【步步高】2015高考数学(广东专用,理)一轮题库：第2章 第8讲 函数与方程]

第2讲 一元二次不等式及其解法一、选择题 1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．(－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．[－1,2] 解析 ∵x －2x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －，x ＋1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ≠－1，∴x ∈(－1,2]． 答案 B2. 若集合{},{}x A x x B xx-2=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ⋂=（ ） A. {}x x -1≤<0 B. {}x x 0<≤1 C. {}x x 0≤≤2 D.{}x x 0≤≤1解析 因为集合{},{}A x x B x x =-1≤≤1=0<≤2,所以A B ⋂={}x x 0<≤1,选B. 答案 B3．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝ ( )． A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －ba. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋ca ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.答案 B4．不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是( )．A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2>0，log 2x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2<0，log 2x <0.∴x >2或0<x <1，即不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)． 答案 A5．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为 ( )．A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a <－56，又a ∈Z ，∴a ＝－1，不等式f (x )>1即为－x 2－x >0， 解得－1<x <0. 答案 C6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )．A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b2＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1有－3≤x ≤－1；当x ＞0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为 [－3，－1]∪(0，＋∞)． 答案 C 二、填空题7．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析 由函数f (x )的图象可知(如下图)，满足f (1－x 2)＞f (2x )分两种情况：①⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x ≥0，1－x 2＞2x⇒0≤x ＜2－1.②⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，x ＜0⇒－1＜x ＜0.综上可知：－1＜x ＜2－1. 答案 (－1，2－1)9．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1(b ∈R )，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．解析 依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，且开口向下， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )是增函数．若f (x )>0恒成立，则f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1>0，即b 2－b －2>0，∴(b －2)(b ＋1)>0，∴b >2或b <－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)10．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________. 解析 显然a ＝1不能使原不等式对x >0恒成立，故a ≠1且当x 1＝1a －1，a ≠1时原不等式成立．对于x 2－ax －1＝0，设其两根为x 2，x 3，且x 2<x 3，易知x 2<0，x 3>0.当x >0时，原不等式恒成立，故x 1＝1a －1满足方程x 2－ax －1＝0，代入解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案 32三、解答题11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .12．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅. 综上所述：当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式的解集为∅.13．已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1·x 2＝11－m，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}． 14．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a ＞0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注 e 为自然对数的底数．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a x ＋ax.由于a ＞0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2，对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f＝a －1≥e－1，f ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.。

第2讲 导数的应用(一)一、选择题1．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )． A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为2x 0， 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0. 答案 D2．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )．A ．(－2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，2)解析 由条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈(－2，＋∞)． 答案 A3．函数f (x )＝(4－x )e x的单调递减区间是 ( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，3)C ．(4，＋∞)D ．(3，＋∞)解析 f ′(x )＝e x＋(4－x )·e x＝e x(3－x )，令f ′(x )<0，由于e x>0，∴3－x <0，解得x >3.答案 D4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a处有极值，则ab 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析 f ′(x )＝3ax 2＋b ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋b ＝0，可得ab ＝－3.故选D.答案 D5．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )． A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)解析 不等式(x －1)f ′(x )≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，f x 或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，f x可知f (x )在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f (x )为常数函数，因此f (0)＋f (2)≥2f (1)．答案 C6．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．下列关于函数f (x )的命题： ①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中真命题的个数有( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析 依题意得，函数f (x )不可能是周期函数，因此①不正确；当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在[0,2]上是减函数，②正确；当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，依题意，结合函数f (x )的可能图象形状分析可知，此时t 的最大值是5，因此③不正确；注意到f (2)的值不明确，结合图形分析可知，将函数f (x )的图象向下平移a (1<a <2)个单位后相应曲线与x 轴的交点个数不确定，因此④不正确．综上所述，选D. 答案 D 二、填空题7．函数y ＝x －2sin x 在[0，π]上的递增区间是________．解析 y ′＝1－2cos x ，令1－2cos x ≥0，得cos x ≤12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋53π，k ∈R ，又0≤x ≤π，∴π3≤x ≤π.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 8．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．解析 f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．答案 29．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)，∴由题意知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解．∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x 5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)．答案 (－∞，0)10．已知函数y ＝－13x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单调减函数，则b 的取值范围是________．解析 y ′＝－x 2＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立，∴Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，∴－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值范围是b <－1或b >3. 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) 三、解答题11．设函数f (x )＝ax 3－3x 2，(a ∈R )，且x ＝2是y ＝f (x )的极值点，求函数g (x )＝e x·f (x )的单调区间．解 f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)． 因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点．所以f ′(2)＝0，即6(2a －2)＝0，因此a ＝1， 经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数f (x )的极值点， 所以g (x )＝e x(x 3－3x 2)，g ′(x )＝e x (x 3－3x 2＋3x 2－6x )＝e x (x 3－6x )＝x (x ＋6)(x －6)e x.因为e x>0，所以y ＝g (x )的单调增区间是(－6，0)和(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)和(0，6)． 12．已知函数f (x )＝x 3－ax －1(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在试说明理由． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－a由Δ≤0，即12a ≤0，解得a ≤0，因此当f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增时，a 的取值范围是(－∞，0]． (2)若f (x )在(－1,1)上单调递减，则对于任意x ∈(－1,1)不等式f ′(x )＝3x 2－a ≤0恒成立 即a ≥3x 2，又x ∈(－1,1)，则3x 2<3因此a ≥3函数f (x )在(－1,1)上单调递减，实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 13．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解 (1)根据题意知，f ′(x )＝a －xx(x ＞0)，当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a ＝0 时，f (x )不是单调函数．(2)∵f ′(2)＝－a2＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g t ＜0，g ＞0.由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ＜0，g ＜0，g＞0，∴－373＜m ＜－9.14．设函数f (x )＝ln x ＋ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内有极值． (1)求实数a 的取值范围；(2)若x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)．求证：f (x 2)－f (x 1)>e ＋2－1e .注：e 是自然对数的底数．(1)解 易知函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)， f ′(x )＝1x－a x －2＝x －2－ax x x －2＝x 2－a ＋x ＋1x x －2.由函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内有极值，可知方程f ′(x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内有解，令g (x )＝x 2－(a＋2)x ＋1＝(x －α)(x －β)．不妨设0<α<1e，则β>e ，又g (0)＝1>0，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e2－a ＋2e ＋1<0，解得a >e ＋1e －2. (2)证明 由(1)知f ′(x )>0⇔0<x <α或x >β，f ′(x )<0⇔α<x <1或1<x <β，所以函数f (x )在(0，α)，(β，＋∞)上单调递增，在(α，1)，(1，β)上单调递减． 由x 1∈(0,1)得f (x 1)≤f (α)＝ln α＋aα－1，由x 2∈(1，＋∞)得f (x 2)≥f (β)＝ln β＋aβ－1，所以f (x 2)－f (x 1)≥f (β)－f (α)． 由(1)易知α·β＝1，α＋β＝a ＋2，所以f (β)－f (α)＝ln β－ln 1β＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1β－1－1α－1＝2lnβ＋a ·α－ββ－α－＝2ln β＋a ·1β－β2－a ＋＝2ln β＋β－1β.记h (β)＝2ln β＋β－1β(β>e)，则h ′(β)＝2β＋1＋1β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1β＋12>0，所以函数h (β)在(e ，＋∞)上单调递增， 所以f (x 2)－f (x 1)≥h (β)>h (e)＝2＋e －1e .。

【优化指导】2015高考数学总复习 第2章 第8节 函数与方程课时跟踪检测 理（含解析）新人教版1．(2014·威海模拟)已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下对应值表：x 1 2 3 4 5 6 7 f (x )239－711－5－12－26A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个解析：选 C 由题意知f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故函数在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内各至少有一个零点，故在 [1,6]上至少有3个零点，选C.2．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－2D ．y ＝－x 3解析：选B y ＝log 2x 的零点是1，y ＝x 2－2的零点是±2，都不在(－1,1)内，尽管y ＝－x 3的零点在(－1,1)内，但该函数是减函数，只有y ＝2x －1符合要求．3．(2014·某某检测)函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选C 因为f (1)＝1－log 2 1＝1>0，f (2)＝1－2log 2 2＝－1<0，即f (1)f (2)<0，据零点存在定理可得函数的零点所在的区间为(1,2)，故选C.4．(2014·某某模拟)“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 当m <0时，令f (x )＝0得log 2x ＝－m (x ≥1)，x ＝2－m>1，此时函数f (x )存在零点；反过来，由函数f (x )存在零点不能得知m <0，如取m ＝0，此时函数f (x )存在零点为x ＝1.因此，“m <0”是“函数f (x )存在零点”的充分不必要条件，故选A.5．(2011·某某高考)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点解析：选B 令f (x )＝0，得x ＝cos x ，由题意知x ∈[0，＋∞)，在同一坐标系内画出两个函数y ＝x 与y ＝cos x 的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程x ＝cos x 只有一个解．故函数f (x )只有一个零点，选B.6．(2013·某某高考)设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0解析：选A 由f (a )＝e a＋a －2＝0，得0<a <1. 由g (b )＝ln b ＋b 2－3＝0得1<b <2. 因为g (a )＝ln a ＋a 2－3<0，f (b )＝e b ＋b －2>0，所以f (b )>0>g (a )，故选A.7．(2014·某某模拟)已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b解析：选B 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0，且f (x )为单调递增函数．故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)．∵g (2)＝0，故g (x )的零点b ＝2；h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0，且h (x )为单调递增函数，故h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎪⎫12，1，因此a <c <b .8．(2014·晋中名校联考)函数y ＝f (x )的最小正周期为2，且f (－x )＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－x ＋1，那么在区间[－3,4]上，函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象的交点个数是( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，观察图象可知有6个交点，故选C.9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列且f (a )f (b )f (c )<0，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>bC ．x 0<cD ．x 0>c解析：选D 因为a ，b ，c 成等差数列且公差为正数，所以c >b >a >0，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x 在(0，＋∞)上是减函数，所以f (c )<f (b )<f (a )． 又因为f (a )f (b )f (c )<0，则有两种情况：(1)f (a )>f (b )>0>f (c )， 则a <b <x 0<c .