2021年天津市中考数学压轴题综合训练及答案详解

2021年天津市中考数学押题考试试卷解析版一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．计算（﹣18）÷（﹣6）2的结果等于 （ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12 解：原式＝﹣18÷36=−12，故选：D ．2．2cos30°的值等于（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2 解：2cos30°＝2×√32=√3． 故选：C ．3．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即14960万千米，数14960万用科学记数法表示为（ ）A ．1.496×107B ．1.496×108C ．1.496×109D ．1.496×1010 解：将14960万用科学记数法表示为1.496×108．故选：B ．4．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A 、不是轴对称图形，不符合题意；B 、是轴对称图形，符合题意；C 、不是轴对称图形，不合题意；D 、不是轴对称图形，不合题意；故选：B ．5．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A．B．C．D．解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层左边一个小正方形．故选：A．6．估计√41−2的值在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间解：∵6＜√41＜7，∴4＜√41−2＜5，∴√41−2在4和5之间，故选：B．7．在反比例函数y=1−3kx的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当0＞x1＞x2时，有y1＞y2，则k的取值范围是（）A．k≤13B．k＜13C．k≥13D．k＞13解：∵反比例函数y=1−3kx的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当0＞x1＞x2时，有y1＞y2，∴1﹣3k＜0，解得，k＞1 3，故选：D．8．一个圆的内接正三边形的边长为2√3，则该圆的内接正方形的边长为（）A．√2B．4C．2√3D．2√2解：如图，连接OC，OA，OB，过O作OG⊥CD于G，。

2021年天津市中考中考数学试卷1.计算的结果等于( )A. B. 2 C. D. 152.的值等于( )A. B. C. 1 D. 23.据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人.将141178用科学记数法表示应为( )A. B. C. D.4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )A. B. C. D.5.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )A.B.C.D.6.估算的值在( )A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间7.方程组的解是( )A. B. C. D.8.如图，▱的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是( )A. B. C. D.9.计算的结果是( )A. 3B.C. 1D.10.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )A. B. C. D.11.如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是( )A.B.C.D.12.已知抛物线是常数，经过点，，当时，与其对应的函数值有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③其中，正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 313.计算的结果等于______ .14.计算的结果等于______ .15.不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______ .16.将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______ .17.如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且，，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为______ .18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上.线段AC的长等于______ ；以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的不要求证明______ .19.解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答.解不等式①，得______ ；解不等式②，得______ ；把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：原不等式组的解集为______ .20.某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量单位：根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：本次接受调查的家庭个数为______ ，图①中m的值为______ ；求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数.21.已知内接于，，，点D是上一点.如图①，若BD为的直径，连接CD，求和的度数；如图②，若，连接AD，过点D作的切线，与OC的延长线交于点E，求的度数.22.如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号.一艘救生船位于灯塔C的南偏东方向上，同时位于A处的北偏东方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援.求AB的长结果取整数参考数据：，取23.在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校.给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离y km与离开学校的时间x h之间的对应关系.请根据相关信息，解答下列问题：填表：离开学校的时间13离学校的距离2____________12______填空：①书店到陈列馆的距离为______ km；②李华在陈列馆参观学习的时间为______ h；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______ ；④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为______当时，请直接写出y关于x的函数解析式.24.在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点如图①，求点B的坐标；将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，设，矩形与重叠部分的面积为①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当时，求S的取值范围直接写出结果即可25.已知抛物线为常数，经过点，顶点为当时，求该抛物线的顶点坐标；当时，点，若，求该抛物线的解析式；当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点.当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标.答案和解析1.【答案】C【解析】解：，故选：根据有理数的乘法法则计算可得．本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．2.【答案】A【解析】解：故选：直接利用特殊角的三角函数值得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．3.【答案】B【解析】解：故选：科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．4.【答案】A【解析】解：是轴对称图形，故此选项符合题意；B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：利用轴对称图形的定义进行解答即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．5.【答案】D【解析】解：从正面看，从左到右有三列，每列的小正方形的个数分别为1、2、故选：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．6.【答案】C【解析】解：，，，，的值在4和5之间．故选：本题需先判断17在哪两个平方数之间，再求出的范围．本题主要考查了估算无理数的大小，运用夹逼法即可解决问题．7.【答案】B【解析】解：由②-①，得：，，把代入①式，得：，解得：，所以，原方程组的解为故选：可以用代入消元法解二元一次方程组或者用加减消元法解二元一次方程组．本题主要考查了学生对解方程组方法的掌握情况．用代入法解方程组的时候建议选择系数绝对值最小的项转化，再代入求解；用加减消元不要急着加减，先观察消哪一个未知数最方便，解完方程组之后，一定要进行最后一步，写解．注意，①算完之后最好把得出的解代入原方程组验证；②对于选择题来说，实在不会解方程组的同学，可以把选项中的解代入原方程组，一一验证也可得出正确的答案．8.【答案】C【解析】解：，，，四边形ABCD是平行四边形，，点A的坐标为，点D的坐标为，故选：首先根据B、C两点的坐标确定线段BC的长，然后根据A点的坐标向右平移线段BC的长度即可求得点D 的坐标．考查了平行四边形的性质及坐标与图形性质的知识，解题的关键是求得线段BC的长，难度不大．9.【答案】A【解析】解：，故选：根据同分母的分式相减的法则进行计算即可．本题考查了分式的加减，能熟记分式的加减法则是解此题的关键．10.【答案】B【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数的增减性，掌握反比例函数的增减性是解答此题的关键．【解答】解：反比例函数中，，函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．，，点在第二象限，点，在第四象限，故选：11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质的应用，平行线的判定.灵活运用旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质得出，根据已知点A，D，E在同一条直线上，可得出，因此可得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，进而得到，根据平行线的判定定理即可得出结果.【解答】解：由旋转的性质得出，，点A，D，E在同一条直线上，，为等边三角形，，，，故选：12.【答案】D【解析】解：①抛物线是常数，经过点，，，，，当时，与其对应的函数值，，解得：，，，，故①正确；②，，，即，，，，关于x的方程有两个不等的实数根，故②正确；③，，，，，故③正确；故选：①当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出；②将，代入方程，根据根的判别式即可判断；③将，代入，求解后即可判断．本题考查二次函数图象上点的特征，一元二次方程根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．13.【答案】5a【解析】解：故答案为：合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此计算即可．本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．14.【答案】9【解析】解：原式故答案为利用平方差公式计算．本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15.【答案】【解析】解：袋子中共有7个球，其中红球有3个，从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，故答案为：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率16.【答案】【解析】解：将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为，故答案为：根据解析式“上加下减”的原则进行解答即可．本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数解析式“上加下减”的原则是解答此题的关键．17.【答案】【解析】解：如图，以O为原点，垂直AB的直线为x轴，平行AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，正方形ABCD的边长为4，，，点，点，为EF的中点，点，设直线OE解析式为，将点代入得：，解得，直线OE解析式为，令得，点，由两点间距离公式可求得：故答案为：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，平行AB的直线为y轴，由已知可得点，点，又G为EF的中点，得点，设直线OE解析式为，可得，从而得点，所以本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，求出点G和点H的坐标．18.【答案】解：故答案为：如图，点P即为所求．如图，取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为的中位线，则，连接FG延长FG交AB于点P，则，，即≌，则点P即为所求．【解析】利用勾股定理求解即可．取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC 交BE的的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19.【答案】解：解不等式①，得；解不等式②，得；把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：原不等式组的解集为故答案为：，，【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.【答案】解：本次接受调查的家庭个数为：个；，即；故答案为：50，20；这组月均用水量数据的平均数是：，出现了16次，出现的次数最多，这组数据的众数是6t；将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6，这组数据的中位数是【解析】根据每月用水5t的户数和所占的百分比即可得出接受调查的家庭个数，再用每月用水的户数除以总户数，即可得出m的值；根据平均数、众数和中位数的定义即可求解．本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．21.【答案】解：，，，为直径，，；；如图②，连接OD，，四边形ABCD为的内接四边形，，，，为切线，，，【解析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再根据圆周角定理得到，，利用互余计算出的度数，利用圆周角定理计算的度数，从而得到的度数；连接OD，利用平行线的性质得到，利用圆内接四边形的性质计算出，再根据三角形内角和计算出，接着利用圆周角定理得到，然后根据切线的性质得到，最后利用互余计算出的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．22.【答案】解：如图，过点B作，垂足为H，由题意得，，，，在中，，，，，在中，，，又，，所以，海里答：AB的长约为168海里．【解析】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可．本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．23.【答案】解：由题意得：当时，；当时，；当时，；故答案为：10；12；20；由题意得：①书店到陈列馆的距离为：；②李华在陈列馆参观学习的时间为：；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为：；④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为：或，故答案为：①8；②3；③28；④或；当时，；当时，；当时，设y关于x的函数解析式为，根据题意，得：，解得，，综上所述，【解析】根据函数图象横、纵坐标表示的意义填空即可；根据函数图象横、纵坐标表示的意义填空即可；根据分段函数，利用待定系数法求解即可．本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键．24.【答案】解：如图①，过点B作，垂足为H，由点，得，，，，点B的坐标为；①由点，得，由平移知，四边形是矩形，得，，，，，，，，，，，，即；②当时，由①知，当时，S有最大值为，当时，S有最小值为，此时；当时，如图2，令与AB交于点M，与DB交于点N，，此时，当时，S有最大值为，当时，S有最小值为，；当时，如图3，令与AB交于点M，此时点位于第二象限，，此时，当时，S有最小值为，当时，S有最大值为，；综上，S的取值范围为；的取值范围为【解析】作于H，根据已知数据计算出OH和BH即可得出B点坐标；①先用t表示出三角形的面积，再根据阴影部分的面积等于三角形AOB的面积减三角形的面积得出函数关系式即可；②根据函数的性质求出S在范围内的最大值和最小值即可得出取值范围．本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握二次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．25.【答案】解：抛物线为常数，经过点，则，当时，抛物线的表达式为，故抛物线的顶点坐标为；，故点，由得：，即，解得或，故抛物线的表达式为或；将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点，作点F关于x轴的对称点，则点的坐标为，当满足条件的点M落在上时，由图象的平移知，故此时最小，理由：为最小，即，则，解得舍去或，则点、的坐标分别为、，由点、的坐标得，直线的表达式为，当时，，解得，则，即点M的坐标为、点N的坐标为【解析】由，即可求解；由得：，则，即可求解；当满足条件的点M落在上时，由图象的平移知，故此时最小，进而求解．本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，两点之间的距离，图形的平移以及最短路径问题．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。

