2008年—2013年天津中考压轴题解析
1. (2013·天津)已知抛物线y 1=ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴是直线l ，顶点为点M ．若自变量x 和函数值y 1的部分对应值如下表所示： (Ⅰ)求y 1与x 之间的函数关系式；
(Ⅱ)若经过点T (0，t )作垂直于y 轴的直线l ′，A 为直线l ′上的动点，线段AM 的垂直平分线交直线l 于点B ，点B 关于直线AM 的对称点为P ，记P (x ，y 2)． (1)求y 2与x 之间的函数关系式；
(2)当x
＜y 恒成立，求t 的取值范围．
解：(Ⅰ)∵抛物线经过点(0，9
4
)，
∴c =94
．
∴y 1=ax 2+bx +9
4
，
∵点(–1，0)、(3，0)在抛物线y 1=ax 2+bx +
9
4
上， ∴90499304a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得，3432
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
∴y 1与x 之间的函数关系式为：y 1= –34x 2+32x +9
4
；
(II)∵y 1= –34x 2+32x +9
4，
∴y 1= –3
4
(x –1)2+3，
∴直线l 为x =1，顶点M (1，3)． ①由题意得，t ≠3，
如图，记直线l 与直线l ′交于点C (1，t )，当点A 与点C 不重合时， ∵由已知得，AM 与BP 互相垂直平分， ∴四边形ANMP 为菱形， ∴P A ∥l ，
又∵点P (x ，y 2)， ∴点A (x ，t ) (x ≠1)， ∴PM =P A =|y 2–t |，
过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则点Q (1，y 2)， ∴QM =|y 2–3|，PQ =AC =|x –1|， 在Rt △PQM 中，
∵PM 2=QM 2+PQ 2，即(y 2–t )2=(y 2–3)2+(x –1)2，整理得，y 2=
162t -(x –1)2+3
2
t +， 即y 2=162t -x 2
–13t -x +21062t t
--，
∵当点A 与点C 重合时，点B 与点P 重合， ∴P (1，
3
2
t +)， ∴P 点坐标也满足上式，
∴y 2与x 之间的函数关系式为y 2=
162t -x 2–13t -x +2
1062t
t
-- (t ≠3)； ②根据题意，借助函数图象：
当抛物线y 2开口方向向上时，6–2t ＞0，即t ＜3时，抛物线y 1的顶点M (1，3)，抛物线y 2的顶点(1，
3
2
t +)， ∵3＞32
t +，
∴不合题意，
当抛物线y 2开口方向向下时，6–2t ＜0，即t ＞3时，
y 1–y 2= –34(x –1)2+3–[162t -(x –1)2+3
2t +]
=311
4(3)
t t --(x –1)2+32t -，
若3t –11≠0，要使y 1＜y 2恒成立， 只要抛物线y =
311
4(3)
t t --(x –1)2+32t -开口方向向下，且顶点(1，32t -)在x 轴下方，
∵3–t ＜0，只要3t –11＞0，解得t ＞11
3
，符合题意； 若3t –11=0，y 1–y 2= –13＜0，即t =11
3
也符合题意．
综上，可以使y 1＜y 2恒成立的t 的取值范围是t ≥11
3
．
2. (2012·天津)已知抛物线y =ax 2+bx +c (0＜2a ＜b )的顶点为P (x 0，y 0)，点A (1，y A )、B (0，y B )、 C (－1，y C )在该抛物线上．
(Ⅰ)当a =1，b =4，c =10时，①求顶点P 的坐标；②求
A
B C
y y y -的值；
(Ⅱ)当y 0≥0恒成立时，求
A
B C
y y y -的最小值．
解：(Ⅰ)若a =1，b =4，c =10，此时抛物线的解析式为y =x 2+4x +10. ①∵y =x 2+4x +10=(x +2)2+6，∴抛物线的顶点坐标为P (－2，6). ②∵点A (1，y A )、B (0，y B )、C (－1，y C )在抛物线y =x 2+4x +10上， ∴y A =15，y B =10，y C =7.∴
15
5107A B C y y y ==--.
(Ⅱ)由0＜2a ＜b ，得012b
x a
=-
-＜. 由题意，如图过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1， 则AA 1=y A ，OA 1=1.
连接BC ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ， 则BD =y B －y C ，CD =1.
过点A 作AF ∥BC ，交抛物线于点E (x 1，y E )， 交x 轴于点F (x 2，0).
则∠F AA 1=∠CBD .∴Rt △AF A 1∽Rt △BCD .∴
11AA FA BD CD = ，即2
2111
A B C y x x y y -==--. 过点E 作EG ⊥AA 1于点G ，易得△AEG ∽△BCD . ∴
AG EG BD CD =，即A E
B C
y y y y --=1–x 1. ∵点A (1，y A )、B (0，y B )、C (－1，y C )、E (x 1，y E )在抛物线y =ax 2+bx +c 上， ∴y A =a +b +c ，y B =c ，y C =a －b +c ，y E =ax 12+bx 1+c ，
∴2111()()
1()
a b c ax bx c x c a b c ++-++=---+，化简，得x 12＋x 1－2=0，
解得x 1=－2(x 1=1舍去).∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1. 则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3.∴A
B C
y y y -的最小值为3.
解法2：
(Ⅱ)解：设m ＞0，由于b ＞2a ＞0，令b =2a +m 当y 0≥0恒成立时，应有b 2–4ac ≤0 ∴(2a +m )2–4ac ≤0 ∵a ＞0
∴c ≥2(2)4a m a +=2(2)4a m a +–2m +2m =2
(2)4a m a
-+2m
