勾股定理题型总结 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
勾股定理
1:勾股定理
2、勾股逆定理 3:勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:
4EFGH
S S S ?+=正方形正方形ABCD
,2214()2ab b a c ?+-=,化简可证.
方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
22
1
422S ab c ab c =?+=+
大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=
方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,
2
11
2S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证
4:勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222
a b c +=中,a ,b ,
c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数
②记住常见勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25;8,15,17;
9,40,41等
③用含字母的代数式表示n 组勾股数:22
1,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);
2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)
勾股定理典型例题及专项训练 专题一:直接考查勾股定理
1.已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。
2、已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD 的面积。 3:在?ABC 中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC 的长为多少
4:已知如图,在△ABC 中,∠C=60°,AB=34,AC=4,AD 是BC 边上的高,求BC 的长。
c
b
a H
G F E
D
C
B
A
D C
B
A
E
C
B
A
5、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,设AB=c ,AC=b ,BC=a ,CD=h 。
求证:222
111h b a
=+ 6.如图,△ABC 中,AB=AC ,∠A=45o ,AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于D 、E ,若
CD=1,则BD 等于( ) A .1 B .
C .
D .
7.已知一直角三角形的斜边长是2,周长是2+6,求这个三角形的面积. 8.如图Rt ABC ?,90C ∠=?3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积 6.如图,△ABC 中,AB=AC=20,BC=32,D 是BC 上一点,且AD ⊥AC ,求BD 的长. 7.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,P 是△ABC 内一点,满足PA=3,PB=1,?PC=2,求∠BPC 的度数.
8. 已知△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
(1)AD 平分∠BAC,交BC 于D 点,求CD 长 (2)BE 平分∠ABC,交AC 于E ,求CE 长 专题二 勾股定理的证明 1、如图,直线l 上有三个正方形a b c ,,,若a c ,的面积分别为5和11,则b 的面积为( )
(A)4 (B)6 (C)16 (D)55
2、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案,其中四边形ABCD 和EF 都是正方形. 证:△ABF ≌△DAE
3、图①是一个边长为()m n +的正方形,小颖将 图①中的阴影部分拼成图②的形状,由图①和图②
能验证的式子是( )
A .22()()4m n m n mn +--=
B .222()()2m n m n mn +-+=
C .2
2
2
()2m n mn m n -+=+ D .2
2
()()m n m n m n +-=-
专题三 网格中的勾股定理
1、如图1,在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )
(A )CD 、EF 、GH (B )AB 、EF 、GH (C )AB 、CD 、GH (D )AB 、CD 、EF
A
B
C
D
E
F
G
H
a b
c ← → → ←
m n m n
m
n 图① 图②
第3题图
C
A
A
B
C
A
B
C
2、如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC 中,边长为无理数的边数是( )
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
3、(2010年四川省眉山市)如图,每个小正方形的边长为1,A 、B 、C 是小正方形
的顶点,则∠ABC 的度数为( )
A .90°
B .60°
C .45°
D .30°
4、如图,小正方形边长为1,连接小正方形的三个得到,可得△ABC ,则边AC 上的高为( )
A. 223
B. 5103
C. 553
D. 5
54
5、如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点称为格点,请以图中的格点为顶点画一个边长为3、
、
的三角形.所画的
三角形是直角三角形吗说明理由.
6、如图,每个小正方形的边长是1,在图中画出面积为2的三个形状不同的三角形(要求顶点在交点处,其中至少有一个钝角三角形) 专题四 实际应用建模测长
1、如图(8),水池中离岸边D 点米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 的长是米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC.
2、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开
3、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,如图,据气象观测,距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30o 方向往C 移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或走过四级,则称为受台风影响. (1)该城市是否会受到这交台风的影响请说明理由.
(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市持续时间有多少 (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级 专题五 梯子问题
1、如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米
2、一架方梯长25米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,(1)这个梯子的顶端距地面有多高(2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米
3、如图,梯子AB 斜靠在墙面上,AC ⊥BC ,AC=BC ,当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时,梯足B 沿CB 方向滑动y 米,则x 与y 的大小关系是( )
C'
C
B
A
D
A
A
D B C
E A D B C A. y x = B. y x > C. y x < D. 不能确定
专题六 最短路线
1、如图,学校教学楼旁有一块矩形花铺,有极少数同学为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了( )步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.
