复射影空间中的CR-子流形

i,j,k 2
+ 4n < teα , teα >
ei A)α ej , ek
[< (
>< teα , ek >< ej , P ei > (2.12)
+<(
ei A)α ej , ek
>< teα , ej >< ek , P ei >]
3
R G
E yz U l F & k < CR- s 9 / F( } (2.12) K G@ g %
(2.7)
o M { M CR r 8 . d gI M b A x ∈ D, Y ∈ D⊥ J B (X, Y ) = 0. F * M { tm ^ !? 2.3[3] o M { M j CR r 8 . V M { tm ^ !?6 X 6 3 b= + . (i) I M b A X ∈ D, AV X ∈ D. (ii) I M b A Y ∈ D, AV Y ∈ D. , V M bAN&1 2.4 ([1],[7]) o M { M j CR r 8 . V (i) D⊥ { Im (ii) D { Im 6 X 6 B (X, P Y ) = B (P X, Y ), X, Y ∈ D. 2.5 d g M j CR r 8 . M { tm ^ !? XS^ .R D { Im V * M { tm < " CR r 8 .
JV = tV + f V,
-X
(2.2)
{ JV W & R 1 kN & R 1 2.1 o M { Kaehler 8 . M r8. dg M W1 T M $?R 0 CR $ R D k D⊥ _ c k X J D = D, J D⊥ ⊂ T M ⊥ , V F * M { M ⊥ r8. ? 6 dimD = 0(dimD = 0) u * M {^ . r 8 . (^v r 8 .). L6 ⊥ dimD = dimT M ⊥ u * M = r 8 . I M Q ^ . L Q ^v CR- r 8 . F * b _ % CR r 8 . ! o M { M CR r 8 . V 0 Gauss k Weingarten _ y { (2.1),(2.2) @ : 3 b y , tV , f V
−
α,β
(trAα Aβ ) +
[< Ax tey , Ax tey > tr(Af eα P Aα ),
α
− < Ax tex , Ay tey >] − 2
, [Aα , P ] = Aα P − P Aα . I M CP m j CR r 8 . M , 0 Codazzi P, (2.9) @ d g ( X A)V Y = ( Y A)V X , V M {^ .u ^v r 8 . C / CP m j_ % CR r 8 . S @Mv X 1{ $M Q1 ] [11] PN F J 2 2.8 o M 2n+p { CP m j CR r 8 . V A ≥ 4np, >j+ . 6 X 6
XV
= −AV X + DX V, D
, X, Y { M ib A W & 1 $ V { M 7 ; F * A u B r 8 . M @Mv I M @Mv X 1 A, $ ? D B S d B `
*1990
bAN&1$ X1 Rd
z b M N /@
`
K 10 \ 2 MR/
(
X A)V
3
R
Gauss
k Codazzi P,
G Fo M 2n+p {
E yz U l F & k < CR- s 9 / CP m (4) j CR r 8 . , 2n = dimD,
323
p = dimD⊥ .
V
R(X, Y )Z =< Y, Z > X − < X, Z > Y + < P Y, Z > P X − < P X, Z > P Y + 2 < X, P Y > P Z + AB (Y,Z ) X − AB (X,Z ) Y. (
Y % } J j CR y (r 8 . V
< (R(ej , ei )A)α ej , Aα ei > + 3 2 [Aα , p]
α 2
= ∆A −3
α
2
+
α,i,j
trA2 α
+3
α,β
[< Aα teβ , Aα teβ > − < Aα teα , Aβ teβ >]
(2.11)
−3
α
tr(Af eα P Aα ),
, FDB
( (
X P )Y X t)V
= =
X (P Y X (tV
) − P(
XY
), (
(
X F )Y
= DX (F Y ) − F (
XY
),
) − t(DX V ),
X f )V
= DX (f V ) − f (DX V ).
rJ
2.2
AF Y X = AF X Y,
X, Y ∈ D⊥ .
1991
K 7 \ 22 MR/X8:
Y =
X (AV
Y ) − ADX V Y − AV (
XY
).
322
IM
M
ib A W & 1 $ X
Jd
3 R
3
36
JX = P X + F X,
(2.1) (1.1)
, P X k F X R { JX W R 1 kNR 1 c @ " 8 P { M i O* 1 $ F { N1 d 1- . y ) ? I M b A N & 1 $ V J
<(
i,j,k ei A)α ej , ek
325
>< teα , ek >< ej , P ei > >< teα , ej >< ek , P ej >
+
i,j,k
<( <(
ei A)α ej , ek
=
i,j,k
ei A)α ek , ej
>< teα , ej >< ek , P ei > >< teα , ej >< ek , P ei >
§2.
o M { T m Kaehler 8 . J z M T a o M { > k B8 . FH < , > u z M k M i F1X1 H j Levi-Civita /@ V F J Gauss k Weingarten _ y
XY
"|%
R
eM M j * z Mk M
=
XY
+ B (X, Y ),
36 1993 O 5
A
A3R S
ACTA MATHEMATICA SINICA
5
5
Vol.36, No. 3 May, 1993
!
(
&; CR- (
in44 4 in
*
4`a
310028)
# *T-]S1B5YDH7O E@^JF3V1 CR- _IW AGHN9? 6 Q=?6+2Q >0.HZU Pinching C< CR- _IW ;Z)_IW ;L,_IW ;LP_IW
(
X A)α Y
$ IMN&1$
T α (X, Y )Z =< (
=< Y, P X > teα + < teα , Y > P X . eα ,
F# # X 1 $ T α ,
,
Z A)α X, Y
> − < teα , Y >< X, P Z > − < teα , X >< Y, P Z >
M{
>2 + < teα , ek >2 < ej , P ei >2 + < teα , ej >2 < ek , P ei >2 >< teα , ek >< ej , P ei > >< teα , ej >< ek , P ej >
+ 2 < teα , ek >< ej , P ei >< teα , ej >< ek , P ei >] = ( A)α −2
§1.
u 0 1978 N A. Bejancu[1] D 2 Kaehler 8 .j CR- r 8 . X P ? ( nK a I CR- r 8 . {SW 1 $ ? R ^ .R k ^v R _ c k r 8 126 Kaehler 8 .j v ' G $ ? " . {^ . r 8 . k ^v r 8 . X P d 6 x ~ CR- r 8 . gU 0 ^ F 6 T k E % j CR- r 8 . U §2 j F j2 CR- r 8 A 2 w; , A . { J bX P X I M CP m j b A CR- r 8 . \- 2 m z r 8 . @Mv X 1 U §3, §4, I M T k E % CP j h CR- r 8 . F .2f Y = xR_ y kxR > y F d 2 [4],[10],[13] jJ b g 6 F \- 2 b M < =*w ; Pinching g