天津中考数学压轴题全搞定

2024学年天津市和平区二十一中中考数学押题卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中，是正方体表面展开图的是（）A．B．C． D．2．改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A．2017年第二季度环比有所提高B．2017年第三季度环比有所提高C．2018年第一季度同比有所提高D．2018年第四季度同比有所提高3．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（）．A ．众数是6吨B ．平均数是5吨C ．中位数是5吨D ．方差是4．一艘在南北航线上的测量船，于A 点处测得海岛B 在点A 的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C 点时，测得海岛B 在C 点的北偏东15°方向，那么海岛B 离此航线的最近距离是（ ）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A ．4.64海里B ．5.49海里C ．6.12海里D ．6.21海里 5．函数y=ax 2+1与ay x=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．6．四张分别画有平行四边形、菱形、等边三角形、圆的卡片，它们的背面都相同。

（25）（本小题10分）在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别用a 、b 、c 表示。

（Ⅰ）如图，在△ABC 中，∠A＝2∠B ，且∠A ＝60°。

求证：a 2＝b （b ＋c ）（Ⅱ）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2 倍，我们称这样 的三角形为“倍角三角形”。

本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三 角形，那么对于任意的倍角三角形ABC ，其中∠A ＝2∠B ，关系式 a 2＝b （b ＋c ）是否仍然成了？并证明你的结论；（Ⅲ）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数。

(26) (本小题10分)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c .（Ⅰ）若a ＝2，c ＝－3，且二次函数的图象经过点（－1，－2），求b 的值（Ⅱ）若a ＝2，b ＋c ＝－2，b ＞c ，且二次函数的图象经过点（p ，－2），求证：b ≥0；（Ⅲ）若a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，且二次函数的图象经过点（q ，－a ），试问自变量x ＝q ＋4时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 所对应的函数值y 是否大于0？并证明你的结论。

（25）（本小题10分）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8。

（Ⅰ）如图①，若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆，求r 1；（Ⅱ）如图②，若半径为r 2的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切，且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，求r 2；（Ⅲ）如图③，当n 大于2的正整数时，若半径r n 的n 个等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n依次外切，且⊙O 1与AC 、BC 相切，⊙O n 与BC 、AB 相切，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、…、⊙O n －1均与AB 边相切，求r n . (26) (本小题10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的定点坐标为(2,4). （Ⅰ）试用含a 的代数式分别表示b ，c ；（Ⅱ）若直线y ＝kx ＋4（k ≠0）与y 轴及该抛物线的交点依次为D 、E 、F ，且13ODEOEFS S＝，其中O 为坐标原点，试用含a 的代数式表示k ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若线段EF 的长m 满足m ≤≤a 的取值范围。

