acc_phys_41

1 1 ⎛ Δp ⎞ = ⎜1 − ⎟ 。 p p0 ⎝ p0 ⎠
将(4.25)式中自变量 t 变为轨道路径 s ，考虑能量不变，将符号 rc 换作 ρ ，得到
(4.27)
mυ 2
⎛ d 2 x mυ 2 ⎛ x⎞ x⎞ − ⎜ 1 − ⎟ = qυ Bc ⎜1 − n ⎟ ， 2 ds ρ ⎝ ρ⎠ ρ⎠ ⎝
图 4.3 磁场位形示意图
Br ( rc , z ) = Br ( rc , 0 ) +
∂Br ∂z
⋅z+
rc
1 ∂ 2 Br ⋅ 2! ∂z 2
⋅ z 2 + ……
rc
57
Br ( rc , z ) ≅ Ο +
∂Br ∂z
⋅z 。
rc
(4.15)
考虑到式(4.2c)右边为零，即
∂Br ∂Bz − =0 ， ∂z ∂r
μ 0 = 4π × 10-7[H/m] ，
ε0 =
1 × 107[F/m] 。 2 4πc
需要指出的，这些微分方程是有物理含义的。它们至少表征了二个重要的物理图象。其一， 空间任意一点的电场（磁场）旋度与该点的磁场（电场）变化有关，电场（磁场）散度与该 点电荷（或磁荷）的密度有关。其二，电磁场的传播，是在空间中点点传播的，传播的媒介
(4.2b) (4.2c) (4.2d)
L = m0c 2 1 − 1 − β 2 − qφ + qυ ⋅ A ， B = ∇ × A 。
寻找运动方程，
(
)
(4.3)
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L =0 ， ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂υ ⎠ ∂r ∂L = p + qA ， ∂υ ∂L = q∇ ( A ⋅ υ ) − q∇φ ， ∂r dp ∂A = −q − q∇φ + qυ × ∇ × A ， ∂t dt
加速器物理学
第四章 带电粒子在恒定磁场中的运动与聚焦 加速器中的粒子在恒定磁场提供的轨道下，不断地获得能量，且粒子积累将越来越多。
恒定磁场意味着 B (t ) 与时间无关，仅与空间坐标有关。研究加速器中粒子的横向运动，对 于 Betatron 而言，在某一时刻也可认为 B (t ) 与时间无关。恒定磁场作用下理想粒子的运动 轨道形成闭轨，以及其它粒子在闭轨邻域是如何运动的，是本章的主要内容。在 Cyclotron
§4.1.1 麦克斯韦尔方程组 在国际单位制下，麦克斯韦尔方程组的四个微分方程：
ρ ⎧ ⎪∇ ⋅ E = ε ⎪ ∇⋅B = 0 ⎪ ⎪ ， ⎨ ∂B ⎪∇ × E = − ∂t ⎪ ⎪∇ × B = μ J + με ∂E ⎪ ∂t ⎩
(4.1)
式中 E 、 B 、 J 分别为电场矢量、磁感应强度矢量和电流密度矢量。式中磁导率与介电常 数，真空中取值为
此推导是严格的，结果与以前给的一致，是个巧合。由此写出运动方程， (4.8a) (4.8b) (4.8c)
(
)
§4.1.3 在轴对称磁场中的运动方程 ， Er = 0 ， Ez = 0 ，问题就简单多了。此 旋转对称情况下， Bθ ≡ 0 ， Eθ ≠ 0 （局部） 时，
E = Eθ iθ ，
则前述方程化简为
Tc =
2π m = (2n + 1)Trf 。 qB
(4.14)
在一般的轴对称圆形加速器中，同步粒子的回旋周期必须与高频周期成整数倍关系。 非旋转对称磁场中的闭轨， 如四个弯转磁铁组成的圆型加速器， 粒子在弯转磁铁中走弧 线，在其它部份则走直线。整个闭轨是由四个圆弧线和四个直线组成的。由此推广扩大，非 旋转对称磁场下的闭轨一般不会是标准圆， 通常是多个圆弧段与多个直线段的组合。 由此可
然后再将磁场 Bz 在闭轨处沿径向展开，
(4.23)
Bz ( r , 0 ) r = Bc ( rc , 0 ) +
c
∂B 1 ∂2 B 2 ⋅x+ ⋅ x + ...... ， ∂x 2! ∂x 2
58
(4.24)
同样舍去二阶以上小量，并利用磁场降落指数符号，则
⎛ mυ 2 ⎛ x⎞ x⎞ mυ 2 ⎛ nx ⎞ d ) − q B n 1 υ 1 − = − = − ( mx ⎜ ⎟ ⎟ ⎜1 − ⎟ ， c⎜ rc ⎝ rc ⎠ rc ⎠ rc ⎝ rc ⎠ dt ⎝
= rω （柱坐标系中的角速度） 考虑(4.11)式，以及 υθ = rθ ，知 mω = − qBz ，所以
(4.17)
d ) = qω nB z ⋅ z = − m ω 2 nz ， (mz dt
为一谐振方程，即
(4.18)
d ) + m ω 2 nz = 0 。 (mz dt
(4.19)
图 4.1 圆型加速器轨道坐标定义
②回旋频率 由 υθ ≈ υ 及
