恒成立，令h x =x2-kx-m x<0，对称轴x=k2<0，需Δ=k2+4m≤0，即k2≤-4m，故m≤0令d x =kx2+mx-1x<0，对称轴x=-m2k≤0，需Δ=m2+4k≤0，即m2≤-4k，所以k4≤16m2≤-64k，故-4≤k<0同理可得m4≤16k2≤-64m，即-4≤m<0，故m 的最小值为-4故命题①正确，命题②正确；故选：A专题强化一、单选题19(2023·山东潍坊·统考模拟预测)阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹．如图，在平面直角坐标系xOy 中，螺线与坐标轴依次交于点A 1-1,0 ，A 20,-2 ，A 33,0 ，A 40,4 ，A 5-5,0 ，A 60,-6 ，A 77,0 ，A 80,8 ，并按这样的规律继续下去．若四边形A n A n +1A n +2A n +3的面积为760，则n 的值为()A.18B.19C.21D.22【答案】A【分析】根据四边形的特点，将四边形的面积转化为四个直角三角形的面积，即可求解.【详解】如图，四边形A n A n +1A n +2A n +3的面积由四个直角三角形构成，得12n n +1 +12n +1 n +2 +12n +2 n +3 +12n n +3 =760，n n +1+n +3 +n +2 n +1+n +3 =1520，2n +4 2n +2 =1520，即n +2 n +1 =380，n ∈N *，解得：n =18故选：A20(2023春·湖北·高二校联考阶段练习)高斯(Gauss )被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行1+2+3+⋯+100的求和运算时，他这样算的：1+100=101，2+99=101，⋯，50+51=101，共有50组，所以50×101=5050，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n 项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列a n是公比不等于1的等比数列，且a1a2023=1，试根据以上提示探求：若f(x)=41+x2，则f a1+f a2+⋯+f a2023=()A.2023B.4046C.2022D.4044【答案】B【分析】根据倒序相加法，结合等比数列的下标性质进行求解即可.【详解】根据等比数列的下标性质由a1⋅a2023=1⇒a n⋅a2024-n=1，∵函数f(x)=41+x2，∴f(x)+f1x=41+x2+41+1x2=4+4x21+x2=4，令T=f a1+f a2+⋯+f a2023，则T=f a2023+f a2023+⋯+f a1 ，∴2T=f a1 +f a2023+f a2+f a2022+⋯+f a2023+f a1 =4×2023，∴T=4046．故选：B21(2022秋·山东青岛·高三统考期末)已知定义域为0,1的“类康托尔函数”f x 满足：①∀0≤x1<x2≤1，f x1≤f x2；②f x =2fx3；③f x +f1-x=1.则f12023=()A.132B.164C.1128D.1256【答案】C【分析】根据函数的定义分别赋值得到f(1)=1,f12=12，然后再利用f x =2f x3 得到f(x)=2n⋅f x3n，再次赋值，利用∀0≤x1<x2≤1，f x1 ≤f x2 即可求解.【详解】因为∀0≤x1<x2≤1，f x =2fx3，令x=0可得：f(0)=0，又因为f x +f1-x=1，令x=0可得：f(1)=1，令x=12可得：f12=12，由f x =2fx3可得：f(x)=2f x3 =22⋅f x32=⋯=2n⋅f x3n ，令x=1,n=7，则有f(1)=27f137=128f12187，所以f12187=1128，令x=12，n=6，则有f12=26f1236=64f11458=12，所以f11458=1128，因为12187<12023<11458，所以f12187≤f12023≤f11458，也即1128≤f12023≤1128，所以f12023=1128，故选：C.22(2023·全国·高三专题练习)设定点F1,0，动点M满足以MF为直径的圆与y轴相切，设动点M的轨迹为C ，则下列说法正确的是()A.轨迹C 的方程为y 2=4xB.动点M 到直线l 1：4x -3y +6=0和l 2：x =-2的距离之和的最小值为2C.长度为8的线段两端点在轨迹C 上滑动，中点到y 轴距离的最小值为4D.轨迹C 上一点P 处的切线与x 轴交于Q ，若PQ =FQ ，则切线斜率为3【答案】A【分析】先用直接法求出动点M 的轨迹方程，然后根据轨迹方程为抛物线找出焦点和准线，将BC 两选项中的问题用抛物线的定义进行转化可判断BC 的真假；D 答案需要联立方程设而不求的思想可判断.【详解】设M x ,y ，MF 中点Q x +12,y2，∵以MF 为直径的圆与y 轴相切∴x +12 =12x -12+y 2⇒y 2=4x ，A 正确.对于B ，MM +MM =MM +MP +1=MM +MF +1，MM +MF ≥F 到l 1的距离=2，∴MM +MM ≥3，B 错.对于C ，设AB 中点M ，AB =8，分别过A ，B 作l 2的垂线，垂足为A ,B ，∴MM=AA +BB 2=AF -1+BF -12=AF +BF -22≥AB -22=3∴中点到y 轴距离的最小值为3，C 错.对于D ，切线：x =my +n ，x =my +ny 2=4x消y 可得y 2-4my -4n =0，Δ=0，∴n =-m 2，y =2mx =m2 ，∴Q -m 2,0 ，P m 2,2m ，PQ =FQ ，∴4m 4+4m 2=1+m 2，∴m 2=13，m =±33，斜率±3，D 错.故选：A23(2022·重庆江北·校考一模)已知斐波那契数列a n 满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +1+a n ，若a s ，a t 是数列a n 中的任意两项，a s -a t =m ，当m ≤2时，称数组a s ,a t 为数列a n 的“平缓数组”(a s ,a t 与a t ,a s 为相同的“平缓数组”)，m 为数组a s ,a t 的组差.现从a n 的所有“平缓数组”中随机抽取3个，则这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为()A.24B.26C.29D.35【答案】B【分析】先根据“平缓数组”的定义，找出所有的“平缓数组”，然后再计算随机抽取三个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数即可.【详解】由题意得a n +1≥a n ，a n +2-a n +1≥a n +1-a n ，a 1=a 2=1，a 3=2，a 4=3，a 5=5，a 6=8，又a 6-a 5=3，所以当n ≥5时，a n +1-a i ≥3i =1,2,⋅⋅⋅,n ，所以a n 的所有“平缓数组”有a 1,a 2 ，a 1,a 3 ，a 1,a 4 ，a 2,a 3 ，a 2,a 4 ，a 3,a 4 ，a 4,a 5 ，共7个，其中组差为0的有1个为a 1,a 2 ，组差为1的有3个为a 1,a 3 ，a 2,a 3 ，a 3,a 4 ，组差为2的有3个为a 1,a 4 ，a 2,a 4 ，a 4,a 5 ，所以这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为2C 23C 14+2C 33=26，故选：B24(2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数n >2时，关于x ，y ，z 的方程x n +y n =z n 没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为()(1)存在至少一组正整数组x ,y ,z 是关于x ，y ，z 的方程x 3+y 3=z 3的解；(2)关于x ，y 的方程x 3+y 3=1有正有理数解；(3)关于x ，y 的方程x 3+y 3=1没有正有理数解；(4)当整数n >3时关于x ，y ，z 的方程x n +y n =z n 有正实数解A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【分析】当整数n >2时方程没有正整数解，(1)错误，x z 3+y z3=1，没有正有理数解，(2)错误，(3)正确，当x =y =1，z =21n满足条件，(4)正确，得到答案.【详解】当整数n >2时，关于x ，y ，z 的方程x n +y n =z n 没有正整数解，故方程x 3+y 3=z 3没有正整数解，(1)错误；x 3+y 3=z 3没有正整数解.即x z3+y z3=1，z ≠0 ，没有正有理数解，(2)错误，(3)正确；方程x n+y n=z n，当x =y =1，z =21n满足条件，故有正实数解，(4)正确.故选：C25(2022秋·北京·高三北京铁路二中校考期中)德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷(1805年2月13日~1859年5月5日)，对函数论、三角级数论等都有重要贡献，主要著作有《数论讲义》《定积分》等.狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为D x =1,x 为有理数,0,x 为无理数, 则下列关于狄利克雷函数D(x )的判断错误的是()A.对任意有理数t ，D (x +t )=D (x )B.对任意实数x ，D (D (x ))=1C.D (x )既不是奇函数也不是偶函数D.存在实数x ，y ，D (x +y )=D (x )+D (y )【答案】C【分析】根据狄利克雷函数的定义判断ABD ，结合奇偶性的定义判断C ．【详解】对于A ，对任意有理数t ，当x 为有理数时，x +t 为有理数，则D (x +t )=1=D (x )；当x 为无理数时，x +t 为无理数，则D (x +t )=0=D (x )，故A 正确；对于B ，若x 为有理数，则D (D (x ))=D (1)=1；若x 为无理数，则D (D (x ))=D (0)=1，故B 正确；对于C ，当x 为有理数时，则-x 为有理数，则D (-x )=1=D (x )；当x 为无理数时，则-x 为无理数，则D (-x )=0=D (x )，于是对任意实数x ，都有D (-x )=D (x )，即狄利克雷函数为偶函数，故C 错误；对于D ，取x =2，y =3，因为2+3为无理数，所以D (2+3)=0=D (2)+D (3)，故D 正确.故选：C .二、多选题26(2023春·吉林白山·高三统考期中)古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美.”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类对数学的对称问题一直在思考和探索，图形中对称性的本质就是点的对称、线的对称.如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质.如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”.下列关于“优美函数”的说法中正确的有()A.函数f x =x2x+2-x-1≤x ≤1 可以是某个正方形的“优美函数”B.函数f x =4cos 2x -π6 +3只能是边长不超过π2的正方形的“优美函数”C.函数f x =ln 4x 2+1-2x -1可以是无数个正方形的“优美函数”。