天津市蓟州区2024届中考数学押题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．下列天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．计算（﹣ab 2）3的结果是（ ）A ．﹣3ab 2B ．a 3b 6C ．﹣a 3b 5D ．﹣a 3b 63．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OC 交圆O 于点F ，则∠BAF 等于()A ．12.5°B ．15°C ．20°D ．22.5°4．将抛物线y ＝2x 2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )A ．y ＝2x 2+3B ．y ＝2x 2﹣3C ．y ＝2(x+3)2D ．y ＝2(x ﹣3)25．已知二次函数2(0)y x x a a =-+>，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，则下列结论正确的是（ ）A ．x 取1m -时的函数值小于0B ．x 取1m -时的函数值大于0C ．x 取1m -时的函数值等于0D ．x 取1m -时函数值与0的大小关系不确定6．下列运算中，正确的是（ ）A ．（a 3）2=a 5B ．（﹣x ）2÷x=﹣xC ．a 3（﹣a ）2=﹣a 5D ．（﹣2x 2）3=﹣8x 67．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②244b aca->；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝ca-.其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（）A．10°B．15°C．20°D．25°9．如图,折叠矩形纸片ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,若AB=8,BC=10,则△CEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．2410．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB 的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为()A．32) B．(4，1) C．(43) D．(4，23二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为- 1，则另一个根为．12．一个正多边形的每个内角等于150，则它的边数是____．13．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45º．则图中阴影部分的面积是____________.14．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm ，则根据题意可得方程 ．15．已知直线m ∥n ，将一块含有30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中A 、B 两点分别落在直线m 、n 上，若∠1=20°，则∠2=_____度．16．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD 为_______米（结果保留根号）．17．如果点()14,A y -、()23,B y -是二次函数22(y x k k =+是常数)图象上的两点，那么1y ______2.(y 填“>”、“<”或“=”)三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=1.5米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB=60°，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮筐D 的距离FD=1.3米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE=45°，求篮筐D 到地面的距离．（精确到0.0132≈1.41）19．（5分）如图，曲线BC 是反比例函数y ＝k x（4≤x ≤6）的一部分，其中B （4，1﹣m ），C （6，﹣m ），抛物线y ＝﹣x 2+2bx 的顶点记作A ．（1）求k 的值．（2）判断点A 是否可与点B 重合； （3）若抛物线与BC 有交点，求b 的取值范围．20．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧AB 的中点，弦CD 与AB 相交于E ．若∠AOD ＝45°，求证：CE ＝2ED ；（2）若AE ＝EO ，求tan ∠AOD 的值．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，A 点的坐标为()1,0-．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标，并求出四边形ABPC 的最大面积；（3）若Q 为抛物线对称轴上一动点，直接写出使QBC ∆为直角三角形的点Q 的坐标．22．（10分）平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c ++＝经过点10（，）A 和30B （，），与y 轴相交于点C ，顶点为P .（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA EC ＝，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，MEQ NEB ∠∠＝，求点Q 的坐标.23．（12分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CE^ AB 于E ， CD 平分ÐECB ， 交过点B 的射线于D ， 交AB 于F ， 且BC=BD ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若AE=9， CE=12， 求BF 的长．24．（14分）将二次函数2241y x x =+-的解析式化为2()y a x m k =++的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【题目详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：A．【题目点拨】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2、D【解题分析】根据积的乘方与幂的乘方计算可得．【题目详解】解：（﹣ab2）3=﹣a3b6，故选D．【题目点拨】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方与幂的乘方的运算法则．3、B【解题分析】解：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°，由圆周角定理得∠BAF=12∠BOF=15°故选:B4、C【解题分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案.【题目详解】y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C.【题目点拨】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律.5、B【解题分析】画出函数图象，利用图象法解决问题即可；【题目详解】由题意，函数的图象为：∵抛物线的对称轴x=12，设抛物线与x轴交于点A、B，∴AB＜1，∵x取m时，其相应的函数值小于0，∴观察图象可知，x=m-1在点A的左侧，x=m-1时，y＞0，故选B．