Neumann边界下的反应项非局部扩散方程爆破研究

具有非局部反应项的退化抛物方程解的爆破荆焕先;石金娥;魏保军;郭从洲【摘要】讨论了具有非局部反应项的退化抛物方程xaut-uxx=λeβu(x0,t),(x,t)∈Ω×(0,T)的初边值问题解的爆破性.通过引入特征函数,通过特征值问题的性质构造出爆破因子,并利用比较原理,得出了解在有限时刻爆破.【期刊名称】《河南工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(023)002【总页数】2页(P71-72)【关键词】退化的抛物方程;非局部源;特征函数;解的爆破【作者】荆焕先;石金娥;魏保军;郭从洲【作者单位】信息工程大学理学院,河南郑州450001;信息工程大学理学院,河南郑州450001;信息工程大学理学院,河南郑州450001;信息工程大学理学院,河南郑州450001【正文语种】中文【中图分类】O175.26本文主要研究了如下具有非局部源的退化的非线性抛物方程(1)的初边值问题的爆破.其中，0<T≤+∞,Ω是有界区域,λ>0,α>-1,β>0.近年来，有一些学者致力于非局部源的半线性抛物方程爆破性质的研究[1-4] ，对不同模型得出了问题解的整体存在性和解的爆破性质以及解的爆破速率，研究问题的方法也有很多.由文献[1]和[5-6]所研究的问题的解的爆破的启发，我们研究问题(1)的解的爆破性质，通过引入特征函数，根据其性质构造出恰当的爆破因子，利用比较原理，从而得出问题解在有限时刻爆破.1 定义与引理定义1 设u(x,t)是问题(1)的解，若存在T0<+∞，使得(2)则称解u(x,t)在有限时刻产生爆破.为了解决问题，引入如下特征值问题：(3)(4)为了获得问题在Ω上的整体解的性质，我们选取Ω上的一个紧支集闭球B，在闭球B上考虑问题(1)，B⊂⊂Ω.引理1 若则(5)其中，λ0>0, φ(x)是B上特征值问题φ″(x)+λ1xαφ(x)=0的第一特征值λ0所对应的特征函数.2 解的爆破定理1 设u(x,t)是问题(1)的非负解，若λ>λ1,则u(x,t)在有限时刻产生爆破(λ1是区域B上特征问题φ″(x)+λ1xαφ(x)=0的第一特征值).证明我们利用特征值方法证明，其中φ为区域B上的特征问题φ″(x)+λ1xqφ(x)=0的第一特征函数.φ满足φ″(x)+λ1xαφ(x)=0, φ|∂B=0,φ>0 in Ω.假设则由于φ″(x)+λ1xαφ(x)=0,所以即W′(t)≥由假设α>-1可得:当α+1≤1时，问题可化为W′(t)≥-λ1W(t)+λeβW(t)/x，且x∈B⊂⊂Ω,则‖x‖≤‖Ω‖,于是有W′(t)≥-λ1W(t)+λeβW(t)/‖Ω‖≥-λ1W(t)+λeβW(t)-λe‖Ω‖.只要λ>λ1,则W(t)必在有限时刻爆破.当α+1>1时，只要有xα≤β则问题就化为W′(t)≥-λ1W(t)+λeW(t)，且x∈B⊂⊂Ω,则‖x‖≤‖Ω‖.于是有W′(t)≥-λ1W(t)+λeW(t).只要λ>λ1,则W(t)必在有限时刻爆破.所以由定义1及引理1得出：在特定条件下，问题(1)的解u(x,t)在有限时刻爆破.【相关文献】[1] Zhang Jian. Boundedness and blow-up behavior for reaction-diffusion systems in a bounded domain[J]. Nonlinear Analysis,1999(35):833-844.[2] Stuart A， Floater M S. On the conputation of blow-up[J]. Euro J ApplMath,1990(1):47-71.[3] 刘亚成. 半线性热方程整体解的存在性与非存在性[J]. 数学年刊, 1997,18A(1):65-72.[4] Floater M S. Blow-up at the boundary for degenerate semilinear parabolic equations[J]. Arch Rat Mech Anal,1991(114):57-77.[5] Chan C Y, Liu H T. Global existence of solutions for degenerate semilinear parabolic problems[J]. Nonlinear Analysis,1998(34):617-628.[6] 施国华. 一类退化的半线性抛物型方程解的爆破与全局存在性[J]. 南京大学学报(数学半年刊),2000,17(1):116-124.。

具有非局部源双重退化抛物方程解爆破时间下界的估计
吴秀兰;杨晓新;吴彦锐
【期刊名称】《吉林师范大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2022(43)3
【摘要】考虑了n(n≥3)维空间中,具有非局部源双重退化的抛物方程在Dirichlet 边界条件下解的爆破性质.通过构造适当的辅助函数,结合微分不等式技巧,运用能量估计,给出了解爆破时间下界的估计.
【总页数】4页(P51-54)
【作者】吴秀兰;杨晓新;吴彦锐
【作者单位】长春理工大学数学与统计学院;长春大学电子信息工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.具有加权非局部源和Robin边界条件的反应-扩散方程解的爆破时间下界
2.具有非线性Neumann边界条件的非局部反应扩散方程解的爆破时间的下界估计
3.具有Neumann边界条件的非局部多孔体介质方程解的爆破时间下界估计
4.具有非局部源的p-Laplace方程解的爆破时间下界估计
5.具非局部源半线性抛物方程变号解爆破时间的下界估计
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一个非齐次临界neumann问题的多正解
一个非齐次临界Neumann问题的多正解，是针对某个特定的偏微分方程的研究。

以下是对这个问题的相关定义、原理以及多个解的说明：
定义：
非齐次临界Neumann问题是指一个偏微分方程的边界条件为Neumann 条件，且其非线性项的增长速度达到了临界值的情况下，存在多个正解的现象。

原理：
当偏微分方程的非线性项的增长速度达到一定的临界值时，解的性质会发生显著变化。

此时，即使原方程在边界条件下只有唯一解，但是在非齐次临界Neumann条件下，会存在多个正解。

这是因为，当非线性项增长速度达到临界值时，系统的动力学行为发生了相变，从而引起了多个解的产生。

多个解的说明：
在非齐次临界Neumann条件下，存在多个正解的现象。

这些解在数学上是相互独立的，且彼此之间具有不同的空间分布和动力学特性。

在
实际应用中，这种多正解现象通常被用于解决一些类似于物理、生物、化学等领域的实际问题。

其中，一种解称为稳态解，它是指在长时间尺度上系统的演化趋向于
一个固定的稳定状态。

另外，还存在周期解和混沌解等类型的解。

这
些解具有不同的动力学特性，并可用于描述不同的现象，如自发对称
性破缺、周期振荡等。

总结：
非齐次临界Neumann问题的多正解是一个很有趣的数学问题，在物理、生物、化学等领域中也有很多应用。

了解其相关定义、原理及多解的
性质，不仅有助于深入理解这一问题，还能为实际应用提供有益的参考。