复射影空间中具有平坦法丛的一般子流形

、
流形 ，则 成立下 列积分 公式
Ｎ． ｏ ６
尹松庭等：复射影空间中具有平坦法丛的一般子流形
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其中 Ｖ Ｉ ＝ ｏ（ Ｍ） １它表示 Ｍ 的体积． ． 证 由 Ｊ 反称性知 ％ 磊 ０再据 Ｒｃｉ 等式 ・ ｉ ＇ ｃ匣
∑～ 叼
一 Ｊ 礁
即 啪 ＋
∑
Ｊ， 并利用 （ ，３，６ 式得 ２ 『 ）（） ）（ Ｉ
∑一
叼
利用式 （）（） ２，４ 式及引理卜２ ， ． 注意到当 Ｄ对合时， ｔ ：∑ ， 易得 ５ ｒ 皿 瘩 Ｖ．
（４ １）
日
∑Ｒ
ａｉ ｊ
＝ 蜀） Ｓ ｐ 一） ｎ ∑（ ＋ （ １ ２ ． 一 ｎ ＋ 日
Ｑ＿ ＞礼＋ １ 一
扎
＋ ２ Ｈ２ 佗
则 Ｐ＝１Ｍ ＝ ，
，ｌ ２ ｒ ＋ｒ ＝
． 其中 Ｑ为 Ｍ 的 Ｒｃｉ ｉ 曲率下确界 ｃ
２ 基本概念和公式
在本文 中，有关记号均采用文献 ［ 的记法．其中指标取值范围约定如下 ３ 】
， ， … ＝ ｌ … ｍ ， … ｍ ， １，
ｏ ｄｊ
将上式代入 （ ） １ 式中，两边积分之，由 Ｓｏｅ 定理便得 （ ） ４ ｔｋｓ １ 式 ３
＋
３ 定理的证 明
∑一
一
定理 １的证明 设 Ｍ” ｃ。 中具有平坦法丛，即 Ｒ ％ ． 在 ｊ旦 ＝０ 于是由 （ 式得 ６ ）
一
＝
∑（ 一 ￣￣ 舀 ｈｈ） ｋ ｊ ，
１ 引言 和 结 果
设 Ⅳ 是具有 近复结 构 ，的 Ｋａｈｅ 流形 ， Ｍ 是 Ⅳ 的等 距浸入 子流形 ，若 Ｍ 上每 点切 ， ｅｌ ｒ 空 间被 Ｌ 变换 到该 点法空 间 （ ， 切空 间） ，则称 Ｍ 为 Ⅳ 的全 实 （ ） 流形 ；若 Ｍ 上 每 中 全纯 子 点法 空 间被 ｔ变 换到该 点切 空 间中，则称 Ｍ 为 Ⅳ 的一般子 流形 ．特别地 ，当 ｃｄｍＭ ＝ １ ， ｏｉ 时， Ｍ 为 Ｊ ７ ｖ的实超 曲面 ．它们都 是特殊 的 —Ｒ 子流 形．关于全 实子 流形和 全纯子 流形 已有 许多研 究结 果 ，但 对于 一般子 流形 而言 ，研 究的文章相 对较 少 ，而且主要 集 中在 “ 极小 子 流形 ”和 “ 曲面 ”等情 形．这 主要 因为 一般 子流 形 的结 构复 杂，相关 计算 繁琐 ，如果不 超 对子 流形条 件 加以适 当限制 ，要得到漂 亮 的结果 是 困难 的 ． 本文 利用 活动标架 法研 究复射 影 空间 中具 有平 坦法丛 的 一般子 流形 ，将 文献 ｆ 中 “ ３ １ 极 小”情形 推 广到 “ 具有 平行 平均 曲率 向量”的情形 ．主要得 到 以下结果 ．
ｉ ， … ＝１… ｒ —Ｐ １ ・・Ｔ—ｐ ， —Ｐ ） … ｍ ； ，南 Ｊ ， ｎ ， ，・ ？ （ｔ ） （ ｍ ＋１ ，
， ，
７ ＝（ … ｍ—Ｐ ）… ｍ； ｓｔ ＝１… （ ＋１ ， ，… ， ， ｍ～ｐ， ， （ ）１ … ｍ—ｐ ）
， ， … ＝
黝
数学物理学报
ｈｔ： ａｔｍ ．ｉ ａ． ｔ ／ ｃ ｓ ｐ ｃｎ ｐ ／ ａ ｗ ｍ． ｃ