【题目点拨】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，体现了数形结合的思想．6、D【解题分析】根据同底数幂的除法、乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，逐项判定即可．【题目详解】∵（a3）2=a6，∴选项A不符合题意；∵（-x）2÷x=x，∴选项B不符合题意；∵a3（-a）2=a5，∴选项C不符合题意；∵（-2x2）3=-8x6，∴选项D符合题意．故选D．【题目点拨】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，要熟练掌握．7、B【解题分析】试题分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=，于是OA•OB=﹣，则可对④进行判断．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正确；设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1•x2=，∴OA•OB=﹣，所以④正确．故选B．考点：二次函数图象与系数的关系．8、A【解题分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF 的大小．【题目详解】由图可得,∠CDE=40°,∠C=90°，∴∠CED=50°，又∵DE ∥AF ，∴∠CAF=50°，∵∠BAC=60°，∴∠BAF=60°−50°=10°，故选A.【题目点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键. 9、A【解题分析】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处， ∴AF=AD=10，EF=DE ，在Rt △ABF 中，∵，∴CF=BC-BF=10-6=4，∴△CEF 的周长为：CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=8+4=1． 故选A ．10、D【解题分析】由已知条件得到AD′=AD=4，AO=12AB=2，根据勾股定理得到 【题目详解】解：∵AD′=AD=4， AO=12AB=1，∴∵C′D′=4，C′D′∥AB ，∴C′（4，，故选：D ．【题目点拨】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、-1.【解题分析】因为一元二次方程的常数项是已知的，可直接利用两根之积的等式求解．【题目详解】∵一元二次方程x 2+mx+1=0的一个根为-1，设另一根为x 1，由根与系数关系：-1•x 1=1，解得x 1=-1．故答案为-1.12、十二【解题分析】首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可．【题目详解】∵一个正多边形的每个内角为150°，∴它的外角为30°，360°÷30°＝12，故答案为十二．【题目点拨】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角．13、（254π－252）cm 2 【解题分析】S阴影=S 扇形-S △OBD =90360π 52-12×5×5=225504cm π-. 故答案是: 225504cm π-. 14、()240024008.120%x x -=+. 【解题分析】试题解析：∵原计划用的时间为：2400x， 实际用的时间为：()2400120%x +， ∴可列方程为：()240024008.120%x x-=+ 故答案为()240024008.120%x x -=+ 15、1【解题分析】根据平行线的性质即可得到∠2=∠ABC+∠1，据此进行计算即可．【题目详解】解：∵直线m ∥n ，∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=1°，故答案为：1．【题目点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．16、 4【解题分析】分析:利用特殊三角函数值，解直角三角形,AM=MD,再用正切函数，利用MB 求CM ,作差可求DC.【题目详解】因为∠MAD =45°, AM =4,所以MD =4， 因为AB =8，所以MB =12,因为∠MBC=30°，所以CM=MB tan30°.所以CD 【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的相关定义以及变形是解题的关键.17、>【解题分析】根据二次函数解析式可知函数图象对称轴是x=0，且开口向上，分析可知两点均在对称轴左侧的图象上；接下来，结合二次函数的性质可判断对称轴左侧图象的增减性，【题目详解】解：二次函数22y x k =+的函数图象对称轴是x=0，且开口向上，∴在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，∵-3＞-4，∴1y ＞2y .故答案为＞.【题目点拨】本题考查了二次函数的图像和数形结合的数学思想.三、解答题（共7小题，满分69分）18、3.05米【解题分析】延长FE 交CB 的延长线于M, 过A 作AG ⊥FM 于G , 解直角三角形即可得到正确结论．【题目详解】 解：如图：延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB=，∴AB=BC•tan60°=1.5×1.73=2.595，∴GM=AB=2.595，在Rt △AGF 中，∵∠FAG=∠FHE=45°，sin ∠FAG=，∴sin45°=， ∴FG=1.76，∴DM=FG+GM ﹣DF≈3.05米．答：篮框D 到地面的距离是3.05米．【题目点拨】本题主要考查直角三角形和三角函数，构造合适的辅助线是本题解题的关键．19、（1）12；（2）点A不与点B重合；（3）1919 86b≤≤【解题分析】（1）把B、C两点代入解析式，得到k＝4（1﹣m）＝6×（﹣m），求得m＝﹣2，从而求得k的值；（2）由抛物线解析式得到顶点A（b，b2），如果点A与点B重合，则有b＝4，且b2＝3，显然不成立；（3）当抛物线经过点B（4，3）时，解得，b＝198，抛物线右半支经过点B；当抛物线经过点C，解得，b＝196，抛物线右半支经过点C；从而求得b的取值范围为198≤b≤196．【题目详解】解：（1）∵B（4，1﹣m），C（6，﹣m）在反比例函数kyx=的图象上，∴k＝4（1﹣m）＝6×（﹣m），∴解得m＝﹣2，∴k＝4×[1﹣（﹣2）]＝12；（2）∵m＝﹣2，∴B（4，3），∵抛物线y＝﹣x2+2bx＝﹣（x﹣b）2+b2，∴A（b，b2）．若点A与点B重合，则有b＝4，且b2＝3，显然不成立，∴点A不与点B重合；（3）当抛物线经过点B（4，3）时，有3＝﹣42+2b×4，解得，b＝198，显然抛物线右半支经过点B；当抛物线经过点C（6，2）时，有2＝﹣62+2b×6，解得，b＝196，这时仍然是抛物线右半支经过点C，∴b的取值范围为198≤b≤196．【题目点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会用讨论的思想思考问题．20、（1）见解析；（2）tan∠AOD＝3 4 .【解题分析】（1）作DF⊥AB于F，连接OC，则△ODF是等腰直角三角形，得出OC=OD=2DF，由垂径定理得出∠COE=90°，证明△DEF∽△CEO得出22ED OC DFCE DF DF===，即可得出结论；（2）由题意得OE=12OA=12OC，同（1）得△DEF∽△CEO，得出12EF EODF OC==，设⊙O的半径为2a（a＞0），则OD=2a，EO=a，设EF=x，则DF=2x，在Rt△ODF中，由勾股定理求出x=35a，得出DF=65a，OF=EF+EO=85a，由三角函数定义即可得出结果．