2014高考数学知识点讲析:数列【专题要点】数列的概念及表示方法，等差数列和等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、性质、判定，等差数列和等比数列的比较，等差数列和等比数列与其它知识的综合应用【考纲要求】1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据数列的通项公式写出数列的前几项。
2.理解等差、等比数列的概念并能解决简单的实际问题，掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差（或等比）关系，能够构造等差、等比数列的模型，并能用有关知识解决相应的实际问题【知识纵横】【教法指引】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
在解决综合题和探索性问题时，教师可适当引导学生加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，从而提高分析问题和解决问题的能力， 进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．【典例精析】例1.（04年浙江）设数列{a n }的前项的和S n =31（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列解: (1)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21- 又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(2)当n >1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列 例2.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --=＿＿＿＿解：第1个图个数：1第2个图个数：1+3+1第3个图个数：1+3+5+3+1第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41，所以，f（５）＝４１f(2)-f(1)=４，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６()(1)f n f n--=4(1)n-点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想例3．已知数列{an }是公差d≠0的等差数列，其前n项和为Sn．(2)过点Q1(1，a1)，Q2(2，a2)作直线12，设l1与l2的夹角为θ，证明：(1)因为等差数列{an}的公差d≠0，所以Kp1p k是常数(k=2，3，…，n)．(2)直线l2的方程为y-a1=d(x-1)，直线l2的斜率为d．例4．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径．解：(1)由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n )，即 a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ① 已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·21n -．当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=21n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为S n =21n -(3n-4)+2．说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和。
专题：数列求和（一）主要知识：1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.（切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.222221(1)(21)1236nk n n n kn =++=++++=∑2333331(1)1232nk n n kn =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑3．倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．4．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的． 若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令 ，则两式错位相减并整理即得.5．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法 （1），特别地当时，；（2）()1n k n kn k n =+-++，特别地当时，11n n n n=+-++；n n n n n n n（3）()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭（4）()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭（5） 6．分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.7．并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721n S =-+-++-()()()100999897215050=++++++=.. [易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为112n n -+，漏掉前面的系数12； (2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．应用错位相减法求和时需注意：①给数列和S n 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n . 主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用；分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．利例1.【2016北京文15】已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+ ，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】（1）()211,2,3,n a n n =-=⋅⋅⋅；（2）2312n n -+.)()11(11q p q p p q pq <--=n )211(21)2(1+-=+n n nn（2）由（1）知，21n a n =-，13n n b -=.因此1213n n n n c a b n -=+=-+.从而数列{}n c 的前n 项和()113521133n n S n -=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=()12113213n n n +--+=-2312n n -+.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n ，记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ， 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.,练习．求和：①个n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1(n n n xx x x x x S ++++++=思路分析：通过分组，直接用公式求和。
2014年高考数学二轮复习精品资料难点05 数列的通项公式与求和问题学案（含解析）数列在高考中占重要地位，每年都考，应当牢记等差、等比的通项公式，前n项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等。