(2)f (c )<f (b )<f (a )<0，则x 0<a <b <c .综上所述，不等式中不可能成立的是x 0>c ，故选D.10．(2014·某某四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12x ，x ≤0，ln x ＋1，x >0，若函数y ＝f (x )－kx 有三个零点，则k 的取值X 围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．()1，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(－∞，0)解析：选C 要使函数y ＝f (x )－kx 有三个零点，则应该满足f (x )＝kx ，只需满足y ＝f (x )与y ＝kx 有三个不同交点．当直线y ＝kx 在原点与y ＝ln(x ＋1)相切时的直线为y ＝x ，这时与y ＝f (x )有两个交点，不符合题目要求，同样当直线y ＝kx 在原点与y ＝x 2＋12x 相切时的直线为y ＝12x ，这时与y ＝f (x )有1个交点，不符合题目要求，故当12<k <1时，函数y＝kx 与y ＝f (x )有三个交点，故而得出结论12<k <1.故选C.11．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1， －1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．解析：1,1＋ 2 当x ≥2或x ≤－1时，由x 2－x －1－x ＝0得x 2－2x －1＝0，解得x ＝1＋2或x ＝1－2(舍去)；当－1<x <2时，由1－x ＝0得x ＝1.故函数的零点为1,1＋ 2.12．(2014·某某段考)已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (－3)>0，则方程f (x )＝0的根的个数为________．解析：2 由于函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (－3)＝－f (3)>0，故有f (3)<0，因为函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，由零点存在定理知，存在c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，使得f (c )＝0，即函数f (x )在(0，＋∞)上有唯一零点，由奇函数图象的特点知，函数f (x )在(－∞，0)上也有一个零点，故方程f (x )＝0的根的个数为2.13．(2014·日照模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．解析：5 方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值X 围是________．解析：[0,1) 在坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图：发现当0≤m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个交点．即函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点．1．设方程log 4x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝0，log 14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝0的根分别为x 1，x 2，则( )A ．0<x 1x 2<1B ．x 1x 2＝1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2解析：选A log 14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝0的根x 2＝12.设f (x )＝log 4x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x，因为f (1)·f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－116<0， 所以1<x 1<2.故0<x 1x 2<1，选A.2．(2014·黄冈中学月考)已知a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ． f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定解析：选B 函数f (x )＝2x＋log 2x 在(0，＋∞)上是单调递增的，若这个函数有零点，则零点是唯一的，根据函数f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的及a 为函数f (x )的零点可知，在(0，a )上，这个函数的函数值小于零，即f (x 0)<0.在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零，故选B.3．(2014·阜宁中学调研)设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，且x 0∈(m ，m ＋1)，m ∈Z ，则m ＝________.解析：1 令f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，易知函数y ＝x 3在R 上单调递增，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在R 上单调递减，所以y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在R 上单调递增，所以f (x )在R 上单调递增．又函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，所以f (x 0)＝0，即x 0为f (x )的零点．又f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫121－2＝－1<0，f (2)＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2＝7>0，f (x )在R 上单调递增，所以x 0∈(1,2)，所以m ＝1.4．已知函数f (x )＝4x＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值X 围，并求出该零点． 解：∵f (x )＝4x＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点， 该零点为x ＝0.5．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题“对于任意的a ∈R (R 为实数集)，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程．(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，某某数a 的X 围． 解：(1)“对于任意的a ∈R (R 为实数集)，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意：f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，∵Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R (R 为实数集)恒成立即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实数根从而f (x )＝1必有实数根．(2)依题意知要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧f －1>0，f 0<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故所求a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34.。

第2讲 函数的应用考情解读 1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值X 围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一 函数的零点例1 (1)已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f (12)>f (－3)>0，则方程f (x )＝0的根的个数为________．(2)(2014·某某)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈[0，12]，2x －1，x ∈12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A ．[14，23]∪[43，74]B ．[－34，－13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[－34，－13]∪[13，34]思维启迪 (1)根据零点存在性原理，进行判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)2 (2)A解析 (1)由于函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (－3)＝－f (3)>0， 故f (3)<0，因为函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，且f (12)>0，由零点存在性定理知，存在c ∈(12，3)，使得f (c )＝0，即函数f (x )在(0，＋∞)有唯一零点，由奇函数图象的特点知，函数f (x )在(－∞，0)也有一个零点，故方程f (x )＝0的根的个数为2. (2)先画出y 轴右边的图象，如图所示．∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝12.设与曲线交于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标． 令cos πx ＝12，∵x ∈[0，12]，∴πx ＝π3，∴x ＝13.令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34.根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－13.∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝12上及其下方的图象满足，∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－13，∴43≤x ≤74或14≤x ≤23. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(1)已知函数f (x )＝(14)x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定 答案 (1)C (2)C解析 (1)f (x )在[0,2π]上的零点个数就是函数y ＝(14)x和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y ＝(14)x和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C.(2)∵f (x )＝2x －log 12x 在(0，＋∞)上是增函数，又a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，即f (a )＝0，∴当0<x 0<a 时，f (x 0)<0. 热点二 函数的零点与参数的X 围例2 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值X 围是( ) A ．(－2,1) B ．[0,1] C ．[－2,0) D ．[－2,1)思维启迪 先确定函数f (x )的解析式，再利用数形结合思想求k 的X 围． 答案 D解析 解不等式：x 2－1－(4＋x )≥1，得：x ≤－2或x ≥3，所以，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈－∞，－2]∪[3，＋∞，x 2－1，x ∈－2，3.函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同交点．如图，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.思维升华 已知函数的零点个数求解参数X 围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0恰有6个不同的实根，则实数a 的取值X 围是________． 答案 a <－12解析 ∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，∴－1和1是f ′(x )＝0的根，∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋1＝－2b3a－1×1＝c3a，∴b ＝0，c ＝－3a ，∴f (x )＝ax 3－3ax ，∵3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0，∴3a (f (x ))2－3a ＝0，∴f 2(x )＝1，∴f (x )＝±1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1>1f－1<－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －3a >1－a ＋3a <－1，∴a <－12.热点三 函数的实际应用问题例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|xx 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值X 围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？思维启迪 (1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝xx 2＋1＝1x ＋1x∈(0，12]， 即t 的取值X 围是[0，12]．(2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g12，0≤a ≤14，g0，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 20<x ≤10，108x －1 0003x 2x >10.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－10 0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x x >10.(2)①当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0；当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知：当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．1．函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.真题感悟1．(2014·某某)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3， x ∈－1，0]，x ， x ∈0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 答案 A解析 作出函数f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (0，－2)．因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝12，可知当直线y ＝m (x ＋1)在x 轴和AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与AC 重合但不能与x 轴重合)，此时0<m ≤12，g (x )有两个不同的零点．当直线y ＝m (x ＋1)过点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＋1－3，y ＝m x ＋1，得mx2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝0，解得m ＝－94，可知当y ＝m (x ＋1)在切线和BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与BC 重合但不能与切线重合)，此时－94<m ≤－2，g (x )有两个不同的零点．综上，m 的取值X 围为(－94，－2]∪(0，12]，故选A.2．(2014·)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟 答案 B解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． 押题精练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点有________个．答案 4解析 当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1，即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝14；当f (x )＋1＝1，即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1.故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点．2．函数f (x )＝x e x－a 有两个零点，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－1e，0)解析 令f ′(x )＝(x ＋1)e x＝0，得x ＝－1， 则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，要使f (x )有两个零点，则极小值f (－1)<0，即－e －1－a <0，∴a >－1e，又x →－∞时，f (x )>0，则a <0，∴a ∈(－1e，0)．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 答案 5 8解析 由题意知每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－(x ＋25x)，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3) 答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．f (12)＝log 212－112＝－1－2＝－3<0，f (1)＝log 21－11＝0－1<0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0， f (3)＝log 23－13>1－13＝23>0，即f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1,2)内．2．函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1，下列区间中，可能存在零点的是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3) 答案 B解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，且为递减函数，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x>0，所以f (x )>0，故函数在(1,2)上没有零点；f (2)＝22－ln 1＝1>0，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83， 因为8＝22≈2.828，所以8>e ，故ln e<ln 8，即1<12ln 8，所以2<ln 8，即f (3)<0，f (4)＝24－ln 3＝12－ln 3<0.故f (x )在(2,3)存在零点．3．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值X 围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1]C ．(－14，0)D ．(－14，0]答案 C解析 作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示．当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数f (x )＝m 有三个不同的零点，则－14<m <0，即m 的取值X 围为(－14，0)． 5．(2013·某某)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 如图所示，连接OF ，OG ，过点O 作OM ⊥FG ，过点A 作AH ⊥BC ，交DE 于点N .因为弧FG 的长度为x ，所以∠FOG ＝x ， 则AN ＝OM ＝cos x2，所以AN AH ＝AE AB ＝cos x2，则AE ＝233cos x 2，∴EB ＝233－233cos x2.∴y ＝EB ＋BC ＋CD ＝433－433cos x 2＋233＝－433cos x 2＋23(0<x <π)．6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1，2－x 2，x ∈[－1，0，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7 D ．