【题目详解】（1）证明：作DF⊥AB于F，连接OC，如图所示：则∠DFE＝90°，∵∠AOD＝45°，∴△ODF是等腰直角三角形，∴OC＝OD2DF，∵C是弧AB的中点，∴OC⊥AB，∴∠COE＝90°，∵∠DEF＝∠CEO，∴△DEF∽△CEO，∴22 ED OC DFCE DF DF===∴CE2ED；（2）如图所示：∵AE ＝EO ，∴OE=12OA=12OC ， 同（1）得：，△DEF ∽△CEO ， ∴12EF EO DF OC ==， 设⊙O 的半径为2a （a ＞0），则OD ＝2a ，EO ＝a ，设EF ＝x ，则DF ＝2x ，在Rt △ODF 中，由勾股定理得：（2x ）2+（x+a ）2＝（2a ）2，解得：x ＝35a ，或x ＝﹣a （舍去）， ∴DF ＝65a ，OF ＝EF+EO ＝85a ， ∴DF 3tan AOD OF 4∠==． 【题目点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理是关键．21、（1）223y x x =--；（2）P 点坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭， 758；（3）Q 31,2⎛- ⎝⎭或31,2⎛- ⎝⎭或()1,2或()1,4-． 【解题分析】（1）根据待定系数法把A 、C 两点坐标代入2y x bx c =++可求得二次函数的解析式；（2）由抛物线解析式可求得B 点坐标，由B 、C 坐标可求得直线BC 解析式，可设出P 点坐标，用P 点坐标表示出四边形ABPC 的面积，根据二次函数的性质可求得其面积的最大值及P 点坐标；（3）首先设出Q 点的坐标，则可表示出QB 2、QC 2和BC 2，然后分∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三种情况，求解即可.【题目详解】解：（1）∵A(-1,0)，()0,3C -在2y x bx c =++上，103b c c -+=⎧∴⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数的解析式为223y x x =--；（2）在223y x x =--中，令0y =可得2023x x -=-，解得3x =或1x =-，()3,0B ∴，且()0,3C -，∴经过B 、C 两点的直线为3y x =-，设点P 的坐标为()223x x x --，，如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，与直线BC 交于点E ，则(),3E x x -，ABC BCP ABPC S S S ∆∆=+四边形()211433322x x =⨯⨯+-⨯239622x x =-++23375228x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴当32x =时，四边形ABPC 的面积最大，此时P 点坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴四边形ABPC 的最大面积为758； （3）()222314y x x x =--=--，∴对称轴为1x =，∴可设Q 点坐标为()1,t ，()3,0B ，()0,3C -，()2222134BQ t t ∴=-+=+，()222213610CQ t t t =++=++，218BC =，QBC ∆为直角三角形，∴有90BQC ∠=︒、90CBQ ∠=︒和90BCQ ∠=︒三种情况，①当90BQC ∠=︒时，则有222BQ CQ BC +=，即22461018t t t ++++=，解得317t -+=或317t --=，此时Q 点坐标为3171,2⎛-+ ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭； ②当90CBQ ∠=︒时，则有222BC BQ CQ +=，即22418610t t t ++=++，解得2t =，此时Q 点坐标为()1,2； ③当90BCQ ∠=︒时，则有222BC CQ BQ +=，即22186104t t t +++=+，解得4t =-，此时Q 点坐标为()1,4-；综上可知Q 点的坐标为⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或()1,2或()1,4-． 【题目点拨】本题考查了待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识，注意分类讨论思想的应用.22、（1）243y x x +＝﹣，顶点P 的坐标为21（，﹣）；（2）E 点坐标为22（，）；（3）Q 点的坐标为58（，）. 【解题分析】（1）利用交点式写出抛物线解析式，把一般式配成顶点式得到顶点P 的坐标；（2）设2E t （，），根据两点间的距离公式，利用EA EC ＝得到22222123t t ++（﹣）＝（﹣），然后解方程求出t 即可得到E 点坐标；（3）直线2x ＝交x 轴于F ，作2MH x ⊥直线＝于H ，如图，利用12tan NEB ∠＝得到12tan MEQ ∠＝，设243Q m m m +（，﹣），则2412HE m m QH m +＝﹣，＝﹣，再在Rt QHE 中利用正切的定义得到H 1tan HE 2Q HEQ ∠==，即24122m m m +﹣＝（﹣），然后解方程求出m 即可得到Q 点坐标.【题目详解】解：（1）抛物线解析式为13y x x ＝（﹣）（﹣）， 即243y x x +＝﹣， 221y x ＝（﹣）﹣，∴顶点P 的坐标为21（，﹣）； （2）抛物线的对称轴为直线2x ＝，设2E t （，）， EA EC ＝，22222123t t ∴++（﹣）＝（﹣），解得2t ＝，∴E 点坐标为22（，）； （3）直线2x ＝交x 轴于F ，作MN ⊥直线x=2于H ，如图，MEQ NEB ∠∠＝， 而BF 1tan EF 2NEB ∠==， 1tan 2MEQ ∴∠=，设243Q m m m +（，﹣），则22432412HE m m m m QH m ++＝﹣﹣＝﹣，＝﹣，在Rt QHE 中，H 1tan HE 2Q HEQ ∠==， 24122m m m ∴+﹣＝（﹣），整理得2650m m +﹣＝，解得11m ＝（舍去），25m ＝， ∴Q 点的坐标为58（，）.【题目点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和锐角三角函数的定义；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式.23、（1）证明见解析；（2）1．【解题分析】试题分析：（1）根据垂直的定义可得∠CEB=90°，然后根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，判断出∠1=∠D ，从而根据平行线的判定得到CE ∥BD ，根据平行线的性质得∠DBA=∠CEB ，由此可根据切线的判定得证结果；（2）连接AC ，由射影定理可得，进而求得EB 的长，再由勾股定理求得BD=BC 的长，然后由“两角对应相等的两三角形相似”的性质证得△EFC ∽△BFD ，再由相似三角形的性质得出结果．试题解析：（1）证明：∵，∴． ∵CD 平分，BC=BD ， ∴，． ∴． ∴∥． ∴． ∵AB 是⊙O 的直径，∴BD 是⊙O 的切线．（2）连接AC ，∵AB 是⊙O 直径， ∴． ∵， 可得． ∴ 在Rt △CEB 中，∠CEB=90°，由勾股定理得∴． ∵，∠EFC =∠BFD ，∴△EFC ∽△BFD ． ∴． ∴．∴BF=1．考点：切线的判定，相似三角形，勾股定理24、开口方向：向上;点坐标：（-1，-3）;称轴：直线1x =-.【解题分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据a 的值即可确定该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴．【题目详解】解：()2221y x x =+-， ()222121y x x =++--，()2213y x =+-，∴开口方向：向上，顶点坐标：（-1，-3），对称轴：直线1x =-.【题目点拨】熟练掌握将一般式化为顶点式是解题关键.。