一、数列的概念选择题1．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12nn n a a n +=+⋅，则15a =（ ）A ．151422⋅+B ．141322⋅+C ．151423⋅+D ．151323⋅+2．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ）A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 3．已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，则2018a =（ ）. A ．2B ．12 C ．1-D ．12-4．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B ．[)3,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞5．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则10a ＝（ ）A ．35B ．40C ．45D ．506．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N++=+∈且1300nS=，若23a <，则n 的最大值为（ ）A ．49B ．50C ．51D ．528．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ） A ．20201010⨯B ．20191010⨯C ．20202020⨯D ．20192019⨯9．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1B ．3C ．2D ．3-10．已知数列{}n a 的前n 项和为()*22nn S n =+∈N ，则3a=( )A ．10B ．8C ．6D ．411．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-12．在数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1-B ．12C ．1D ．213．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T ．已知数列{}n a 满足()111,10,{1,01n n n n na a a m m a a a +->=>=<≤ ，则下列结论错误的是（ ） A ．若34a =，则m 可以取3个不同的数； B．若m =，则数列{}n a 是周期为3的数列；C ．存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列；D ．对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列．14．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174B ．184C ．188D ．16015．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1n S n N n =∈，，则2a =（ ） A ．12-B ．16-C ．16D ．1216．已知数列{}n a满足112n a +=+112a =，则该数列前2016项的和为（ ） A ．2015B ．2016C ．1512D ．3025217．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0B ．53C ．73D ．318．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+- （3n ≥，n *∈N ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（ ） A ．1348B ．1358C ．1347D ．135719．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk a=∑的值不可能是（ ） A ．2B ．4C ．10D ．1420．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（ ）A ．2n a n =B ．3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩C ．21n a n =+D ．3n a n =二、多选题21．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >22．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 23．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值26．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.27．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．170S <28．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <29．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 30．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列31．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列32．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n =C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D ．数列{}n a 为递减数列33．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列34．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 35．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．D 解析：D 【分析】在数列的递推公式中依次取1,2,3,1n n =- ，得1n -个等式，累加后再利用错位相减法求15a .【详解】12n n n a a n +=+⋅， 12n n n a a n +-=⋅，12112a a ∴-=⋅， 23222a a -=⋅， 34332a a -=⋅11(1)2n n n a a n ---=-⋅，以上1n -个等式，累加得12311122232(1)2n n a a n --=⋅+⋅+⋅++-⋅①又2341122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②①- ②得23112222(1)2n n n a a n --=++++--⋅12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--⋅=-⋅--，(2)23n n a n ∴=-⋅+ ，151515(152)231323a ∴=-⋅+=⋅+，故选：D 【点睛】本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.2．A解析：A 【分析】运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，121n n n n a a a a +++∴≥--，设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，∴数列{}n d 是递减数列.对于A ，由11a =，20192019a =， 则201911220182019a a d d d =+++=，所以1220182018d d d +++=，又1232018d d d d ≥≥≥≥，所以1122018201820182018d d d d d ≥+++≥，故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，02019N ∃=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++≤++++=即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；结合A ，故B 不正确；对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列， 则n a 无最大值，故C 不正确；对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确； 故选：A 【点睛】本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.3．B解析：B 【分析】利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a . 【详解】 在数列{}n a 中，111n na a +=-，且12a =， 211112a a ∴=-=， 3211121a a =-=-=- ， ()41311112a a a =-=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201867232=⨯+，2018212a a ∴==.故选：B 【点睛】本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题.4．D解析：D 【分析】利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，并利用裂项相消法求出n S ，求出n S 的取值范围，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】11n n a a n +=++，11n n a a n +∴-=+且11a =，由累加法可得()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=，()122211n a n n n n ∴==-++，22222222222311n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由于n S m <对一切正整数n 恒成立，2m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.故选：D. 【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.5．A解析：A 【分析】利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.【详解】223n S n n =-,n 2∴≥时，1n n n a S S -=-22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35故选：A. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2≥时n a 的表达式．(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．6．A解析：A【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．7．A解析：A 【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n nS =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n=，因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====，所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+，2511151351413752S a a +⨯-=+=+，又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A 【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.8．B解析：B 【分析】由题意可得211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=，再将这2019个式子相加得到结论. 【详解】由题意可知211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=， 这2019个式子相加可得()20201201912019123 (2019201910102)a a +-=++++==⨯.故选：B. 【点睛】本题考查累加法，重点考查计算能力，属于基础题型.9．C解析：C 【分析】根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得2019a 的值.【详解】数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---=当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.10．D解析：D 【分析】根据332a S S =-，代入即可得结果. 【详解】()()3233222224a S S =-=+-+=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了由数列的前n 项和求数列中的项，属于基础题.11．A解析：A 【分析】根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】21n n S a =+当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-⋯⋯当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-∴71a =，20191S =故720192a S += 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.解析：B 【分析】通过递推公式求出234,,a a a 可得数列{}n a 是周期数列，根据周期即可得答案. 【详解】 解：211111=1=22a a =--，3211121a a =-=-=-，4311112a a =-=+=，则数列{}n a 周期数列，满足3n n a a -=，4n ≥85212a a a ∴===， 故选：B. 【点睛】本题考查数列的周期性，考查递推公式的应用，是基础题.13．C解析：C 【解析】试题分析：A:当01m <≤时，由34a =得1;125m m =<≤时，由34a =得54m =； 2m >时，()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ；正确 .B:234111,11,1,m a a a =>∴====> 所以3T =，正确．C ：命题较难证明，先考察命题D ．D ：命题的否定为“对任意的T N *∈，且2T ≥，不存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列”，而由B 显然这个命题是错误的，因此D 正确，从而只有C 是错误． 考点：命题的真假判断与应用．【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理解新定义“周期为T 的数列”，然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证，A 、B 两个命题按照数列的递推公式进行计算即可，命题C 较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D 命题，并且在命题D 本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D 的否定，命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的，从而命题D 是正确的．14．A解析：A 【分析】根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()12213n n =-+-++++()()()11113322n n n n -+--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.15．A解析：A 【分析】令1n =得11a =，令2n =得21212S a a =+=可解得2a . 【详解】 因为1n S n =，所以11111a S ===， 因为21212S a a =+=，所以211122a =-=-. 故选：A16．C解析：C 【分析】通过计算出数列的前几项确定数列{}n a 是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论． 【详解】 依题意，112a =，211122a =，3111222a =+=， ⋯从而数列{}n a 是以2为周期的周期数列，于是所求值为20161(1)151222⨯+=， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.17．B解析：B 【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+= 故选：B18．C解析：C 【分析】由题意可知，得数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，又202067331=⨯+，由此可得答案【详解】解：由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,⋅⋅⋅，所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=， 因为202067331=⨯+，所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+= 故选：C19．B解析：B 【分析】先由题中条件，得到21221i i i a a a +-=+，由累加法得到202211221k k a a ==-∑，根据00a =，()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.【详解】由11i i a a +=+得()2221121i i i i a a a a +=+=++，则21221i i i a a a +-=+， 所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以20221211220k k a a a ==--∑，又00a =，所以2120211a a a =++=，则202211221k k a a ==-∑，因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或2，所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或21±，因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，所以221122a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，170，210；则201kk a=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20221211220k k a a a ==--∑，将问题转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.20．B解析：B 【分析】根据11,1,2n nS n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；【详解】解：因为21n S n n =++①，当1n =时，211113S =++=，即13a =当2n ≥时，()()21111n S n n -=-+-+②，①减②得，()()2211112n n n n n n a ⎡⎤++--+-+=⎦=⎣所以3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩故选：B 【点睛】本题考查利用定义法求数列的通项公式，属于基础题.二、多选题 21．BC 【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错. 【详解】 由可知，即，当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.22．BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故解析：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2n中，()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.23．ABC 【分析】由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断. 【详解】当时，由， 得， 即，又，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列， 所以，即，故C 正确； 所以，故A 正确； ，解析：ABC 【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC24．BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】解：设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以， ，故选：BC解析：BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=， 故选：BC25．AC 【分析】先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列的公差为， 则，解得. 所以，，，所以当且仅当或时，取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；26．ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.27．ABD 【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】由，可得，故B 正确； 由，可得， 由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A 正确； 又，所以，故C 不正确解析：ABD 【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确； 由56S S <，可得6560S S a -=>， 由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确； 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <， 所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 28．AC将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由，可得，令， ，所以是奇函数，且在上单调递减，所以， 所以当数列为等差数列时，；解析：AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112xf x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112xf x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题29．BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数， 是等方差数【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.30．AC 【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由， 得， 所以时，， 得时，， 即时，， 当时，由解析：AC 【分析】由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n nn a a a H n-+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.31．AD 【分析】利用求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对进行配方可对C 进行判断 【详解】 解：当时，， 当时，， 当时，满足上式， 所以，由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列， 因解析：AD 【分析】 利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式， 所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误， 由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误， 故选：AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题32．ABD 【分析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，因为，， 所以，即所以是以首项为，公差为的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：解析：ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.33．AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】， ，所以是递增数列，故①正确， ，当时，数列不是递增数列，故②不正确， ，当时，不是递增数列，故③不正确， ，因解析：AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d -<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确， 1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n 不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.34．ABCD 【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d ＝12，可得＜d ＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn ＜0解析：ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nn S a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．35．AC 【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值．【详解】解：在递增的等差数列中， 由，得， 又，联立解得，， 则，． ．故正确，错误；可得数列的解析：AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。

数列新定义问题新定义数列题是指以学生已有的知识为基础，设计一个陌生的数学情境，或定义一个概念，或规定一种运算，或给出一个规划，通过阅读相关信息，根据题目引入新内容进行解答的一类数列题型．由于新定义数列题背景新颖，构思巧妙，而且能有效地考查学生的迁移能力和思维品质，充分体现“遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的特点，所以备受命题专家的青睐解决方案及流程(1)读懂题意，理解研究的对象，理解新定义数列的含义；(2)特殊分析，例如先对n=1,2,3，⋯的情况讨论；(3)通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案，最后利用等差、等比数列有关知识来求解．题型一递推关系中的新定义1(2022全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列b n：b1=1+1α1，b2=1+1α1+1α2，b3=1+1α1+1α2+1α3，⋯，依此类推，其中αk∈N∗(k=1,2,⋯)．则()A.b1<b5B.b3<b8C.b6<b2D.b4<b7【跟踪训练】2定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.设甲：数列a n满足a1=1,a2n+1-a2n=4a n+1-4；乙：数列a n是公差为2的等差数列或公和为2的等和数列，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件题型二等差数列中新定义3定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列a n是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，a13=5，则数列1a n+a n+1的前n项和Sn=()A.2n+1-12B.2n-1-12C.2n+1-1D.2n-1-1【跟踪训练】4南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列a 本身不是等差数列，但从数列a n 中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列b n ，则称数列a n 为一阶等差数列，或者b n 仍旧不是等差数列，但从b n 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列c n ，则称数列a n 为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，⋯⋯是一阶等比数列，则该数列的第10项是()A.210B.215C.221D.236题型三等比数列中的新定义5若数列x n 满足x n +1=x n -f x n f x n，则称数列x n为牛顿数列，若f x =x 2，数列x n 为牛顿数列，且x 1=12，x n ≠0，数列x n 的前n 项和为S n ，则满足S n ≤20232024的最大正整数n 的值为．【跟踪训练】6数列a n 中，S n 是其前n 项的和，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n =a m ，则称数列a n 为“某数列”.现有如下两个命题：①等比数列2n为“某数列”；②对任意的等差数列a n ，总存在两个“某数列”b n 和c n ，使得a n =b n +c n .则下列选项中正确的是()A.①为真命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题题型四数列求和中的新定义7定义np 1+p 2+⋯+p n为n 个正数p 1,p 2,⋯p n 的“均倒数”，若已知数列a n 的前n 项的“均倒数”为13n +2，又b n =a n +16，则1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b 19b 20=()A.19B.911C.920D.1920【跟踪训练】8若数列a n 满足a 1=1,a n +1=3a n +1，若b n =2a n +1n ∈N * ，抽去数列b n 的第3项、第6项、第9项、⋯、第3n 项、⋯，余下的项的顺序不变，构成一个新数列c n ，则数列c n 的前100项的和为．1我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，⋯，9填入3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，如图所示.一般地.将连续的正整数1，2，3，⋯，n 2填入n ×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的数的和即方格内的所有数的和为S n ，如图三阶幻方记为S 3=45，那么S 9=()A.3321B.361C.99D.332定义a bc d=ad -bc ，已知数列a n 为等比数列，且a 3=1,a 644a 8=0，则a 7=()A.±2B.2C.±4D.43任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”(又称“角谷猜想”等)．已知数列a n 满足：a 1=3,a n +1=a n2,a n 为偶数3a n+1,a n为奇数 ，则a25=()A.1B.2C.3D.44“提丢斯数列”是由18世纪德国数学家提丢斯给出,具体如下：0,3,6,12,24,48,96,192,⋯,容易发现,从第三项起,每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4,7,10,16,28,52,100,196,⋯,再将每一项除以10得到“提丢斯数列”,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,⋯,则“提丢斯数列”的前50项的和为()A.3×249B.3×250C.248-19710 D.3×249+197105(多选)在无穷数列a n 中，若a p =a q p ,q ∈N * ，总有a p +1=a q +1，此时定义a n 为“阶梯数列”.设a n 为“阶梯数列”，且a 1=a 4=1，a 5=3，a 8a 9=23，则()A.a 7=1B.a 8=2a 4C.S 10=10+33D.a 2021=36(多选)给定数列a n ，定义差分运算：Δa n =a n +1-a n ,Δ2a n =Δa n +1-Δa n ,n ∈N *.若数列a n 满足a n =n 2+n ，数列b n 的首项为1，且Δb n =n +2 ⋅2n -1,n ∈N *，则()A.存在M >0，使得Δa n <M 恒成立B.存在M >0，使得Δ2a n <M 恒成立C.对任意M >0，总存在n ∈N *，使得b n >MD.对任意M >0，总存在n ∈N *，使得Δ2b nb n>M7在数列a n 中，若存在常数t ，使得a n +1=a 1a 2a 3⋯a n +t n ∈N * 恒成立，则称数列a n 为“H(t )数列”若数列a n 为“H (t )数列”，且a 1=2，数列b n 为等差数列，且ni =1a 2i =a n +1+b n -t 则b n =(写出通项公式)8数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于31<π<41，取3为弱率，4为强率，计算得a 1=3+41+1=72，故a 1为强率，与上一次的弱率3计算得a 2=3+71+2=103，故a 2为强率，继续计算，⋯.若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知a m =258，求m9已知数列a n为等差数列a1=25， 为“二阶等差数列”，即当时a n+1-a n=b n n∈N∗，数列b n a3=67，a5=101.(1)求数列b n的通项公式；(2)求数列a n的最大值10设数列a n是 的前n项和为S n,若对任意正整数n,总存在正整数m,使得S n=a m,则称a n “H数列”;(1)若数列a n的前n项和S n=2n(n∈N∗),判断数列a n是否是“H数列”?若是,给出证明;若不是,说明理由;(2)设数列a n为“H数列”的充要条件是a n=0;是常数列,证明:a n(3)设a n是等差数列,其首项a1=1,公差d<0,若a n是“H数列”,求d的值;11已知d为非零常数，a n>0，若对∀n∈N*,a2n+1-a2n=d，则称数列a n为D数列．(1)证明：D数列是递增数列，但不是等比数列；(2)设b n=a n+1-a n，若a n为D数列，证明：b n<d4n-3；(3)若a n为D数列，证明：∃n∈N*，使得ni=11a i>2024．。

