直线的交点坐标与距离公式一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，学会通过直线方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，学会对直线进行代数研究，掌握简单的坐标法思想，学会用代数方法解决简单的几何问题，体会数形结合这种解析几何最核心的思想方法． （二）学习目标1．能用解方程组的方法求两直线交点坐标，会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 2．探索并掌握两点间的距离公式并会简单应用，了解坐标法处理几何问题的基本步骤． （三）学习重点1．利用解方程组的方法求两直线交点坐标，及过两直线交点的直线系方程． 2．两点间距离公式的证明与应用． （四）学习难点1．掌握过两直线交点的直线系方程． 2．两点间距离公式的应用．3．解析几何问题中数形结合思想的应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第102页至第106页，填空：用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后 联立求解 ．联立两直线方程：11122200A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî，若方程组有唯一解，则两条直线 相交 ，此解就是 交点 的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线 平行 ；若方程组中两方程可以化为同一个方程，，此时两条直线 重合 ．平面上两点111222(,),(,)P x y P x y平面上点(,)P x y 到原点(0,0) 平行四边形的四条边的平方和等于 两条对角线的平方和 ．用解析法处理平面几何问题的基本步骤可以概括为：2．预习自测1.直线12:0,:20l x y l x y -=+-=的交点坐标为（ ） A ．(0,1) B ．(1,0) C ． (1,1) D ．(1,1)-- 答案：C ．解析：【知识点】直线交点． 【解题过程】联立求解． 点拨：联立求解．2.直线12:10,:2220l x y l x y --=--=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．平 C ．重合 D ．不确定 答案：C ．解析：【知识点】直线位置关系． 【解题过程】直线方程相同，直线重合． 点拨：直线方程相同．3.两点(1,1),(3,4)-间的距离为（ ） A ．5 B ．C ．3D．答案：A ．解析：【知识点】两点间距离公式．【解题过程】利用两点间距离公式直接求解． 点拨：利用两点间距离公式直接求解． (二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合联立直线方程，认清几何与代数间的联系，体验坐标法的思想★ ●活动① 认清二元一次方程组的解及其几何意义看下表，并填空：【设计意图】通过对二元一次方程组的认识，体会直线方程的解为直线上的点（坐标形式），所以两条直线方程所组成的方程组的解即为两条直线的交点坐标．●活动② 分类讨论，理清直线位置关系研究方程组：11122200A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî的解的个数，解的个数不同对应着直线的不同的位置关系．若方程组没有解，说明两条直线没有交点，则这两条直线平行； 若方程组有唯一解，说明两条直线有唯一交点，则这两条直线相交；若方程组无数解，此时两个方程为同一方程，则这两条直线为同一直线，则这两条直线重合． 【设计意图】分类讨论，从方程的角度再次清楚认识直线间关系．●活动③拓展直线交点问题，研究过已知两直线交点的直线系方程判断直线12:3420,:220l x y l x y +-=++=的位置关系． 两条直线相交，交点为(2,2)-．拓展：当l 变化时，方程342(22)0x y x y l +-+++=表示什么图形？该图形有何特点？ 表示直线，且过定点(2,2)-． 该直线有可能恰好是12,l l 吗？ 可以表示1l ，不能表示2l ． 那你可以得到更一般的结论么？结论：若直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=相交，交点为P ，则过点P 的直线系为：111222()0A x B y C A x B y C l +++++=（2l 除外）．【设计意图】由特殊到一般，认识过定点的直线的方程的共有形式． 