2008年—2013年天津中考压轴题解析1. (2013·天津)已知抛物线y 1=ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴是直线l ，顶点为点M ．若自变量x 和函数值y 1的部分对应值如下表所示： (Ⅰ)求y 1与x 之间的函数关系式；(Ⅱ)若经过点T (0，t )作垂直于y 轴的直线l ′，A 为直线l ′上的动点，线段AM 的垂直平分线交直线l 于点B ，点B 关于直线AM 的对称点为P ，记P (x ，y 2)． (1)求y 2与x 之间的函数关系式；(2)当x＜y 恒成立，求t 的取值范围．解：(Ⅰ)∵抛物线经过点(0，94)，∴c =94．∴y 1=ax 2+bx +94，∵点(–1，0)、(3，0)在抛物线y 1=ax 2+bx +94上， ∴90499304a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得，3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y 1与x 之间的函数关系式为：y 1= –34x 2+32x +94；(II)∵y 1= –34x 2+32x +94，∴y 1= –34(x –1)2+3，∴直线l 为x =1，顶点M (1，3)． ①由题意得，t ≠3，如图，记直线l 与直线l ′交于点C (1，t )，当点A 与点C 不重合时， ∵由已知得，AM 与BP 互相垂直平分， ∴四边形ANMP 为菱形， ∴P A ∥l ，又∵点P (x ，y 2)， ∴点A (x ，t ) (x ≠1)， ∴PM =P A =|y 2–t |，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则点Q (1，y 2)， ∴QM =|y 2–3|，PQ =AC =|x –1|， 在Rt △PQM 中，∵PM 2=QM 2+PQ 2，即(y 2–t )2=(y 2–3)2+(x –1)2，整理得，y 2=162t -(x –1)2+32t +， 即y 2=162t -x 2–13t -x +21062t t--，∵当点A 与点C 重合时，点B 与点P 重合， ∴P (1，32t +)， ∴P 点坐标也满足上式，∴y 2与x 之间的函数关系式为y 2=162t -x 2–13t -x +21062tt-- (t ≠3)； ②根据题意，借助函数图象：当抛物线y 2开口方向向上时，6–2t ＞0，即t ＜3时，抛物线y 1的顶点M (1，3)，抛物线y 2的顶点(1，32t +)， ∵3＞32t +，∴不合题意，当抛物线y 2开口方向向下时，6–2t ＜0，即t ＞3时，y 1–y 2= –34(x –1)2+3–[162t -(x –1)2+32t +]=3114(3)t t --(x –1)2+32t -，若3t –11≠0，要使y 1＜y 2恒成立， 只要抛物线y =3114(3)t t --(x –1)2+32t -开口方向向下，且顶点(1，32t -)在x 轴下方，∵3–t ＜0，只要3t –11＞0，解得t ＞113，符合题意； 若3t –11=0，y 1–y 2= –13＜0，即t =113也符合题意．综上，可以使y 1＜y 2恒成立的t 的取值范围是t ≥113．2. (2012·天津)已知抛物线y =ax 2+bx +c (0＜2a ＜b )的顶点为P (x 0，y 0)，点A (1，y A )、B (0，y B )、 C (－1，y C )在该抛物线上．(Ⅰ)当a =1，b =4，c =10时，①求顶点P 的坐标；②求AB Cy y y -的值；(Ⅱ)当y 0≥0恒成立时，求AB Cy y y -的最小值．解：(Ⅰ)若a =1，b =4，c =10，此时抛物线的解析式为y =x 2+4x +10. ①∵y =x 2+4x +10=(x +2)2+6，∴抛物线的顶点坐标为P (－2，6). ②∵点A (1，y A )、B (0，y B )、C (－1，y C )在抛物线y =x 2+4x +10上， ∴y A =15，y B =10，y C =7.∴155107A B C y y y ==--.(Ⅱ)由0＜2a ＜b ，得012bx a=--＜. 由题意，如图过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1， 则AA 1=y A ，OA 1=1.连接BC ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ， 则BD =y B －y C ，CD =1.过点A 作AF ∥BC ，交抛物线于点E (x 1，y E )， 交x 轴于点F (x 2，0).则∠F AA 1=∠CBD .∴Rt △AF A 1∽Rt △BCD .∴11AA FA BD CD = ，即22111A B C y x x y y -==--. 过点E 作EG ⊥AA 1于点G ，易得△AEG ∽△BCD . ∴AG EG BD CD =，即A EB Cy y y y --=1–x 1. ∵点A (1，y A )、B (0，y B )、C (－1，y C )、E (x 1，y E )在抛物线y =ax 2+bx +c 上， ∴y A =a +b +c ，y B =c ，y C =a －b +c ，y E =ax 12+bx 1+c ，∴2111()()1()a b c ax bx c x c a b c ++-++=---+，化简，得x 12＋x 1－2=0，解得x 1=－2(x 1=1舍去).∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1. 则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3.∴AB Cy y y -的最小值为3.解法2：(Ⅱ)解：设m ＞0，由于b ＞2a ＞0，令b =2a +m 当y 0≥0恒成立时，应有b 2–4ac ≤0 ∴(2a +m )2–4ac ≤0 ∵a ＞0∴c ≥2(2)4a m a +=2(2)4a m a +–2m +2m =2(2)4a m a-+2m∵2(2)4a m a-≥0∴c ≥2m∵点A (1,y A )、B (0,y B )、C (–1,y C )在抛物线y =ax 2+bx +c 上 ∴y A =a +b +c , y B =c , y C = a –b +c ∴A B C y y y -=()a b cc a b c ++--+= a b c b a ++-代入b =2a +m ,得AB Cy y y -= 22a a m c a m a ++++-= 2a m a c a m ++++= 21a c a m +++∵c ≥2m , ∴AB Cy y y -= 21a c a m +++≥221a m a m +++=3∴AB Cy y y -的最小值为3解法3：A (1,a +b +c )、B (0,c )、C (–1,a –b +c )由B (0,c )、C (–1,a –b +c )得直线BC 为y =(b –a )x +c ∵AE ∥BC ∴设直线AE 为y =(b –a )x +m将A (1,a +b +c )代入上式，得m =2a +c . ∴直线AE 为y =(b –a )x +2a +c由()2–2y b a x a c y ax bx c⎧=++⎪⎨=++⎪⎩得x 2+x –2=0. 解得E 点横坐标为x 1=–2(x 1=1舍去)∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1. 则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3.∴AB Cy y y -的最小值为3.3. (2011·天津)已知抛物线1C ：21112y x x =-+．点F (1，1)． (Ⅰ) 求抛物线1C 的顶点坐标；(Ⅱ) ①若抛物线1C 与y 轴的交点为A ．连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证：112AF BF+= ②抛物线1C 上任意一点P (P P x y ，))(01P x <<)．连接PF ．并延长交抛物线1C 于点Q (Q Q x y ，)，试判断112PF QF+=是否成立？请说明理由； (Ⅲ) 将抛物线1C 作适当的平移．得抛物线2C ：221()2y x h =-，若2x m <≤时．2y x ≤恒成立，求m 的最大值．解 (I)∵2211111(1)222y x x x =-+=-+， ∴抛物线1C 的顶点坐标为(112， )．(II)①根据题意，可得点A (0，1)， ∵F (1，1)．∴AB ∥x 轴．得AF =BF =1，112AF BF+= ②112PF QF+=成立． 理由如下：如图，过点P (P P x y ，)作PM ⊥AB 于点M ，则FM =1P x -，PM =1P y -(01P x <<) ∴Rt △PMF 中，由勾股定理，得22222(1)(1)P P PF FM PM x y =+=-+-又点P (P P x y ，)在抛物线1C 上， 得211(1)22P P y x =-+，即2(1)21P P x y -=- ∴22221(1)P P P PF y y y =-+-= 即P PF y =．过点Q (Q Q x y ，)作QN ⊥A B ，与AB 的延长线交于点N ， 同理可得Q QF y =．图文∠PMF =∠QNF =90°，∠MFP =∠NFQ ，∴△PMF ∽△QNF 有PF PMQF QN= 这里11P PM y PF =-=-，11Q QN y QF =-=-x∴11PF PFQF QF -=- 即112PF QF+= (Ⅲ) 令3y x =，设其图象与抛物线2C 交点的横坐标为0x ，x 0′，且0x < x 0′， ∵抛物线2C 可以看作是抛物线212y x =左右平移得到的， 观察图象．随着抛物线2C 向右不断平移，0x ，x 0′ 的值不断增大， ∴当满足2x m <≤，．2y x ≤恒成立时，m 的最大值在x 0′ 处取得. 可得当02x =时．所对应的x 0′ 即为m 的最大值．于是，将02x =带入21()2x h x -=，有21(2)22h -=解得4h =或0h =(舍) ∴221(4)2y x =-此时，23y y =，得21(4)2x x -=解得02x =，x 0′=8 ∴m 的最大值为8.4. (2010·天津)在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E . (Ⅰ)若2b =，3c =，求此时抛物线顶点E 的坐标；(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE = S △ABC ，求此时直线BC 的解析式；(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE = 2S △AOC ，且顶点E恰好落在直线43y x =-+上，求此时抛物线的解析式.