复射影空间中具有平坦法丛的一般子流形
尹松庭 宋 卫东
（ 安徽铜 陵学院数学与计 算机 系 安徽铜 陵 ２ ４ ０ ； ４ ０ ０ 。安徽师 范大学数学与计算机科 学学院 安徽芜湖 ２ １ ０ ） ４ ０ ０
Ｒ ＝（ ２ 一∑ 吁 ＋ ｔ 一 毳岛 礼 ） ３ ＋ ∑（ ｒ 风） Ｅ 九 Ｒ ｒ＋ ｎ ３— ＋ ｔ ＝ ２一ｐ Ｓ Ｅ（日） 。 ｒ 。
Ｒ吼＝ＦＦ 一 Ｆ ＋ ， 。 ｈｈ） ２ ； ∑ ｊｋ ｉ ￣ ｉ ｋｊ ｉ — ｉ
｛
＝
（） ５
∑（
定理 １ 复射影 空 间中具有 平坦法 丛 的全 测地 一般 子流形 是不存 在 的． 定理 ２ 设 Ｍ 为复 ２ 维 射影 空 间 Ｐ 中具有 平坦 法丛 和平 行平均 曲率 向量 的
实 ｎ维 一般 子流形 ．若 Ｍ 第 二基 本形式 模长 平方 Ｓ满 足
＜ 礼 一 １一 ｎ２ ２ Ｈ
ｌ… （ —ｐ ． ， ｍ ）
下 面设 ＣＰ 是 具 有 Ｆ ｂｎ—ｔｄ ｕ ｉｉ ｕ ｙ度 规 的复 ｒ 维射 影 空 间 ，其 常全 纯截 面 曲率为 ４ Ｓ ｔ ｔ ， 复 结 构 为 ｜ ， ． 为 ＣＰ 中实 ｎ 维 一般 子 流形 ．在 ＣＰｍ 中选取 局 部标 准 正交 标架 场
（
一
） ｐ 一） ：（ １ ｐ ，
（） １ ５
（６ １）
∑［Ｈｇ） ｔ凰 ） ＝ 一 ） ｔ ２２～ｒ ￣ （ （ ｐ １ ］
ａ
但 由已知 的结果
。
我们有
［（ 月２ 一ｔ（ ｔ ２ ｒ ） ｒ 风
ｐｐ一１ （ ）
Ｐ
ｓ． 。
当 Ｐ＞１ 时， Ｓ＞０定理结论显然成立；当 Ｐ ． ＝１ 时，据文献 【 中的一个引理 ，Ｃ ｎ中不 ６ ］ ｐ 存在全脐实超曲面，亦有 ＞０ 从而定理获证． ． Ｉ 定理 ２的证 明 首 先 ，由引理 ２５ 易得 到 ．容
“
一 啄） ＝ ， Ｅ 岛
ｋ
豸 一 Ｊ Ｊ 一 哼 ＋２ ． 毳 ： Ｊ 其中 昌 ，弓 ＾ Ｊ， 分别是 ， Ｊ 的广义共变导数 ，
．
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数
学
物
理 学
报
、１１ ｂ． Ａ ３
引理 ２１ ］ 若 Ｍｎ是复 ２ 维射影 空 间 ｃ ．［ ３ Ｐ
摘要： 该文研 究了复射影空 间中具有平坦法丛一般子流形的曲率性质与几何性质之间的关系．
利用活动标架法，得到关于截面曲率 ， Ｒｉ ｉ曲率和第二基本形式模长的刚性定理，推广和完 ｃ ｃ
善了 已有文献的相关结果 ． 关键词：复射影 空间；一般 子流形；平坦 法丛 ．
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ １ １主题分类 ：５ Ｃ ０ ５ Ｃ２ 中图分 类号：０１ ６ 文献标识码：Ａ ３ ４；３ ０ ８ 文章编号：１０ —９ ８２ １ ）６１２ —７ ０ ３３ ９ （０ １０ —６ ６０
（０ １ ＱＲＬ ２ Ｚ ２ １Ｓ ０ １ Ｄ）资助
Ｎ． ｏ ６
则 或 Ｐ＝ １Ｍ ＝ ，
尹松庭等：复射影空间中具有平坦法丛的一般子流形
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，
