2020年高考数学 大题专项练习 数列 二(15题含答案解析)

2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）(数学)第I 卷参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()È=+P A B P A P B ．如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．球的表面积公式24S R p =，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =I ð（）A.{3,3}- B.{0,2}C.{1,1}-D.{3,2,1,1,3}---2.设a ÎR ，则“1a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数241xy x =+的图象大致为（）A.B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]L ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为）A.12pB.24pC.36pD.144p6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -æö===ç÷èø，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c a b<<7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A.22144x y -= B.2214y x -= C.2214x y -= D.221x y -=8.已知函数()sin 3f x x p æö=+ç÷èø．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2p ；②2f p æöç÷èø是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3p个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A.① B.①③C.②③D.①②③9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ì=í-<î…若函数2()()2()g x f x kx xk =--ÎR 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A.1,)2æö-¥-+¥ç÷èøUB.1,(0,2æö-¥-ç÷èøUC.(,0)(0,-¥UD.(,0))-¥+¥U2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）(数学)第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数82ii-=+_________．11.在522x x æö+ç÷èø的展开式中，2x 的系数是_________．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB °Ð==，6BC =，且3,2AD BC AD AB l =×=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数l 的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =u uu u r ，则DM DN ×u u u u r u u u r的最小值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A p æö+ç÷èø的值．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ^平面,,2ABC AC BC AC BC ^==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ^；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =u u u r u u u r，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<ÎN；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+ì-ïï=íïïî为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+Î，()f x ¢为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x¢=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -…时，求证：对任意的12,[1,)x x Î+¥，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-．答案及解析第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =I ð（）A.{3,3}- B.{0,2}C.{1,1}-D.{3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--ð，则(){}U 1,1A B =-I ð.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.2.设a ÎR ，则“1a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.3.函数241xy x =+的图象大致为（）A.B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]L ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+´=，则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518´=.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.5.若棱长为）A.12pB.24pC.36pD.144p【答案】C 【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R p p p ==´=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -æö===ç÷èø，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c<< C.b c a<< D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -æö==>=ç÷èø，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A.22144x y -= B.2214y x -= C.2214x y -= D.221x y -=【答案】D 【解析】【分析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-´=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-´=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．8.已知函数()sin 3f x x p æö=+ç÷èø．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2p ；②2f p æöç÷èø是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3p个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A.① B.①③ C.②③D.①②③【答案】B 【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为()sin(3f x x p =+，所以周期22T pp w ==，故①正确；51()sin()sin 122362f p p pp =+==¹，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3p个单位长度，得到sin()3y x p =+的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ì=í-<î…若函数2()()2()g x f x kx xk =--ÎR 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A.1,)2æö-¥-+¥ç÷èøUB.1,(0,2æö-¥-ç÷èøUC.(,0)(0,-¥UD.(,0))-¥+¥U 【答案】D 【解析】【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ì>==í<î，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0D =得280k -=，解得k =，所以k >综上，k的取值范围为(,0))-¥+¥U .故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i是虚数单位，复数82ii-=+_________．【答案】32i-【解析】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.【详解】()()()()828151032 2225i ii iii i i----===-++-.故答案为：32i -.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.11.在522x x æö+ç÷èø的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出．【详解】因为522x x æö+ç÷èø的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r rr r r T C x C x r x --+æö==××=ç÷èø，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ´=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．【答案】5【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =，即可求得r ．