探究二 初步认识坐标法，探索两点间距离公式 ●活动① 从特殊到一般、分类讨论研究两点间距离平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离：（1）若12||PP x 轴（即12y y =时），两点12,P P 间的距离为多少呢？ 1212PP x x =-．（2）若12PP y 轴（即12x x =时），两点12,P P 间的距离为多少呢？1212PP y y =-．（3）那一般情况下，两点12,P P 间的距离为多少呢？过12,P P 两点，分别做x 轴，y 轴的垂线，得到垂线的交点为,A B ，则为矩形12P AP B 的对角线，矩形的边长分别为1212,x x y y --，由勾股定理，所以；（4）点(,)P x y 到原点的距离为d ．【设计意图】通过从特殊到一般，不仅要掌握两点间距离公式的一般形式，还应掌握一些特殊形式．●活动② 温故知新，体会向量方法在解析几何中的应用呢？（讨论） （向量方法）122121(,)PP x x y y =--(PP x =【设计意图】初步体会向量方法在解析几何中的应用．探究三 平面几何问题坐标化，利用数形结合处理平面几何问题★▲ ●活动① 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．为将此问题进行坐标化处理，应该如何建立坐标系呢？又该如何处理各点的坐标呢？建立如图所示的坐标系，利用平行四边形的性质设出各点坐标，则四边平方和为222222222()AB AD a b c +=++，由两点间距离公式，得对角线的平方和为222222()()AC BD a b c a b c +=+++-+，所以平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．【设计意图】对两点间距离公式进行简单应用，体会坐标法给证明带来的简洁思路，并让学生体会解析法处理平面几何问题的一般步骤． ●活动② 互动交流、一问多解在向量的学习中，我们学习过平行四边形法则，是否可以用向量方法完成活动①中的证明呢？由平行四边形法则可知AB AD AC +=，平方2222AB AD AB AD AC ++=，AB AD DB -=，平方2222AB AD AB AD DB +-=，将两式相加可得，222222AB AD DB AC +=+，进而命题得证．【设计意图】通过一问多解，拓展学生思维，体会向量方法在平几问题中的强大作用，达到温故而知新的目的． 探究四 师生共研，巩固提升●活动① 巩固基础，检查反馈例1 已知三条直线280,4310,210ax y x y x y ++=+=-=交于一点，则a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．-2【知识点】联立方程组求直线交点． 【数学思想】【解题过程】联立4310210x y x y ì+=ïí-=ïî得交点为(4,2)-，代入280ax y ++=，解得1a =-．【思路点拨】方程组的解即为交点坐标．【答案】B ．同类训练 对任意的实数l ，直线2(22)0y x y l -+++=恒过定点 ． 【知识点】恒过已知两直线交点的直线系． 【数学思想】方程的观点处理几何问题．【解题过程】联立20220y x y ì-=ïí++=ïî，可得定点(2,2)-．【思路点拨】用方程的观点处理直线过定点问题． 【答案】(2,2)-．例2 求经过直线240,50x y x y -+=-+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程为（ ） A ．280x y +-=B ．280x y --=C ．280x y ++=D ．280x y -+=【知识点】直线方程的综合应用． 【数学思想】整体处理．【解题过程】法一、联立直线方程可得交点坐标为(1,6)，所求直线方程可设为20x y m ++=，将(1,6)代入可得8m =-；法二、将直线方程设为24(5)0x y x y l -++-+=，直线斜率221k λλ+=-=+，可得43λ=-，代入化简直线方程为280x y +-=． 【思路点拨】可先整体处理设直线方程可规避解方程组．【答案】A ．同类训练 求经过直线240,50x y x y -+=-+=的交点，且过原点的直线方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．60x y +=D ．60x y -=【知识点】过两直线交点的直线系方程． 【数学思想】整体处理．【解题过程】将直线方程设为24(5)0x y x y l -++-+=，将原点坐标代入，可得45λ=-，代入化简直线方程为60x y -=． 【思路点拨】整体设置直线方程． 【答案】C ．【设计意图】巩固训练．