解：(Ⅰ)当2b =，3c =时，抛物线的解析式为223y x x =-++，即2(1)4y x =--+.∴ 抛物线顶点E 的坐标为(1，4)． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移，则顶点E 在对称轴1x =上，有2b =，∴ 抛物线的解析式为22y x x c =-++(0c >)．∴ 此时，抛物线与y 轴的交点为0( )C c ，，顶点为1( 1)E c +，． ∵ 方程220x x c -++=的两个根为11x =21x = ∴ 此时，抛物线与x轴的交点为10()A，10()B ． 如图，过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，则S △BCE = S △BCF ． ∵ S △BCE = S △ABC ， ∴ S △BCF = S △ABC ． ∴BF AB ==设对称轴1x =与x 轴交于点D ，则12DF AB BF =+= 由EF ∥CB ，得EFD CBO ∠=∠． ∴ Rt △EDF ∽Rt △COB ．有ED CODF OB=． ∴=54c =． ∴ 点54(0 )C ，，52( 0)B ，．设直线BC 的解析式为y mx n =+，则5,450.2n m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得 1,25.4m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴ 直线BC 的解析式为1524y x =-+. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分(Ⅲ)根据题意，设抛物线的顶点为( )E h k ，，(0h >，0k >) 则抛物线的解析式为2()y x h k =--+， 此时，抛物线与y 轴的交点为2(0 )C h k -+，，与x轴的交点为0()A h，0()B h0h >>) 过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ， 则S △BCE = S △BCF . 由S △BCE = 2S △AOC ，x∴ S △BCF = 2S △AOC . 得2)BF AO h ==. 设该抛物线的对称轴与x 轴交于点D .则 122DF AB BF h =+=. 于是，由Rt △EDF ∽Rt △COB ，有ED CODF OB=．∴2=2220h k -+=．结合题意，解得 h =① ∵ 点( )E h k ，在直线43y x =-+上，有43k h =-+． ②∴ 1=． 有1k =，12h =．∴ 抛物线的解析式为234y x x =-++． ．．．．．．．．．．10分5. (2009·天津)已知函数y 1=x ，y 2=x 2+bx+c ，α，β为方程y 1–y 2=0的两个根，点M (t ,T )在函数y 2的图象上． (Ⅰ)若α=13，β=12，求函数y 2的解析式； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ,B ，当△ABM 的面积为3112时，求t 的值； (Ⅲ)若0＜α＜β＜1，当01t <<时，试确定T ，α，β三者之间的大小关系，并说明理由.解:(Ⅰ)212120y x y x bx c y y ==++-=，，，()210x b x c ∴+-+=.将1132αβ==，分别代入()210x b x c +-+=，得 ()()22111110103322b c b c ⎛⎫⎛⎫+-⨯+=+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 解得1166b c ==，. ∴函数2y 的解析式为2y 25166x x =-+．另解第(Ⅰ)问：比较系数法∵α＝13，β＝12是方程的两个根，∴11()()032x x --=，即251066x x -+=． …… ①∵120y y -=， ∴2(1)0x b x c +-+=． …… ②方程①，②相同，比较系数得 516b -=-，即16b =，16c =．∴221166y x x =++另解第(Ⅰ)问：韦达定理法 ∵α+β=56αβ=16∴α、β是一元二次方程251066x x -+=的两个根又α、β是一元二次方程2(1)0x b x c +-+=的两个根∴比较系数得 516b -=-，即16b =，16c =．∴221166y x x =++(Ⅱ)由已知，得AB ，设△ABM 的高为h ，31121212ABM S AB h h ∴===△·1144=. 根据题意，t T -=，∴t T -=1144由21166T t t =++，得251166144t t -+-=. 当251166144t t -+=-时，解得12512t t ==；当251166144t t -+=时，解得34551212t t +==. ∴t 的值为555121212+，，另解第(Ⅱ)问：方法1：过点M 作x 轴的垂线，与y x =交于点N ，111()(||)223ABM S T t ∆=--，21166T t t =++，解得 1512t =，2t =，3t =．方法2：当t α<<β时，S △ABM ＝S △ABC －S △ADM －S 梯形MDCB ，即311111*********()()()()[()()]()122232323323232t T T t =-------+--，解得 1512t =． 同理，当0t <<α时，3111111111111()()()()[()()]()1222223323223t T t T T T =-------+--，解得2t =． 当1t β<<时，即311111*********()()()()[()()]()122332232323232t T T t =-------+--，解得3t =． 方法3：∵11(,)33A ，11(,)22B ， ∴||AB =．设在△ABM 中以AB 为底的高为h ，则h y x =向上或向下平移1144个单位，得31144y x =-，41144y x =+．解3y 与2y 的交点，得1512t =，解4y 与2y 的交点，得2t =3t =．注：第二问的每一种解法都充分利用了数形结合数学思想，特别是利用直线y =x 的本质特征，使T 、t 转化为统一级别的量再运算. (Ⅲ)由已知，得222b c b c T t bt c αααβββ=++=++=++，，.()()T t t b ααα∴-=-++， ()()T t t b βββ-=-++，()()22b c b c αβααββ-=++-++，化简得()()10b αβαβ-++-=.01αβ<<<，得0αβ-≠， 10b αβ∴++-=.有1010b b αββα+=->+=->，. 又01t <<，0t b α∴++>，0t b β++>，∴当0t a <≤时，T αβ≤≤；当t αβ<≤时，T αβ<≤； 当1t β<<时，T αβ<<.第(Ⅲ)问：图象分析法 ①当对称轴在y 轴左侧时，在0＜x ＜1，y 随x 的增大而增大， ②当对称轴在y 轴右侧时，当α＜t ≤β时，α＜T ≤β； 当β＜t ＜1时，α＜β＜T ．6. (2008·天津)已知抛物线c bx ax y ++=232，(Ⅰ)若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标； (Ⅱ)若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； (Ⅲ)若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．解(Ⅰ)当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，312=x ． ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103⎛⎫ ⎪⎝⎭，． (Ⅱ)当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=∆≥0，有c ≤31．①当31=c 时，由方程031232=++x x ，解得3121-==x x ． 此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ②当31<c 时， 11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，c c y +=++=5232．由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31-=x ，应有1200.y y ⎧⎨>⎩≤， 即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，解得51c -<-≤． 综上，31=c 或51c -<-≤．第(Ⅱ)问解法二(图象法)或103c ∆=⇒=； 或 01010x y x y ∆>⎧⎪=-≤⇒⎨⎪=>⎩时时51c -<-≤综上，31=c 或51c -<-≤． (Ⅲ)对于二次函数c bx ax y ++=232，由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ， 又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23． 于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ．∴0>>c a ．∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式0])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b ，∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． 又该抛物线的对称轴abx 3-=， 由0=++c b a ，0>c ，,c a b o ∴-=+<b a ∴<- 又02>+b a ， 得a b a -<<-2，∴32331<-<a b ． 又由已知01=x 时，01>y ；12=x 时，02>y ，观察图象， 可知在10<<x 范围内，该抛物线与x 轴有两个公共点． 说明：适时画出图象草图更能说明问题，体现数形结合.。