综合探究类1．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E 与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF= ．操作与探究：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．【解析】（1）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==， ∴90C F FAC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACBF 是矩形，AB=4∴，∴AB=CF=4；故答案为：矩形，4 ； （2）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==， ∴//BC EF ，∴四边形ECBF 是平行四边形，点E 与AB 的中点重合，∴CE=BE ，∴CBE △是等边三角形，∴EC=BC ，∴四边形ECBF 是菱形，∴CF 与EB 互相垂直且平分，∴OC EC ==∴CF =，故答案为：菱形，（3）证明：如图所示：∵90,3060C A ABC ∠=︒∠=︒∴∠=︒ ∵//,DE BC DEF ABC ≌ ∴60DEB DEF ABC ∠=∠=∠=︒ ∴60AEF ∠=︒∵24,2AB BC AE ==∴= ∵2EF BC AE EF ==∴= ∴AEF ∆为等边三角形 ∴60FAE ABC ∠=︒=∠ ∴//BC AF ∵AE EF BC ==∴四边形ACBF 为平行四边形 ∵90C ∠=︒∴四边形ACBF 为矩形．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，B ，C 为格点，D 为小正方形边的中点.（1）AC的长等于_________；+取得最小值时，请在如图所示（2）点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，当PD PQ的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段PD，PQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（不要求证明）.【解析】解：（1）由图可得：5=，故答案为：5；（2）如图，BC与网格线相交，得点P；取格点E，F，连接EF，与网格线相交，得点G，取格点M，N，连接MN，与网格线相交，得点H，连接GH，与AC相交，得点Q.连接PD，PQ.线段PD，PQ即为所求.如图，延长DP，交网格线于点T，连接AB，GH与DP交于点S，由计算可得：，，AC=5，∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，∴tan∠ACB=2，∵tan∠BCT=PT：TC=2，∴∠ACB=∠BCT，即BC平分∠ACT，根据画图可知：GH∥BC，∴∠ACB=∠CQH，∠BCT=∠GHC，∵∠BCT=∠BCA，∴∠CQH=∠GHC，∴CQ=CH，由题意可得：BS=CH，∴BS=CQ，又∵BP=CP，∠PBS=∠PCQ，∴△BPS≌△CPQ，∴∠PSB=∠PHC=90°，即PQ⊥AC，∴PD+PQ的最小值即为PD+PT，∴所画图形符合要求.3．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理； 数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）． 【解析】（1）解：如图3所示，图形的面积表示为：2222122a b ab a b ab ++⨯=++， 图形的面积也可表示：22122c ab c ab +⨯=+， ∴a 2b 2ab c 2ab ，∴a2b2c 2（2）解：如图4所示，大正方形的面积表示为：a b2，大正方形的面积也可以表示为：221422c ab c ab +⨯=+，∴22a b c ab+=+，()2∴a2b22ab c22ab，∴a2b2c2；4．综合与探究（实践操作）三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．（问题发现）（1）①填空：如图1，若∠ACB＝145°，则∠ACE的度数是，∠DCB的度数，∠ECD的度数是．②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．（类比探究）（2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．【解析】解：（1）①1459055∠=∠︒︒︒=﹣=，ACE DCB==﹣；∠∠-∠︒︒=︒ECD BCE BCD905535②结论：ACE DCB=；∠+∠︒ACB ECD∠=∠，180证明：∵90∠=∠-∠=∠-︒DCB ACB ACD ACB∠=∠-∠=∠-︒，90ACE ACB BCE ACB∴ACE DCB∠=∠∵9090180∠=∠+∠-∠=︒+︒-∠=︒-∠ACB ACD BCE ECD ECD ECD∴180=ACB ECD∠+∠︒（2）结论：当ACD与BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．理由：∵90∠=∠=︒，ACD ECB∴ACD DCE ECB DCE∠+∠=∠+∠，∴ACE DCB∠=∠，∵90∠=∠=︒，ACD ECB∴180=，∠+∠︒ACD ECB∵360=，ACD ECD ECB ACB∠+∠+∠+∠︒∴180ACB ECD=，∠+∠︒∴ACE DCB∠+∠︒=．ACB ECD∠=∠，180∴上述②中发现的结论依然成立．故答案为：（1）①55°，55°，35°；②∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°；（2）当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立，理由详见解析5．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，探究：=.(1)如图②，当点Q在DC上时，求证：PQ PB(2)如图③，当点Q在DC延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.【解析】(1)证明：过点P作//BCMN，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．∴NP=NC=MB∵∠BPQ=90°∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90° ，∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，在△QNP和△BMP中，∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ=BP．(2)成立.过点P作PN AB⊥于N,PN交CD于点M在正方形ABCD中//AB CD,45∠=ACD∴90∠=∠=∠=PMQ PNB CBN∴CBNM是矩形，∴CM BN=，∴CMP∆是等腰直角三角形，∴PM CM BN ==，∵90PBN BPN ∠+∠=，90BPN MPQ ∠+∠=∴MPQ PBN ∠=∠， 在PMQ ∆和BNP ∆中，90MPQ PBN PNB PMQ BN PM ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴()PMQ BNP AAS ∆≅∆， ∴BP QP =；6．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值．【解析】（1）解：∵ABCD 是平行四边形， ∴'////AD BC EA ，'//AE DA ∴四边形'AEA D 是平行四边形∵矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处 ∴'AED A ED ≌ ∴'AE A E = ∵90A ∠=∴四边形AEA D '的形状是正方形故最后答案为：四边形AEA D '的形状是正方形； （2）MC ME '=理由如下：如图，连接EC '，由（1）知：AD AE = ∵四边形ABCD 是矩形， ∴90AD BC EAC B '=∠=∠=︒， 由折叠知：B C BC B B '''=∠=∠， ∴90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒， 又EC C E ''=， ∴Rt EC A Rt C EB '''≌ ∴C EA EC B '''∠=∠ ∴MC ME '=（3）∵Rt EC A Rt C EB '''≌，∴AC B E ''= 由折叠知：B E BE '=，∴AC BE '= ∵2(cm)4(cm)AC DC ''==， ∴()2428cm AB CD ==++=设cm DF x =，则()8cm FC FC x '==-在Rt DC F '中，由勾股定理得：2224(8)x x +=- 解得：3x =，即()3cm DF =如图，延长BA FC '，交于点G ，则AC G DC F ''∠=∠ ∴3tan tan 4AG DF AC G DC F AC DC ''∠=∠==='' ∴3(cm)2AG = ∴3156(cm)22EG =+= ∵//DF EG ，∴DNF ENG ∽ ∴152::3:25DN EN DF EG === 7．综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN 是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．【解析】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等边三角形，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案为：是，等边三角形，60；（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案为：15°；（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四边形ASA 'T 是平行四边形， 又∵AA '⊥ST ，∴边形SATA '是菱形；（4）∵折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A '处， ∴AT ＝A 'T ，在Rt△A 'TB 中，A 'T ＞BT ， ∴AT ＞10﹣AT ， ∴AT ＞5， ∵点T 在AB 上，∴当点T 与点B 重合时，AT 有最大值为10， ∴5＜AT ≤10，∴正确的数值为7，9， 故答案为：7，9． 8．综合与实践 问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，ACD 和BCE 是两个等边三角形纸片，其中，52AC cm BC cm ==,．解决问题（1）勤奋小组将ACD 和BCE 按图1所示的方式摆放(点,,A C B 在同一条直线上) ，连接,AE BD ．发现AE DB =，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将BCE 绕着点C 逆时针方向旋转，当点E 恰好落在CD 边上时，求ABC 的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题： “将BCE 沿CD 方向平移acm 得到''',B C E 连接''AB B C ,，当'AB C △恰好是以'AB 为斜边的直角三角形时，求a 的值．请你直接写出a 的值．【解析】（1）∵ACD 和BCE 是两个等边三角形， ∴AC=CD，BC=CE ，∠ACD=∠ECB=60°， ∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE, 即∠ACE=∠DCB， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=BD；（2）由题意得∠ACD=∠ECB=60°， 过点B 作BF⊥AC，交AC 的延长线于F ，∴∠BCF=180°-∠ACD -∠ECB=60°，∠F=90°， ∴∠CBF=30°， ∴CF=12BC=1cm ，=cm ，∴11522ABCSAC BF =⋅=⨯；（3）由题意得∠ACD=E C B '''∠=60°， ∵∠ACB '=90°， ∴30C CB ''∠=,∵C CB C B C E C B '''''''∠+∠=∠, ∴30C B C ''∠=, ∴C C C B '''==2cm ， ∴a=2.9．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与： （1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号；（3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．【解析】（1）如下图（2）如下图（3）如下图10．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ． （1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦AB与弦CD交于点F；②如图3，弦AB与弦CD不相交：③如图4，点B与点C重合．【解析】解：（1）连接OC、OD，如图：∵AD BD⊥∴AB是直径∴1===OC OD CD∴OCD是等边三角形∴60∠=︒COD∴30∠=︒DBE∴60∠=︒E（2）①结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OD、OC、AC，如图：∵1===OD OC CD∴OCD为等边三角形∴60∠=︒COD∴30DAC∠=︒∴30∠=︒EBD∵90∠=︒ADB∴903060E∠=︒-︒=︒②结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OC、OD，如图：∵AD BD⊥∴AB是直径∴1===OC OD CD∴OCD是等边三角形∴60∠=︒COD∴30∠=︒DBE∴903060∠=︒-︒=︒BED③结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：如图：∵当点B与点C重合时，则直线BE与O只有一个公共点∴EB恰为O的切线∴90∠=︒ABE∵90CD=，2∠=︒，1ADBAD=∴30A∠=︒∴60∠=︒．E故答案是：（1）60∠=︒（2）①结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，E依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．11．综合与实践：折纸中的数学问题背景在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图①所示方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF．这时同学们很快证得：△AEF是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．操作发现(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD 按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF 恰好是等边三角形，求矩形ABCD 的长、宽之比是多少？实践探究(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，如图③，使B 点落在AD 边上的B ′处；沿B ′G 折叠，使D 点落在D ′处，且B ′D ′过F 点．试探究四边形EFGB ′是什么特殊四边形？(3)再探究：在图③中连接BB ′，试判断并证明△BB ′G的形状．【解析】解：（1）矩形ABCD证明：设BE a =，AEF ∆等边三角形，60EAF ∴∠=︒，四边形ABCD 为矩形，90BAD ABE ∴∠=∠=︒，30BAE BAD EAF ∠=∠-∠=︒．在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=︒，30BAE ∠=︒，BE a =，2sin BEAE a BAE ∴==∠，tan BEAB BAE ==∠，AE EC =，3BC BE EC a ∴=+=，∴BCAB ．（2）四边形B EFG '是平行四边形． 证明：四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，B EF BFE ∴∠'=∠，EB F GFB ∠'=∠'，DB G FGB ∠'=∠'．由翻折的特性可知：BFE B FE ∠=∠'，DB G FB G ∠'=∠'，B EF B FE ∴∠'=∠'，FB G FGB ∠'=∠'，又EB F GFB ∠'=∠'，B FE FB G ∴∠'=∠'，//EF B G ∴'，又//B E FG '，∴四边形B EFG '是平行四边形．（3）△BB G '为直角三角形．证明：连接BB '交EF 于点M ，如图所示．//AD BC ，EB B FBB ∴∠'=∠'，BF B F ='，FBB FB B ∴∠'=∠'，EB B FB B ∴∠'=∠'．B EF B FE ∠'=∠'，∴△B EF '为等腰三角形，B M EF ∴'⊥，90∴∠=︒．BMFEF B G'，//∴∠'=∠=︒，90BB G BMF∴△BB G'为直角三角形．12．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．操作发现：（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是cm．【解析】解：操作发现：（1）如图1：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．∴∠B＝∠C，BD＝CD＝8cm，∠BAD＝∠CAD，∵△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，∴C'D＝BD，∵AD⊥BD，A'C'⊥AD，∴A'C'∥BD，∠ADC'＝90°﹣∠C'，∴∠ADC'＝90°﹣∠B，且∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠ADC'＝∠BAD，∴AB∥C'D，∴四边形BDC'E是平行四边形，∵BD＝C'D，∴四边形BEC'D是菱形，故答案为：菱形；（2）如图3，四边形MNDD'是矩形，理由如下：∵BD＝CD，∴BD'＝CD，且∠B＝∠C'，∠MD'B＝∠NDC'∴△MDB'≌△NDC'（ASA）∴MD'＝ND，∵△ACD 沿DB 方向平移，∴MD '∥DN ，∴四边形MNDD '是平行四边形，∵∠BD 'M ＝90°，∴四边形MNDD '是矩形；（3）由图形（1）可得AB ＝10cm ，BD ＝8cm ， ∴AD6cm ，∵四边形MNDD '为正方形，∴D 'M ∥DN ，D 'M ＝D 'D ＝acm ，∴△BD 'M ∽△BDA ， ∴BD MD BD AD''=， ∴886a a -=， ∴a ＝247； （4）如图5，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，∵DP ＝DQ ，∴∠DQP ＝∠DPQ ，QG ＝PG ，又∵∠A ＝∠PDQ ，∴△DQP ∽△AQD ，∴∠ADQ ＝∠DPQ ，2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类（含解析）∴∠ADQ＝∠AQD，∴AQ＝AD＝6，∵∠A＝∠A，∠DGA＝∠BDA，∴△DGA∽△BDA，∴AG AD AD AB=，∴6 610 AG=，∴AG＝185，∴GQ＝AQ﹣AG＝6﹣185＝125，∴PG＝QG＝125，∴AP＝AG﹣PG＝185﹣125＝65，故答案为：65．。