专题3：定义新数列复习目的：① 对数列基本特征的认识和理解数学是由概念、命题所组成的逻辑系统，概念是基础，数学当中每一个术语、符号和习惯用语都有着具体的内涵.这些特点反映在考试中就要求考生在解题的时候，要透彻理解概念的含义，弄清楚不同概念之间的区别和联系.例1 (2006 北京卷20)在数列{}n a 中，若12,a a 是正整数， 且12||,3,4,5,n n n a a a n --=-= ，则称{}n a 为“绝对差数列”. （Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”{}n a 中，20213,0a a ==，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++，1,2,3,n = ，分别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.分析: 此题一开始就提出了一个教材和大纲里没有见过的概念:绝对差数列.先给出了“绝对差数列”的定义，要求考生在理解这个定义的基础上，举出一个前5项不为零的“绝对差数列”.意思非常明确，就考你是不是理解了这个概念的本质.然后在这个基础上，又接着引出一个相关的数列，来讨论他们无限变化的趋势，最后再完成一个证明题.当然,后面的两个问题,要求是比较高的,但就我们的复习教学来说,这道题的题干是不是给我们一个启示:概念复习在高三仍然是非常重要的.例2 （2007 崇文期末）在数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为()0,0,1nn a a b c a b =⋅+≠≠的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为 （ D ）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④我们要能通过复习，让学生体会到：学数学、思考数学问题，概念是非常重要的②让学生了解研究数列问题的方法例3（2004 北京考卷14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________，这个数列的前n项和S n 的计算公式为________________ .此题的分析与拓展：（帮助学生体会研究数列问题的思考方法）怎样理解“等和数列”呢？能否举几个具体的实例呢？ 如：1，4，1，4，1，4，…… 公和是53，5，3，5，3，5，…… 公和是7如何计算a 18？生：2，3，2，3，2，3，…… 特征是：奇数项为2，偶数项为3，183a ∴= 问：如何求这个数列的通项n a 呢？ 生： 151(,),n n a a n n N ++=≥∈ ①2150(,)n n a a n n N ++∴+=≥∈，②由②-①得：201(,)n n a a n n N +∴-=≥∈.（怎么理解这个式子呢？）135,,a a a ∴ 为常数列，246,,a a a 也为常数列，2 n3 n n a ⎧∴=⎨⎩奇偶从以上分析，使学生看到：“等和数列”的本质特征就是奇数项、偶数项为分别是常数列.在探索：设这个数列的前n 项和为S n ，如何求S n 呢？ 当n 为奇数时：12311234511151522--=+++++=+++++++--=+⋅=()()() n n nn n S a a a a a a a a a a a a n n a 当n 为偶数时：12341()()()n n n S a a a a a a -=++++++ 52=n51252-⎧⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩ n , n n S n 奇 n偶，求通项n a 的其它方法：151++=≥∈(,) n n a a n n N +1 5n n a a ∴=-+ 155()22n n a a +∴-=-- 152152n n a a +-∴=--52n a ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭是公比为-1的等比数列.求S n 的其它方法： 方法1：依据15++=n n a a当n 为奇数时：123451151()()......()2522n n n n n S a a a a a a a ---=+++++++=+⨯= 当n 为偶数时：123415()()......()2n n n n S a a a a a a -=++++++=方法2：依据20+-=n n a a当n 为奇数时：13241151(.....)(...)23222n n n n n n S a a a a a a ---=+++++++=⨯+⨯= 当n 为偶数时：131245(.....)(...)23222n n n n n n S a a a a a a -=+++++++=⨯+⨯= 方法3：采用“倒序相加”的方法.123112211251---=+++++=+++++=+-+ +) () n n nn n n n n nS a a a a a S a a a a a S a n a 当n 为奇数时：151[25(1)2]22n n S n -=+-+=当n 为偶数时：52n S n =拓展问题1数列{}n a ，若每一项与它后面的项的和为一个等差数列，如何求其通项及其前n 项和呢？例1：设数列{}n a ，131,n n a a n ++=+11a =，求：n a 及其前n 项和n S .（1）1311(,),n n a a n n n N ++=+≥∈ ①21340(,)n n a a n n n N ++∴+=+≥∈，② 由②-①得：231(,)n n a a n n N +∴-=≥∈.135,,a a a ∴ 是以11a =为首项，3为公差的等差数列. 246,,a a a 是以23a =为首项，3为公差的等差数列.（ⅰ）当n 为奇数时：n a 是数列135,,a a a 的第12n +项， 11311322()n n n a a +-∴=+-⨯=.（ⅱ）当n 为偶数时：131n n a a n ++=+131********++-∴=+-=+-=()n n n na n a n 由（ⅰ）、（ⅱ）知：31232-⎧⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩ n n n n a n 奇偶如何求这个数列的S n 呢？（ⅰ）当n 为奇数时：123112345121321341311132461213214()()()()()[()][()]()n n nn n S a a a a a a a a a a a a n n n n n --=+++++=+++++++=+⨯++⨯+++-++=+++++=++（ⅱ）当n 为偶数时：12341231133131131351121324()()()()()[()][()]()n n n S a a a a a a n nn n n -=++++++=⨯++⨯+++-+=++++-+⋅=+由（ⅰ）、（ⅱ）知：22132141324⎧+-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩(), (), n n n n S n n n 奇偶拓展问题2数列{}n a ，若每一项与它后面的项的和为一个等比数列，如何求其通项及其前n 项和呢？例2：设数列{}n a ，13,n n n a a ++=11a =，求：n a 及其前n 项和n S . 师生：（1）131(,),n n n a a n n N ++=≥∈ ①12130(,)n n n a a n n N +++∴+=≥∈，②由②-①得：2231(,)n n n a a n n N +∴-=⋅≥∈ （ⅰ）当n 为奇数时：2243112411352122232323112333331312131314()()()()[()]()n n n n n n n n n nn a a a a a a a a -------∴=-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=+++++-=+⋅-=+（ⅱ）当n 为偶数时：13n n n a a ++=11333141314()()n n n n n na a +∴=-=-+=-由（ⅰ）、（ⅱ）知：13141314⎧+⎪⎪∴=⎨⎪-⎪⎩(),(),nn n n a n 奇偶（2）求和（ⅰ）当n 为奇数时：1231123451241121133319191318()()()()n n nn n n n n S a a a a a a a a a a a a ---++=+++++=+++++++=++++-=-=-（ⅱ）当n 为偶数时：12341135123333319193318()()()()()n n n n nn S a a a a a a --=++++++=++++-=-=-由（ⅰ）、（ⅱ）知：113183318+⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩(), (), n n n n S n 奇偶拓展问题3数列{}n a ，若每一项与它后面的项的和为一个等差数列与一个等比差数列对应项之和构成的数列时，如何求其通项及其前n 项和呢？例3：设数列{}n a ，13,n n n a a n ++=+11a =，求：n a 及其前n 项和n S .分析:（1）131(,),n n n a a n n n N ++=+≥∈ ①121130(,)n n n a a n n n N +++∴+=++≥∈，② 由②-①得：21231(,)n n n a a n n N +∴-=+⋅≥∈（ⅰ）当n 为奇数时：131532421342135212312312312311123333213214()()()()()()(()()()n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n ------=+-+-++-+-=+⋅++⋅+++⋅++⋅++=⋅+++++=+-（ⅱ）当n 为偶数时：13n n n a a n ++=+ 113133211413214[()]()n n n n n n a n a n n n ++∴=+-=+-++-=+-由（ⅰ）、（ⅱ）知： *n N ∈13214()nn a n ∴=+-（2）求和123112312121323132213231321413332123413238-+=+++++=+⋅-++⋅-++⋅-++⋅-=++++++++-=+- [()()()()][()()]() n n nn nn S a a a a a n n n n 拓展问题4数列{}n a ，若每一项与它后面的项之积（或商、差）构成一个数列时，如何求其通项及其前n 项和呢？例4数列{}n a 中，若114,1,n n n a a a +== 求n a 及其前n 项和n S . 解：14n n n a a += ------------------------------①1124n n n a a +++∴= ----------------②由②÷①得： 24n naa +=所以，n 为奇数时，35713524,4, 4......4n n a a a aa a a a -====将12n -个式子相乘，：11214,2n n n n a a a --=∴=n 为偶数时， 11444,22n n nn n n n n n a a a a ++=∴===122-⎧⎪∴=⎨⎪⎩, , n n n n a n 奇偶求n S ：n 为奇数时，n 为奇数时，1324111222(...)(...)144(14)1 (25)14143n n n n n n S a a a a a a -+-+=+++++++--=+=---n 为偶数时，131245(...)(...)(21)3nn n n S a a a a a a -=+++++++=- 对于以上“等和数列”及其拓展的数列的讨论，可以得到几点启示： (1)重视对数列基本特征的认识和理解，这是求数列通项a n 和前n 项和S n 的前提；(2)将数列的递推公式合理地变形转化为已知的特殊数列（如常数列、等差数列、等比数列等）问题，运用恰当方法（如迭加法、迭乘法等）就可以求其通项及前n 项和.。