r=−
知
mυ ， qBz
(4.12)
f =
υ qB 。 = 2π r 2π m
W (W + 2ε 0 )
300 虑大小，将负号舍去。另(4.12)式与著名的(1.55)式
r=
，
(1.54)
是相互统一的。(4.13)式与回旋加速器中的回旋周期，是一致的，
d d ds d ， = ⋅ =υ ⋅ dt ds dt ds
2 d2 2 d = υ 。 dt 2 ds 2
根据洛伦兹变换式(1.8)，横向位移量测量值在实验室坐标系与均速移动坐标系中不变。推导 中认为沿闭轨的速度是不变，即动量大小是不变的，做了近似处理。如果把 Δp ≠ 0 的粒子 都考虑进来，即 p = p0 + Δp ，或径向坐标与动量都保留一阶小量，
ρ=
W (W + 2ε 0 ) 300 BZ
。
在 Microtron 中，带电粒子的轨道曲率半径是变化的，变化的轨道都相切于加速腔内的同一 点，磁场也是恒定的，轨道近似於闭轨。在 Storage Ring 储存运行中，磁场和能量都是不变 的，带电粒子的轨道是封闭的。 总而言之，本章将重点讨论所有粒子沿闭轨，或者是围绕闭轨的运动；如果不是沿闭轨 运动，粒子是否运动回来，是否稳定？需要说明的，这里仅限于讨论线性理论下的横向运动 的聚焦问题。 §4.1 带电粒子在电磁场中运动方程
2) 径向运动微分方程 是沿径向偏离封闭轨道运动的微分方程。沿径向偏离封闭轨道的粒子，其坐标表示为
r = rc + x ，
x << 1 。 rc
(4.20)
c = 0 ， 所以将上述坐标代入方程(4.9a)，注意到 r
d ) − m ( rc + x ) θ 2 = q ( rc + x ) θ B z ， (mx dt 2 = mυ 2 r ，先求出 1 r 在 r 的展开， = υ ≈ υ ， mrθ 并利用 rθ θ c
中，带电粒子的轨道是一系列张角为 180°圆弧线相连的螺旋线形的固定轨道，也可视为封 闭轨道，其曲率随能量增长而变化，带电粒子在此螺旋线形轨道邻域的运动，也可用本章的 理论来描述。在 Betatron 中，其封闭轨道的曲率半径 ρ ≡ C ，其磁场变化满足二比一定律， 粒子运动是围绕平衡轨道变化的。在 Synchrotron 中，粒子的封闭轨道近似于一个圆，其圆 弧轨道曲率半径
这也是一谐振方程，
(4.25)
d ) + m ω 2 (1 − n ) x = 0 。 (mx dt 这里的物理量 n 、 ω 的定义需要记住。
(4.26)
2、 轨道方程 前述微分方程是以时间为自变量的方程，而轨道方程是以轨道路径坐标为自变量的方 程。轨道方程是把封闭轨道长度变量 s 做为自变量，相当于观察者以封闭轨道为坐标系观察 横向运动，以同步粒子为参考点。在数学上所做的，相当于坐标变换，
B = Br i r + Bz i z 。
55
d 2 = qrθ B ， ) − mrθ ( mr z dt 1d = qE − qrB z + qzB r ， mr 2θ θ r dt d B 。 ) = − qrθ ( mz r dt
(4.9a) (4.9b) (4.9c)
(
)
①封闭轨道
= 0 ，由式(4.9a)即知， 讨论中所用的坐标系： θ ， r ， z 。封闭轨道上，自然有 r
2 = −qrθ B 。 mrθ z
(4.10)
= υ ≈ υ ，自然有 由于 rθ θ m
υθ2
r
= − qυθ Bz 。
(4.11)
形式上很简单，结论也早就有了。如果不是封闭轨道条件下，会是何种形式？将后续讲到。
(4.2a)
1 ∂Bz ∂Bθ ∂E − = μ J r + με r ， r ∂θ ∂z ∂t ∂E ∂Br ∂Bz − = μ Jθ + με θ ， ∂z ∂r ∂t 1 ∂ 1 ∂Br ∂E = μ J z + με z 。 ( rBθ ) − r ∂r r ∂θ ∂t
§4.1.2 带电粒子在电磁场中的运动方程 写成拉格朗日函数，在相对论条件下，
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即为光子。传播的速度为光速：可以由旋度方程推导波动方程，求出波动速度即为光速可以 看出。求解方程必须确定坐标系。加速器物理学中，一般使用柱坐标系，一般先将矢量方程 变成标量方程求解：
1⎡ ∂ ⎤ 1 ⎛ ∂Eθ + ⎜ ( rEr ) ⎥ ⎢ r ⎣ ∂r ⎦ r ⎝ ∂θ
⎞ ∂Ez ρ = ， ⎟+ ε ⎠ ∂z
(4.28)
再考虑 Δp ≠ 0 的粒子，进而得到
d2 x 1 ⎛ x ⎞ qB ⎛ Δp ⎞ ⎛ x⎞ − ⎜1 − ⎟ = c ⎜1 − ⎟ ⋅ ⎜1 − n ⎟ ， 2 ρ ⎝ ρ ⎠ p0 ⎝ ρ⎠ p0 ⎠ ⎝ ds