2021年-天津市中考数学试卷及解析本题考查了数的大小关系和估算方法，利用“夹逼法”可以得到估计值在8和9之间，故选D。

7.若，则x的值为（）A。

B。

C。

D。

答案】C解析】分析：根据指数幂的运算法则，化简式子，解方程即可得到x的值．详解：化简式子得到：解方程得到：故选：C．点睛：本题考查了指数幂的运算法则和方程的解法，要注意变底数的化简和方程的解法．8.已知函数f(x)的解析式为f(x)=，则f(1)的值为（）A。

B。

C。

D。

答案】B解析】分析：将x=1代入函数f(x)的解析式中计算即可．详解：将x=1代入f(x)的解析式中计算得到：故选：B．点睛：本题考查了函数的解析式和函数值的计算，要注意代入计算时要认真计算．9.下列四个分数中，和的值最小的是（）A。

B。

C。

D。

答案】C解析】分析：将四个分数通分，比较分子的大小即可得到和的大小关系．详解：将四个分数通分得到：比较分子的大小得到：故选：C．点睛：本题考查了分数的通分和比较大小，要注意通分后比较分子大小，而不是比较分母大小．10.___从家到学校骑车需要20分钟，从学校到家走路需要40分钟，他在家和学校之间来回骑车4次，共用去多少时间？A。

2小时B。

2小时20分钟C。

2小时40分钟D。

3小时答案】B解析】分析：根据题意，计算___骑车和走路所用的总时间即可．详解：___骑车所用的总时间为20×2×4=160分钟；___走路所用的总时间为40×2×4=320分钟；总时间为160+320=480分钟=8小时；故选：B．点睛：本题考查了时间的计算，要注意将时间单位统一换算成分钟，再进行计算．11.下列各组数据的方差最大的是（）A。

B。

C。

D。

答案】D解析】分析：计算各组数据的方差，比较大小即可．详解：各组数据的方差分别为：A组。

B组。

C组。

D组。

可知D组的方差最大，故选：D．点睛：本题考查了方差的计算和大小比较，要注意掌握方差的计算公式和大小比较方法．12.若，则x的值为（）A。

2021年天津市中考数学试题及答案详解（试题部分）一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.计算(－5)×3的结果等于()A.－2B.2C.－15D.152.tan 30°的值等于()A.√33B.√22C.1D.23.据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141 178万人.将141 178用科学记数法表示应为() A.0.141 178×106 B.1.411 78×105C.14.117 8×104D.141.178×1034.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形。

下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是()A B C D5.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是()A B C D6.估计√17的值在()A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间7.方程组{x+y=2,3x+y=4的解是()A.{x=0y=2 B.{x=1y=1C.{x=2y=−2 D.{x=3y=−38.如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是()A.(－4，1)B.(4，－2)C.(4，1)D.(2，1)9.计算3a a-b－3b a-b的结果是( )A.3B.3a+3bC.1D.6a a−b10.若点A(－5，y 1)， B(1，y 2)，C(5，y 3)都在反比例函数y=－5x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A.y 1<y 2<y 3B.y 2<y 3<y 1C.y 1<y 3<y 2D.y 3<y 1<y 211.如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD. 当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是( )A.∠ABC=∠ADCB.CB=CDC.DE+DC=BCD.AB ∥CD12.已知抛物线y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)经过点(－1，－1)，(0，1)，当x=－2时，与其对应的函数值y>1.有下列结论： ①abc>0；②关于x 的方程ax 2+bx+c －3=0有两个不等的实数根； ③a+b+c>7.其中，正确结论的个数是( ) A.0B.1C.2D.3二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 13.计算4a+2a －a 的结果等于 . 14.计算(√10+1)(√10－1)的结果等于 .15.不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别. 从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是.16.将直线y=－6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为.17.如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE=2，DF=1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH. 则GH的长为.18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上.(Ⅰ)线段AC的长等于；(Ⅱ)以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP=AC，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明).三、解答题(本大题共7小题，共66分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19.(本小题8分)解不等式组{x+4≥3,①6x≤5x+3. ②请结合题意填空，完成本题的解答.(Ⅰ)解不等式①，得；(Ⅱ)解不等式②，得；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为.20.(本小题8分)某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量(单位：t). 根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②.图①图②请根据相关信息，解答下列问题：(Ⅰ)本次接受调查的家庭个数为，图①中m的值为；(Ⅱ)求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数.21.(本小题10分)已知△ABC内接于☉O，AB=AC，∠BAC=42°，点D是☉O上一点.(Ⅰ)如图①，若BD为☉O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；(Ⅱ)如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作☉O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小.图①图②22.(本小题10分)如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号. 一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援. 求AB的长(结果取整数).参考数据：tan 40°≈0.84，√3取1.73.23.(本小题10分)在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12 km，陈列馆离学校20 km. 李华从学校出发，匀速骑行0.6 h到达书店；在书店停留0.4 h后，匀速骑行0.5 h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5 h后减速，继续匀速骑行回到学校. 给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离y km与离开学校的时间x h之间的对应关系.请根据相关信息，解答下列问题：(Ⅰ)填表：(Ⅱ)填空：①书店到陈列馆的距离为km；②李华在陈列馆参观学习的时间为h；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为km/h；④当李华离学校的距离为4 km时，他离开学校的时间为h.(Ⅲ)当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式.24.(本小题10分)在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°，BO=BA，顶点A(4，0)，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E(−72,0)，点C 在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B.(Ⅰ)如图①，求点B的坐标；(Ⅱ)将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O'C'D'E'，点O，C，D，E的对应点分别为O'，C'，D'，E'. 设OO'=t，矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分的面积为S.①如图②，当点E'在x轴正半轴上，且矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为四边形时，D'E'与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当52≤t≤92时，求S的取值范围(直接写出结果即可).图①图②25.(本小题10分)已知抛物线y=ax2－2ax+c(a，c为常数，a≠0)经过点C(0，－1)，顶点为D. (Ⅰ)当a=1时，求该抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)当a>0时，点E(0，1+a)，若DE=2√2DC，求该抛物线的解析式；(Ⅲ)当a<－1时，点F(0，1－a)，过点C作直线l平行于x轴，M(m，0)是x轴上的动点，N(m+3，－1)是直线l上的动点. 当a为何值时，FM+DN的最小值为2√10？并求此时点M，N的坐标.2021年天津市中考数学试题及答案详解（答案详解）1.C (－5)×3=－(5×3)=－15，故选C.2.A tan 30°=√33，故选A.3.B 141 178=1.411 78×105，故选B.4.A 观察可知“山”字是轴对称图形，故选A.5.D 主视图是从正面看几何体得到的平面图形，故选D.6.C ∵16<17<25，∴√16<√17<√25，∴4<√17<5，∴√17在4和5之间，故选C.7.B {x +y =2,①3x +y =4,②②－①，得2x=2，解得x=1. 将x=1代入①，得1+y=2，解得y=1. 所以原方程组的解为{x =1,y =1.故选B. 8.C ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ， ∴线段CD 可看作由AB 平移所得. ∵B(－2，－2)，C(2，－2)，∴CD 可看作由AB 向右平移4个单位长度所得. 又∵A(0，1)，∴D(4，1).故选C. 9.A3aa-b －3ba-b=3a-3b a-b=3(a-b)a-b=3.故选A.10.B 将点A(－5，y 1)，B(1，y 2)，C(5，y 3)的坐标代入y=－5x 中，得y 1=－5-5=1，y 2=－51=－5，y 3=－55=－1，∵－5<－1<1，∴y 2<y 3<y 1.故选B. 11.D 解法一：直接法.∵△EDC 是由△BAC 旋转所得，∴CD=CA ，∠EDC=∠BAC=120°，∴∠ADC=180°－∠EDC=180°－120°=60°，∴△ADC 为等边三角形，∴∠DAC=60°，∴∠BAD=∠BAC －∠DAC=120°－60°=60°，∴∠BAD=∠ADC ，∴AB ∥CD ，故选D. 解法二：间接法(排除法).由题意知∠ABC=∠DEC ，又∠ADC=∠DEC+∠DCE>∠ABC ，故A 不正确；由题意知CB=EC ，在△DEC 中，∵∠EDC=120°，∴EC>CD ，即CB>CD ，故B 不正确；DE+DC>EC=BC ，故C 不正确.故选D.12.D 将(－1，－1)，(0，1)代入y=ax 2+bx+c 中，得{c =1,a-b +c =-1,解得{b =a +2,c =1,∴y=ax 2+(a+2)x+1. ∵当x=－2时，y>1，∴y=4a －2(a+2)+1>1，即a>2，∴a>2>0，b=a+2>4>0，c=1>0，∴abc>0，∴①正确.∵b=a+2，c=1，∴方程ax 2+bx+c －3=0可化为ax 2+(a+2)x －2=0，∴Δ=(a+2)2－4·a·(－2)=a 2+4a+4+8a=a 2+12a+36－32=(a+6)2－32.∵a>2，∴(a+6)2－32>0，∴Δ>0，∴方程ax 2+bx+c －3=0有两个不相等的实数根，∴②正确.∵a>2，b=a+2>4，c=1，∴a+b+c>2+4+1=7，即a+b+c>7，∴③正确. 综上所述，①②③正确，故选D. 13.答案 5a解析 4a+2a －a=(4+2－1)a=5a. 14.答案 9解析 (√10+1)(√10－1)=(√10)2－12=10－1=9. 15.答案 37解析 不透明袋子中共有7个球，红球有3个，所以从袋中随机取出1个球是红球的概率为37. 16.答案 y=－6x －2解析 将直线y=－6x 向下平移2个单位长度，得到直线的解析式为y=－6x －2.17.答案√132解析 过点O 作OM ⊥CD 于M ，连接OF.∵四边形ABCD 为正方形，∴易得OM=12AD=12×4=2，∠OMH=∠ECH=90°.∵CE=2，∴OM=CE.∵∠OHM=∠EHC ，∴△OHM ≌△EHC ， ∴OH=HE ，∴点H 为OE 的中点.∵G 为EF 的中点，∴HG 为△EFO 的中位线，∴HG=12OF. 在Rt △OMF 中，OF=√OM 2+MF 2=√22+32=√13， ∴HG=12OF=√132. 18.答案 (Ⅰ)√5(Ⅱ)如图，取BC 与网格线的交点D ，连接OD 并延长，与半圆相交于点E ，连接BE 并延长，与AC 的延长线相交于点F ，连接AE 交BC 于点G ，连接FG 并延长，与AB 相交于点P ，则点P 即为所求解析 (Ⅰ)AC=√22+12=√5.(Ⅱ)理由：由图可知点D 为BC 的中点.∵点O 为AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC ，即OE ∥AF ，∴∠AFB=∠OEB. ∵OE=OB ，∴∠OEB=∠OBE ，∴∠AFB=∠OBE，∴AF=AB.∵AB为☉O的直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BF.∴点E为BF的中点，∴AE垂直平分BF，∴GF=GB，∴∠GFB=∠GBF，∴∠AFB－∠GFB=∠ABE－∠GBF，即∠AFP=∠ABC.在△AFP和△ABC中，{∠AFP=∠ABC, AF=AB,∠PAF=∠CAB,∴△AFP≌△ABC(ASA)，∴AP=AC.19.解析(Ⅰ)x≥－1.(Ⅱ)x≤3.(Ⅲ)(Ⅳ)－1≤x≤3.20.解析(Ⅰ)50，20.详解：由条形统计图知，接受调查的家庭个数为8+12+16+10+4=50，月均用水量为6.5 t的有10个家庭，则占被调查总家庭数的百分比为1050×100%=20%，∴m的值为20.(Ⅱ)∵x=5×8+5.5×12+6×16+6.5×10+7×48+12+16+10+4=5.9，∴这组数据的平均数是5.9.∵在这组数据中，6出现了16次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为6.将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6，有6+62=6，∴这组数据的中位数为6.21.解析(Ⅰ)∵BD为☉O的直径，∴∠BCD=90°.在☉O中，∠BDC=∠BAC=42°，∴∠DBC=90°－∠BDC=48°.∵AB=AC，∠BAC=42°，∴∠ABC=∠ACB=12(180°－∠BAC)=69°.∴∠ACD=∠BCD－∠ACB=21°.(Ⅱ)如图，连接OD.∵CD ∥BA ，∴∠ACD=∠BAC=42°.∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∠ABC=69°，∴∠ADC=180°－∠ABC=111°.∴∠DAC=180°－∠ACD －∠ADC=27°.∴∠DOC=2∠DAC=54°.∵DE 是☉O 的切线，∴DE ⊥OD ，即∠ODE=90°.∴∠E=90°－∠DOE=36°.22.解析 如图，过点B 作BH ⊥CA ，垂足为H.根据题意可知∠BAC=60°，∠BCA=40°，CA=257海里.∵在Rt △BAH 中，tan ∠BAH=BH AH ，cos ∠BAH=AH AB ，∴BH=AH·tan 60°=√3AH ，AB=AH cos60°=2AH.∵在Rt △BCH 中，tan ∠BCH=BH CH ，∴CH=BH tan40°=√3AH tan40°.又CA=CH+AH ，∴257=√3AH tan40°+AH.解得AH=√3+tan40°. ∴AB=√3+tan40°≈2×257×0.841.73+0.84=168(海里).答：AB 的长约为168海里.23.解析 (Ⅰ)10，12，20.(Ⅱ)①8；②3；③28；④15或316.(Ⅲ)当0≤x≤0.6时，y=20x ；当0.6<x≤1时，y=12；当1<x≤1.5时，y=16x －4.24.解析 (Ⅰ)如图，过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H.由点A(4，0)，得OA=4.∵BO=BA ，∠OBA=90°，∴OH=12OA=2.∴BH=12OA=2.∴点B 的坐标为(2，2).(Ⅱ)①由点E (-72,0)，得OE=72.由平移知，四边形O'C'D'E'是矩形，得∠O'E'D'=90°，O'E'=OE=72.∴OE'=OO'－O'E'=t －72，∠FE'O=90°.∵BO=BA ，∠OBA=90°，∴∠BOA=∠BAO=45°.∴∠OFE'=90°－∠BOA=45°.∴∠FOE'=∠OFE'.∴FE'=OE'=t －72.∴S △FOE'=12OE'·FE'=12(t-72)2.∴S=S △OAB －S △FOE'=12×4×2－12(t-72)2，即S=－12t 2+72t －178，其中t 的取值范围是4≤t<112.②238≤S≤6316.提示：当52≤t≤92时需分情况进行讨论.i.当52≤t<72时，S=S △OAB －S △AO'M .当t=52时，S 取最小值238.ii.当72≤t<4时，S=S △OAB －S △AMO'－S △OE'F .当t=154时，S 取最大值6316.iii.当4≤t≤92时，S=S △OAB －S △OE'F .当t=4时，S 取最大值318.通过以上分类讨论可得238≤S≤6316.25.解析 (Ⅰ)当a=1时，抛物线的解析式为y=x 2－2x+c.∵抛物线经过点C(0，－1)，∴0－0+c=－1，解得c=－1.∴抛物线的解析式为y=x 2－2x －1.∵y=x 2－2x －1=(x －1)2－2，∴抛物线的顶点坐标为(1，－2).(Ⅱ)当a>0时，由抛物线y=ax 2－2ax+c 经过点C(0，－1)，可知c=－1.∴抛物线的解析式为y=ax 2－2ax －1.∴抛物线的对称轴为直线x=1.当x=1时，y=－a －1.∴抛物线的顶点D 的坐标为(1，－a －1).过点D 作DG ⊥y 轴于点G.在Rt △DEG 中，DG=1，EG=1+a －(－a －1)=2a+2，∴DE 2=DG 2+EG 2=1+(2a+2)2.在Rt △DCG 中，DG=1，CG=－1－(－a －1)=a ，∴DC 2=DG 2+CG 2=1+a 2.∵DE=2√2DC ，即DE 2=8DC 2，∴1+(2a+2)2=8(1+a 2)，解得a 1=12，a 2=32.∴抛物线的解析式为y=12x 2－x －1或y=32x 2－3x －1. (Ⅲ)当a<－1时，将点D(1，－a －1)向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得点D'(－2，－a).作点F 关于x 轴的对称点F'，得点F'的坐标为(0，a －1).当满足条件的点M 落在线段F'D'上时，FM+DN 最小，此时，FM+DN=F'D'=2√10.过点D'作D'H ⊥y 轴于点H.在Rt △F'D'H 中，D'H=2，F'H=－a －(a －1)=1－2a ，∴F'D'2=F'H 2+D'H 2=(1－2a)2+4.又F'D'2=40，即(1－2a)2+4=40.解得a 3=－52，a 4=72(舍). ∴点F'的坐标为(0,−72)，点D'的坐标为(−2,52)，可得直线F'D'的解析式为y=－3x －72.当y=0时，x=－76.∴m=－76，m+3=116.∴点M 的坐标为(−76,0)，点N 的坐标为(116,−1).。