考点：数列新定义 难度：1 一、选择题1．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有A.18个B.16个C.14个D.12个 答案： C解答：由题意必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：2．如果正整数a 的各位数字之和等于8，那么称a 为 “幸运数”（如：8，26，2015等均为“幸运数”），将所有“幸运数”从小到大排成一列1a ，2a ，3a ，……，若2015n a =，则=n （ ） A ．80 B ．81 C ．82 D ．83 答案： D ． 解答：分析题意可知，1位的幸运数只有1个8；2位的幸运数：17，26，……71，80，共8个； 3位的幸运数：第1位为1：107，116，……170，共8个，第1位为2：206，215，……260，共7个，以此类推，从而可知3位的幸运数共有876136+++⋅⋅⋅+=个；4位的幸运数：第1位是1：1007，1016，……1070，有8个，1106，1115，1160，有7个，以此类推，从而可知第1位是1的4为幸运数共有876136+++⋅⋅⋅+=个，第2位是2的幸运数：2006，2015，∴183636283n =++++=，故选D ．3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的1,3,6,10,...,由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1,4,9,16,...,这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是A ．189B ．1024C ．1225D ．1378 答案：C 解答：正方形数的通项公式是2n an=，所以两个通项都满足的是1225，三角形数是，正方形数是35=n ．4．删除正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2015项是（ ） A ．2058 B ．2059 C ．2060 D ．2061 答案： C解答：由题意可得，这些数可以写为：21，2，3，22，5，6，7，8，23… 第k 个平方数与第k +1个平方数之间有2k 个正整数， 而数列21，2，3，22，5，6，7，8，23…245共有2025项，去掉45个平方数后，还剩余1980个数 所以去掉平方数后第2015项应在2025后的第35个数，即是原来数列的第2060项，即为2060．5．1202年，意大利数学家斐波那契在他的书中给出了一个关于兔子繁殖的递推关系：()123n n n F F F n --=+≥，其中n F 表示第n 个月的兔子的总对数，121F F ==，则8F 的值为（ ） A.13. . .91. . .10631B.21C.34D.55 答案：B解答：∵，∴3122F F F=+=，∴4323F FF=+=，5345F FF=+=，6458F FF=+=，75613FF F=+=，∴86721F FF=+=，故选B6．项数为n的数列123,,,,na a a a的前k项和为(1,2,3,,)kS k n==，定义nS++为该项数列的“凯森和”，如果项系数为99项的数列12399,,,,a a a a的“凯森和”为1000，那么项数为100的数列100，12399,,,,a a a a的“凯森和”为（）A．991B．1001C．1090D．1100答案：C解答：129912991001001000,109099100S S S S S S+++⨯++++=∴=，故选C.7．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即20125a-=（）A. 2018×2012B. 2018×2011C. 1009×2012D. 1009×2011答案：D解答：由题意可得12323,234,2+3+4+5a a a=+=++=，423456a=++++121==FF数列{}n a 的第n 项n a 是通项为1n b n =+的数列的前n +1项的和。

高考数学一轮复习《数列新定义》练习题（含答案）一、单选题1．定义：在数列{}n a 中，若满足(*211,n n n na a d n d a a +++-=∈N 为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20192017a a 等于（ ） A ．2420171⨯-B ．2420181⨯-C ．2420191⨯-D ．2420201⨯-2．若数列{an }满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<……，则称数列{an }为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn }的前n 项和Sn 满足*221()n n S c t n N +=-∈，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1(,)2-∞B ．（-∞，1）C ．1(,)2+∞D ．（1， +∞）3．对任意正整数n 定义运算*，其运算规则如下：①1*22=；②()()1*2*22n n +=⨯.则*2n =（ ） A ．()21n -B ．2nC ．12n -D ．2n4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ） A ．99B ．131C ．139D ．1415．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第8项为（ ） A ．95B ．101C ．141D ．2016．若数列{}n a 满足121n n a a +=-，则称{}n a 为“对奇数列”．已知正项数列{}1n b +为“对奇数列”，且12b =，则n b =（ ） A ．123n -⨯B ．12n -C ．12n +D ．2n7．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”．在数列{}n a 中，若98n a n n=+-，则数列{}n a 的“谷值点”为（ ） A ．2B ．7C ．2，7D ．2，5，78．在数列{}n a 中，如果对任意*n ∈N 都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比，则下列选项中错误的是（ ） A ．等差比数列的公差比一定不为0 B ．等差数列一定是等差比数列C ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比D ．若32nn a =-+，则数列{}n a 是等差比数列9．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第15项为（ ） A ．94B ．108C ．123D ．13910．已知n a的正整数，其中*n ∈N .若12370m a a a a +++⋅⋅⋅+≥，则正整数m 的最小值为（ ） A ．23B ．24C ．25D ．2611．若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数．已知2n n a =，()f m m =，则63b =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．812．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球()11a =，第二层有3个球()23a =，第三层有6个球()36a =，第四层有10个球()410a =，第五层有15个球()515a =，…，各层球数之差{}1n n a a +-：21a a -，32a a -，43a a -，54a a -，…即2，3， 4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（ ）． A ．51B ．68C ．106D ．157二、填空题13．任取一个正整数，若为奇数，就将该数乘3再加上1；若为偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称为“角谷猜想”等)．如取正整数6m =，根据上述运算法则得到6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递进关系如下：已知数列{n a }满足1a m =(m 为正整数)，,231,nn n n n a a a a a ⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，当9m =时，试确定使得1n a =需要雹程步数为_____________．14．对一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，若,N 10n n a n *⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则20092010S =_______ 15．斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，*n ∈N ），则称数列{}n a 为斐波那契数列，则222123303012a a a a a +++=___________．16．已知有穷数列{}n a 各项均不相等，将{}n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{}n b ，称数列{}n b 为数列{}n a 的“序数列”.例如数列1a ，2a ，3a 满足132a a a >>，则其序数列{}n b 为1，3，2.若有穷数列{}n d 满足11d =，()114nn n d d +-=（n 为正整数），且数列{}21n d -的序数列单调递减，数列{}2n d 的序数列单调递增，则123420212022d d d d d d -+-+⋅⋅⋅+-=___________.三、解答题17．记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且333212n n a a a S +++=．(1)求{}n a 的通项公式； (2)记数列2{}nna S 的前n 项积为n T ，证明：数列{}n T 是递增数列．18．已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+． (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对于集合A 、B ，定义集合{A B x x A -=∈且}x B ∉，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A 、B ，将集合A B -的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30S ．19．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足14a =，12b =，2221a b =-，332a b =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前60项和60S .20．已知a 为实数，数列{}n a 满足：①1a a =；②()*13,34,3n n n n n a a a n a a +->⎧=∈⎨-≤⎩N ． (1)当3a =时，求1234a a a a +++的值；(2)求证：存在正整数0n ，使得003n a ≤≤；(3)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求a 的取值范围，使数列{}n a 为周期数列且方程*2(N )n S n n =∈有解（若数列{}n a 满足：存在N T ∈且0T >，对任意N n ∈且0n >，成立n T n a a +=，则称数列{}n a 为以T 为周期的周期数列）．21．已知数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥满足：①11a =；②()121,2,,1k ka k n a +==-.记()12n n S A a a a =+++.（1）直接写出()3S A 的所有可能值； （2）证明：()0n S A >的充要条件是0n a >； （3）若()0n S A >，求()n S A 的所有可能值的和.22．对于项数为m 的有穷数列{}n a ，设n b 为()12,,,1,2,,n a a a n m ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅中的最大值，称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.(1)若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的{}n a ； (2)设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1n m n a b C -++=（C 为常数，1,2,,n m =⋅⋅⋅）.证明：()1,2,,n n b a n m ==⋅⋅⋅.(3)考虑正整数1,2,,m ⋅⋅⋅的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c .是否存在数列{}n c ，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列{}n c 的个数；若不存在，请说明理由.23．若无穷数列{n a }满足如下两个条件，则称{n a }为无界数列： ①0n a >（n =1，2，3......）②对任意的正数δ，都存在正整数N ，使得n a δ>.(1)若21n a n =+，2cos()n b n =+（n =1，2，3......），判断数列{n a }，{n b }是否是无界数列； (2)若21n a n =+，是否存在正整数k ，使得对于一切n k ≥，都有12231...1n n a a a n a a a ++++<-成立？若存在，求出k 的范围；若不存在说明理由；(3)若数列{n a }是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m ，使得12231...1m m a a a m a a a ++++<-参考答案1．A2．A3．D4．D5．C6．D7．C8．B9．B10．B11．A12．C 13．19 14．100 15．12##0.5 16．2022411154⎛⎫-- ⎪⎝⎭17．（1）由333212n n a a a S +++=可得：当1n =时，有3211a S =，即()21110a a -=.因为0n a >，所以11a =.当2n ≥时，有33321211n n a a a S --+++=，所以3221n n n a S S -=-，即212n n n n n a S S S a -=+=-，即22n n n a a S +=所以有21112n n n a a S ---+=.所以()()2211112n n n n n n n a S S a a a a ---⎡⎤=-=+-+⎣⎦，即2211n n n n a a a a ---=+.因为0n a >，所以11n n a a --=.所以{}n a 为11a =，公差1d =的等差数列. 所以()11n a a n d n =+-=.（2）由（1）可得：()12n n n S +=，所以()222112n n a n nn n S n ==++.因为数列2{}n n a S 的前n 项积为n T ，所以()()21212223221121311111nn n n T n n n ⨯-⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=+++-+++.因为201nn T n =>+， 所以111221221111222221n n n nn n T n n nn T n n n n +++++++==⨯==+>++++，所以1n n T T +>， 即数列{}n T 是递增数列．18．(1)解：设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >， 212n n n b b b ++=+，22q q ∴=+，解得2q或10q =-<（舍去）.又12b =，所以1222n nn b -=⨯=.所以33210a b =+=，311043312a a d --===-， 所以，()()33103331n a a n d n n =+-=+-=+. (2)解：3091a =，33100a =，又6764121128b b =<<=， 所以30S 中要去掉数列{}n b 的项最多6项，数列{}n b 的前6项分别为2、4、8、16、32、64， 其中4、16、64三项是数列{}n a 和数列{}n b 的公共项，所以{}n c 前30项由{}n a 的前33项去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这3项构成.()()()()3012332463341004166416322S a a a b b b ⨯+=+++-++=-++=.19．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由2242214542221d q d q d q d q +=⋅-=-⎧⎧⇒⎨⎨+=⋅+=-⎩⎩， ∴2q，3d =，∴31n a n =+，2nn b =.（2）当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前6项时，令71273121283n n +<=⇒<， 此时至多有41748+=项（不符）.当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项时，令831225685n n +<=⇒<，且22，42，62是{}n a 和{}n b 的公共项，则{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项且含有{}n a 的前56项，再减去公共的三项.∴35760565556432222484417050142S ⨯⎛⎫=⨯+⨯++++=+= ⎪⎝⎭. 20．（1）当3a =时，即13a =，则2341,3,1a a a ===，故12348a a a a +++=.（2）先证：若存在正整数k ，使得3k a >，则存在正整数0n ，使得003n a ≤≤.证明：若3k a >时，则13k k a a +=-，即从第k 项起到最后一个大于3的项的下一项为止，数列{}n a 为递减数列，设数列{}n a 中满足3n a >的最小项为01n a -，则(]013,6n a -∈，∴(]00130,3n n a a -=-∈，故存在正整数0n ，使得003n a ≤≤.当3a >，即13a >，则存在正整数0n ，使得003n a ≤≤；当03a ≤≤，即103a ≤≤，则存在正整数0n ，使得003n a ≤≤；当0a <，即10a <，∴2144a a =->，则存在正整数0n ，使得003n a ≤≤；综上所述：故存在正整数0n ，使得003n a ≤≤.（3）由（2）可知：存在正整数0n ，使得003n a ≤≤，若00n a =，则0144n n a a +=-=，02131n n a a ++=-=，03243n n a a ++=-=，004341n n a a ++=-=，依次类推可得：当0n n ≥时，数列{}n a 不是周期数列，不合题意； 若001n a <<，则()0143,4n n a a +=-∈，()021310,1n n n a a a ++=-=-∈，()00032433,4n n n a a a ++=-=+∈，()0004330,1n n n a a a ++=-=∈，依次类推可得：当0n n ≥时，()0,1n a ∈或()3,4n a ∈，数列{}n a 是以4为周期的周期数列，且循环依次为0,4,1,3n n n n a a a a --+，∵数列{}n a 为周期数列，则()0,1n a ∈或()3,4n a ∈， 故()()0,13,4a ∈，此时()()()4443218Sa a a a ==-+-+=+⨯+，即*2(N )n S n n =∈有解，∴()()0,13,4a ∈符合题意；若013n a ≤≤，则[]0141,3n n a a +=-∈，[]02141,3n n n a a a ++=-=∈，依次类推可得：当0n n ≥时，[]1,3n a ∈，当0n n ≥时，数列{}n a 是以2为周期的周期数列，且循环依次为0,4n n a a -，∵数列{}n a 为周期数列，则[]1,3n a ∈，故[]1,3a ∈，此时()24422S a a =-=+=⨯，即*2(N )n S n n =∈有解，∴[]1,3a ∈符合题意； 综上所述：()0,4a ∈.21．解：（1）()3S A 的所有可能值是7-，5-，3-，1-，1，3，5，7.（2）充分性：若0n a >，即12n n a -=.所以满足12n n a -=，且前n 项和最小的数列是1-，2-，4-，…，22n --，12n -.所以()211212422n n n a a a --++⋅⋅⋅+≥-+++⋅⋅⋅++211222112n n ---⋅=-+=-.所以()0n S A >.必要性：若()0n S A >，即120n a a a ++⋅⋅⋅+>.假设0n a <，即12n n a -=-.所以()()21121242210n n n n S A a a a --=++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+-=-<，与已知()0n S A >矛盾. 所以()0n S A >.综上所述，()0n S A >的充要条件是0n a >.（3）由（2）知，()0n S A >可得0n a >.所以12n n a -=.因为数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥中1a 有1-，1两种，2a 有2-，2两种，3a 有4-，4两种，…，1n a -有22n --，22n -两种，n a 有12n -一种，所以数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥有12n -个，且在这12n -个数列中，每一个数列都可以找到前n 1-项与之对应项是相反数的数列. 所以这样的两数列的前n 项和是122n -⨯. 所以这12n -个数列的前n 项和是1122122222n n n ---⨯⨯⨯=. 所以()n S A 的所有可能值的和是222n -. 22．（1）由题意12a =，23a =，34a =，46a =，56a ≤，所以数列{}n a 有六种可能：2,3,4,6,1；2,3,4,6,2；2,3,4,6,3；2,3,4,6,4；2,3,4,6,5；2,3,4,6,6． （2）因为12max{,,,}n n b a a a =，1121max{,,,,}n n n b a a a a ++=，所以1n n b b +≥，所以控制数列{}n b 是不减的数列，{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1n m n a b C -++=，C 是常数，所以1n n a a +≥，即数列{}n a 也是不减的数列，123m a a a a ≤≤≤≤，那么若n k ≤时都有n n b a =，则1121max{,,,,}k k k b a a a a ++=， 若1k k a a +>，则11k k b a ++=，若11k k a b ++=，则11k k k k b b a a ++===， 又11b a =，由数学归纳法思想可得对1,2,,n m =，都有n n b a =； （3）设{}n c 的控制数列是{}n b ，由（2）知{}n b 是不减的数列，{}n b 必有一项等于m ， 当m 是数列{}n b 中间某项时，{}n b 不可能是等差数列， 所以1b m =或m b m =，若1b m =，则n b m =（1,2,,n m =），{}n b 是等差数列， 此时只要1c m =，23,,,m c c c 是1,2,3,,1m -的任意排列均可．共(1)!m -个， m b m =，而1b m ≠时，数列{}n b 中必有n b n =，否则不可能是等差数列， 由此有n c n =，即{}n c 就是1,2,3,,m ，只有一种排列， 综上，{}n c 的个数是(1)!1m -+． 23．（1）{n a }是无界数列，理由如下： 对任意的正整数δ，取N 为大于2δ的一个偶数，有21212N a N δδ=+>⋅+>，所以{n a }是无界数列.{n b }不是无界数列，理由如下： 取=3δ，显然2cos()3n b n =+≤，不存在正整数N ，满足3N b >，所以{n b }不是无界数列. （2）存在满足题意的正整数k ，且4k ≥. 当=1n 时，122=05a a <，不成立. 当=2n 时，231235+157a a a a =+<，不成立 当=3n 时，323124357+++2579a a a a a a =+<，不成立当4n ≥时，将12231...1n n a a a n a a a ++++<-变形为：3211221231231n n n n n a a a a a a a a a n a a a a a a +++⎛⎫----+++=+++ ⎪⎝⎭ 22222221572357911n =++≥+++>+. 即取4k =，对于一切n k ≥，有122311n n a a a n a a a ++++<-成立. （3）因为数列{n a }是单调递增的无界数列，所以0n a >，121n n a a a a +<<<<< 所以3211221231231n n n n n a a a a a a a a a n a a a a a a +++⎛⎫----+++=+++ ⎪⎝⎭ 32111211111111n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++++++---->+++==-. 即12123111n n n a a a a n a a a a +++++<-+ 因为{n a }是无界数列，取12a δ=，由定义知存在正整数1N ，使1112N a a +>所以111212311N N a a a N a a a ++++<-.由定义可知{n a }是无穷数列，考察数列11N a +，12N a +，13N a +…，显然这仍是一个单调递增的无界数列，同上理由可知存在正整数2N ，使得 ()1111221221231+11N N N N N N a a a N N a a a ++++++++<--.故存在正整数2N ，使得 ()()1111221112121212312311+11+N N N N N N N N a a a a a a N N N a a a a a a ++++++++++++<-+--21N =-. 故存在正整数2m N =，使得122111m m a a a m a a a ++++<-成立。

