函数对称性
一 知识点精讲：
I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）
1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=
的对称点为00(,)
Q a b x y +-，00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==
∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x +=
对称. 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称
2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2
(c b a +对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(
,)2a b c +的对称点为00(,2)
Q a b x c y +--，00()[()]f a b x f b x a +-=-+0002[()]2()2c f b b x c f x c y =---=-=-
∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,)2
a b c +对称. 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
推论3、b x a f x f 2)2()(=++-
?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 II 两个函数的图象对称性（相互对称）
1、)(x f y =与)(x f y -=图象关于y 轴对称
2、)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数
3、函数)(x f y
=与()y f x =-图象关于x 轴对称 4、函数)(x f y =与其反函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称
5.函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线2a b x
-=对称 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线
2
b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --，000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线
2
b a x -=
的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2
b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称
推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称
推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2
b a -对称. 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点
(,0)2
b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=- ∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2
b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.
二 典例解析：
1、定义在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时,
5
12)(+
=x x f ,则=)20(log 2f ________。 解析：)(x f y =关于直线1=x 对称，)2()(x f x f +=-，又 是)(x f 奇函数， )()(x f x f -=-，故有)()2(x f x f -=+，4=T , )420(log )20(log 22-=f f 1512)54(log )45(log 54
log 222-=--=-==f f 答案为：1-
2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__对称。 解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知)(x f y =图象关于)0,1(对称
3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于______对称。
解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于1=x 对称 答案：1=x
4、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于_______对称。
解析：这是一个函数的对称性，)(x f y =的图象关于y 轴即0=x 对称 答案：0=x
5、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于______对称。
解析：)(x f y =关于直线1=x 对称，)1(+=x f y 是由)(x f y =向左平移一个单位得到
的， 故)1(+=x f y 的图象关y 轴对称 正确答案为y 轴
6、设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)(x f y =关于______对称，)2(x f y =图象关于________对称，。
解析：令x t 2=， 则有 )()1(t f t f =- ∴)(t f y = 关于直线2
1=t ， 即)(x f y =关于21=x 对称，)2(x f y =是由)(x f y =的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2
1，)2(x f y =关于41=x 对称。 正确答案为21=x ，4
1=x 7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为_______
解析：)(x f y =的图象关于直线3=x 对称，故五个实根，有两对关于直线3=x 对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为15
8、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，
①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称；
②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称；
③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称；
④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称，
其中正确命题序号为_______。
解析：① 错 )2(+=x f y 关于直线2-=x 对称，② 对 ③错 若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线0=x 对称；④ 对 正确答案为②④