A 、6
B 、5
C 、4
D 、3
2、如图,一圆柱体的底面周长为20㎝,高AB 为10㎝,BC 是上底面的直径。一蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C ,试求出爬行的最短路程。
3、如图,有一个圆柱体,底面周长为20㎝,高AB 为10㎝,在圆柱的下
底面A 点处有一只蚂蚁,它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端C 点处,
那么它所行走的路程是多少
4、如图,假如这是一个圆柱体的玻璃杯, AD 是杯底直径,C 是杯口一点,其他已知条件不变,蚂蚁从外部点A 处爬到杯子的内壁到达高CD 的中点E 处,最短该走多远呢(杯子的厚度不计)
5、如
图,一只蚂蚁从一个棱长为1米,且封闭的正方体盒子外部的顶点A 向顶点B 爬行,问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米
6、如图,长方体的长为15cm ,宽为10cm 为20cm ,点B 到点
C 的距离为5cm ,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A 点爬到B 点,需
7、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为2m 、、,A 和B 是台阶上两个相对的顶点,A 点有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物,问蚂蚁沿着台阶爬行到B 点的最短路程是多少
.
专题七 折叠三角形
1、如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,求CD 的长.
2、如图,小颍同学折叠一个直角三角形的纸片,使A 与B 重合,折痕为DE ,若已知AC=10cm ,BC=6cm,你能求出CE 的长吗
3、如图, △ABC 的三边BC=3,AC=
4、AB=5,把△ABC 沿最长边AB 翻折后得到
△ABC ′,则CC ′的长等于( )
A.56
B.512
C.513
D.524
专题八 折叠四边形
1、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM, 求(1)CF 的长 (2)EC 的长. E D B
A C
A C B
A B C A
215 10 A
03 2
C'F
E B
D A
C
2、在矩形纸片ABCD 中,AD=4cm ,AB=10cm ,按图所示方式折叠,使点B 与点D 重合,折痕为
EF ,求(1)DE 的长;(2)EF 的长。 3.矩形纸片ABCD 的边长AB=4,AD=2.将矩形纸片沿EF 折叠,使点A 与点C 重合,折叠后在其一面着色(如图),则着色部分的面积为
_____________. 4、如图2-3,把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠,使点C 落在C ′的位置上,已知AB=?3,BC=7,重合部分△EBD 的面积为________.
5、如图5,将正方形ABCD 折叠,使顶点A 与CD 边上的点M 重合,折痕
交AD 于E ,交BC 于F ,边AB 折叠后与BC 边交于点G 。如果M 为CD 边
的中点,且DE=6,求正方形ABCD 的面积
6、矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为EF ,展开后再沿BG 折叠,使A 落在EF 上的A1,求第二次折痕BG 的长。 专题九 旋转问题:
1、如图,P 是等边三角形ABC 内一点,PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.
2、如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,E 、F 是BC 上的点,且∠EAF=45°,
试探究222
BE CF EF 、、间的关系,并说明理由.
3、如图所示,△ABC 是等腰直角三角形,AB=AC ,D 是斜边BC 的中点,E 、F 分别是AB 、AC 边上的点,且DE ⊥DF ,若BE=12,CF=5.求线段EF 的长。
4、如图所示,已知在?ABC 中,AB=AC ,∠BAC=?90,D 是BC 上任一点,求证:
BD 2
22
2AD CD =+。 A B
C
D G
第3题F
专题一:勾股定理与面积 知识点精讲: 类型一“勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题: 1.如图(16),大正方形的面积可以表示为,又可以表示为,由此可得等量关系______________________,整理后可得:___________. 2.图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( ) 3.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图,每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6,则大正方形与小正方形的面积差是() A.9 B.36 C.27 D.34 4.如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3=________. 5.如图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,已知S1=4,S2=9,S3=8,S4=10,则S=() A.25 B.31 C.32 D.40 6.如图,已知在Rt ABC △中,? = ∠90 ACB,4 AB=,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为1S,2S, 则 12 S S +的值等于________ 7.如图,已知直角△ABC的两直角边分别为6,8,分别以其三边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积是________.8.如图所示为一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②,…,依此类推,若正方形①的面积为64,则正方形⑤的面积为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 a a a a b b b b c c c c 图(16) 8 6 C B A
勾股定理复习小结 一、 二. 1、 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形 (1) 先确定最大边(如c ) (2) 验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系 (3) 若2 c =22b a +,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形;若2c ≠2 2b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、 勾股数 满足2 2 b a +=2 c 的三个正整数,称为勾股数 如(1)3,4,5; (2)5,12,13; (3)6,8,10;(4)8,15,17 (5)7,24,25 (6)9, 40, 41 勾股定理培优经典题型归纳 题型一:利用勾股定理解决实际问题 训练1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开? 训练2、如图,公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇,点A 处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响 的时间为多少?