，
或 Ｐ＝礼 Ｍ 具有 平行 第二 基本 形式 ．其 中 Ｋ 为 Ｍ 截 面 曲率 下 ，
确界 ．
定理 ４ 设 Ｍ 为复 维射影空间 Ｐ字 中具有平坦法丛和平行平均 曲率向量的 实 他维 一般子 流形 ．若 ”的 Ｒｃｉ ｉｃ 曲率 处处 满足
“ ， ， ｔ 易 ，为＝ ， ａ＝０ ＝ 暑 （） １
∑
ｊ
＝ ， 卢 ∑
ｊ
＝， ０ Ｅ
ｋ
∑
一
（ ２ ） （ ３ ）
Ｒｋ 如一 ｉ ＝ ｊ ｌ
＋
一 ｚ ２ Ｐ ＋ 一 冀 ， 只弓 ＋ Ｐ ｕ Ｅ（ ￣ 巍 ）
Ｏｌ
ｅ， ｅ － ，ｌ ‘ｅ ，ｅ －＋ ・ｅ 使得 当它 们限制 在 ｌ… ｍ ｐｅ ‘ｍ，ｍ－ ・ ， ｐ
右 ［－２ １ ］
上 时， ｅ ｐ １… ｅ 与 一＋ ， ，
正 ・ ） Ｂ 分 是 应的 偶 架 和 络 式 若 Ｊ 如， ＝ Ｊ 享 设｛ ， Ａ） 别 对 对 标 场 联 形 ． 记 ＝ 弩 厶 ， Ａ｛ 则
、
维射影 空 间 Ｃ Ｐ字 的实 ＿维一般 子流形 ，则 ｎ
∑（ ） ｐ — ） 。 （ ｐ ２ｎ ．
（ｉｋ ￣ｊ
（） １ ０
式中等号成立当且仅当 ＝ 』 一 弩 时成立． 嚣
引理 ２３４ 若 Ｍ 是复 ．Ｉ １ 维射 影空 间 ｃＰ！ 的 实超 曲面 ，则
立 下列公 式
中实 ｎ维 一般子 流形 ，则对 于 Ｖ ， ａ 成
一
Ａ ＝∑（ ％ ＋ ＾ｈ ＋１ 。∑ ｈ（ ＋ 麓２ ） Ｓ ） ∑ 嚣 （ ） 嚣 嚣 ＋ Ｒ Ｒ
ａｉｋ ｊ
一
０
ｃｉｋ ￣ｊ ｌ
（ ＋ ）一１ ｎ ｔ 砺） ｔＨＨ） ｎ ３ （ ） ｒ 。 Ｓ 一 ∑｛（ 一ｒ ａ￣ ） （ 。
礼（ — ｌ Ｊ ｎ
，
收 稿 日期 ； ０ １０ —８ 修 订 日期 ： ０ １１－ ６ ２ １－ ３１ ； ２ １ — １２
Ｅ— ａ ｌ ｍ ｉ：ｙｓ ４１ ￣ｓ ｎａ．ｏ ；ｓ ｔ ９ ｉ ｃｒ ｎ ｗｄ５ ＠ ｓｎａ．Ｏｒ ６ ｉ Ｃｎ
基金项 目：安徽省教育厅 自然科学研究重点项 目 （ ２ ０ Ａ０ Ｚ 和高等学校优秀青年人才资金项 目 ＫＪ ０ ８ ５ Ｃ）
．
引理 ２５ 若 ．
为 全纯分 布对合 一般 子流形 ，则 有 பைடு நூலகம்
｛ 一 ｆ ＝ 九， ， 九 ， ， 九 笑
【 ： ． ， ，
（２ １）
证 在上述 标架场 下， Ｊ。＝ ， 有 ｅ 两边分别求 共变微分 ， 可得左 边 ＝ＶＪ 。＝ Ｊ ａ— ｅ Ｖｅ （Ａ ｅ ） 』 Ｊ Ａ 右边 ＝ ｅ ， Ｂ ，Ｂ 比较等式 两边 ，有 ， ，即 九 ＝ ， Ａ ： ４ ｅ ， ＝ ｅ ． ＝ ， ， ． 另据 引理 ２ ． ４知 Ａ（ｅ， ＝ （ Ｊ ， Ａ（ｘ， ）＝ Ａ ｅ， ）从而 有 九 ， ， Ｊ ｅ） ｅ，ｅ ）即 ｅ， ｅ （ ｅ， ， ＝ ・ （ ， ＝Ａ（ｅ，Ｊ ） －Ａ（￣，ｌ ， 以 ＝ 一 ， ｅ ｅ） Ｊ ￣，ｒ，＝ ｅ，ｅ 所 ｍ） 九，・ ０ 引 ２６ 若 Ｍ 为复 ２ 维 射影 空 间 ＣＰ字 中具 有平 行平 均 曲率 实 几维 的一 般子 理 ．
ｉ
上 式两边 同乘 以 ｈｊｉ， ｉ 并关 于所 有指标 求和 得 ｈｋ