高考数学二轮解题方法篇：专题2 临场必备答题模板 第7讲

Z 重 点 方法 讲 解
题型1 三角函数的性质与求值
π 1 例 1 已知函数 f(x)＝cos x＋ ，g(x)＝1＋ sin 2x. 2 12
2
(1)设 x＝x0 是函数 y＝f(x)图象的一条对称轴，求 g(x0)的值． (2)求函数 h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
概率与统计、函数与导数、立体几何、数列、不等 式、解析几何等，总计80分．在高考考场上，能否 做好解答题，是高考成败的关键．
因此，在高考备考中，学会怎样解题是一项重 要内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解 题》为理论依据，结合具体的题目类型，分析 解答数学解答题的一般思维过程、解题步骤和
答题格式．
Z 重 点 方法 讲 解
【名师心语】 (1)本题在求解中灵活运用二倍角的余弦公式， 两角和的正、余弦公式，还引入辅助角，技巧性 强，并考查正余弦函数的性质，是历年的重点. (2)本题易错点：①想不到引入辅助角； ②忽视在求g(x0)时，讨论k的奇偶性.
Z 重 点 方法 讲 解
题型2 垂直
例2
立体几何中线、面平行与
Z 重 点 方法 讲 解
题型3 数列中an与Sn的关系
例 3 已知数列{an}的各项均为正数， Sn 为其前 n 项和， 对于任意的 n∈N*，满足关系式 2Sn＝3an－3. (1)求数列{an}的通项公式． 1 (2)设数列{bn}的通项公式是 bn＝ ，前 n log3an·log3an＋1 项和为 Tn.求证：对于任意的正整数 n，总有 Tn<1.
随堂讲义•第二部分
考前增分策略
专题三 解答题的解题方法与技巧
数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型， 通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层 次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知 识综合型转变为知识、方法和能力的综合型．从广 东省和新课改省区高考的命题情况来看，近两年数

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典例3 (2020·南平三模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点
O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
ρ＝1－c2os
θ，直线
l1
的参数方程为xy＝＝ttcsions
α α
(t 为参数)，π2＜α＜π，点 A
为直线 l1 与曲线 C 在第二象限的交点，过 O 点的直线 l2 与直线 l1 互相垂 直，点 B 为直线 l2 与曲线 C 在第三象限的交点．
19
1．(2020·中原区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1：ρ＝4sin θ，曲线 C2：ρ ＝4cos θ.
(1)求曲线 C1 与 C2 的直角坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π3(ρ∈R)，设 C3 与 C1 和 C2 的交点 分别为 M，N，求|MN|.
25
典例2 (2020·河南模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的
参
数
方
程
为
x＝2cos α y＝ 3sin α
(α
为参数)，直线
l 的参数方程为
x＝1＋tcos α y＝tsin α
(t 为参数)．
(1)求曲线 C 和直线 l 的一般方程；
(2)已知点 P(1,0)，直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，若|PA|·|PB|＝152，
14
典例1 (2020·沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标
方程为
ρ＝2acosθ，曲线
C2
的极坐标方程为

[步步高]高考数学（文，江苏专用）大二轮总复习练习：第二篇建模【模板细则概述】“答案模板”是指一定类型的数学答案，分析解决问题的总体思路，规划解决问题的程序和格式，制定解决问题的最佳方案，实现答案效率的优化评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢.模板1三角函数的图像与性质典例1(14分)已知m＝(cosωx，3cos(ωx＋π))，n＝(sinωx，cosωx)，其中ω>0，f(x)＝mn，π且f(x)相邻两条对称轴之间的距离为.两个α3π(1)若f()＝－，α∈(0，)，求cosα的值；二百四十二π（2）将函数y=f（x）图像上每个点的横坐标扩展到原来的两倍，纵坐标不变，然后通过向左平移六个单位得到函数y=g（x）的图像。

函数y=g（x）的单调递增区间是由量积运算2ddd的α3f（）=-对称性得到的→ 4cosα检查路线图（1）f（x）=Mn辅助角公式DD→ 得到f（x）周期DD→ 计算ωd和差公式图象变换整体思想（2）增加y=f（x）DD的间隔→ y=g（x）DD→ g（x）规范解答评分标准解f(x)＝mn＝cosωxsinωx＋3cos(ωx＋π)cosωx＝cosωxsinωx－3cosωxcosωx3(cos2ωx＋1)sin2ωxπ3＝－＝sin(2ωx－)－.4分2232π∵f(x)相邻两条对称轴之间的距离为，2π3∴t＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x－)－.6分32απ33π3(1)f()＝sin(α－)－＝－，∴sin(α－)＝，232434构建答题模板第一步化简：利用辅助角将f(x)化成y＝asin(ωx＋φ)的形式．第二步求值：根据三角函数的和差公式求三角函数值．第三步整体代换：将“ωx＋φ”看作一个整体，确定f(x)的性质．ππ3ππππ13∵α∈(0，)，sin(α－)＝，∴α－∈(－，)，∴cos(α－)＝.823433634分ππππππ∴cosα＝cos(α－＋)＝cos(α－)cos－sin(α－)sin333333＝13－313133×－×＝.10分42428第四步反思：查看角的范围的影响，评价任意结果的合理性，检查步骤的规范性.π3(2)f(x)经过变换可得g(x)＝sin(x－)－，12分62ππππ2π令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈z，26233π2π－＋2kπ，＋2kπ?