考点1.3 数列的新定义问题数列是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的数列问题在高考中逐步成为热点。

通过具体的问题背景或新的定义，考察数列在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识。

解决数列的新定义问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决新定义问题。

研究模型时需注意：(1) 量(多个量) ；(2) 量之间的关系(规律)：等差、等比规律；递推关系；其它规律——由特殊到一般进行归纳总结；(3) 与数列通项公式有关或与前n 项和有关等．基础知识1．等差数列与等差中项 (1)定义：①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； ②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．a n －a n -1＝d (n 2≥ n ∈N *，d 为常数)． (2)等差中项：若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项．即A=2a b+． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ．(3)若k ＋l ＝2m (k ，l ，m ∈N *),则a k ＋a l ＝2a m ． 4．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 是关于n 的二次函数且常数项为0. 5．等比数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)． ②符号语言：a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．1n n a q a-=(n 2≥ n ∈N *，d 为常数)．(2)等比中项：如果a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．即A＝6．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1． (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.7．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； 8．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.9．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．数列的新定义问题 （1） 单选题1．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155C ．141D ．139【答案】B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩. 故选：B.2．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920212S F =+B ．201920211S F =-C ．201920202S F =+D ．201920201S F =- 【答案】B 【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++，所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.3．（2016•新课标Ⅲ，理12）定义“规范01数列” {}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ，1a ，2a ，⋯，k a 中0的个数不少于1的个数，若4m =，则不同的“规范01数列”共有( ) A ．18个 B ．16个C ．14个D ．12个【答案】C【解析】由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m 项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若4m =，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个，故选C ．4．（2020全国Ⅱ理12）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12na a a 满足()()0,11,2,i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足),2,1(⋯==+i a a i m i 的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12na a a ，()11()1,2,,1mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足()()11,2,3,45C k k ≤=的序列是 （ ）A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C【解析】由i mi a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑．对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C5．（2017•新课标Ⅰ，理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( ) A ．440B ．330C ．220D ．110【解析】设该数列为{}n a ，设1(1)(1)12221n n n n n n b a a +-++=+⋯+=-，()n N +∈，则(1)211n n ni i i i b a +===∑∑，由题意可设数列{}n a 的前N 项和为N S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则121121212122n n n T n ++=-+-+⋯+-=--，可知当N 为(1)2n n +时()n N +∈，数列{}n a 的前N 项和为数列{}n b 的前n 项和，即为122n n +--，容易得到100N >时，14≥n ，A 项，由29304352⨯=，4404355=+，可知305304402952292212S T b =+=--+-=，故A 项符合题意． B 项，仿上可知25263252⨯=，可知2652633025522522124S T b =+=--+-=+，显然不为2的整数幂，故B 项不符合题意．C 项，仿上可知20212102⨯=，可知2110211022020102202212223S T b =+=--+-=+-，显然不为2的整数幂，故C 项不符合题意．D 项，仿上可知14151052⨯=，可知15515110145214221215S T b =+=--+-=+，显然不为2的整数幂，故D 项不符合题意． 故选A ．（2） 多选题6．若数列{}n a 满足：对任意正整数n ，{}1n n a a +-为递减数列，则称数列{}n a 为“差递减数列”.给出下列数列{}()*n a n N ∈，其中是“差递减数列”的有（ ）A ．3n a n =B ．21n a n =+C ．n aD ．ln1n n a n =+ 【答案】CD 【分析】分别求出四个选项中数列{}()*n a n N ∈对应的{}1n n a a +-，再进行判断.【详解】对A ，若3n a n =，则13(1)33n n a a n n +-=+-=，所以{}1n n a a +-不为递减数列，故A 错误； 对B ，若21n a n =+，则221(1)21n n a a n n n +-=+-=+，所以{}1n n a a +-为递增数列，故B 错误；对C ，若n a =1n n a a +-=={}1n n a a +-为递减数列，故C 正确；对D ，若ln1n n a n =+，则121111lnln ln ln(1)2122n n n n n n a a n n n n n n++++-=-=⋅=+++++，由函数21ln(1)2y x x=++在(0,)+∞递减，所以数{}1n n a a +-为递减数列，故D 正确.故选：CD . 【点睛】本题考查数列新定义、数列单调性及递推关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.7．在数学领域内，“数列”无疑是一个非常重要的话题.然而，中学生所学到的数列内容非常有限，除了等差、等比数列之外，其它数列涉及很少.下面向大家介绍一种有趣的数列，叫语言数列.例如第一项1123a =，对于一个对数列一窍不通的人，你怎样介绍它呢？你可以这样说，从左向右看，这里含有一个1，一个2和一个3，你再把它用数字表示出来，就得到了第二项2111213a =.再从左向右看2a ，它里面又是含有四个1，一个2和一个3，再把它用数字表示出来，就得到了第三项3411213a =，同样可得第四项414311213a =.按此规则重复下去，可以得到一个无穷数列{}n a ，你会惊奇地发现，无论11a =、12a =、13a =，还是1123a =，都有这样的结论：*0n N ∃∈，()*0n n n N ∀≥∈，都有2n n a a +=.则0n a 的可能值为（ ）A ．23322114B ．32142321C ．32232114D ．24312213【答案】AC 【分析】对各选项中0n a 的可能取值进行验证，结合题意可求出02n a +，并验证02n a +与0n a 是否相等，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，若023322114n a =，从左往右看，有3个2，2个3，2个1，1个4， 则0132232114n a +=，从左往右看，有2个3，3个2，2个1，1个4，则00223312114n n a a +==，合乎题意；对于B 选项，若032142321n a =，从左往右看，有2个3，3个2，2个1，1个4， 则0123322114n a +=，从左往右看，有3个2，2个3，2个1，1个4， 则00232232114n n a a +=≠，不合乎题意；对于C 选项，若032232114n a =，从左往右看，有2个3，3个2，2个1，1个4， 则0123322114n a +=，有3个2，2个3，2个1，1个4， 则00232232114n n a a +==，合乎题意；对于D 选项，若024312213n a =，从左往右看，有3个2，1个4，2个3，2个1， 则0132142321n a +=，从左往右看，有2个3，3个2，2个1，1个4， 则00223322114n n a a +=≠，不合乎题意. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，结合的关键就是充分利用题中定义，由0n a 的值逐步推导02n a +的值. 8．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列(){}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x = B ．()2xf x = C ．()f x =D ．()ln f x x =【答案】AC 【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .对于A ，则2221112()()n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故A 是“保等比数列函数”；对于B ，则111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C，则1()()n n f a f a +=== ，故C 是“保等比数列函数”；对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n na a q a qq f a f a a a a a ++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题. 9．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列【答案】AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n nn a a a H n-+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.10．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ）A ．等差数列不可能是收敛数列B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则{}n x 是收敛数列 D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列 【答案】BCD 【分析】根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ；根据收敛的定义可判断C ；根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】当0n S >时，取2111222222n d d dd d d S n a n n n a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 为使得1n S r >，所以只需要1122d d n a r +->1112222da ra dr r n N d dr -+-+⇒>==.对于A ，令1n x =，则存在1a =，使0n x a r -=<，故A 错； 对于B ，11n n x x q-=，若1q >，则对任意正数r ，当11log 1q r n x ⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭时， 1n x r >+，所以不存在正整数N 使得定义式成立，若1q =，显然符合；若1q =-为摆动数列()111n n x x -=-，只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；若()1,1q ∈-，取0a =，1log 11q rN x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦， 当n N >时，11110n n rx x qx r x --=<=，故B 正确； 对于C ，()1sin cos sin 0222n x n n n πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合； 对于D ，()11n x x n d =+-，2122n d d S n x n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当0d >时，n S 单调递增并且可以取到比1r更大的正数，当n N>=时，110n n r S S -=<，同理0d <，所以D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n 和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题.（3） 填空题11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即(1)(2)1F F ==，*()(1)(2)(3,)F n F n F n n n N =-+-≥∈，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则2020b =_________．【答案】0【分析】由题设描述可得被3整除后的余数构成一个新数列{}n b，观察可知是周期数列，结合目标项下标即可求值.【详解】由题意知：“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，∴此数列被3整除后的余数：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，观察可知新数列是以1，1，2，0，2，2，1，0为一个周期的循环，而20208的余数为4，∴20200b=故答案为：0【点睛】本题考查了数列新定义，应用观察法找规律求项，属于简单题.12．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；……依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶，设“宫”的频率为1，则“角”的频率为________.【答案】81 64【分析】根据已知条件经过一次“损”频率变为原来的32，经过一次“益”，频率变为原来的34，依次损益交替变化求概率即可.【详解】由“宫”的频率为1，“宫”经过一次“损”得到“徵”的频率变为32，“徵”经过一次“益”，得到商的频率为339 248⨯=，“商”经过一次“损”，得到“羽”的频率为9327 8216⨯=，“羽”经过一次“益”，得到“角”的频率为27381 16464⨯=，所以“角”的频率为81 64，故答案为：8164【点睛】本题主要考查了数列与文化知识结合，关键是读懂题意求出概率，属于基础题. 13．已知数列{}n a 满足：152a =，()2*1122n n n a a a n N +=-+∈，若上取整函数⎡⎤⎢⎥x 表示不小于x 的最小整数（例如：1.22=⎡⎤⎢⎥，33=⎡⎤⎢⎥），则122020111a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥______． 【答案】2 【分析】已知等式变形为111122n n n a a a +=---，由此可求得122020120212*********2222a a a a a a +++=-=----， 再证明{}n a 是递增数列，并通过前几项，估计出20213a >，这样再根据新定义可得． 【详解】由已知得111122n n n a a a +=---，即111122n n n a a a +=---，1220201202120211111112222a a a a a a +++=-=----， 因为21112(2)222n n n n n a a a a a +=-+=-+，且1522a =>，所以12n a +>，即数列{}n a 各项均大于2， 又()22111222022n n n n n a a a a a +-=-+=->，故{}n a 单调递增，152a =，可得2218a =，3 2.82a ≈，4 3.16a ≈，故当4n ≥时，3n a >，所以20213a >，故12202011112a a a <+++<，1220201112a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥. 故答案为：2． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查数列的单调性与裂项相消求和法．解题关键是求得和式122020111a a a +++，通过已知式变形后可用裂项相消法求和，然后问题转化为估计数列中各项的取值范围，结合新定义只要考察数列的前几项即可得出结论．14．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列{}n a 是等和数列，且120202,8a a =-=，则这个数列的前2020项的和为____. 【答案】6060 【分析】设等和数列的公和为m ．根据12a =-，利用等和数列的定义求得通项公式，然后利用并项求和法求解. 【详解】设等和数列的公和为m ． 因为12a =-，所以23452,2,2,2,...a m a a m a =+=-=+=-，所以2n 2,n a m n -⎧=⎨+⎩，为奇数为偶数，又202028a m =+=， 所以6m =，所以()()()()202012345620192020...S a a a a a a a a =++++++++，101066060=⨯=，故答案为：6060 【点睛】本题主要考查数列的新定义以及通项公式的求法和并项求和法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n N ∈，d 为常数），则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12201920190b b b ++⋯+=，则22018b b 的最大值是________． 【答案】100 【分析】本题首先可根据调和数列的性质得出1n n d b b +=-，从而判断出数列{}n b 是等差数列，然后根据()1220122018920192b b b b b +=++⋯+得出2201820b b +=，最后根据基本不等式求最值，即可得出结果. 【详解】 因为正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，所以1n n d b b +=-，数列{}n b 是等差数列， 则()221018220192012019209b b b b b ++==⋯++，解得2201820b b +=，故2201820b b ≤+=，即22018100b b ≤，当且仅当2201810b b ==时等号成立， 故22018b b 的最大值是100， 故答案为：100. 【点睛】关键点点睛：本题考查学生对新定义的理解与转化，能否根据“调和数列”的定义和等差数列的定义得出数列{}n b 是等差数列是解决本题的关键，若数列{}n b 是等差数列，且c d e f ，则c d e f b b b b ，考查计算能力，是中档题.（4） 解答题16．（2020山东18）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间(]0,m ()m *∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．【答案】（1）2n n a =；（2）100480S =．【思路导引】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q 的形式，求解出1,a q ，由此求得数列{}n a 的通项公式；（2）通过分析数列{}m b 的规律，由此求得数列{}m b 的前100项和100S ．【解析】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得12,2a q ==，所以2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =．（2）由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以1b 对应的区间为：(]0,1，则10b =；23,b b 对应的区间分别为：(](]0,2,0,3，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为：(](](](]0,4,0,5,0,6,0,7，则45672b b b b ====，即有22个2； 8915,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,8,0,9,,0,15，则89153b b b ====，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,16,0,17,,0,31，则1617314b b b ====，即有42个4； 323363,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,32,0,33,,0,63，则3233635b b b ====，即有52个5； 6465100,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,64,0,65,,0,100，则64651006b b b ====，即有37个6．所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．17．（2016•新课标Ⅱ，理17）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[]n n b lga =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[99]1lg =． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】（Ⅰ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，4728a =．可得44a =，则公差1d =．n a n =，[]n b lgn =，则1[1]0b lg ==，11[11]1b lg ==，101[101]2b lg ==． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12390b b b b ===⋯==，101112991b b b b ===⋯==．1001011021039992b b b b b ====⋯==，10,003b =．数列{}n b 的前1000项和为：90901900231893⨯+⨯+⨯+=．18．（2020江苏20）已知数列*{}()n a n N ∈的首项11a =，前n 项和为n S ．设λ与k 是常数．若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“k λ-”数列．（1）若等差数列是“1λ-”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 2-”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，且0n a ≥？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】见解析【解析】（1）1k =时，111n n n n a S S a λ+++=-=，∴1λ=．（2=11n n n a S S ++=-=，==11144()33n n n n S a S S +++==-．从而14n n S S +=． 又111S a ==，14n n S -=，2134n n n n a S S --=-=⋅，2n ≥．综上，21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩． （3）若存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，则11133311n n n S S aλ++-=， 则21123333331111133()n n nn nn n n n SS S S S S a S S λλ+++++-+-==-，由11a =，0n a ≥则0n S >，令113()0n n nS p S +=>，则3323(1)33(1)0n n n p p p λλ--+--=， 1λ=时，2n n p p =，由0n p >可得1n p =，则1n n S S +=，即10n a +=，此时{}n a 唯一，不存在三个不同的数列{}n a ；1λ≠时，令331t λ=-，则3210n n n p tp tp -+-=，则2(1)[(1)1]0n n n p p t p -+-+=， ①1t ≤时2(1)10n n p t p +-+>，则1n p =同理不存在三个不同的数列{}n a ；②13t <<时，2(1)40t ∆=--<，2(1)10n n p t p +-+=无解，则1n p =，同理不存在三个不同的数列{}n a ； ③3t =时，3(1)0n p -=，则1n p =，同理不存在三个不同的数列{}n a ；④3t >即01λ<<时，2(1)40t ∆=-->，2(1)10n n p t p +-+=有两解α，β，设αβ<，12t αβ+=->，10αβ=>，则01αβ<<<，则对任意*n N ∈，11n n S S +=或31n n S S α+=或31n nSS β+=，此时1n S =，31,1,2n n S n β=⎧=⎨≥⎩，31,1,2,3n n S n β=⎧=⎨≥⎩均符合条件，对应1,10,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，31,11,20,3n n a n n β=⎧⎪=-=⎨⎪≥⎩，31,10,21,30,4n n n a n n β=⎧⎪=⎪=⎨-=⎪⎪≥⎩，则存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，且0n a ≥，综上，01λ<<． 19．（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”．（1）已知等比数列{a n }满足：，求证：数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足：，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有成立，求m 的最大值．【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0．由，得，解得．因此数列为“M —数列”．（2）①因为，所以． 由，得，则． 由，得， 当时，由，得，整理得．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ．②由①知，b k =k ，．*()n ∈N 245324,440a a a a a a =-+=*()n ∈N 111221,n n n b S b b +==-*()n ∈N 1k k k c b c +245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩112a q =⎧⎨=⎩{}n a 1122n n n S b b +=-0n b ≠1111,b S b ==212211b =-22b =1122n n n S b b +=-112()n n n n n b b S b b ++=-2n ≥1n n n b S S -=-()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---112n n n b b b +-+=()*n ∈N *k ∈N因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0． 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以，其中k =1，2，3，…，m ． 当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有． 设f （x ）=，则． 令，得x =e ．列表如下：因为，所以． 取k =1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6． 综上，所求m 的最大值为5．20．(2014江苏)设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H 数列”．（Ⅰ）若数列的前n 项和(N )，证明: 是“H 数列”；（Ⅱ）设 是等差数列，其首项，公差．若 是“H 数列”，求的值；（Ⅲ）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H 数列”和，使得(N )成立．【解析】（Ⅰ）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-= 当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．1k k q k q -≤≤ln ln ln 1k kq k k ≤≤-ln (1)x x x >21ln ()xf 'x x-=()0f 'x =ln 2ln 82663=<=max ln ()(3)3f k f ==q =ln ln kq kk k q ≤1k q k -≤}{n a n n S n m m n a S =}{n a }{n a n n S 2=∈n *}{n a }{n a 11=a 0<d }{n a d }{n a }{n b }{n c n n n c b a +=∈n *（Ⅱ）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-． （Ⅲ）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列”，因此命题得证．。