2021年天津市中考数学押题试卷解析版
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．（3分）在有理数2，0，﹣1，﹣3中，任意取两个数相加，和最小是（）A．2B．﹣1C．﹣3D．﹣4【解答】解：（﹣1）+（﹣3）＝﹣4．
故选：D．
2．（3分）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tan A＝1，sin B=√2
2，你认为△ABC最确切的判断是（）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．锐角三角形
【解答】解：由题意，得
∠A＝45°，∠B＝45°．
∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
故选：B．
3．《战狼2》中“犯我中华者，虽远必诛”，令人动容，热血沸腾．其票房突破56亿元（5600000000元），5600000000用科学记数法表示为（）
A．5.6×109B．5.6×108C．0.56×109D．56×108
【解答】解：5600000000＝5.6×109，
故选：A．
4．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
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天津市2021年中考数学试卷一、单选题1.（2021·天津）计算 (−5)×3 的结果等于（ ）A. -2B. 2C. -15D. 15【答案】 C【考点】有理数的乘法【解析】【解答】解：由题意可知： (−5)×3=−15 ，故答案为：C ．【分析】两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，据此计算即可.2.（2021·天津）tan30° 的值等于（ ）A. √33B. √22C. 1D. 2 【答案】 A【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：由题意可知， tan30°=√33 ， 故答案为：A ．【分析】根据特殊角三角函数值解答即可.3.（2021·天津）据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为（ ）A. 0.141178×106B. 1.41178×105C. 14.1178×104D. 141.178×103【答案】 B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：141178=1.41178×105 ，故答案为：B ．【分析】6科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数，据此解答即可.4.（2021·天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】 A【考点】轴对称图形【解析】【解答】A ．是轴对称图形，故本选项符合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故答案为：A ．【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐一判断即可.5.（2019·天津）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A. B.C. D.【答案】 B【考点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2． 故答案为：B ．【分析】从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2，即可求出这个立体图形的主视图为选项B.6.估算√17的值在（ ）A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间【答案】 C【考点】估算无理数的大小【解析】【分析】因为42＜（√17）＜52,所以√17的值在4和5之间.故选C ．7.（2021·天津）方程组 {x +y =23x +y =4的解是（ ） A. {x =0y =2 B. {x =1y =1 C. {x =2y =−2 D. {x =3y =−3【答案】 B【考点】解二元一次方程组【解析】【解答】{x+y=2⋯⋯①3x+y=4⋯⋯②，②-①得：3x+y−x−y=2，即2x=2，∴x=1．将x=1代入①得：1+y=2，∴y=1．故原二元一次方程组的解为{x=1y=1．故答案为：B．【分析】利用加减法解出方程组，再判断即可.8.（2021·天津）如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0,1),(−2,−2),(2,−2)，则顶点D的坐标是（）A. (−4,1)B. (4,−2)C. (4,1)D. (2,1)【答案】C【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)，∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度，∴A到D也应向右移动4个单位长度，∵点A的坐标为(0，1)，则点D的坐标为(4，1)，故答案为：:C．【分析】根据B、C的坐标及平行四边形的性质，得出点B到点C为水平向右移动4个单位长度，即得A 到D也应向右移动4个单位长度，从而得出点D坐标.9.（2021·天津）计算3aa−b −3ba−b的结果是（）A. 3B. 3a+3bC. 1D. 6aa−b 【答案】A【考点】分式的加减法【解析】【解答】原式=3a−3ba−b，=3(a−b) a−b=3．故答案为：A．【分析】利用同分母分式的减法法则计算即可.10.（2021·天津）若点A(−5,y1),B(1,y2),C(5,y3)都在反比例函数y=−5x的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是（）A. y1<y2<y3B. y2<y3<y1C. y1<y3<y2D. y3<y1<y2【答案】B【考点】反比例函数的性质【解析】【解答】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得：y1=−5−5=1、y2=−51=−5、y3=−55=−1．则y2<y3<y1．故答案为：B．【分析】将点ABC的横坐标分别代入反比例函数解析式中，求出y1,y2,y3的值，然后比较即可.11.（2021·天津）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）A. ∠ABC=∠ADCB. CB=CDC. DE+DC=BCD. AB∥CD【答案】 D【考点】旋转的性质【解析】【解答】由旋转可知∠EDC=∠BAC=120°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC=180°−∠EDC=60°，∵∠ABC<60°，∴∠ABC≠∠ADC，故A不符合题意；由旋转可知CB=CE，∵∠EDC=120°为钝角，∴CE>CD，∴CB>CD，故B不符合题意；∵DE+DC>CE，∴DE+DC>CB，故C不符合题意；由旋转可知DC=AC，∵∠ADC=60°，∴△ADC为等边三角形，∴∠ACD=60°．∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB//CD，故D符合题意；故答案为：D．【分析】由旋转可知∠EDC=∠BAC=120°，求出∠ADC=180°−∠EDC=60°，据此判断A；由旋转可知CB=CE，在△EDC中，∠EDC=120°，可得CE>CD，据此判断B；在△EDC中，由DE+DC>CE，可得DE+DC>CB，据此判断C；可证△ADC为等边三角形，可得∠ACD=60°，从而得出∠ACD+∠BAC=180°，可证AB//CD，据此判断D.12.（2021·天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）经过点(−1,−1),(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1．有下列结论：① abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根；③ a+b+c>7．其中，正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】 D【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）经过点(−1,−1),(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1．∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1，∴a-b= -2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵ax2+bx+c−3=0,∴△= b2−4a(c−3)= b2+8a＞0,∴ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故答案为：D．【分析】①当x=0时，c=1，由点（-1，-1）得a=b-2，由x=-2时，与其对应的函数值y＞1可得b＞4，进而得出abc＞0，据判断即可；②将a=b-2，c=1代入方程，根据根的判别式即可判断；③将a=b-2，c=1代入a+b+c，求解后即可判断.二、填空题13.（2021·天津）计算4a+2a−a的结果等于________．【答案】5a【考点】合并同类项法则及应用【解析】【解答】4a+2a−a=(4+2−1)a=5a故答案为：5a．【分析】利用合并同类项法则进行计算即可.14.（2021·天津）计算(√10+1)(√10−1)的结果等于________．【答案】9【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】(√10+1)(√10−1)=(√10)2−1=9．故答案为9．【分析】利用平方差公式计算即可.15.（2020·通辽模拟）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是________．【答案】37【考点】概率公式【解析】【解答】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是3，7．故答案为：37【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．16.（2021·天津）将直线y=−6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为________．【答案】y=−6x−2【考点】待定系数法求一次函数解析式，平移的性质【解析】【解答】将直线y=-6x向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为y=-6x-2．故答案为y=-6x-2．【分析】一次函数上下平移，上加下减，据此解答即可.17.（2021·天津）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC,BD相交于点O，点E，F分别在BC,CD的延长线上，且CE=2,DF=1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为________．【答案】 √132【考点】正方形的性质，四边形的综合【解析】【解答】解:如图,作OK ⊥BC ，垂足为点K ，∵正方形边长为4，∴OK=2，KC=2，∴KC=CE ，∴CH 是△OKE 的中位线∴ CH =12OK =1 ，作GM ⊥CD ，垂足为点M ，∵G 点为EF 中点，∴GM 是△FCE 的中位线，∴ GM =12CE =1 ， MC =12FC =12(CD +DF)=12×(4+1)=52 ， ∴ MH =MC −HC =52−1=32， 在Rt △MHG 中， GH =√MH 2+MG 2=√(32)2+12=√132， 故答案为： √132 ． 【分析】作OK ⊥BC ，垂足为点K ，根据正方形的性质得出OK=2，KC=2，利用三角形中位线定理可得CH =12OK =1 ，作GM ⊥CD ，垂足为点M ，利用三角形中位线定理可得GM =12CE =1 ， 从而求出MC =12FC =12(CD +DF)=52 ， 继而得出MH=MC-CH=32 ， 利用勾股定理求出GH 的长.18.（2021·天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， △ABC 的顶点A ，C 均落在格点上，点B 在网格线上．（Ⅰ）线段 AC 的长等于________； （Ⅱ）以 AB 为直径的半圆的圆心为O ，在线段 AB 上有一点P ，满足 AP =AC ，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）________．【答案】 √5；如图，取 BC 与网格线的交点D ，则点D 为BC 中点，连接 OD 并延长，与半圆相交于点E ，连接 BE 并延长，与 AC 的延长线相交于点F ，则OE 为 △BFA 中位线，且 AB =AF ，连接 AE 交 BC 于点G ，连接 FG 并延长，与 AB 相交于点P ，因为 △FAP ≌△BAC ，则点P 即为所求．【考点】圆的综合题【解析】【解答】解：（Ⅰ）∵每个小正方形的边长为1，∴ AC =√12+22=√5 ，故答案为： √5 ；【分析】（1）利用勾股定理求出AC 的长；（2） 取 BC 与网格线的交点D ，则点D 为BC 中点，连接 OD 并延长，与半圆相交于点E ，连接 BE 并延长，与 AC 的延长线相交于点F ，连接 FG 并延长，与 AB 相交于点P ，则点P 即为所求.三、解答题19.（2021·天津）解不等式组{x+4≥3,①6x≤5x+3.②请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得________；（Ⅱ）解不等式②，得________；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：________；（Ⅳ）原不等式组的解集为________．【答案】x≥−1；x≤3；；−1≤x≤3．【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组【解析】【解答】（Ⅰ）解不等式x+4≥3，得：x≥−1．故答案为：x≥−1；（Ⅱ）解不等式6x≤5x+3，得：x≤3．故答案为：x≤3；（Ⅲ）在数轴上表示为：；（Ⅳ）原不等式的解集为−1≤x≤3．故答案为：−1≤x≤3．【分析】分别求出两个不等式的解集，再将不等式的解集表示在数轴上，两解集的公共部分即为不等式组的解集.20.（2021·天津）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的家庭个数为________，图①中m的值为________；（2）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．【答案】（1）50；20（2）观察条形统计图，∵x̅=5×8+5.5×12+6×16+6.5×10+7×4=5.9，50∴这组数据的平均数是5.9．∵在这组数据中，6出现了16次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为6．∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6，=6，即有6+62∴这组数据的中位数为6．【考点】扇形统计图，条形统计图，加权平均数及其计算=50，【解析】【解答】（1）本次接受调查的家庭个数= 816%×100%=m%，由题意可知1050解得m=20．故答案为50，20．