－8 答案 C解析 由题意知g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2x ＋2＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的图象如图所示：由图形可知函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为－3，若设C 的横坐标为t (0<t <1)，则点A 的横坐标为－4－t ，所以方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为－3＋(－4－t )＋t ＝－7.二、填空题7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值X 围是________．答案 (0,1]解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点， 则当x ≤0时，函数f (x )＝2x－a 有一个零点， 令f (x )＝0得a ＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a ≤1， 所以实数a 的取值X 围是0<a ≤1.8．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，13x ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值X围是________．答案 (－∞，8]解析 当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，13x ≤2，x ≤23＝8,1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]． 9．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值X 围为________． 答案 m >1解析 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根． ∵1x ＋2＝m |x |⇔1m＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足：0<1m<1，故m >1.10．我们把形如y ＝b|x |－a(a >0，b >0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 4解析 由题意知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1x ≥0且x ≠1，－1x ＋1x <0且x ≠－1.在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．三、解答题11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，某某数a 的取值X 围． 解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3， 令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根． ∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1. 因此实数a 的取值X 围是(0,1)．12．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab . 依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a2.又140<2a <420，即70<a <210.(1)当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值；(2)当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值．故当70<a <140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大， 当140<a <210时，公司应裁员a2人，经济效益取到最大．13．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值X 围；若不存在，说明理由． 解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9(a －89)2＋89>0，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.。

绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 表示样本均值.一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合M={x|(x+4)(x+1)=0}，集合N= {x|(x-4)(x-1)=0}，则M∩N=A ．∅ B.{ -1 , -4 } C.{ 0 } D. { 1 ，4 } 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2i B.3+2i C.2+3i D. 2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．x e x y += B. x x y 1+= C. x xy 212+= D. 21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

绝密★启用前 试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

{}}{|(4)(1)0,|(4)(1)0M x x x N x x x =++==--=，则M N ⋂=}{A.1,4}{B.1,4--}{C.D.∅(32)z i i =-（i 是虚数单位），则z = A.23i -B.23i +C.32i +D.32i -3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y =1B.y x x=+1C.22x xy =+D.x y x e =+4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为5A.2110B.2111C.21D.15. 平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是A.250250x y x y ++=+-=或B.2020x y x y +=+=或C.250250x y x y -+=--=或D.2020x y x y -=-=或6. 若变量,x y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为A.4 23B.5C.6 31D.57. 已知双曲线2222:1x y C a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为22A.143x y -= 22B.1916x y -= 22C.1169x y -= 22D.134x y -= 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A.3至多等于B.4至多等于C.5等于D.5大于二、填空题：本大题 共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）9. 在4x （-1）的展开式中，x 的系数为 . 10. 在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11. 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，1sin 2B =，6C π=，则b= . 12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。

第8讲 函数与方程课时作业1．(2019·某某质检)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝1x －1与y ＝ln x 的图象(图略)，由图象可知有两个交点．2．(2019·某某模拟)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1，e)和(3,4)D ．(e ，＋∞)答案 B解析 因为f ′(x )＝1x ＋2x2>0(x >0)，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln 3－23>0，f (2)＝ln 2－1<0，所以f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )唯一的零点在区间(2,3)内．故选B ．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为()A ．12，0 B ．－2,0 C ．12 D ．0答案 D解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.4．函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2,3)答案 C解析 因为y ＝1x与y ＝log 2x 的图象只有一个交点，所以f (x )只有一个零点．又因为f (1)＝1，f (2)＝－1，所以函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是(1,2)．故选C ．5．函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 f (x )＝x cos2x ＝0⇒x ＝0或cos2x ＝0，又cos2x ＝0在[0,2π]上的根有π4，3π4，5π4，7π4，共4个，故原函数有5个零点． 6．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13 的解，则x 0属于区间()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 答案 C解析 令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 13 ，则g (0)＝1>f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 ，所以由图象关系可得13<x 0<12.7．(2019·某某模拟)f (x )＝3x－log 2(－x )的零点的个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 f (x )的定义域为(－∞，0)，且f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝13>0，f (－2)＝－89<0，所以函数f (x )＝3x－log 2(－x )有且仅有1个零点，故选B ．8．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2019－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是()A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d答案 D解析 f (x )＝2019－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2019，又f (a )＝f (b )＝2019，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D ．