天津中考数学第24题（几何压轴题）思路分析及真题练习思路分析：观察近几年的中考真题可以发现，每年倒数第二题的出题形式，都是将几何图形放在平面直角坐标系中。

但是，由于解析几何要到高中才学，所以坐标系在这里其实只能起到一个确定点的坐标的作用。

当然，如果把直线看成一次函数图像，一次函数解析式就是直线方程，也就可以将直线交点问题，转化为方程组求解问题，但在这道题中通常都不需要这样做。

题目每年都会对几何图形进行变换，近六年的变换规律是：旋转、对称、旋转、对称、旋转、平移，明年应该大概率是旋转。

因为无论是对称变换、旋转变换还是平移变换，图形的大小和形状都不会发生改变，所以每年的题目都会涉及到全等。

由于在图形变换的过程中，全等的判定通常都是比较容易的，所以本题对全等的考察又主要在全等性质的应用上。

题目设问无论是点的坐标、线段的长还是图形的面积，其核心都是求距离。

所有的距离又都可以转化为求两点间的距离或求点到直线间的距离。

任意两点之间的距离公式虽然要高中才学，但我们可以将两点之间的距离转化为求一个直角三角形的斜边长，用勾股定理求解。

因此，我们会发现每年的题目中几乎都会涉及到勾股定理。

任意点到任意直线的距离公式也要到高中才会学习，但对于一些特殊情况，我们现在就可以做了。

每年的第一问，都是送分问，用一次勾股定理基本都可以解决。

第二问和第三问，解题的关键是要抓住全等的性质和特殊三角形。

第三问通常也会和其它知识点结合，但涉及的都是一些基础知识点，基本功扎实的同学，问题都不大。

最后提醒一下，当对图形进行旋转变换时，尤其需要注意其与圆的结合。

在研究点、直线、圆和圆的位置关系时，只需要研究它们和圆心的位置关系即可。

而在旋转变换时，旋转中心自然就是圆心。

真题练习参考答案。

2024-2025学年度天津市中考数学模拟试卷 压轴4卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分1．计算：（﹣5）+3 的结果是（ ）A .﹣2B .﹣8C .2D .82．tan60°的值等于（）A . 12B .C .D .3．大自然中存在许多对称现象，下列植物叶子的图案中既是轴对称，又是中心对称图形的是（）A .B .C .D . 4．据统计去年来国内旅游人数达到 9.98 亿人次，用科学记数法表示 9.98 亿正确的是（）A .9.98×107B .0.998×109C .9.98×108D .99.8×107 5．如图是由 6 个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）A .B .C .D .6） A .2 和 3 之间B .3 和 4 之间C .4 和 5 之间D .5 和 6 之间7．化简211x xx x+--的结果是（ ）A .xB .x ﹣1C .﹣xD .x +18．关于 x 的一元二次方程 (a -1) x 2 + x + a 2 -1 = 0 的一个根是 0，则 a 的值为（ ）A .1B .﹣1C .1 或﹣1D .129．如图数轴的 A 、B 、C 三点所表示的数分别为 a 、b 、c ．若|a ﹣b |=3，|b ﹣c |=5，且原点 O 与 A 、B 的距离 分别为 4、1，则关于 O 的位置，下列叙述何者正确？（ ）A .在 A 的左边B .介于 A 、B 之间C .介于 B 、C 之间D .在 C 的右边10．如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A ′处，点 B 落在点 B ′处，若∠2=40°， 则图中∠1 的度数为（ ） A .115° B .120° C .130°D .140°11．已知 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数 y =kx（k ≠0）图象上的两个点，当 x 1＜x 2＜0 时，y 1＞y 2，那 么一次函数 y =kx ﹣k 的图象不经过（ ）A .第一象限B .其次象限C .第三象限D .第四象限12. 二次函数 y = -( x -1)2+ 5 ，当 m ≤x ≤n 且 mn ＜0 时，y 的最小值为 2m ，最大值为 2n ，则 m +n 的值为 A . 52B . 3C . 32D . 12二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分13. 4 - (-2)2=14.计算： (5- 2)(5 + 2)= ．2024202415.不透亮的袋子里装有将 10 个乒乓球，其中 5 个白色的，2 个黄色的，3 个红色的，这些乒乓球除颜色外全相同，从中随意摸出一个，则摸出白色乒乓球的概率是 ．16.某盏路灯照耀的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高 AO =8 米，母线 AB 与底面半径 OB 的夹角为 α， tan α =43，则圆锥的侧面积是 平方米（结果保留 π）． 17.如图，∠AOB =30°，点 M 、N 分别是射线 OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且 OP =6，△PMN 的周长最 小值为．18. 如图，在每个小正方形的边长为1 的网格中，取格点A、B、C 并连接AB，BC.取格点D、E 并连接，交AB 于点F．（Ⅰ）BF 的长等于；（Ⅱ）若点G 在线段BC 上，且满意AF+CG=FG,请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，确定点G 的位置，并简要说明点G 的位置是如何找到的（不要求证明）．（学而思原创题）三、综合题：本大题共7 小题，共66 分19．（8 分）解不等式2(2)3(1)134x xx x-≤-⎧⎪+⎨⎪⎩请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．（8 分）为了解某中学学生对“厉行勤俭节约，反对铺张奢侈”主题活动的参加状况．大宝在全校范围内随机抽取了若干名学生并就某日午饭奢侈饭菜状况进行了调查．将调查内容分为四组：A．饭和菜全部吃完；B．有剩饭但菜吃完；C．饭吃完但菜有剩；D．饭和菜都有剩．依据调查结果，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图．回答下列问题：（Ⅰ）这次被抽查的学生共有人，扇形统计图中，“B 组”所对应的圆心角的度数为；（Ⅱ）补全条形统计图；（Ⅲ）已知该中学共有学生2500 人，请估计这日午饭有剩饭的学生人数；若按平均每人剩10 克米饭计算，这日午饭将奢侈多少千克米饭？21．（10 分）如图1，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 交边BC 于点E，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D，且ED⊥AC．（Ⅰ）试推断△ABC 的形态，并说明理由；（Ⅱ）如图2，若线段AB、DE 的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2，求⊙O 的半径和BF 的长．22．（10 分）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A 处飞机的飞行高度是AF=3700 米，从飞机上观测山顶目标C 的俯角是45°，飞机接着以相同的高度飞行300 米到B 处，此时观测目标C 的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．23．（10 分）某工厂安排聘请A、B 两个工种的工人共120 人，A、B 两个工种的工人月工资分别为1600 元和2024 元．（Ⅰ）若某工厂每月支付的工人工资为220240 元，那么A、B 两个工种的工人各聘请多少人？设聘请A 工种的工人A 工种人数的2 倍，那么聘请A 工种的工人多少人时，可使工厂每月支付的工人工资最少？24．（10 分）如图1，点A 是x 轴正半轴上的动点，点B 坐标为（0，4），M 是线段AB 的中点，将点M 绕点A 顺时针方向旋转90°得到点C，过点C 作x 轴的垂线，垂足为F，过点B 作y 轴的垂线与直线CF 相交于点E，点D 是点A 关于直线CF 的对称点，连结AC，BC，CD，设点A 的横坐标为t．（Ⅰ）当t=2 时，求CF 的长；（Ⅱ）①当t 为何值时，点C 落在线段BD 上；②设△BCE 的面积为S，当0<t<8 时，求S 与t 之间的函数关系式；（Ⅲ）如图2，当点C 与点E 重合时，将△CDF 沿x 轴左右平移得到△C'D'F'，再将A，B，C'，D'为顶点的四边形沿C'F'剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请干脆写出全部符合上述条件的点C'的坐标．25．（10 分）在平面直角坐标系中，点 O 为原点，平行于 x 轴的直线与抛物线 L ：y =ax 2 相交于 A ，B 两点（点 B 在第一象 限），点 D 在 AB 的延长线上． （Ⅰ）已知 a =1，点 B 的纵坐标为 2． ①如图 1，向右平移抛物线 L 使该抛物线过点 B ，与 AB 的延长线交于点 C ，求 AC 的长．②如图 2，若BD = 12AB ，过点 B ，D 的抛物线 L ，其顶点 M 在 x 轴上，求该抛物线的函数表达式．（Ⅱ）如图 3，若 BD =AB ，过 O ，B ，D 三点的抛物线 L 3，顶点为 P ，对应函数的二次项系数为 a 3，过点 P作 PE ∥x 轴，交抛物线 L 于 E ，F 两点，求32a a的值，并干脆写出AB EF 的值．。