题型二、与勾股定理有关的图形问题 训练3.如图,直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ,点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____. 题型三、关于翻折问题 训练4、如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠,使AD 落在对角线BD 上,得折痕DG ,若AB = 2,BC = 1,求AG. 训练5、如图,把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,EC 与AD 相交于点F.若AB=4,BC=6,求△FAC 的周长和面积. 训练6、如图,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知cm CE 6=,cm AB 16=, 求BF 的长. G A B F E D C B A
勾股定理知识点归纳和题型归类 一.知识归纳 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
《勾股定理分类练习》 题型一:直接考查勾股定理:直角三角形中,若a, b 分别为直角边,c 为斜边,那么直角三 角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2 注意:直角三角形中,最长的边为斜边,较短的两边为直角边 1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积,则图中A 字母所代表的正方形面积是 2、 如图4,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的 边长为7cm,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2。 3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______ “知二求一”的题,可以直接利用勾股定理! 4、在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A .25 B .14 C .7 D .7或25 1、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 2、已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 3、已知△ABC ,∠A=90 °, ∠B=30°,AB=5,求AC,BC 的值. 题型三:勾股定理的逆定理: 1、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A .2,3,4 B .10,8,4 C .7,25,24 D .7,15,12 2、分别有下列几组数据:①6、8、10 ②12、1 3、5 ③ 17、8 、15 ④ 4、11、9其中能构成直角三形的有: ( ) A、4组 B、3组 C、2组 D、1组 3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形 4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题 题型四、与直角三角形面积相关
《勾股定理》典型例题 例1 在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗? 它的意思是说:如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位,那么它的斜边的长一定是5个长度单位,而且3、4、5这三个数有这样的关系:32+42=52. (1)请你动动脑筋,能否验证这个事实呢?该如何考虑呢? (2)请你观察下列图形,直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7,BC =4,请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72? 解: (1)边长的平方即以此边长为边的正方 形的面积,故可通过面积验证.分别以这个直 角三角形的三边为边向外做正方形,如右 图:AC =4,BC =3, S 正方形ABED =S 正方形FCGH -4S Rt △ABC =(3+4)2-4×2 1×3×4=72-24=25 即AB 2=25,又AC =4,BC =3, AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2 (2)如图(图见题干中图)
S 正方形ABED =S 正方形KLCJ -4S Rt △ABC =(4+7)2-4×2 1×4×7=121-56=65=42+72 例2 下图甲是任意一个直角三角形ABC ,它的两条直角边的边长分别为a 、b ,斜边长为c .如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形,放在边长为a +b 的正方形内. ①图乙和图丙中(1)(2)(3)是否为正方形?为什么? ②图中(1)(2)(3)的面积分别是多少? ③图中(1)(2)的面积之和是多少? ④图中(1)(2)的面积之和与正方形(3)的面积有什么关系?为什么? 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗? 解: ①图乙、图丙中(1)(2)(3)都是正方形.易得(1)是以a 为边长的正方形, (2)是以b 为边长的正方形,(3)的四条边长都是c ,且每个角都是直角,所以(3)是以c 为边长的正方形. ②图中(1)的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中(1)(2)面积之和为a 2+b 2. ④图中(1)(2)面积之和等于(3)的面积. 因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形,它们面积相等,(1)(2)的面