【分析】（1）利用日均用水量为5t的人数除以其百分比，即得抽查家庭的总个数；利用日均用水量为6.5t 的人数除以样本容量，即得m值；（2）根据众数、中位数、平均数的定义进行求解即可.21.（2021·天津）已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=42°，点D是⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，若CD// BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E 的大小．【答案】（Ⅰ）BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°．∵在⊙O中，∠BDC=∠BAC=42°，∴∠DBC=90°−∠BDC=48°；∵AB=AC，∠BAC=42°，∴∠ABC=∠ACB=1(180°−∠BAC)=69°．2∴∠ACD=∠BCD−∠ACB=21°．（Ⅱ）如图，连接OD．∵CD∥BA，∴∠ACD=∠BAC=42°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=69°，∴∠ADC=180°−∠ABC=111°．∴∠DAC=180°−∠ACD−∠ADC=27°．∴∠DOC=2∠DAC=54°．∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，即∠ODE=90°．∴∠E=90°−∠DOE=36°．【考点】圆的综合题【解析】【分析】（1）根据BD是圆O的直径，得出∠BCD=90°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC=42°，从而求出∠DBC=48°，利用等腰三角形及三角形内角和定理得出∠ABC=∠ACB=69°，由∠ACD=∠BCD-∠ACB计算即得结论；（2）连接OD，利用平行线的性质得出∠ACD=∠BAC=42°，根据圆内接四边形对角互补可得∠ADC=180°−∠ABC=111°，由三角形内角和得出∠DAC=180°−∠ACD−∠ADC=27°，根据圆周角定理得出∠DOC=2∠DAC=54°，根据切线的性质得出∠ODE=90°，利用∠E=90°-∠DOE计算即得结论．22.（2021·天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）．参考数据：tan40°≈0.84，√3取1.73．【答案】如图，过点B作BH⊥CA，垂足为H．根据题意，∠BAC=60°,∠BCA=40°,CA=257．∵在Rt△BAH中，tan∠BAH=BHAH ，cos∠BAH=AHAB，∴BH=AH⋅tan60°=√3AH,AB=AHcos60°=2AH．∵在Rt△BCH中，tan∠BCH=BHCH，∴CH=BHtan40°=√3AHtan40°．又CA=CH+AH，∴257=√3AHtan40°+AH．可得AH=√3+tan40°．∴AB=°√3+tan40°≈2×257×0.841.73+0.84=168．答：AB的长约为168海里．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【分析】过点B作BH⊥CA，垂足为H．在Rt△BAH中，求出BH=AH⋅tan60°=√3AH,∴AB=AHcos60°=2AH，在Rt△BCH中，求出CH=BHtan40°=√3AHtan40°，根据CA=CH+AH=257 ，列出方程，求出AH，从而求出AB的长即可.23.（2021·天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离y km与离开学校的时间x h之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填表（2）填空：①书店到陈列馆的距离为________ km；②李华在陈列馆参观学的时间为________h；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为________ km/h；④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为________h．（3）当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．【答案】（1）10，12，20（2）8；3；28；15或316（3）当0≤x≤0.6时，y=20x；当0.6<x≤1时，y=12；当1<x≤1.5时，y=16x−4．【考点】待定系数法求一次函数解析式，通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】对函数图象进行分析：①当0≤x≤0.6时，设函数关系式为y=kx，由图象可知，当x=0.6时，y=12，则12=0.6k，解得k=20∴当0≤x≤0.6时，设函数关系式为y=20x②由图象可知，当0.6<x≤1时，y=12③当 1<x ≤1.5 时，设函数关系式为 y =kx +b ，由图象可知，当x=1时，y=12；当x=1.5时，y=20，则 {k +b =121.5k +b =20 ，解得 {k =16b =−4∴当 1<x ≤1.5 时，设函数关系式为 y =16x −4 ④由图象可知，当 1.5≤x ≤4.5 时， y =20⑤当 4.5<x ≤5 时，设函数关系式为 y =kx +b ，由图象可知，当x=4.5时，y=20；当x=5时，y=6， 则 {4.5k +b =205k +b =6 ，解得 {k =−28b =146∴当 4.5<x ≤5 时，设函数关系式为 y =−28x +146⑥当 5<x ≤5.5 时，设函数关系式为 y =kx +b ，由图象可知，当x=5时，y=6；当x=5.5时，y=0， 则 {5k +b =65.5k +b =0 ，解得 {k =−12b =66∴当 5<x ≤5.5 时，设函数关系式为 y =−12x +66 （1）∵当 0≤x ≤0.6 时，函数关系式为 y =20x ∴当x=0.5时， y =20×0.5=10 ．故第一空为10． 当 0.6<x ≤1 时， y =12 ．故第二空为12． 当 1.5<x ≤4.5 时， y =20 ．故第二空为20．（2）①李华从学校出发，匀速骑行 0.6h 到达书店；在书店停留 0.4h 后，匀速骑行 0.5h 到达陈列馆．由图象可知书店到陈列馆的距离 20−12=8 ；②李华在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校．由图象可知李华在陈列馆参观学的时间 4.5−1.5=3 ；③当 4.5<x ≤5 时，设函数关系式为 y =−28x +146 ，所以李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为28；④当李华离学校的距离为 4km 时， 0≤x ≤0.6 或 5<x ≤5.5 由上对图象的分析可知：当 0≤x ≤0.6 时，设函数关系式为 y =20x 令 y =4 ，解得 x =15当 5<x ≤5.5 时，设函数关系式为 y =−12x +66 令 y =4 ，解得 x =316∴当李华离学校的距离为 4km 时，他离开学校的时间为 15 或 316．（3）由上对图象的分析可知： 当 0≤x ≤0.6 时， y =20x ； 当 0.6<x ≤1 时， y =12 ； 当 1<x ≤1.5 时， y =16x −4 ．【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法分别求出每段函数解析式，根据表格中的x 值，代入相应的解析式，得到y 值即可；（2）①根据图象直接得出结论；②根据图象直接得出结论；③当根据4.5<x≤5时的函数解析式即可求出结论；④当李华离学校的距离为4km时，分0≤x≤0.6或5<x≤5.5两种情况：将y=4分别代入相应的解析式，分别求出x值即可；（3）利用待定系数法分别求出当0≤x≤0.6时，当0.6<x≤1时，当1<x≤1.5时的解析式即可.24.（2021·天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°,BO= BA，顶点A(4,0)，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E(−72,0)，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′，设OO′=t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当52≤t≤92时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】解：(I)如图，过点B作BH⊥OA，垂足为H．由点A(4,0)，得OA=4．∵BO=BA,∠OBA=90°，∴OH=12OA=2．又∠BOH=45°，∴△OBH为等腰直角三角形，∴BH=OH=2．∴点B的坐标为(2,2)．(II)①由点E(−72,0)，得OE=72．由平移知，四边形O′C′D′E′是矩形，得∠O′E′D′=90°,O′E′=OE=72．∴OE′=OO′−O′E′=t−72，∠FE′O=90°．∵BO=BA，∠OBA=90°，∴∠BOA=∠BAO=45°．∴∠OFE′=90°−∠BOA=45°∴∠FOE′=∠OFE′．∴FE′=OE′=t−72．∴S△FOE′=12OE′⋅FE′=12(t−72)2．∴S=S△OAB−S△FOE′=12×4×2−12(t−72)2．整理后得到：S=−12t2+72t−178．当O′与A重合时，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时OO′=t=4，当D′与B重合时，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到E′与A点重合，如下图(2)所示：此时t=OO′=DD′=72+2=112，∴t的取值范围是4≤t<112，故答案为：S=−12t2+72t−178，其中：4≤t<112；②当52≤t≤72时，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积如下图3所示：此时AO′=4−t，∠BAO=45°，△AO′F为等腰直角三角形，∴AO′=FO′=4−t，∴S△AO′F =12AO′⋅FO′=12(4−t)2=12t2−4t+8，∴重叠部分面积S=S△AOB−S△AO′F =4−(12t2−4t+8)=−12t2+4t−4，∴S是关于t的二次函数，且对称轴为t=4，且开口向下，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将t=72代入，得到最大值S=−12×(72)2+4×72−4=318，将t=52代入，得到最小值 S =−12×(52)2+4×52−4=238，当 72<t ≤92 时，矩形 O ′C ′D ′E ′ 与 △OAB 重叠部分的面积如下图4所示：此时 AO ′=OA −OO ′=4−t =FO ′ ， OE ′=EE ′−EO =t −72=ME ′ △AO ′F 和 △OE ′M 均为等腰直角三角形，∴ S △AO ′F =12AO ′⋅FO ′=12(4−t)2=12t 2−4t +8 ， S △OE ′M =12OE ′⋅ME ′=12(t −72)2=12t 2−72t +498，∴重叠部分面积 S =S △AOB −S △OE ′M −S △AO ′F =4−(12t 2−4t +8)−(12t 2−72t +498)=−t 2+152t −818，∴ S 是关于 t 的二次函数，且对称轴为 t =154，且开口向下，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将 t =154 代入，得到最大值 S =−(154)2+152×154−818=6316，将 t =92 代入， 得到最小值 S =−(92)2+152×92−818=278，∵278>238， 6316>318，∴ S 的最小值为 238，最大值为 6316 ， 故答案为：238≤S ≤6316 ．【考点】二次函数-动态几何问题，动点问题的函数图象，二次函数的其他应用【解析】【分析】（1） 过点B 作 BH ⊥OA ， 垂足为H ． 根据等腰三角形的性质得出OH =12OA =2 ， 可求△OBH为等腰直角三角形，可得BH=OH=2，即得点B坐标；25.（2021·天津）已知抛物线y=ax2−2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C(0,−1)，顶点为D．（Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当a>0时，点E(0,1+a)，若DE=2√2DC，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当a<−1时，点F(0,1−a)，过点C作直线l平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动点，N(m+ 3,−1)是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2√10，并求此时点M，N的坐标．【答案】（Ⅰ）当a=1时，抛物线的解析式为y=x2−2x+c．∵抛物线经过点C(0,−1)∴0−0+c=−1解得：c=−1∴抛物线的解析式为y=x2−2x−1∵y=x2−2x−1=(x−1)2−2∴抛物线的顶点坐标为(1,−2)；（Ⅱ）当a>0时，由抛物线y=ax2−2ax+c经过点C(0,−1)，可知c=−1∴抛物线的解析式为y=ax2−2ax−1∴抛物线的对称轴为：x=1当x=1时，y=−a−1∴抛物线的顶点D的坐标为(1,−a−1)；过点D作DG⊥y轴于点G在Rt△DEG中，DG=1，EG=1+a−(−a−1)=2a+2，∴DE2=DG2+EG2=1+(2a+2)2在Rt△DCG中，DG=1，CG=−1−(−a−1)=a，∴DC2=DG2+CG2=1+a2．∵DE=2√2DC，即DE2=8DC2，∴1+(2a+2)2=8(1+a2)解得：a1=12，a2=32∴抛物线的解析式为y=12x2−x−1或y=32x2−3x−1．（Ⅲ）当a<−1时，将点D(1,−a−1)向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得D′(−2,−a)．作点F关于x轴的对称点F′，得点F′的坐标为(0,a−1)当满足条件的点M落在线段F′D′上时，FM+DN最小，此时，FM+DN=F′D′=2√10．过点D′作D′H⊥y轴于点H在Rt△FD′H中，D′H=2，F′H=−a−(a−1)=1−2a，∴F′D′2=F2H2+D′H2=(1−2a)2+4．又F′D′2=40，即(1−2a)2+4=40．解得：a1=−52，a2=72（舍）∴点F′的坐标为(0,−72)，点D′的坐标为(−2,52)．∴直线F′D′的解析式为y=−3x−72．当y=0时，x=−76．∴m=−76，m+3=116∴点M的坐标为(−76,0)，点N的坐标为(116,−1)．【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题，二次函数的其他应用【解析】【分析】（Ⅰ）将a=1,C (0,-1)代入抛物线解析式中，可求出y=x2−2x−1=(x−1)2−2，即得顶点坐标；（Ⅱ）先求出抛物线的解析式为y=ax2−2ax−1，可得顶点D的坐标为(1,−a−1)，过点D作DG⊥y轴于点G，由于DE2=8DC2及勾股定理可得1+(2a+2)2=8(1+a2)，求出a值，即得结论；（Ⅲ）当a<−1时，将点D(1,−a−1)向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得D′(−2,−a)．作点F关于x轴的对称点F′，得点F′的坐标为(0,a−1)当满足条件的点M落在线段F′D′上时，FM+DN最小，此时，FM+DN=F′D′=2√10，过点D′作D′H⊥y轴于点H，利用勾股定理建立方程，求出a值，即得F′、D′的坐标，求出直线F′D′的解析式为y=−3x−7，将M的坐标代入可求出m值，即得点M、N的坐标.2。