【详解】因为圆心()0,0到直线80x +=的距离4d ==，由||AB =可得6==5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】 (1).16(2).23【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236´=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-´-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【答案】4【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解.【详解】0,0,0a b a b >>\+>Q ，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b\++=++++4==，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=+，或22a b =+=.故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB °Ð==，6BC =，且3,2AD BC AD AB l =×=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数l 的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =u uu u r ，则DM DN ×u u u u r u u u r的最小值为_________．【答案】 (1).16 (2).132【解析】【分析】可得120BAD Ð=o ，利用平面向量数量积的定义求得l 的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ££），得出DM DN ×u u u u r u u u r关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ×u u u u r u u u r的最小值.【详解】AD BC l =u u u r u u u rQ ，//AD BC \，180120BAD B \Ð=-Ð=o o ，cos120AB AD BC AB BC AB l l ×=×=×ouu u r uu u r uu u r u uu r u uu r u uu r1363922l l æö=´´´-=-=-ç÷èø，解得16l =，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，()66,0BC C =\Q ，,∵3,60AB ABC =Ð=°，∴A的坐标为3,22A æöç÷ç÷èø,∵又∵16AD BC =uu u r u u u r ,则5,22D æöç÷ç÷èø，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ££），5,22DM x æö=--ç÷èøu u u u r，3,22DN x æö=--ç÷èøu u u r，()2225321134222222DM DN x x x x x æöæöæö×=--+=-+=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøu u u u r u u u r ，所以，当2x =时，DM DN ×u u u u r u u u r 取得最小值132.故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A p æö+ç÷èø的值．【答案】（Ⅰ）4C p =；（Ⅱ）sin 13A =；（Ⅲ）sin 2426A p æö+=ç÷èø.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2,cos 2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在ABC V中，由5,a b c ===及余弦定理得222cos 22a b c C ab +-===，又因为(0,)C p Î，所以4C p=；（Ⅱ）在ABC V 中，由4C p =，a c ==及正弦定理，可得sin sin a C A c ´===13；（Ⅲ）由a c <知角A为锐角，由sin 13A =，可得cos A ==13，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin2cos cos2sin 444132132A A A p p p +=+=´+´=26.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ^平面,,2ABC AC BC AC BC ^==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ^；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6；（Ⅲ）3.【解析】【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC u u u r u u u r u u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量1C M u u u u r 和1B D u u u u r 的坐标，得出110C M B D ×=uu u u r u uu u r，即可证明出11C M B D ^；（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA uu u r ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n r，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA uu u r 、CB u u u r、1CC u u u u r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =uu uu r ，()12,2,2B D =--uu u u r，从而112200C M B D ×=-+=uu u u r u u u u r，所以11C M B D ^；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =uu u r是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =u uu r ，()2,0,1ED =-u u u r．设(),,n x y z =r为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ì×=ïí×=ïîr u u u r r u u u r ，即2020y z x z +=ìí-=î，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-r．cos ,6C CA n A C n A n ×<>===×u u u r ru u u r u r u u r r，sin ,6CA n \<>==u u u r r ．所以，二面角1B B E D --的正弦值为6；（Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-u u u r．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-r 为平面1DB E的一个法向量，于是cos ,3AB n AB n AB n ×<>===-×u u u r ru u u r r u u u r r ．所以，直线AB 与平面1DB E所成角的正弦值为3.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =u u u r u u u r，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ^，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ^，求出直线AB 的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）Q 椭圆()222210x ya b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，\3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）Q 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ^，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx +=，即3y kx =-，2231189y kx x y =-ìïí+=ïî，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =×--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k æö-ç÷++èø，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -æöç÷++èø，由3OC OF =u u u r u u u r，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ^，所以231261k k k ×=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<ÎN；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+ì-ïï=íïïî为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n nn n +--+´.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c-=å和21nkk c=å的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==æö=-=-ç÷+-+èøåå，和223111211352321444444nnk k n n k k k n n c -==---==+++++ååL ①由①得22314111352321444444n k nn k n n c +=--=+++++åL ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=æö-ç÷--èø=+++-=---åL ，由于11211121221121156544144334444123414n n n n n n n n ++æö-ç÷--+èø--=-´--´=-´-，从而得：21565994nk nk n c =+=-´å.因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+´ååå.所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+´.