数列新定义问题1(2024·甘肃定西·一模)在n个数码1,2,⋯,n n∈N,n≥2构成的一个排列j1j2⋯j n中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序(例如j2>j5，则j2与j5构成逆序)，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为T j1j2⋯j n，例如，T312=2，(1)计算T(51243)；(2)设数列a n满足a n+1=a n⋅T51243-T3412,a1=2，求a n的通项公式；(3)设排列j1j2⋯j n n∈N,n≥2满足j i=n+1-i i=1,2,⋯,n,b n=T j1j2⋯j n,S n=1b2+1b3+⋯+1b n+1，求S n，【答案】(1)5(2)a n=5n-1+1(3)S n=2nn+1【分析】(1)利用逆序数的定义，依次分析排列51243中的逆序个数，从而得解；(2)利用逆序数的定义得到a n+1=5a n-4，从而利用构造法推得a n-1是等比数列，从而得解；(3)利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到b n，再利用裂项相消法即可得解.【详解】(1)在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，所以T(51243)=4+0+0+1+0=5.(2)由(1)中的方法，同理可得T(3412)=4，又T(51243)=5，所以a n+1=5a n-4，设a n+1+λ=5a n+λ，得a n+1=5a n+4λ，所以4λ=-4，解得λ=-1，则a n+1-1=5a n-1，因为a1-1=1≠0，所以数列a n-1是首项为1，公比为5的等比数列，所以a n-1=5n-1，则a n=5n-1+1.(3)因为j i=n+1-i(i=1,2,⋯,n)，所以b n=T j1j2⋯j n=n-1+n-2+⋯+1+0=n-1n2，所以1b n+1=2(n+1)n=21n-1n+1，所以S n=21-12+12-13+⋯+1n-1n+1=21-1n+1=2n n+1.2(2024高三下·全国·专题练习)若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”．(1)已知数列{a n}为4，3，1，2，数列{b n}为1，2，6，24，分别判断{a n},{b n}是否为“等比源数列”，并说明理由；(2)已知数列{c n}的通项公式为c n=2n-1+1，判断{c n}是否为“等比源数列”，并说明理由；【答案】(1){a n}是“等比源数列”，{b n}不是“等比源数列”，理由见解析(2){c n}不是“等比源数列”，理由见解析【分析】(1)根据等比中项，结合列举法即可求解，(2)假设是“等比源数列”得c2n=c m c k，即可根据指数幂的运算，结合奇偶数的性质得矛盾，即可求解.【详解】(1){a n }是“等比源数列”，{b n }不是“等比源数列”．{a n }中“1，2，4”构成等比数列，所以{a n }是“等比源数列”；{b n }中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，且这四者的其他次序也不构成等比数列，所以{b n }不是“等比源数列”．(2){c n }不是“等比源数列”．假设{c n }是“等比源数列”，因为{c n }是单调递增数列，即{c n }中存在的c m ，c n ，c k (m <n <k )三项成等比数列，也就是c 2n =c m c k ，即(2n -1+1)2=(2m -1+1)(2k -1+1)，22n -2+2n =2m +k -2+2m -1+2k -1，两边时除以2m -1得22n -m -1+2n -m +1=2k -1+1+2k -m ，等式左边22n -m -1+2n -m +1为偶数，等式右边2k -1+1+2k -m 为奇数．所以数列{c n }中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．综上可得{c n }不是“等比源数列”．3(23-24高二下·吉林四平·阶段练习)在数列a n 中，若存在常数t ，使得a n +1=a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +t (n ∈N *)恒成立，则称数列a n 为“H t 数列”．(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“H 1 数列”；(2)若c n =1+1n，试判断数列c n 是否为“H t 数列”，请说明理由；(3)若数列a n 为“H t 数列”，且a 1=2，数列b n 为等比数列，满足∑ni =1a 2i =a n +1+log 2b n -t 求数列b n 的通项公式和t 的值．【答案】(1)是(2)不是，理由见解析(3)b n =2n +1，t =-1【分析】(1)根据H t 数列的定义判断(2)根据已知条件求出c n +1-c 1c 2c 3⋅⋅⋅c n 即可判断；(3)根据数列a n 为“H t 数列”，化∑i =1n a 2i =a n +1+log 2b n -t 为∑i =1na 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n ，进而求得∑i =1n +1a 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n a n +1+log 2b n +1，作差有a 2n +1=a n +1-1 a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n +1b n，根据已知条件化为t +1 a n +1-t +log 2q =0，解得t =-1q =2，由此求出b 1=4，即可求出数列b n 的通项公式.【详解】(1)由题意可得2=1+1，3=1×2+1，7=1×2×3+1，43=2×3×7+1，所以1，2，3，7，43是“H 1 数列”；(2)数列c n 不是“H t 数列”，理由如下：c n =1+1n =n +1n (n ∈N *)，则c n +1=n +2n +1(n ∈N *)，又c 1c 2c 3⋅⋅⋅c n =21⋅32⋅43⋅⋅⋅n +1n=n +1(n ∈N *)，所以c n +1-c 1c 2c 3⋅⋅⋅c n =n +2n +1-n +1 =1n +1-n (n ∈N *)，因为1n +1-n 不是常数，所以数列c n 不是“H t 数列”．(3)因为数列a n 为“H t 数列”，由∑i =1na 2i =a n +1+log 2b n -t (n ∈N *)，有∑i =1na 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n (n ∈N *)①，所以∑i =1n +1a 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n a n +1+log 2b n +1(n ∈N *)②，两式作差得a 2n +1=a n +1-1 a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n +1b n(n ∈N *)，又因为数列a n 为“H t 数列”，所以a n +1-t =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n (n ∈N *)，设数列b n 的公比为q ，所以a 2n +1=a n +1-1 a n +1-t +log 2q (n ∈N *)，即t +1 a n +1-t +log 2q =0对∀n ∈N *成立，则t +1=0t +log 2q =0⇒t =-1q =2，又a 1=2，a 21=a 1+log 2b 1，得b 1=4，所以b n =4×2n -1=2n +1，t =-1．4(23-24高二下·四川南充·阶段练习)给定数列a n ，称a n +1-a n 为a n 的差数列(或一阶差数列)，称数列a n +1-a n 的差数列为a n 的二阶差数列，若a n =3n .(1)设a n 的二阶差数列为b n ，求b n 的通项公式.(2)在(1)的条件下，设c n =log 3b n 4+b n ，求c n 的前n 项和为T n 【答案】(1)b n =4⋅3n (2)T n =2⋅3n +1+n 22+n2-6【分析】(1)借助定义计算即可得；(2)借助等差数列及等比数列的求和公式计算即可得.【详解】(1)a n +1-a n =3n +1-3n =2⋅3n ，则b n =2⋅3n +1-2⋅3n =4⋅3n ；(2)c n =log 3b n 4+b n =log 34⋅3n 4+4⋅3n =n +4⋅3n ，则T n =121-3n1-3+n n +1 2=2⋅3n +1+n 22+n 2-6.5(2024·安徽池州·模拟预测)定义：若对∀k ∈N *,k ≥2,a k -1+a k +1≤2a k 恒成立，则称数列a n 为“上凸数列”．(1)若a n =n 2-1，判断a n 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．(2)若a n 为“上凸数列”，则当m ≥n +2m ,n ∈N * 时，a m +a n ≤a m -1+a n +1．(ⅰ)若数列S n 为a n 的前n 项和，证明：S n ≥n2a 1+a n ；(ⅱ)对于任意正整数序列x 1,x 2,x 3,⋯,x i ,⋯,x n (n 为常数且n ≥2,n ∈N *)，若ni =1x 2i-1 ≥ni =1x i-λ 2-1恒成立，求λ的最小值．【答案】(1)是，证明见解析(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)n -1【分析】(1)构造函数f x =(x +1)2-1-x 2-1,x ≥1，利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定即可；(2)(ⅰ)利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；令a n =n 2-1，利用条件及数列求和适当放缩计算即可.【详解】(1)a n 是“上凸数列”，理由如下：因为a n =n 2-1,a n +1-a n =(n +1)2-1-n 2-1，令f x =(x +1)2-1-x 2-1,x ≥1，则fx =x +1(x +1)2-1-xx 2-1=(x +1)3x -1 -x 3x +2(x +1)2-1⋅x 2-1．当x ≥1时，(x +1)3x -1 -x 3x +2 =-2x -1<0，所以(x +1)3x -1 <x 3x +2 ，所以f x <0,f x 在区间1,+∞ 上单调递减，所以f n >f n +1 ,a n +1-a n >a n +2-a n +1，所以a n +2+a n ≤2a n +1，所以a n 是“上凸数列”．(2)(ⅰ)证明：因为a n 是“上凸数列”，由题意可得对任意1≤i ≤n i ∈N * ，a i +a n -i +1≥a i -1+a n -i +2≥a i -2+a n -i +3⋅⋅⋅≥a 2+a n -1≥a 1+a n ，所以2S n =a 1+a n +a 2+a n -1 +⋅⋅⋅+a n -1+a 2 +a n +a 1 ≥n a 1+a n ，所以S n ≥n2a 1+a n ．