数列求和问题是数列中的重要知识，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．对数列通项公式和求和公式的应用一定要注意公式成立的前提条件，否则一出现错误.1.注意对等比数列中公比的分类讨论由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q＝1和q≠1两种情形讨论求解．等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab.如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A>B.例1 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．思路分析：注意分类，当q＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q≠1.2.由数列的递推关系求通项若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1的关系式表示(如an＝2an－1＋1，(n>1)，则这个关系式称为数列的递推公式．由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法：(1)an ＋1－an ＝f (n)型，采用叠加法． (2)an ＋1an＝f(n)型，采用叠乘法．(3)an ＋1＝pan ＋q(p≠0，p≠1)型，转化为等比数列解决． 例2 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1=2,an+1=an+ln(1+1n )；(2) a1=12, an+1=(1)22n n na n n +-++； (3) a1=1, an+1=3an+2；(4) a1=1, an+1=22nn a a +.思路分析：(1)求an －an －1用叠加法求和，验证n ＝1； (2)令bn ＝an －1，用叠乘法求和； (3)可构造等比数列求解； (4)用倒数法，转化为等差数列求解．(4)∵a1＝1，an ＋1＝2an 2＋an ，∴1an ＋1＝1an ＋12.∴数列{1an }是等差数列，其首项为1，公差为12，∴1an ＝1＋n －12，∴an ＝2n ＋1.点评：1. 本题常见的误区：(1)忽视判定an ＋1≠0；(2)遗漏验证n ＝1时，a1是否适合通项公式； 2．(1)已知a1且an －an －1＝f(n)，可用“叠加法”求an ；已知a1(a1≠0)且anan －1＝f(n)，可用“叠乘法”；求an.an ＋1＝panp ＋qan(an≠0，p 、q 为非零常数)，可用倒数法．(2)已知a1且an ＋1＝qan ＋b ，则an ＋1＋k ＝q(an ＋k)(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为{an ＋k}为等比数列．3. 忽视等比数列中的隐含条件致误在求等比数列的通项公式和前n 项和时，一定不要忽略题中的隐含条件，否则就会导致错误出现例3 各项均为实数的等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S10＝10，S30＝70，则S40＝________. 思路分析：数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30的公比q10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解.点评：若忽视r ＝q10>0就会产生増根，出现错解. 4.等差数列前n 项和的最值 等差数列的单调性与n S 的最大或最小的关系.（1）若0d >，则等差数列{}n a 中有10n n a a d --=>，即1nn a a ->，所以数列为单调递增； 当10a ≥时，有1(2)n n S S n ->≥，所以n S 的最小值为S . 当10a <时，有则一定存在某一自然数k，使12310k k n a a a a a a +<<<<<≤<<或12310k k n a a a a a a +<<<<≤<<<，则n S 的最小值为S .（2）若0d <，则等差数列{}n a 中有10n n a a d --=<，即1n n a a ->，所以数列为单调递减；当10a >时，有则一定存在某一自然数k ，使12310k k n a a a a a a +>>>>>≥>>或12310k k na a a a a a +>>>>≥>>>，则nS 的最大值为S.当10a ≤时，有1(2)n n S S n ->≥，所以nS的最大值为S.例4 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n 项和为Sn ，且S10＝S15，求当n 取何值时，Sn 取得最大值，并求出它的最大值．思路分析：由a1＝20及S10＝S15可求得d ，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号．5.忽视分类讨论或讨论不当致误例5若等差数列{an}的首项a1＝21，公差d＝－4，求：Sk＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|. 思路分析：根据绝对值的几何意义，首先去掉绝对值符号，然后再求和.＝(a1＋a2＋a3＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋ak)6.裂项相消求和法利用通项变形，把数列的通项分裂成两项或几项的差，在求和过程中，中间的一些项可以相互抵消，最后只剩下有限项的和，从而求得数列的和.这种求数列和的方法叫做裂项相消求和法.常见拆项：111(1)1n n n n =---；1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+；111n nn n =+-++ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++；n·n!=(n+1)!－n!；11(1)!!(1)!n n n n =-++；loga （1＋1n）＝loga(n ＋1)－logan ；等等例6 [2012·全国卷改编] 已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，a5＝5，S5＝15，则数列{11n n a a +}的前100项和为——．思路分析：先求数列{an}的通项公式，然后每一项分成两项，利用裂项相消求和法7.数列与不等式的综合应用数列与不等式交汇命题，不等式常作为证明或求解的一问呈现，解答时先将数列的基本问题解决，再集中解决不等式问题，注意放缩法、基本不等式、裂项、累加法的运用.例7 【2013年江西理】正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令221(2)n n n b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明：对于任意*n N ∈，都有5.64n T <思路分析：(1)由题目中的等式求出nS ，然后由nS 求an ；（2）化简nb ，观察结构特征，选取求和的方法求Tn.综上所述，等比数列中一定要注意公比q=1或q ≠1两种情况，平时往往易忽略q=1的情况，出现失误；求等差数列前n 项和的最值或前n 项和常用的方法：先求an ，再利用⎩⎪⎨⎪⎧an≥0an ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧an≤0an ＋1≥0求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值或前n 项和． 解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和．数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融，难度就较大，也是近几年命题的热点.。