●活动② 强化提升、灵活应用例3 已知两点(1,1),A B -（2,3），在x 轴上求一点P ，（1）使得PB PA +最小； （2）使得PB PA -最大． 【知识点】对称点的坐标的求解，三角形的基本性质，两点间距离公式． 【数学思想】数形结合．【解题过程】点(1,1)A -关于x 轴的对称点为'(1,1)A --，连接'A B ，在三角形'A BP 中，三边基本关系，''PA PB A B +≥,即'PA PB A B +≥，（当三点',,A P B 共线时取等），所以PB PA +的5=，此时P 的坐标为1(,0)4P -；连接BA 并延长x 轴交于点0P ，在三角形ABP 中，三边基本关系，PB PA AB -≤,（当三点,,A P B共线时取等），所以PB PA -的最大值为=，此时P 的坐标为( 2.5,0)P -．【思路点拨】通过对称将距离的最值问题转化为共线问题，再利用两点间距离公式求得最值． 【答案】（1）1(,0)4P -；（2）( 2.5,0)P -．同类训练 已知两点(1,0),(1,3)A B -，在直线y x =上求一点P ，使得PB PA +最小，并求出此时的坐标P ．，11(,)33P ．解析：【知识点】对称点的求解，两点间距离公式，两点间直线距离最短原理． 【数学思想】数形结合．【解题过程】点(1,0)A -关于直线y x =的对称点为'(0,1)A -，，当三点'A PB 共线时取得，此时直线'A B 的方程为41y x =-，联立41y x y x =-⎧⎨=⎩，可得11(,)33P ．点拨：利用对称转化为两点间距离的问题．【设计意图】直线交点与两点间距离公式的综合应用． 3. 课堂总结 知识梳理（1）联立两直线方程：1112220A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî，若方程组有唯一解，此解就是交点的坐标；（2）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ．（3）平面上点(,)P x y 到原点(0,0) 重难点归纳（1）将平面几何问题坐标化，并能用本课所学处理简单的平几问题． （2）在求解距离和最值的问题上，要注意利用对称变换将问题进行转化．（三）课后作业 基础型 自主突破1．直线3y x =+与直线2y x =的交点坐标为_________. 答案：(3,6)．解析：【知识点】直线的交点坐标． 【数学思想】方程的思想【解题过程】联立方程解方程组得(3,6)． 点拨：联立方程．2．两点(2,3),(1,)a 间距离的最小值为_______. 答案：1．解析：【知识点】两点间距离公式． 【数学思想】函数思想【解题过程】2222(21)(3)(3)1d a a =-+-=-+，所以距离的最小值为1． 点拨：求二次函数的最值．3．点,A B 分别在坐标轴上，若AB 的中点坐标为(1,1)答案：解析：【知识点】中点坐标公式与两点间距离公式． 【数学思想】方程思想．【解题过程】设(,0),(0,)A x B y ，则1,122x y==，所以(2,0),(0,2)A B ，可得AB =． 点拨：利用中点坐标公式求出,A B 坐标，再利用距离公式求解．4．若两条直线2,y x y x m =-=-+的交点在第一象限，则实数m 的取值范围为_______． 答案：2m >．解析：【知识点】直线交点． 【数学思想】方程思想．【解题过程】联立方程，直线的交点坐标为22(,)22m m+-，在第一象限2222mm+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得2m>．点拨：联立方程求交点．5．已知平行四边形ABCD的两组对边分别长1,2，若对角线3AC=，则BD=________．答案：1．解析：【知识点】平行四边形四边长与对角线长关系．【解题过程】有平行四边形性质可得222222112210AC BD+=+++=，所以1BD=．点拨：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．6．已知三条直线2380,10,0x y x y x ky++=--=+=交于一点，则k=________．答案：12k=-．解析：【知识点】直线交点．【数学思想】方程思想．【解题过程】联立238010x yx y++=⎧⎨--=⎩可得交点为(1,2)--，代入0x ky+=，可得12k=-．点拨：联立解方程然后代入求解．能力型师生共研7．()f x=）A．1 B．2C．D．4答案：C．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】数形结合．【解题过程】()f x=，所以()f x的几何意义为(,0)x到点(1,1),(1,1)--的距离之和，由数形结合可得()f x=．