9．(2019·某某某某模拟)已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1x的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则()A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0答案 C解析 如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝－1x 的图象，由图象可知，当x ∈(－∞，x 0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >－1x ，当x ∈(x 0,0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0，故选C ．10．(2019·某某质检)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，发现有两个不同的交点，故选B ．11．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是()A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x 并上下移动，可以发现当直线y ＝－x 过点A 时，直线y ＝－x 与函数f (x )的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线y ＝－x 与函数f (x )的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C ．12．(2019·某某正定模拟)已知f (x )为偶函数且f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的解的个数是()A ．0B ．2C ．4D ．6答案C解析 画出函数f (x )和y ＝log 3|x |的图象(如图所示)，由图象可知方程f (x )＝log 3|x |的解有4个．故选C ．13．已知函数y ＝f (x )的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有________个． 答案 3解析 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x >0，x 2－x －2，x ≤0，则其零点为________.答案 1，－1解析 当x >0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，也就是(x ＋1)(x －2)＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数的零点为1，－1.15．(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值X 围是________. 答案 (0,1)解析 函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )和y ＝m 的图象有3个交点．画出函数y ＝f (x )的图象，由图可知要使函数y ＝f (x )和y ＝m 的图象有3个交点，m 应满足0<m <1，所以实数m 的取值X 围是(0,1)．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，则m 的取值X 围是________.答案 (3，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，只需4m －m 2<m ，解得m >3或m <0，又m >0，所以m >3.17．(2019·某某模拟)函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，－1≤x <0，log 2(x ＋1)，0≤x <3，对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)．若在区间[－5,3]上函数g (x )＝f (x )－mx ＋m 恰好有三个不同的零点，某某数m 的取值X 围．解 因为对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)，所以函数f (x )的周期为4.由在区间[－5,3]上函数g (x )＝f (x )－mx ＋m 有三个不同的零点，知函数f (x )与函数h (x )＝mx －m 的图象在[－5,3]上有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出函数f (x )与h (x )在区间[－5,3]上的图象，如图所示．由图可知1－0－1－1≤m <1－0－5－1，即－12≤m <－16.。

第8讲函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈区间D)，把使01f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈区间D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与02x轴有交点⇔函数y＝f(x)有03零点.(3)函数零点的判定(零点存在定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有04 f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间05(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得06f(c)＝0，这个07c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点08(x0)，(x2,0)09(x1,0)无交点1,零点个数102111120有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．(5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．1．(2020·云南玉溪一中二调)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是() A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案 B解析易知函数f(x)＝2x＋3x在定义域上单调递增，且f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝1>0，所以由函数零点存在定理得，零点所在的区间是(－1，0)．故选B．2．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 12345 6y 124.433－7424.5－36.7－123.6 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案 B解析∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点．3．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 作出函数y ＝|x －2|与g (x )＝ln x 的图象，如图所示．由图象可知两个函数的图象有两个交点，即函数f (x )在定义域内有2个零点．故选C ．4．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点有________个． 答案 1解析 ∵f (x )＝e x ＋3x 在R 上单调递增，且f (－1)＝e －1－3<0，f (0)＝1>0，∴函数f (x )有1个零点．5．(2020·河南信阳调研)若函数f (x )＝3mx －4在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－23解析 由已知得f (－2)·f (0)＝(－6m －4)·(－4)≤0，解得m ≤－23，故实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－23.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ex ，x≤0，x2－1，x ＞0，则函数y ＝f (x )－1的零点是________.答案 0或2解析 要求函数y ＝f (x )－1的零点，则令y ＝f (x )－1＝0，即f (x )＝1，又因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ex ，x≤0，x2－1，x ＞0，①当x ≤0时，f (x )＝e x ，由e x ＝1，解得x ＝0.②当x ＞0时，f (x )＝x 2－1，由x 2－1＝1，解得x ＝2(负值舍去)．综上可知，函数y ＝f (x )－1的零点是0或2.考向一 函数零点所在区间的判断例1 (1)(2020·济南模拟)已知f (x )＝x 3＋x －4，则函数f (x )的零点所在区间是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)答案 C解析 由函数f (x )＝x 3＋x －4在定义域上单调递增，且f (1)＝1＋1－4＝－2＜0，f (2)＝8＋2－4＝6＞0，再根据函数零点存在定理可得零点所在区间是(1,2)，故选C ．(2)(2020·长春模拟)设函数f (x )＝log 4x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x ，g (x )＝log x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 的零点分别是x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＝1B ．0＜x 1x 2＜1C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2＞2 答案 B解析 由题意可得x 1是函数y ＝log 4x 的图象和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 的图象的交点的横坐标，x 2是y ＝log x 的图象和函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 的图象的交点的横坐标，且x 1，x 2都是正实数，如图所示：故有log x 2＞log 4x 1，故log 4x 1－log x 2＜0，∴log 4x 1＋log 4x 2＜0，∴log 4(x 1x 2)＜0，∴0＜x 1x 2＜1，故选B ．判断函数零点所在区间的常用方法(1)定义法：利用函数零点存在定理，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上必有零点．(2)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b∈N *，则a ＋b ＝( )A ．0B ．2C ．5D ．