中考精品文档天津市中考数学科目·2021年考试真题与答案解析目录选择题……………01页填空题……………06页计算题……………08页天津市中考：《数学》科目2021年考试真题与答案解析一、选择题本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

-⨯的结果等于（）1.计算()53A.2-B.2C.15-D.15答案：C2.tan30︒的值等于（）B.2C.1D.2答案：A3.据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为（）A.6⨯0.14117810B.5⨯1.4117810C.4⨯14.117810D.3⨯141.17810答案：B4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A.B.C.D.答案：A5.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A.B.C.D.答案：D6.估算( )A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间答案：C7.方程组234x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是（）A.02x y =⎧⎨=⎩B.11x y =⎧⎨=⎩C.22x y =⎧⎨=-⎩D.33x y =⎧⎨=-⎩答案：B 8.如图，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是()()()2,0,1,2,2,2---，则顶点D 的坐标是（ ）A.()4,1-B.()4,2-C.()4,1D.()2,1答案：C9.计算33a b a b a b ---的结果是（ ） A.3B.33a b +C.1D.6a a b -答案：A10.若点()()()1235,,1,,5,A y B y C y -都在反比例函数5y x=-的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ）A.123y y y <<B.231y y y <<C.132y y y <<D.312y y y <<答案：B11.如图，在△ABC 中，120BAC ∠=︒，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）A.ABC ADC ∠=∠B.CB CD =C.DE DC BC +=D.AB CD ∥答案：D12.已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；③7a b c ++>。