点拨：将问题转化为几何问题，利用两点间直线距离最短求得．8．点(cos ,sin ),(1,2)θθ之间距离的最小值为_______．1-．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】函数思想．【解题过程】d ===所以d 的最小值为1d ==-．点拨：将问题转化为三角函数的最值问题．探究型 多维突破9．求过直线20,60x y x y -=+-=的交点且与直线3x y =垂直的直线方程．答案：310y x =-+．解析：【知识点】直线交点．【数学思想】方程思想，待定系数．【解题过程】由于直线与直线3x y =垂直，所以它的斜率为3-，法一，直线20,60x y x y -=+-=的交点为(2,4)，由点斜式可得43(2)y x -=--，即310y x =-+；法二，设所求直线方程为2(6)0x y x y λ-++-=，它的斜率为231k λλ+==--，解得52λ=，代入化简得310y x =-+．点拨：可考虑整体设置方程，待定系数求解． 10．已知平行四边形的两条边所在直线方程为10,340x y x y +-=-+=，且它的对角线的交点是(3,3)M ，求这个平行四边形的其他两边所在直线的方程．答案：:3160BC x y --=，:110CD x y +-=．解析：【知识点】直线交点，直线方程．【数学思想】方程思想．【解题过程】如图，联立10,340x y x y +-=-+=，求得37(,)44A -，又由M 为AC 中点，由中点坐标公式解得2717(,)44C ，由平行关系可得1727:3()44BC y x -=-，化简得:3160BC x y --=，同理，可解得:110CD x y +-=．点拨：结合平行关系，利用斜率相等和交点求解．自助餐1．已知点(,5),(0,10)A a B -间的距离为17，则a 的值为_______．答案：8a =．解析：【知识点】两点间距离公式．17=，解得8a =．点拨：列式求解．2．经过两条直线30,230x y x y -+=+-=的交点，且过原点的直线方程为________． 答案：20x y +=．解析：【知识点】过两直线交点的直线系．【数学思想】待定系数．【解题过程】设所求直线方程3(23)0x y x y λ-+++-=，将原点坐标代入得1λ=，所求直线方程为20x y +=．点拨：整体设置直线，求解待定系数．3.经过两条直线23100,3420x y x y -+=+-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为________．答案：2320x y +-=．解析：【知识点】直线间位置关系，直线交点．【数学思想】待定系数．【解题过程】设所求直线方程2310(342)0x y x y λ-+++-=，化简(23)(43)+10x λλ++- 20λ-=，由垂直关系可得3(23)2(43)0x λλ+--=，解得12λ=-，代入整理得直线2320x y +-=．点拨：整体设置直线，求解待定系数．4．点(1,1)P --到曲线1(0)xy x =>上任意一点距离的最小值为________．答案：解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】不等式思想．【解题过程】在曲线上任意取点1(,)x x ，则d ==≥1x =时取得．点拨：列式，利用均值不等式求最值．5．已知,a b 为单位向量，则a b a b -++的最大值为__________．答案：解析：【知识点】平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和．【数学思想】不等式．【解题过程】由向量的平行四边形法则和平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和可知224a b a b -++=，由不等式,2a b a b +>≥，可得a b a b -++的最大值为． 点拨：由平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和得到定值条件，再利用均值不等式求解．6．已知(0,1),(0,1)x y ∈∈，求证：≥． 答案：见解题过程．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】如图所示，(,)P x y 为正方形内任意一点，由根式的几何意义可知，，所以问题转化为求证2PO PA PC PB +++≥，在三角形POB OB上取得，同理，在三角形PAC AC 上取得，所以当P 在,OB AC 交点处11(,)22时，PO PA PC PB +++取得最小值，所以≥． 点拨：利用根式的几何意义将问题转化为几何最值求解．。