7答案 C解析 ∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上单调递增，∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3，∴a ＋b ＝5.2．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析 函数y ＝f (x )是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点．考向二 函数零点个数的讨论例2 (1)(2020·青岛模拟)已知图象连续不断的函数f (x )的定义域为R ，f (x )是周期为2的奇函数，y ＝|f (x )|在区间[－1,1]上恰有5个零点，则f (x )在区间[0,2020]上的零点个数为( )A ．5050B ．4041C ．4040D ．2020答案 B解析 因为图象连续不断的函数f (x )的定义域为R ，f (x )是周期为2的奇函数，y ＝|f (x )|在区间[－1,1]上恰有5个零点，所以f (0)＝0，f (1)＝0，x ∈(0,1)时，函数有1个零点，所以x ∈(0，1]时，函数有2个零点，所以x ∈(0,2020]时，函数有4040个零点，则f (x )在区间[0,2020]上的零点个数为4041.故选B ．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＜0，x2＋12x ，x≥0，则函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由题意，令f (f (x ))－1＝0，得f (f (x ))＝1，令f (x )＝t ，由f (t )＝1，得t ＝－1或t ＝－1＋174，作出函数f (x )的图象，如图所示，结合函数f (x )的图象可知，f (x )＝－1有1个解，f (x )＝－1＋174有2个解，故y ＝f (f (x ))－1的零点个数为3，故选B ．确定函数零点个数的方法及思路(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)函数零点存在定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3．函数f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x |的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 由f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x |，得f (－x )＝(－x )2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|－x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)·f (1)<0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有1个零点．∴函数f (x )的零点个数为2，故选C ．4．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 B解析 由2x |log 0.5x |－1＝0得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，作出y ＝|log 0.5x |和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 的图象，如图所示，则两个函数图象有两个交点，故函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1有两个零点．多角度探究突破考向三 函数零点的应用 角度1 利用零点比较大小例3 (1)已知a 是函数f (x )＝2x －log x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( ) A ．f (x 0)＝0 B ．f (x 0)>0 C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)与0的大小关系不确定 答案 C解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝2x ，y ＝log x 的图象(图略)，由图象可知，当0<x 0<a 时，有2x 0<log x 0，即f (x 0)<0.(2)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2<x 1<x 3B ．x 1<x 2<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1答案 B解析 令y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－x －1，因为函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－x －1与y ＝－x 的图象的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，在同一平面直角坐标系内分别作出函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－x －1及y ＝－x 的图象如图，结合图象可得x 1<x 2<x 3，故选B ．在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较．5．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 0<x 1，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零答案 A解析 由于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x －log 3x 在定义域内是减函数，于是，若f (x 0)＝0，当x 0<x 1时，一定有f (x 1)<0.故选A ．6．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案 B解析 在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象，如图所示．由图象可知函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x ＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1.因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0.角度2 由函数零点存在情况或个数求参数范围 例4 (1)(2020·海南省新高考诊断性测试)已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2－4x ＋1，x≤0，2－2－x ，x>0，若关于x 的方程[f (x )－1]·[f (x )－m ]＝0恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(1,5)C ．(2,3)D ．(2,5)答案 A解析 由[f (x )－1][f (x )－m ]＝0，得f (x )＝1或f (x )＝m ，作出y ＝f (x )的图象，如图所示．由图可知，方程f (x )＝1有2个实根，故方程f (x )＝m 有3个实根，故m 的取值范围为(1,2)．(2)(2020·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x≥0，－x ，x ＜0.若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12∪(22，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12∪(0,22)C ．(－∞，0)∪(0,22)D ．(－∞，0)∪(22，＋∞)答案 D解析 注意到g (0)＝0，所以要使g (x )恰有4个零点，只需方程|kx －2|＝错误!恰有3个实根即可，令h (x )＝错误!，即y ＝|kx －2|与h (x )＝错误!的图象有3个不同交点．因为h (x )＝错误!＝错误!当k ＝0时，y ＝2，如图1，y ＝2与h (x )＝错误!的图象有1个交点，不满足题意；当k ＜0时，如图2，y ＝|kx －2|与h (x )＝错误!的图象恒有3个不同交点，满足题意；当k ＞0时，如图3，当y ＝kx －2与y ＝x 2的图象相切时，联立方程得x 2－kx ＋2＝0，令Δ＝0得k 2－8＝0，解得k ＝22(负值舍去)，所以k ＞22.综上，k的取值范围为(－∞，0)∪(22，＋∞)．故选D ．已知函数零点求参数范围的常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．7．当x ∈[1,2]时，若函数y ＝12x 2与y ＝a x (a >0)的图象有交点，则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，2 解析 当a ＝1时，显然成立．当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12×22≥a 2，即1<a ≤2；当0<a <1时，如图②所示，要使两个函数图象有交点，需满足12×12≤a 1，即12≤a <1，综上可知，a ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，2. 8．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________. 答案 －14，2解析 因为函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，所以方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －122－14，因为x ∈[－1,1]，所以2x∈12，2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －122－14∈－14，2.所以实数a 的取值范围是－14，2.一、单项选择题1．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)答案 C解析 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．故选C ．2．(2021·长郡中学高三月考)设函数f (x )＝x ＋log 2x －m ，则“函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，4上存在零点”是“m ∈(1,6)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 函数f (x )＝x ＋log 2x －m 在区间(0，＋∞)上单调递增，由函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，4上存在零点，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝－12－m ＜0，f (4)＝6－m ＞0，解得－12＜m ＜6，故“函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，4上存在零点”是“m ∈(1,6)”的必要不充分条件．