，k∈z.14分∴g(x)的单调递增区间是?3?3?评分细则1.化简f(x)的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给2分；如果只有最后结果没有过程，则给2分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；πππ2．计算cosα时，算对cos(α－)给1分；由cos(α－)计算sin(α－)时没有考虑范围扣1分；3333.问题（2）中X的不等式未经处理直接写出，扣1分；没有区间表示的最终结果将不予评分；如果K∈ 区间表达式中未标注Z，不扣分；如果没有2Kπ，则不得分1π跟踪钻1已知函数f（x）=3sinωxcosωx＋cos2ωx－（ω>0），其最小正周期为22(1)求f(x)的表达式；π(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵8π坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有2求实数K的取值范围的实数解解(1)f(x)＝3sinωxcosωx＋cos2ωx－2＝cos2ωx＋113πsin2ωx＋－＝sin(2ωx＋)，2226π2πππ从问题的意义来看，F（x）的最小正周期是t=，t=，22ωω2π所以ω＝2，所以f（x）=sin（4x+）6ππ(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin(4x－)的图象；再将所得图象上所有83π点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x－)的图象，所以g(x)＝sin(2x三。

【模板特征概述】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．模板1 三角函数的性质典例1 (12分)(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 审题路线图 利用和角公式展开→降幂整理→用辅助角公式化f (x )为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 的形式→利用T ＝2π|ω|求周期→利用单调性或数形结合求最值规范解答·评分标准构建答题模板解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π322分 ＝12⎝⎛⎭⎫12cos2x ＋32sin2x －12cos2x 4分 ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.6分 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.7分(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间第一步 化简：利用辅助角公式化f (x )为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k的形式．第二步 整体代换：设t ＝ωx＋φ，确定t 的范围． 第三步 求解：利用y ＝sin t 的性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调性、最值、对称性等．评分细则 第(1)问得分点：1 无化简过程，直接得到f (x )＝12sin(2x －π6)，扣5分2 化简结果错误，中间某一步正确，给2分 第(2)问得分点：1 只求f (－π3)，f (π4)得出最值，给1分2 若单调性出错，给1分3 单调性正确，计算错误，扣2分4 求出2x －π6范围，利用数形结合求最值，同样得分．跟踪演练1 (2014·福建)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．典例2 (14分)(2014·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A 、sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝12ac sin B方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝12ab sin C评分细则 第(1)问得分点1．没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分． 2．写出正弦定理，但b 计算错误，得1分． 第(2)问得分点1．写出余弦定理，但c 计算错误，得1分． 2．求出c 的两个值，但没舍去，扣2分． 3．面积公式正确，但计算错误，只给1分． 4．若求出sin C ，利用S ＝12ab sin C 计算，同样得分．跟踪演练2 (2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．典例3 (12分)(2014·浙江)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n；②求正整数k，使得对任意n∈N*，均有S k≥S n.审题路线图a n，b n关系、特殊项→基本量法求a n→代入a n，b n关系求b n→求a n→分组求和求S n→利用数列的单调性、最值确定k评分细则(1)求出a3＝8得2分，给出b2，b3的关系得1分；(2)求出q给1分，但q＝－2不舍去不得分；(3)裂项得1分，每个求和写出正确结果得1分；(4)验算前4项给2分；(5)验算法给出最后结果得3分．跟踪演练3(2014·山东)已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .模板4 利用向量求空间角典例4 (12分)(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点． (1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．审题路线图 (1)M 是AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→AB ＝2CDCD ∥AMCD ＝AM ⇒▱AMC 1D 1→C 1M ∥平面A 1ADD 1(2)CA ，CB ，CD 1两两垂直→建立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面ABCD 的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角规范解答·评分标准构建答题模板 (1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC .又由M 是AB 的中点，因此CD ∥MA 且CD ＝MA . 连接AD 1，如图(1)．第一步 找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线． 第二步 写坐标：建立空在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，因为CD∥C1D1，CD＝C1D1，可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，3分因为C1M∥D1A.又C1M⊄平面A1ADD1，D1A⊂平面A1ADD1，所以C1M∥平面A1ADD1.5分(2)解如图(2)，连接AC，MC.由(1)知CD∥AM且CD＝AM，所以四边形AMCD为平行四边形，可得BC＝AD＝MC，由题意得∠ABC＝∠DAB＝60°，所以△MBC为正三角形，因此AB＝2BC＝2，CA＝3，7分因此CA⊥CB.以C为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系C－xyz，所以A(3，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，3)，8分因此M⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以MD1→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，3，D1C1→＝MB→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0.设平面C1D1M的一个法向量为n＝(x，y，z)，由错误!得错误!可得平面C1D1M的一个法向量n＝(1，3，1)．又CD1→＝(0,0，3)为平面ABCD的一个法向量，间直角坐标系，写出特征点坐标．第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量．第四步求夹角：计算向量的夹角．第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.9分因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1→·n |CD 1→||n |＝55.11分所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55.12分评分细则 (1)得出C 1D 1∥AM 给1分，得出C 1D 1＝MA 给1分； (2)线面平行条件不完整扣1分； (3)建系得1分；(4)写正确向量坐标给2分；(5)求出平面C 1D 1M 的一个法向量给2分．跟踪演练4 (2015·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)证明：直线MN ∥平面BDH ； (3)求二面角AEGM 的余弦值．典例5 (12分)甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及均值． 审题路线图 (1)标记事件→对事件分解→计算概率 (2)确定ξ取值→计算概率→得分布列→求均值评分细则(1)P(A)，P(B)计算正确每个给2分；(2)对甲、乙至少有一人闯关成功事件分解、计算正确的参照给分；(3)P(ξ＝1)，P(ξ＝2)计算正确每个给1分，列表给1分．跟踪演练5(2015·安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．典例6 (12分)(2014·课标全国Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 审题路线图 待定系数法求E 的方程→设l 方程→联立l 、E 方程→求|PQ |→求S △OPQ→求S△OPQ的最值评分细则(1)列出关于c的方程，结果算错给1分；(2)求出a＝2，给2分，得E的方程给1分；(3)没有考虑斜率不存在的情况扣1分；(4)求|PQ|时结果正确没有过程扣1分；(5)没有验证Δ>0扣1分．跟踪演练6(2015·天津)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．典例7 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程(2)设M 存在即为(m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论评分细则(1)不考虑直线AB斜率不存在的情况扣1分；(2)不验证Δ>0扣1分；(3)没有假设存在点M 不扣分；(4)MA →·MB →没有化简至最后结果，直接下结论扣1分．跟踪演练7 (2014·湖南)如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2>b 2>0)均过点P (233，1)，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． (1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB →|？证明你的结论．模板8 函数与导数典例8 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x →讨论m 确定f ′(x )符号→证明结论(2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1――→结合(1)知f (x )min ＝f (0)⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1f (－1)－f (0)≤e －1→⎩⎪⎨⎪⎧e m －m ≤e －1e －m＋m ≤e －1→构造函数g (t )＝e t－t －e ＋1→研究g (t )单调性→寻求⎩⎪⎨⎪⎧g (m )≤0g (－m )≤0的条件→对m 讨论得适合条件的范围评分细则 (1)讨论时漏掉m ＝0扣1分； (2)确定f ′(x )符号时只有结论无中间过程扣1分； (3)写出f (x )在x ＝0处取得最小值给1分； (4)无最后结论扣1分； (5)其他方法构造函数同样给分．跟踪演练8设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．