押中考数学第25-26题（解答压轴题：函数探究）专题诠释：函数探究，历年作为中考数学的压轴题出现，难度大，综合性强。

但是这道题本身的难度跨度也比较大，一般第一问较简单，然后逐渐变难。

因此，这种题的策略就是先把基础题做对，逐渐攻克中等题和难题，尽量拿到更多的分数！知识点一：一次函数探究〖押题冲关〗1．（2023·天津西青·统考一模）在平面直角坐标系中，O为原点，△DOE是等腰直角三角形，∠ODE=90°，DO=DE=3，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形ABCO的顶点B(4,2)，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将△DOE沿x轴向右平移，得到△D′O′E′，点D，O，E的对应点分别为D′，O′，E′．(1)如图1，当E′O′经过点A时，求点E′的坐标；(2)设OO′=t，△D′O′E′与矩形ABCO重叠部分的面积为S；①如图②，当△D′O′E′与矩形ABCO重叠部分为五边形时，D′E′与AB相交于点M，E′O′分别与A B，BC交于点N，P，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；的所有t的值．②请直接写出满足S=722．（2023·陕西宝鸡·统考二模）太白山国家森林公园位于秦岭主峰太白山北麓的陕西省宝鸡市眉县境内，公园以森林景观为主体，苍山奇峰为骨架，清溪碧潭为脉络，文物古迹点缀其间，自然景观与人文景观浑然一体，是中国西部不可多得的自然风光旅游区，被誉为中国西部的一颗绿色明珠．小明一家准备去离家200千米的该景区自驾游，如图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．(1)他们出发半小时时，离家______千米；(2)出发1小时后，在服务区等候另一家人一同前往，然后，以匀速直达目的地．①求BC所在直线的函数解析式；②出发3小时时，他们距终点还有多少千米？3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图1，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=−x+b与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C作直线BC⊥AC，交x轴于点B，且线段AB=8．(1)求直线BC的解析式；(2)如图2，点D是线段AC上一点，点E在BD的延长线上，连接CE，AE，若∠CED=45°，求证：AE⊥BE；(3)如图3，在（2）的条件下，点G为第四象限内一点，且点E的横坐标小于点G的横坐标，连接AG，OG，且∠AGO=150°，连接EG交x轴于点F，使EG=AE．点M为第二象限内一点，连接MG交x轴于点P，交y轴于点N，连接OM，使OM=AG，若PF=√6FG，∠AGP+∠M=180°，求点N的坐标．4．（2023·江苏徐州·统考一模）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离y （米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．(1)甲、乙何时相遇？相遇时甲的速度为多少？(2)求乙到达目的地时，两人之间的距离；(3)求出线段AB所表示的函数关系式．5．（2023·陕西西安·统考二模）如图，已知直线l:y=kx+b与x轴、y轴分别交于A，B两点，且OA=2OB=8，x轴上一点C的坐标为(6,0)，P是直线l上一点．(1)求直线l的函数表达式；(2)连接OP和CP，当点P的横坐标为2时，求△COP的面积．知识点二：二次函数探究〖押题冲关〗1．（2023·四川成都·统考二模）如图1，已知一次函数y=−x+3的图象与y轴，x轴相交于点A，B，抛物线y=−x2+bx+c与y轴交于点C，顶点M在直线AB上，设点M横坐标为m．(1)如图2，当m=3时，求此时抛物线y=−x2+bx+c的函数表达式；(2)求当m为何值时，点C的纵坐标最大；(3)如图3，当m=0时，此时的抛物线y=−x2+bx+c与直线y=kx+2相交于D，E两点，连接AD，AE并延长，分别与x轴交于P，Q两点．试探究OP⋅OQ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2．（2023·湖北恩施·统考一模）已知直线y=x−1与x轴交于点A，过x轴上A，C两点的抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点B，与直线y=x−1交于D且OB=OC，(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点M是抛物线对称轴l上一动点，当△CDM的周长最小时，求△CDM的面积；(4)点P是抛物线上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，DP，若△ADP的面积等于3，求点P的坐标．x+b与抛物线y=ax2交于A，B两点，3．（2023·广西崇左·统考二模）如图1，直线y=−12与y轴交于点C，其中点A的坐标为(−4,8)．(1)求a，b的值．(2)将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D．①判断点D是否在抛物线上，并说明理由．②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段OC 上．若△GEF∽△DBA，求出点G的坐标．x+c(a≠0)与x轴交于A(−2，0)，4．（2023·四川南充·统考一模）如图1，抛物线y=ax2+23B两点，与y轴交于点C(0，4)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是第一象限内抛物线上的一点，AD与BC交于点E，且AE=5DE，求点D的坐标；若(3)如图2，已知点M(0，1)，抛物线上是否存在点P，使锐角∠MBP满足tan∠MBP=12存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．5．（2023·四川成都·统考二模）如图，Rt△ABC的顶点A(−1,0)，B(4,0)，直角顶点C在y 轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发以2个单位/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以√5个单位/s的速度沿CB向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接CP、PQ，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标及最大面积；(3)如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点G(0,4)，若设直线GE的解析式为y=mx+4，直线GF的解析式为y=nx+4，试探究：m+n是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．x2+bx−3的6．（2023·江苏常州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−13图像与x轴交于点A和点B(9,0)，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB=∠BCO，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且cos∠AQB=3，点M在y轴正半轴，∠MBO=45°，线段MQ是5否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．7．（2023·广东汕尾·统考二模）如图，抛物线y=−x2+3x+4与x轴交于A、B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点E为线段BC上的一点，直线AE与抛物线交于点H．(1)直接写出A、B、C三点的坐标，并求出直线BC的表达式；(2)连接HB、HC，求△HBC面积的最大值；(3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．8．（2023·辽宁本溪·统考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，若点E是直线BC上方抛物线上的点，EG⊥x轴于点G，交BC于点F，当tan∠CEF=2时，求点E的坐标；(3)如图②，点P(m,0)在线段OB上，点Q线段CB上，且BQ=√2OP．以PQ为边作矩形PQNM，使点M在y轴上，直接写出当m为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．9．（2023·四川成都·统考二模）如图1，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C，直线BC的函数表达式为y=x+m，直线x=1与x轴交于点D，P为该直线上一动点，连接PB，将PB绕P顺时针旋转一定角度得到PQ．(1)求二次函数与直线BC的函数表达式．(2)如图1，若点Q恰好落在抛物线位于第四象限的图像上，连接AQ交BC于点E，连接AC，CQ，当△CEQ与△ACE的面积之比最大时，求点P的坐标．(3)如图2，若∠BPQ=90°，在点P运动过程中，当点Q落在抛物线上时，求点Q的坐标，连接BQ，DQ，请直接写出△BDQ周长的最小值．10．（2023·山西晋中·统考一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−23x2+43x+2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线AM，BM，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，DE+DF的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．。