故选B ． 3．(2020·北京市大兴区一模)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增且存在零点的是( )A ．y ＝e xB ．y ＝x ＋1C ．y ＝－log xD ．y ＝(x －1)2答案 C解析 函数y ＝e x ＞0恒成立，不存在零点，即A 不符合题意；函数y ＝x ＋1＞0恒成立，不存在零点，即B 不符合题意；函数y ＝－log x ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，且当x ＝1时，y ＝0，所以函数的零点为x ＝1，即C 正确；函数y ＝(x －1)2在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即D 不符合题意．故选C ．4．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点答案 B解析 当x ∈(0,1]时，因为f ′(x )＝12x＋sin x ，x ＞0，sin x ＞0，所以f ′(x )＞0，故f (x )在[0,1]上单调递增，且f (0)＝－1＜0，f (1)＝1－cos1＞0，所以f (x )在[0,1]内有唯一零点．当x ＞1时，f (x )＝x －cos x ＞0，故函数f (x )在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B ．5．函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 f (x )＝x cos2x ＝0⇒x ＝0或cos2x ＝0，又cos2x ＝0在[0,2π]上的根有π4，3π4，5π4，7π4，共4个，故f (x )有5个零点． 6．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＝x 的解，则x 0属于区间( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，13答案 C解析令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，f (x )＝x ，则g (0)＝1>f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，所以由图象关系可得13<x 0<12.7．f (x )＝3x －log 2(－x )的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 f (x )的定义域为(－∞，0)，且f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝13>0，f (－2)＝－89<0，所以函数f (x )＝3x －log 2(－x )有且仅有1个零点，故选B ．8．[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，发现有两个不同的交点，故选B ．二、多项选择题9．(2020·山东德州高三模拟)已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.则关于x 的方程f (x )＝k 的根的情况，下列结论正确的是( )A ．当k ＝1时，方程有一个实根B ．当k >1时，方程有两个实根C ．当k ＝0时，方程有一个实根D．当k≥1时，方程有实根答案ABD解析方程f(x)＝k化为e|x|＝k－|x|，设y1＝e|x|，y2＝k－|x|.y2＝k－|x|表示斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y1＝e|x|恰好有一个公共点时，k＝1.如图，若关于x 的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选ABD．10．(2021·湖南郴州高三质检)已知函数f(x)＝|2x－2|＋b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是()A．1<x1<2 B．x1＋x2<1C．x1＋x2<2 D．x1＜1答案AC解析函数f(x)＝|2x－2|＋b有两个零点，即y＝|2x－2|的图象与直线y＝－b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x1>x2)，在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y ＝－b的图象如图所示，可知1<x1<2,2x1－2＋2x2－2＝0，即4＝2x1＋2x2>22x1×2x2＝22x1＋x2，所以2x1＋x2＜4，所以x1＋x2＜2.11．(2020·海南中学高三月考)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．f (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x2－1，x≤1，|2－x|，x ＞1D ．f (x )＝1x－x答案 BCD解析 根据定义可知，若f (x )有不动点，则f (x )＝x 有解．对于A ，令2x ＋x ＝x ，所以2x ＝0，此时无解，故f (x )不是“不动点”函数；对于B ，令x 2－x －3＝x ，所以x ＝3或x ＝－1，所以f (x )是“不动点”函数；对于C ，当x ≤1时，令2x 2－1＝x ，所以x ＝－12或x ＝1，所以f (x )是“不动点”函数；对于D ，令1x －x ＝x ，所以x ＝±22，所以f (x )是“不动点”函数．故选BCD ．12．(2020·山东临沂高三模拟)定义域和值域均为[－a ，a ]的函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，其中a ＞c ＞b ＞0，给出下列四个结论，其中正确的是( )A ．方程f (g (x ))＝0有且仅有三个解B ．方程g (f (x ))＝0有且仅有四个解C ．方程f (f (x ))＝0有且仅有八个解D ．方程g (g (x ))＝0有且仅有一个解 答案 AD解析 由图象可知对于函数y ＝f (x )，当－a ≤y ＜－c 时，方程有一解，当y ＝－c 时，方程有两解，当－c ＜y ＜c 时方程有三解，当y ＝c 时，方程有两解，当c ＜y ≤a时，方程有一解，对于函数y ＝g (x )，由图象可知，函数g (x )为单调递减函数，当－a ≤y ≤a 时，方程有唯一解．对于A ，设t ＝g (x )，则由f (g (x ))＝0，即f (t )＝0，此时t ＝－b 或t ＝0或t ＝b ，即t ＝g (x )有三个不同的值，又由函数g (x )为单调递减函数且a >c >b >0，所以方程f (g (x ))＝0有三个不同的解，所以是正确的；对于B ，设t ＝f (x )，则由g (f (x ))＝0，即g (t )＝0，此时只有唯一的解t ＝b ，即方程b ＝f (x )，此时有三解，所以不正确；对于C ，设t ＝f (x )，则由f (f (x ))＝0，即f (t )＝0，此时t ＝－b 或t ＝0或t ＝b ，当t ＝－b,0或b 时，方程t ＝f (x )均有三个不同的解，则f (f (x ))＝0有九个解，所以不正确；对于D ，设t ＝g (x )，则由g (g (x ))＝0，即g (t )＝0，此时t ＝b ，对于方程b ＝g (x )，只有唯一的解，所以是正确的．故选AD ．三、填空题13．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1解析 ∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xln x ，x>0，x2－x －2，x≤0，则其零点为________.答案 －1,1解析 当x >0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，也就是(x ＋1)(x －2)＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数的零点为－1,1.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m，x2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，则m 的取值范围是________.答案 (3，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，只需4m －m 2<m ，解得m >3或m <0，又m >0，所以m >3.16．(2020·聊城二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ，0<x≤1，－1＋ln x ，x>1，若f (a )＝f (b )，则1a ＋1b的最小值为________.答案 1＋1e2解析 已知分段函数f (x )在两段区间内都是单调函数，若f (a )＝f (b )，则必然分属两段内，不妨设0<a ≤1，b >1，则f (a )＝1－ln a ，f (b )＝－1＋ln b ，即1－ln a ＝－1＋ln b ⇒ln a ＋ln b ＝ln (ab )＝2⇒ab ＝e 2.当1a ＋1b ＝be2＋1b ＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋e2b 时，令g (b )＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋e2b ，b ∈(1，＋∞)，由双勾函数性质可知g (b )在区间(1，e)上单调递减，在区间(e ，＋∞)上单调递增，所以g (b )min ＝g (e)＝2e ，此时a ＝e(不符合题意)，当1a ＋1b ＝1a ＋ae2＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋e2a 时，令h (a )＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋e2a ，a ∈(0,1]，由双勾函数性质可知h (a )在区间(0,1]上单调递减，所以h (a )min ＝h (1)＝1＋1e2，此时a ＝1，b ＝e 2.故1a ＋1b的最小值为1＋1e2.四、解答题17．函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)＝错误!对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)．若在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围．解因为对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)，所以函数f(x)的周期为4.由在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m有三个不同的零点，知函数f(x)与函数h(x)＝mx－m 的图象在[－5,3]上有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间[－5,3]上的图象，如图所示．由图可知1－0－1－1≤m<1－0－5－1，即－12≤m<－16.21 / 21。