(ⅱ)解：令a n =n 2-1，由(1)可得当a n =n 2-1时，a n 是“上凸数列”，由题意可知，当m ≥n +2m ,n ∈N * 时，a m +a n ≤a m -1+a n +1．因为ni =1x 2i -1 =x 21-1+x 22-1+x 23-1+⋅⋅⋅+x 2n -1，即∑ni =1x 2i -1=x 21-1+x 22-1+x 23-1+⋅⋅⋅+∑ni =1x i -x 1-x 2-⋯-x n -1 2-1．所以∑n i =1x 2i -1≥x 1-x 1+12-1+x 22-1+⋅⋅⋅+∑n i =1x i-x 1-x 2-⋅⋅⋅-xn -1+x 1-1 2-1≥12-1+x 2-x 2+12+⋯+∑ni =1x i-1-x 2-⋅⋅⋅-xn -1+x 2-1 2-1⋯≥0+0+0+⋯+∑ni =1x i -n +1 2-1≥∑ni =1x i -λ 2-1，当且仅当x 1=x 2=⋅⋅⋅=x n -1时等号成立，所以λ≥n -1．综上所述，λ的最小值为n -1．6(2024·江西南昌·一模)对于各项均不为零的数列c n ，我们定义：数列c n +kc n为数列c n 的“k -比分数列”.已知数列a n ,b n 满足a 1=b 1=1，且a n 的“1-比分数列”与b n 的“2-比分数列”是同一个数列.(1)若b n 是公比为2的等比数列，求数列a n 的前n 项和S n ；(2)若b n 是公差为2的等差数列，求a n .【答案】(1)S n =13×4n -1 ；(2)a n =13×4n 2-1 .【分析】(1)利用已知求出通项公式，再求前n 项和即可.(2)利用累乘法求通项公式即可.【详解】(1)由题意知an +1a n =b n +2b n，因为b 1=1，且b n 是公比为2的等比数列，所以a n +1a n=4，因为a 1=1，所以数列a n 首项为1，公比为4的等比数列，所以S n =1×1-4n 1-4=13×4n -1 ；(2)因为b 1=1，且b n 是公差为2的等差数列，所以b n =2n -1，所以a n +1a n =b n +2b n=2n +32n -1，所以a n a n -1=2n +12n -3,a n -1a n -2=2n -12n -5,⋯⋯,a 2a 1=51，所以a n a 1=2n +1 2n -1 3×1，因为a 1=1，所以a n =13×4n 2-1 .7(2024·黑龙江·二模)如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“G 型数列”．(1)若数列a n 满足2a n =S n +1，判断a n 是否为“G 型数列”，并说明理由；(2)已知正项数列a n 为“G 型数列”，a 1=1，数列b n 满足b n =a n +2，n ∈N *，b n 是等比数列，公比为正整数，且不是“G 型数列”，求数列a n 的通项公式．【答案】(1)不是“G 型数列”，理由见解析；(2)a n =3n -2【分析】(1)计算得出数列前两项验证即可得出结论，并证明即可；(2)利用a n 为“G 型数列”和b n 是等比数列，且不是“G 型数列”可求得b n 的公比为3，即可求出数列a n 的通项公式为a n =3n-2.【详解】(1)易知当n =1时，可得2a 1=S 1+1=a 1+1，即a 1=1；而当n =2时，2a 2=S 2+1=a 1+a 2+1，可得a 2=2；此时a 2a 1=21=2<3，不满足“G 型数列”定义，猜想：数列a n 不是“G 型数列”，证明如下：由2a n =S n +1可得，当n ≥2时，2a n -1=S n -1+1，两式相减可得2a n -2a n -1=S n -S n -1=a n ，可得a n =2a n -1，此时从第二项起，每一项与它前一项的比为an a n -1=2<3，因此a n 不是“G 型数列”；(2)设数列b n 的公比为q ，易知q ∈N *，又因为数列b n 不是“G 型数列”，可得q ≤3可得b n +1b n=a n +1+2a n +2=q ，即得a n +1=qa n +2q -2；又数列a n 为“G 型数列”，可得an +1a n =q +2q -2a n>3；易知“G 型数列”为递增数列，因此当n 趋近于正无穷大时，q +2q -2a n趋近于q ，即可得q ≥3；综上可得q =3，即a n +1=3a n +4，可得a n +1+2=3a n +2 ；所以数列a n +2 是以a 1+2=3为首项，公比为3的等比数列；即可得a n +2=3×3n -1=3n ，可得a n =3n -2；所以数列a n 的通项公式为a n =3n -2.8(2015高二·全国·竞赛)设数列a n 满足：①a 1=1；②所有项a n ∈N ∗；③1=a 1<a 2<⋅⋅⋅<a n <a n +1<⋅⋅⋅.设集合A m =n |a n ≤m ,m ∈N ∗ ，将集合A m 中的元素的最大值记为b m .换句话说，b m 是数列a n 中满足不等式a n ≤m 的所有项的项数的最大值.我们称数列b n 为数列a n 的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.(1)请写出数列1，4，7的伴随数列；(2)设a n =3n -1，求数列a n 的伴随数列b n 的前20之和；(3)若数列a n 的前n 项和S n =n 2+c (其中c 常数)，求数列a n 的伴随数列b m 的前m 项和T m .【答案】(1)1，1，1，2，2，2，3(2)50(3)T m =m +124，m =2t -1,t ∈N * m m+24，m =2t ,t ∈N *【分析】(1)由数列的新定义直接写出即可；(2)由数列的新定义结合对数的运算求出即可；(3)先由S n 求出a n ，再由数列新定义求出b m ，再分m 为奇数和偶数时分别求出T m .【详解】(1)数列1，4，7的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，(后面加3算对)(2)由a n =3n -1≤m ，得n ≤1+log 3m m ∈N * ∴当1≤m ≤2,m ∈N *时，b 1=b 2=1 当3≤m ≤8,m ∈N *时，b 3=b 4=⋅⋅⋅=b 8=2 当9≤m ≤20,m ∈N *时，b 9=b 28=⋅⋅⋅=b 20=3 ∴b 1+b 2+⋅⋅⋅+b 20=1×2+2×6+3×12=50(3)∵a 1=S 1=1+c =1 ∴c =0 当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -1∴ a n =2n -1n ∈N *由a n =2n -1≤m 得：n ≤m +12m ∈N *因为使得a n ≤m 成立的n 的最大值为b m ，所以 b 1=b 2=1,b 3=b 4=2,⋅⋅⋅，b 2t -1=b 2t =t ，t ∈N * 当m =2t -1t ∈N * 时：T m =2⋅1+(t -1)2⋅(t -1)+t =t 2=14(m +1)2当m =2t t ∈N * 时：T m =2⋅1+t 2⋅t =t 2+t =14m (m +2)所以T m =m +124，m =2t -1,t ∈N * m m+24，m =2t ,t ∈N *9(23-24高二下·上海闵行·阶段练习)若有穷数列a 1，a 2,⋯,a n ,(n 是正整数)，满足a 1=a n ，a 2=a n -1,⋯,a n =a 1即a i =a n -i +1(i 是正整数，且1≤i ≤n )，就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，3，5，5，3，1就是“对称数列”.(1)已知数列{b n }是项数为7的对称数列，且b 1，b 2，b 3，b 4成等差数列，b 1=2，b 4=11，试写出{b n }的每一项；(2)对于确定的正整数m >1，写出所有项数不超过2m 的“对称数列”，使得1,2,22,⋯,2m -1依次是该数列中连续的项；当m =10时，求其中一个“对称数列”前19项的和S 19【答案】(1)2，5，8，11，8，5，2(2)答案见解析【分析】(1)由等差数列基本量的计算结合对称数列的定义即可求解；(2)由该特殊对称数列的定义结合等边数列求和公式即可求解.【详解】(1)设{b n }的公差为d ，则b 4=b 1+3d =2+3d =11，解得d =3，∴数列{b n }为2，5，8，11，8，5，2．(2)若1,2,22,⋯,2m -1依次是该数列中连续的项，且是对称数列，则至少有1+2m -1 =2m -1项，从而所有项数不超过2m 的“对称数列”有：1,2,22,⋯,2m -2,2m -1,2m -1,2m -2,⋯,22,2,1，2m -1,2m -2,⋯,22,2,1,1,2,22,⋯,2m -2,2m -1，1,2,22,⋯,2m -2,2m -1,2m -2,⋯,22,2,1，2m -1,2m -2,⋯,22,2,1,2,22,⋯,2m -2,2m -1，共有4个这样的数列(2个2m 项的，2个2m -1项的)；当m =10时，求数列1,2,22,⋯,2m -2,2m -1,2m -2,⋯,22,2,1的前19项，则S 19=1+2+22+⋯+28+29+28+⋯+22+2+1=1-2101-2+1-291-2=210-1+29-1=1534.10(23-24高二下·江西·阶段练习)将数列a n 按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为a n 的一个分群数列，a n 称为这个分群数列的原数列．如a 1,a 2,⋯,a r ，a r +1,a r +2,⋯,a t ，a t +1,a t +2,⋯,a s ⋯，a m +1,a m +2,⋯,a n 是a n 的一个分群数列，其中第k 个括号称为第k 群．已知a n 的通项公式为a n =2n -1．(1)若a n 的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k 群的中间一项为b k ，求数列b n 的通项公式；(2)若a n 的一个分群数列满足第k 群含有k 项，A k 为该分群数列的第k 群所有项构成的数集，设M =m a m ∈A k ,a m +7∈A k +2 ，求集合M 中所有元素的和．【答案】(1)b n =6n -3(2)54【分析】(1)由给定的数列新定义推导通项公式求解即可.(2)根据该数列第k 群含有k 项，求出该分群数列的前7群，从而得到集合M 中的所有元素，求和即可.【详解】(1)由题意知该分群数列第k 群的中间一项为b k =a 3k -1．因为a n =2n -1，所以b k =a 3k -1=23k -1 -1=6k -3，即b n =6n -3．(2)由题意知该分群数列第k 群含有k 项，所以该分群数列前7群为a 1 ，a 2,a 3 ，a 4,a 5,a 6 ，a7,a 8,a 9,a 10 ，a 11,a 12,a 13,a 14,a 15 ，a 16,a 17,a 18,a 19,a 20,a 21 ，a 22,a 23,a 24,a 25,a 26,a 27,a 28 ．又a m∈A k，a m+7∈A k+2，所以k≤5．当k=5时，m=15，当k=4时，m=10或9，当k=3时，m=6或5或4，当k=2时，m=3或2，所以M=2,3,4,5,6,9,10,15，故集合M中所有元素的各为2+3+4+5+6+9+10+15=54．。