天津市2021年中考数学试题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．（2021年）计算()53-⨯的结果等于（）A．2-B．2 C．15-D．15 2．（2021年）tan30︒的值等于（）A．33B．22C．1 D．23．（2021年）据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为（）A．0.141178×106B．1.41178×105C．14.1178×104D．141.178×1034．（2021年）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2021年）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（202117的值在()A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间7．（2021年）方程组234x yx y+=⎧⎨+=⎩的解是（）A ．02x y =⎧⎨=⎩B ．11x y =⎧⎨=⎩C ．22x y =⎧⎨=-⎩D ．33x y =⎧⎨=-⎩8．（2021年）如图，ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是()()()2,0,1,2,2,2---，则顶点D 的坐标是（ ）A ．()4,1-B ．()4,2-C ．()4,1D ．()2,19．（2021年）计算33a ba b a b---的结果是（ ） A ．3B ．33a b +C ．1D ．6aa b - 10．（2021年）若点()()()1235,,1,,5,A y B y C y -都在反比例函数5y x=-的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<11．（2021年）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）A ．ABC ADC ∠=∠B ．CB CD =C ．DE DC BC +=D ．AB CD ∥12．（2021年）已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；③7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（ ）评卷人 得分二、填空题13．（2021年）计算42a a a +-的结果等于_____． 14．（2021年）计算(101)(101)+-的结果等于_____．15．（2021年）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．16．（2021年）将直线6y x =-向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_____． 17．（2021年）如图，正方形ABCD 的边长为4，对角线,AC BD 相交于点O ，点E ，F 分别在,BC CD 的延长线上，且2,1CE DF ==，G 为EF 的中点，连接OE ，交CD 于点H ，连接GH ，则GH 的长为________．18．（2021年）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC 的顶点A ，C 均落在格点上，点B 在网格线上．（Ⅰ）线段AC 的长等于_____；（Ⅱ）以AB 为直径的半圆的圆心为O ，在线段AB 上有一点P ，满足AP AC =，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）_____．评卷人 得分三、解答题19．（2021年）解不等式组43,65 3.x x x +≥⎧⎨≤+⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得_______________； （Ⅱ）解不等式②，得_______________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为___________．20．（2021年）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t ）．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为________，图①中m 的值为_______； （Ⅱ）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．21．（2021年）已知ABC 内接于,,42O AB AC BAC =∠=︒，点D 是O 上一点．（Ⅰ）如图①，若BD 为⊙O 的直径，连接CD ，求DBC ∠和ACD ∠的大小； （Ⅱ）如图②，若CD //BA ，连接AD ，过点D 作O 的切线，与OC 的延长线交于点E ，求E ∠的大小．22．（2021年）如图，一艘货船在灯塔C 的正南方向，距离灯塔257海里的A 处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C 的南偏东40︒方向上，同时位于A 处的北偏东60︒方向上的B 处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB 的长（结果取整数）．参考数据：tan 400.84︒≈，3取1.73．23．（2021年）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km ，陈列馆离学校20km ．李华从学校出发，匀速骑行0.6h 到达书店；在书店停留0.4h 后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h 后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离km y 与离开学校的时间h x 之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表（Ⅱ）填空：①书店到陈列馆的距离为________km ；离开学校的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 离学校的距离/km 212②李华在陈列馆参观学的时间为_______h ；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______km/h ； ④当李华离学校的距离为4km 时，他离开学校的时间为_______h ． （Ⅲ）当0 1.5x ≤≤时，请直接写出y 关于x 的函数解析式．24．（2021年）在平面直角坐标系中，O 为原点，OAB 是等腰直角三角形，90,OBA BO BA ∠=︒=，顶点()4,0A ，点B 在第一象限，矩形OCDE 的顶点7,02E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第二象限，射线DC 经过点B ．（Ⅰ）如图①，求点B 的坐标；（Ⅱ）将矩形OCDE 沿x 轴向右平移，得到矩形O ′C ′D ′E ′，点O ，C ，D ，E 的对应点分别为O ′，C ′，D ′，E ′．设OO ′＝t ，矩形O ′C ′D ′E ′与△OAB 重叠部分的面积为S ．①如图②，当点E ′在x 轴正半轴上，且矩形O ′C ′D ′E ′与△OAB 重叠部分为四边形时，D ′E ′与OB 相交于点F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围； ②当5922t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）． 25．（2021年）已知抛物线22y ax ax c =-+（a ，c 为常数，0a ≠）经过点()0,1C -，顶点为D ．（Ⅰ）当1a =时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当0a >时，点()0,1E a +，若22DE DC =，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当1a <-时，点()0,1F a -，过点C 作直线l 平行于x 轴，(),0M m 是x 轴上的动点，()3,1N m +-是直线l 上的动点．当a 为何值时，FM DN +的最小值为210，并求此时点M ，N 的坐标．参考答案1．C【分析】根据有理数的乘法法则运算即可求解．【详解】-⨯=-，解：由题意可知：()5315故选：C．【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，属于基础题，运算过程中注意符号即可．2．A【分析】根据30°的正切值直接求解即可．【详解】解：由题意可知，tan30︒=，故选：A．【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．3．B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：141178=1.41178×105，故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．4．A【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解． 【详解】A ．是轴对称图形，故本选项符合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选A ． 【点睛】本题考查判断轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键． 5．D 【分析】根据三视图中的主视图定义，从前往后看，得到的平面图形即为主视图． 【详解】解：从正面看到的平面图形是3列小正方形，从左至右第1列有1个，第2列有2个，第3列有2个， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了组合体的三视图，解题的关键是根据主视图的概念由立体图形得到相应的平面图形． 6．C 【分析】估算无理数的大小． 【详解】因为2224<5 ,4和5之间． 故选C ． 7．B 【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可． 【详解】234x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②-①得：32x y x y +--=，即22x =， ∴1x =．将1x =代入①得：12y +=， ∴1y =．故原二元一次方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩．故选B ． 【点睛】本题考查解二元一次方程组．掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解答本题的关键． 8．C 【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，点B 的坐标为(-2，-2)，点C 的坐标为(2，-2)， ∴点B 到点C 为水平向右移动4个单位长度， ∴A 到D 也应向右移动4个单位长度， ∵点A 的坐标为(0，1)， 则点D 的坐标为(4，1)， 故选:C ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键． 9．A 【分析】先根据分式的减法运算法则计算，再提取公因式3，最后约分化简即可． 【详解】 原式33a ba b -=-， 3()a b a b-=-3=．故选A ． 【点睛】本题考查分式的减法．掌握分式的减法运算法则是解答本题你的关键． 10．B 【分析】将A 、B 、C 三点坐标代入反比例函数解析式，即求出123、、y y y 的值，即可比较得出答案． 【详解】分别将A 、B 、C 三点坐标代入反比例函数解析式得：1515y =-=-、2551y =-=-、3515y =-=-． 则231y y y <<． 故选B ． 【点睛】本题考查比较反比例函数值．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键． 11．D 【分析】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，即可求出60ADC ∠=︒，由于60ABC ∠<︒，则可判断ABC ADC ∠≠∠，即A 选项错误；由旋转可知CB CE =，由于CE CD >，即推出CB CD >，即B 选项错误；由三角形三边关系可知DE DC CE +>，即可推出DE DC CB +>，即C 选项错误；由旋转可知DC AC =，再由60ADC ∠=︒，即可证明ADC 为等边三角形，即推出60ACD ∠=︒．即可求出180ACD BAC ∠+∠=︒，即证明//AB CD ，即D 选项正确；【详解】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒，∵60ABC ∠<︒，∴ABC ADC ∠≠∠，故A 选项错误，不符合题意；由旋转可知CB CE =，∵120EDC ∠=︒为钝角，∴CE CD >，∴CB CD >，故B 选项错误，不符合题意；∵DE DC CE +>，∴DE DC CB +>，故C 选项错误，不符合题意；由旋转可知DC AC =，∵60ADC ∠=︒，∴ADC 为等边三角形，∴60ACD ∠=︒．∴180ACD BAC ∠+∠=︒，∴//AB CD ，故D 选项正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．12．D【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可【详解】∵抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．∴c =1＞0，a -b +c = -1,4a -2b +c ＞1，∴a -b = -2,2a -b ＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵230++-=,ax bx c∴△=24(3)--=28b a c+＞0,b a∴230++-=有两个不等的实数根；ax bx c∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．13．5a【分析】根据合并同类项的性质计算，即可得到答案．【详解】()+-=+-=424215a a a a a故答案为：5a．【点睛】本题考查了整式加减的知识；解题的关键是熟练掌握合并同类项的性质，从而完成求解．14．9【分析】根据二次根式的混合运算法则结合平方差公式计算即可．【详解】21)19=-=．故答案为9．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解答本题你的关键． 15．37【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是37， 故答案为37． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n ． 16．62y x =--【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．【详解】将直线y =-6x 向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为y =-6x -2．故答案为y =-6x -2．【点睛】本题考查一次函数图象的平移变换．掌握其规律 “左加右减，上加下减”是解答本题的关键．17 【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH 和MG 的长，再求出MH 的长，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解:如图,作OK ⊥BC ，垂足为点K ，∵正方形边长为4，∴OK =2，KC =2，∴KC =CE ，∴CH 是△OKE 的中位线 ∴112CH OK ==， 作GM ⊥CD ，垂足为点M ，∵G 点为EF 中点，∴GM 是△FCE 的中位线，∴112GM CE ==，()()1115412222MC FC CD DF ==+=⨯+=， ∴53122MH MC HC =-=-=， 在Rt △MHG 中，2222313122GH MH MG ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 故答案为：132．【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等．18．5 见解析【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算即可；（Ⅱ）现将ACB △补成等腰三角形，然后构建全等三角形即可．【详解】解：（Ⅰ）∵每个小正方形的边长为1，∴22125AC =+=，故答案为：5；（Ⅱ）如图，取BC 与网格线的交点D ，则点D 为BC 中点，连接OD 并延长，与半圆相交于点E ，连接BE 并延长，与AC 的延长线相交于点F ，则OE 为BFA 中位线，且AB AF =，连接AE 交BC 于点G ，连接FG 并延长，与AB 相交于点P ，因为FAP BAC ≌，则点P 即为所求．【点睛】本题主要考查复杂作图能力，勾股定理，中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，掌握以上知识点并与已知图形结合是解决本题关键． 19．（Ⅰ）1x ≥-；（Ⅱ）3x ≤；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析；（Ⅳ）13x -≤≤．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤和不等式组的解集在数轴上的表示方法即可解答．【详解】（Ⅰ）解不等式43x +≥，得：1x ≥-．故答案为：1x ≥-；（Ⅱ）解不等式653x x ≤+，得：3x ≤．故答案为：3x ≤；（Ⅲ）在数轴上表示为：； （Ⅳ）原不等式的解集为13x -≤≤．故答案为：13x -≤≤．【点睛】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集．掌握解一元一次不等式组的步骤是解答本题的关键．20．（Ⅰ）50，20；（Ⅱ）这组数据的平均数是5.9；众数为6；中位数为6．【分析】（Ⅰ）利用用水量为5t 的家庭个数除以其所占百分比即可求出本次接受调查的家庭个数；利用用水量为6.5t 的家庭个数除以本次接受调查的家庭个数即得出其所占百分比，即得出m 的值．（Ⅱ）根据加权平均数的公式，中位数，众数的定义即可求出结果．【详解】（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数=85016%=， 由题意可知10100%%50m ⨯= ， 解得20m =．故答案为50，20．（Ⅱ）观察条形统计图， ∵58 5.512616 6.51074 5.950x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==， ∴这组数据的平均数是5.9．∵在这组数据中，6出现了16次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为6．∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6， 即有6662+=，∴这组数据的中位数为6．【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，加权平均数，中位数以及众数．从条形统计图与扇形统计图中找到必要的数据和信息是解答本题的关键．21．（Ⅰ）48DBC ∠=︒，21ACD ∠=︒；（Ⅱ）36E ∠=︒．【分析】（Ⅰ）由圆周角定理的推论可知90BCD ∠=︒，42BDC BAC ∠=∠=︒，即可推出9048DBC BDC ∠=︒-∠=︒；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出69ABC ACB ∠=∠=︒，从而求出21ACD BCD ACB ∠=∠-∠=︒．（Ⅱ）连接OD ，由平行线的性质可知42ACD BAC ∠=∠=︒．由圆内接四边形的性质可求出180111ADC ABC ∠=︒-∠=︒．再由三角形内角和定理可求出27DAC ∠=︒．从而由圆周角定理求出254DOC DAC ∠=∠=︒．由切线的性质可知90ODE ∠=︒．即可求出9036E DOE ∠=︒-∠=︒．【详解】（Ⅰ）BD 为O 的直径，∴90BCD ∠=︒．∵在O 中，42BDC BAC ∠=∠=︒，∴9048DBC BDC ∠=︒-∠=︒；∵42AB AC BAC =∠=︒，， ∴1180692()ABC ACB BAC ∠=∠=︒-∠=︒． ∴21ACD BCD ACB ∠=∠-∠=︒．（Ⅱ）如图，连接OD ．∵CD BA ，∴42ACD BAC ∠=∠=︒．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，69ABC ∠=︒，∴180111ADC ABC ∠=︒-∠=︒．∴18027DAC ACD ADC ∠=︒-∠-∠=︒．∴254DOC DAC ∠=∠=︒．∵DE 是O 的切线，∴DE OD ⊥，即90ODE ∠=︒．∴9036E DOE ∠=︒-∠=︒．【点睛】本题为圆的综合题．考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，圆的内接四边形的性质以及切线的性质．利用数形结合的思想以及连接常用的辅助线是解答本题的关键．22．AB 的长约为168海里．【分析】如图，过点B 作BH ⊥CA ，垂足为H ,解直角三角形即可【详解】如图，过点B 作BH ⊥CA ，垂足为H ．根据题意，60,40,257BAC BCA CA ∠=︒∠=︒=．∵在Rt BAH △中，tan BH BAH AH ∠=，cos AH BAH AB∠=， ∴tan 603,2cos60AH BH AH AH AB AH =⋅︒===︒． ∵在Rt BCH 中，tan BH BCH CH ∠=， ∴3tan 40tan 40BH AH CH ==︒︒． 又CA CH AH =+， ∴3257AH AH =+． 可得3tan 40AH =+︒． ∴22570.841681.730.843tan 40AB ⨯⨯=≈=++︒． 答：AB 的长约为168海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造高线构造出直角三角形，并灵活解之是解题的关键．23．（Ⅰ）10，12，20；（Ⅱ）①8；②3；③28；④15或316；（Ⅲ）当00.6x ≤≤时，20y x =；当0.61x <≤时，12y =；当1 1.5x <≤时，164y x =-．【分析】（Ⅰ）根据函数图象，利用待定系数法，分段写出函数解析式，根据表格中x ，代入相应的解析式，得到y ；（Ⅱ）①根据图象进行分析即可；②根据图象进行分析即可；③根据4.55x <≤时的函数解析式可求；④分00.6x ≤≤和5 5.5x <≤两种情况讨论，将距离为4km 代入相应的解析式求出时间x ； （Ⅲ）根据函数图象，利用待定系数法，分段写出函数解析式即可．【详解】对函数图象进行分析：①当00.6x ≤≤时，设函数关系式为y kx =，由图象可知，当x =0.6时，y =12， 则12=0.6k ，解得20k =∴当00.6x ≤≤时，设函数关系式为20y x =②由图象可知，当0.61x <≤时，12y =③当1 1.5x <≤时，设函数关系式为y kx b =+，由图象可知，当x =1时，y =12；当x =1.5时，y =20，则121.520k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得164k b =⎧⎨=-⎩∴当1 1.5x <≤时，设函数关系式为164y x =-④由图象可知，当1.5 4.5x ≤≤时，20y =⑤当4.55x <≤时，设函数关系式为y kx b =+，由图象可知，当x =4.5时，y =20；当x =5时，y =6，则 4.52056k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得28146k b =-⎧⎨=⎩∴当4.55x <≤时，设函数关系式为28146y x =-+⑥当5 5.5x <≤时，设函数关系式为y kx b =+，由图象可知，当x =5时，y =6；当x =5.5时，y =0，则565.50k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1266k b =-⎧⎨=⎩∴当5 5.5x <≤时，设函数关系式为1266y x =-+（Ⅰ）∵当00.6x ≤≤时，函数关系式为20y x =∴当x =0.5时，200.510y =⨯=．故第一空为10．当0.61x <≤时，12y =．故第二空为12．当1.5 4.5x ≤<时，20y =．故第二空为20．（Ⅱ）①李华从学校出发，匀速骑行0.6h 到达书店；在书店停留0.4h 后，匀速骑行0.5h 到达陈列馆．由图象可知书店到陈列馆的距离2012=8-；②李华在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校．由图象可知李华在陈列馆参观学的时间4.5 1.53-=；③当4.55x <≤时，设函数关系式为28146y x =-+，所以李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为28；④当李华离学校的距离为4km 时，00.6x ≤≤或5 5.5x <≤由上对图象的分析可知：当00.6x ≤≤时，设函数关系式为20y x =令4y =，解得15x = 当5 5.5x <≤时，设函数关系式为1266y x =-+令4y =，解得316x = ∴当李华离学校的距离为4km 时，他离开学校的时间为15或316． （Ⅲ）由上对图象的分析可知：当00.6x ≤≤时，20y x =；当0.61x <≤时，12y =；当1 1.5x <≤时，164y x =-．【点睛】本题考查函数的图象与实际问题．解题的关键在于读懂函数的图象，分段进行分析． 24．（Ⅰ）点B 的坐标为()2,2；（Ⅱ）①21717228S t t =-+-， t 的取值范围是1142t ≤<；②236388S ≤≤．24．解：（1）如图①，过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H ，由点A （4，0），得OA ＝4，∵BO ＝BA ，∠OBA ＝90°，∴OH ＝BH ＝21OA ＝421⨯＝2， ∴点B 的坐标为（2，2）；（2）①由点E （﹣27，0）， 得OE ＝27， 由平移知，四边形O 'C 'D 'E '是矩形，得∠O 'E 'D '＝90°，O 'E '＝OE ＝27， ∴OE '＝OO '﹣O 'E '＝t ﹣27，∠27FE 'O ＝90°， ∵BO ＝BA ，∠OBA ＝90°，∴∠BOA ＝∠BAO ＝45°，∴∠OFE '＝90°﹣∠BOA ＝45°，∴∠FOE '＝∠OFE '，∴FE '＝OE '＝t ﹣27， ∴S △FOE '＝21OE '•FE '＝21（t ﹣27）2， ∴S ＝S △OAB ﹣S △FOE '＝2)27(212421--⨯⨯t ， 即S ＝﹣21t 2+27t ﹣817（4≤t ＜211）； ②S 的取值范围为1663823≤≤S ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论．25．（Ⅰ）抛物线的顶点坐标为(1,2)-；（Ⅱ）2112y x x =--或23312y x x =--；（Ⅲ）点M 的坐标为7,06⎛⎫- ⎪⎝⎭，点N 的坐标为11,16⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】 （Ⅰ）结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可得到答案（Ⅱ）根据题意，得抛物线的解析式为221y ax ax =--；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D 的坐标为(1,1)a --；过点D 作DG y ⊥轴于点G ，根据勾股定理和一元二次方程的性质，得112a =，232a =，从而得到答案； （Ⅲ）当1a <-时，将点(1,1)D a --向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得(2,)D a '--；作点F 关于x 轴的对称点F '，当满足条件的点M 落在线段F D ''上时，根据两点之间线段最短的性质，得FM DN +最小，结合题意，根据勾股定理和一元二次方程性质，得152=-a ，从而得直线F D ''的解析式，通过计算即可得到答案． 【详解】（Ⅰ）当1a =时，抛物线的解析式为22y x x c =-+．∵抛物线经过点(0,1)C -∴001c -+=-解得：1c =-∴抛物线的解析式为221y x x =--∵2221(1)2y x x x =--=--∴抛物线的顶点坐标为(1,2)-；（Ⅱ）当0a >时，由抛物线22y ax ax c =-+经过点(0,1)C -，可知1c =-∴抛物线的解析式为221y ax ax =--∴抛物线的对称轴为：1x =当1x =时，1y a =--∴抛物线的顶点D 的坐标为(1,1)a --；过点D 作DG y ⊥轴于点G在Rt DEG △中，1DG =，1(1)22EG a a a =+---=+，∴22221(22)DE DG EG a =+=++在Rt DCG 中，1DG =，1(1)CG a a =----=，∴22221DC DG CG a =+=+． ∵22DE DC =，即228DE DC =，∴()221(22)81a a++=+ 解得：112a =，232a = ∴抛物线的解析式为2112y x x =--或23312y x x =--． （Ⅲ）当1a <-时，将点(1,1)D a --向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得(2,)D a '--．作点F 关于x 轴的对称点F '，得点F '的坐标为(0,1)a -当满足条件的点M 落在线段F D ''上时，FM DN +最小， 此时，210FM DN F D '='+=过点D ′作D H y '⊥轴于点H在Rt FD H '中，2D H '=，(1)12F H a a a '=---=-，∴22222(12)4F D F H D H a '-''=+=+．又240F D ''=，即2(12)440a -+=． 解得：152=-a ，272a =（舍） ∴点F '的坐标为70,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，点D ′的坐标为52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∴直线F D ''的解析式为732y x =--． 当0y =时，76x =-． ∴76m =-，1136m += ∴点M 的坐标为7,06⎛⎫- ⎪⎝⎭，点N 的坐标为11,16⎛⎫-⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查了二次函数、一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、勾股定理、一元二次方程、平移的性质，从而完成求解．。