学生用书答案精析第三篇 建模板，看细则，突破高考拿高分跟踪演练1 解 (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12 ＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 跟踪演练2 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝sin2C ＝2sin C cos C ＝sin 2C ， 解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.跟踪演练3 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n－14n(2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)．当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)跟踪演练4 (1)解 点F ，G ，H 的位置如图所示． (2)证明 连接BD ，设O 为BD 的中点， 因为M ，N 分别是BC ，GH 的中点，所以OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，HN ∥CD ，且HN ＝12CD ，所以OM ∥HN ，OM ＝HN ， 所以四边形MNHO 是平行四边形， 从而MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ，所以MN ∥平面BDH .(3)解 方法一 连接AC ，过M 作MP ⊥AC 于P ， 在正方体ABCD-EFGH 中，AC ∥EG ， 所以MP ⊥EG ，过P 作PK ⊥EG 于K ，连接KM ， 所以EG ⊥平面PKM ， 从而KM ⊥EG ，所以∠PKM 是二面角AEGM 的平面角，设AD ＝2，则CM ＝1，PK ＝2， 在Rt △CMP 中，PM ＝CM sin45°＝22， 在Rt △PKM 中，KM ＝PK 2＋PM 2＝322，所以cos ∠PKM ＝PK KM ＝223，即二面角AEGM 的余弦值为223. 方法二 如图，以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DH →方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz ，设AD ＝2，则M (1,2,0)，G (0,2,2)，E (2,0,2)，O (1,1,0)， 所以GE →＝(2，－2,0)，MG →＝(－1,0,2)， 设平面EGM 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·GE →＝0，n 1·MG →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，－x ＋2z ＝0，取x ＝2，得n 1＝(2,2,1)， 在正方体ABCD-EFGH 中，DO ⊥平面AEGC ， 则可取平面AEG 的一个法向量为n 2＝DO →＝(1,1,0)， 所以cos n 1，n 2＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2＋2＋04＋4＋1·1＋1＋0＝223， 故二面角AEGM 的余弦值为223. 跟踪演练5 解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400.P (X ＝200)＝A 22A 25＝110， P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610. 故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×610＝350. 跟踪演练6 解 (1)由已知有c 2a 2＝13， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c . 由|FM |＝(c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立． ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0.因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233. 跟踪演练7 解 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2,2a 1＝2.从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P (233，1)在双曲线x 2－y 2b 21＝1上， 所以(233)2－1b 21＝1.故b 21＝3. 由椭圆的定义知2a 2＝(233)2＋(1－1)2＋(233)2＋(1＋1)2＝2 3. 于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2.故C 1，C 2的方程分别为 x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1. (2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以|OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3.此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|.②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0. 当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3. 于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)·(m 2－3)＝0. 化简，得2k 2＝m 2－3，因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0， 于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →，即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|.综合①②可知，不存在符合题设条件的直线．跟踪演练8 解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x. 由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e.由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e.。