数列新定义压轴大题一、题目①若数列{a_n}满足a_1=1，a_2 = 2，a_3=4，则该数列是“比等差数列”，且“比公差”λ=1；②若数列{a_n}是“比等差数列”，且“比公差”λ = 0，则数列{a_n}是等比数列；③等比数列一定是“比等差数列”，等差数列一定不是“比等差数列”；④若{a_n}是“比等差数列”，{b_n}是等比数列，则数列{a_nb_n}是“比等差数列”。

其中正确命题的序号是____。

二、解析1. 对于命题①- 已知a_1=1,a_2=2,a_3=4。

- 计算frac{a_3}{a_2}-frac{a_2}{a_1}，其中frac{a_3}{a_2}=(4)/(2) = 2，frac{a_2}{a_1}=(2)/(1)=2。

- 则frac{a_3}{a_2}-frac{a_2}{a_1}=2 - 2=0≠1，所以命题①错误。

2. 对于命题②- 因为数列{a_n}是“比等差数列”，且“比公差”λ = 0。

- 即frac{a_n + 2}{a_n+1}-frac{a_n + 1}{a_n}=0，所以frac{a_n+2}{a_n + 1}=frac{a_n+1}{a_n}。

- 根据等比数列的定义，可知数列{a_n}是等比数列，所以命题②正确。

3. 对于命题③- 设等比数列{a_n}的公比为q，则frac{a_n+2}{a_n+1} = q，frac{a_n+1}{a_n}=q。

- 所以frac{a_n+2}{a_n+1}-frac{a_n+1}{a_n}=q - q = 0，等比数列是“比等差数列”。

- 设等差数列{a_n}的公差为d，frac{a_n+2}{a_n+1}=frac{a_n+2d}{a_n+d}=1+(d)/(a_n)+d，frac{a_n+1}{a_n}=frac{a_n+d}{a_n} = 1+(d)/(a_n)。

- frac{a_n+2}{a_n+1}-frac{a_n+1}{a_n}≠常数，所以等差数列不是“比等差数列”，命题③正确。