2021年天津市中考数学填空题压轴题练习
1．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n的值为24n﹣5．（用含n的代数式表示，n为正整数）
【分析】根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．【解答】解：∵函数y＝x与x轴的夹角为45°，
∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，
∵A（8，4），
∴第四个正方形的边长为8，
第三个正方形的边长为4，
第二个正方形的边长为2，
第一个正方形的边长为1，
…，
第n个正方形的边长为2n﹣1，
由图可知，S1＝×1×1+×（1+2）×2﹣×（1+2）×2＝，
S2＝×4×4+×（4+8）×8﹣×（4+8）×8＝8，
…，
S n为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影部分，
第2n个正方形的边长为22n﹣1，第2n﹣1个正方形的边长为22n﹣2，S n＝•22n﹣2•22n﹣2＝24n﹣5．
故答案为：24n﹣5．。

2021年天津市中考数学填空题压轴题练习
1．如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为．
【分析】根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形A8B8C8D8的周长．
【解答】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是正方形ABCD的；
顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；
顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；
顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；
…
故第n个正方形周长是原来的，
以此类推：正方形A8B8C8D8周长是原来的，
∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，
∴按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为，
故答案为：．。

2021年天津市中考数学填空题压轴题练习1．如图，平面直角坐标系中O是原点，▱OABC的顶点A，C的坐标分别是（8，0），（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD，CE分别交OA，AB于点F，G，连结FG，则下列结论：①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是20；④OD＝；其中正确的结论是①（填写所有正确结论的序号）【分析】①证明△CDB∽△FDO，列比例式得：＝，再由D、E为OB的三等分点，则＝＝2，可得结论正确；②如图2，延长BC交y轴于H证明OA≠AB，则∠AOB≠∠EBG，所以△OFD∽△BEG不成立；③如图3，利用面积差求得：S△CFG＝S▱OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG＝12，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算并作出判断；④根据勾股定理进行计算OB的长，根据三等分线段OB可得结论．【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA，∴△CDB∽△FDO，∴＝，∵D、E为OB的三等分点，∴＝＝2，∴＝2，∴BC＝2OF，∴OA＝2OF，∴F是OA的中点；所以①结论正确；②如图2，延长BC交y轴于H，由C（3，4）知：OH＝4，CH＝3，∴OC＝5，∴AB＝OC＝5，∵A（8，0），∴OA＝8，∴OA≠AB，∴∠AOB≠∠EBG，∴△OFD∽△BEG不成立，所以②结论错误；③由①知：F为OA的中点，同理得；G是AB的中点，∴FG是△OAB的中位线，∴FG＝OB，FG∥OB，∵OB＝3DE，∴FG＝DE，∴＝，过C作CQ⊥AB于Q，S▱OABC＝OA•OH＝AB•CQ，∴4×8＝5CQ，∴CQ＝，S△OCF＝OF•OH＝×4×4＝8，S△CGB＝BG•CQ＝××＝8，S△AFG＝×4×2＝4，∴S△CFG＝S▱OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG＝8×4﹣8﹣8﹣4＝12，∵DE∥FG，∴△CDE∽△CFG，∴＝（）2＝，∴＝，∴＝，∴S四边形DEGF＝；所以③结论错误；④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2＝BH2+OH2，∴OB＝＝，∴OD＝，所以④结论错误；故本题结论正确的有：①；故答案为：①．。

2001-2021年天津市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题12：押轴题a.选择题1. （2001天津市3分）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③ED BAEF BC；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是【】A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C。

【考点】圆周角定理，等腰直角三角形的性质。

【分析】连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF 是矩形。

∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正确；②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；④根据BM=2BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；⑤正确。

所以①②③⑤共4个正确。

故选C。

2. （天津市2002年3分）已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若SΔAOB=4，SΔCOD=9，则四边形ABCD的面积S四边形ABCD的最小值为【】（A）21 （B）25 （C）26 （D）36【答案】B。

【考点】三角形的面积，不等式的性质。

【分析】分别表示出△AOD 、△BOC 的面积，即可得到四边形ABCD 的面积表达式，然后应用不等式的性质a 2+b 2≥2ab 来求得四边形ABCD 的最小面积： 如图，任意四边形ABCD 中，S △AOB =4，S △COD =9，∴AODBOC 14OD 19OB SOD 4S OB 9112OB 2OD OB OD 22∆∆=⋅=⋅=⋅=⋅，。

2021年天津市中考数学试卷答案与解析2021年天津市中考数学试卷参考答案和试题分析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2021?天津）计算（18）÷6的结果等于（）3a．3b．c．d．考点：有理数的除法．分析：根据有理数的除法，即可解答．解答：解：（18）÷6=3．故选：a．点评：本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是熟记有理数除法的法则．2．（3分）（2021?天津）cos45°的值等于（）a．b．c．d．考点：特殊角的三角函数值．分析：将特殊角的三角函数值代入求解．解答：解：cos45°=．故选b．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．3．（3分）（2021?天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）a．b．c．d．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念求解．解答：解：a、是轴对称图形，故本选项正确；b、不是轴对称图形，故本选项错误；c、不是轴对称图形，故本选项错误；d、不是轴对称图形，故本选项错误．故选a．点评：本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．14（3分）（2022？天津）根据天津日报2022年5月4日的报道，在“五一”的三天假期中，该市接待了大约2270000名国内外游客。

227万应该表示为（）7654a。

B.c.d.0.227，科学记数法×lo2。

二十七×一千零二十二点七×10227×10测试地点：科学记数法——代表一个更大的数字。

N分析：科学记数法的表达形式为a×10，其中1≤|a |<10，n是一个整数。

确定N的值时，取决于原始数字变为a时小数点移动的小数位数，N的绝对值与移动的小数位数相同。