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+Î，()f x ¢为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x¢=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -…时，求证：对任意的12,[1,)x x Î+¥，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-．【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得()g x ¢的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ) (i)当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.(ii)依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++Î+¥.从而可得()2263'36g x x x x x=-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x¢-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：x ()0,11x =()1,+?()'g x -0+()g x 单调递减极小值单调递增所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x¢=+.对任意的12,[1,)x x Î+¥，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ¢¢-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x æöæö=-+++--+ç÷ç÷èøèø3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x æö=--++--ç÷èø()332213312ln x t t t k t t t æö=-+-+--ç÷èø.①令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--Î+¥.当x >1时，22121()110h x x x x ¢æö=+-=->ç÷èø，由此可得()h x 在[)1,+¥单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ³，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ³-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t ttæöæö-+-+-------ç÷+ç÷èøèø (323)36ln 1t t t t=-++-.②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++->③由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ¢¢-+-->.所以，当3k ³-时，任意的[)12,1,x x Î+¥，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

2020年高考数学专项突破50题（3）--数列学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（本题共40道小题，每小题2分，共80分）1.用数学归纳法证明“633123,*2n n n n N ++++⋅⋅⋅+=∈ ”，则当 1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上（ ）A. ()()33312(1)k k k ++++++LB.()()()333121k k kk +++++++LC. 3(1)k + D. 63(1)(1)2k k +++2.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。

这个问题中，甲所得为（ ） A. 54钱 B.43钱 C.23钱 D.35钱 3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项10a >，公差0d <，10210a S ⋅<，则S n 最大时，n 的值为( ) A. 11 B. 10C. 9D. 84.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若243,15S S ==，则56a a +=( ) A. 16 B. 17C. 48D. 495.设正项等比数列{a n }的前项和为S n ，若32=S ，154=S ，则公比q =（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 56.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. 410190-B. 5101900-C. 510990-D.4109900- 7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1785S =，则7911a a a ++的值为 A. 10 B. 15C. 25D. 308.已知数列{a n }中，12a =，111n n a a ＋－－3=，若n a 1000≤，则n 的最大取值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 79.等差数列{a n }中，若243,7a a ==，则6a =( ) A. 11 B. 7C. 3D. 210.设等差数列{a n }前n 项和为S n ，等差数列{b n }前n 项和为T n ，若2018134n n S n T n -=+，则33a b =（ ） A. 528 B. 529C. 530D. 53111.设等差数列{a n }的前n 项和为S n 若39S =,627S =，则9S =( ) A. 45 B. 54C. 72D. 8112.已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足56S S <且678S S S =>，则下列结论错误的是（ ） A. 6S 和7S 均为S n 的最大值 B. 70a = C. 公差0d < D. 95S S > 13.用数学归纳法证明：“()221*111,1n nn a a a a a n N a++-++++=≠∈-L ”，在验证1n =成立时，左边计算所得结果是（ ） A. 1B. 1a +C. 21a a ++D.231a a a +++14.等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log 3515.在等差数列{a n }中，64=a ，3510a a a +=，则=12a （ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 1616.已知数列{a n }的前n 项和S 满足*1(1)26()2nn n n S a n n N --=-+∈，则100S =（ ） A. 196 B. 200C. 10011942+ D. 10211982+17.若点(),n n a 都在函数324y x =-图象上，则数列{a n }的前n 项和最小时的n 等于( ) A. 7或8 B. 7C. 8D. 8或918.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且8,45241=+=+a a a a ，则20192019S = ( ) A. 2016 B. 2017C. 2018D. 201919.已知数列{a n }满足：112a =，*11()2n n n a a n N +=+∈，则2019a =（）A. 2018112-B. 2019112-C.20183122- D.20193122- 20.已知数列{a n }満足: 11a =,132n n a a +=-，则6a =( ) A. 0 B. 1C. 2D. 621.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S 的值为（ ） A. 1008 B. 1009C. 1010D. 101122.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若53a =，1391S =，则11S =（ ） A. 36 B. 72C. 55D. 11023.在等差数列{a n }中，其前132<<m 项和为S n ，且满足若3512a S +=，4724a S +=，则59a S +=（ ）A. 24B. 32C. 40D. 7224.若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且11223S π=，则6tan()a 的值为（ ）A. 3B.C.3D. 33-25.若a ，b 是方程20(0,0)x px q p q -+=<>的两个根，且a ，b ，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值为( ) A.－4 B. －3C. －2D. －126.已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，1a 1=，23a a 8=-，则6S (= ) A.1283B. －24C. －21D. 1127.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，BC 边上的中线32=AD ，2AB =,则△ABC 的面积S 为（ ）A. 3B.C.D. 28.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且181212a a a ++=，则13S =（ ） A. 104 B. 78C. 52D. 3929.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若53a =，1391S =，则11S =（ ） A. 36 B. 72C. 55D. 11030.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是（ ） A. 24 B. 48 C. 12 D. 6031.已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }分别满足下列各式，其中数列{b n }必为等差数列的是（ ） A. ||n n b a =B. 2n n b a =C. 1n nb a =D.2nn a b =-32.已知数列{a n }是一个递增数列，满足*n a N ∈，21n a a n =+，*n N ∈，则4a =（ ）A. 4B. 6C. 7D. 833.11的等比中项是（ ） A. 1 B. －1C. ±1D.1234.某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A. 当8n =时，该命题不成立 B. 当8n =时，该命题成立 C. 当6n =时，该命题不成立 D. 当6n =时，该命题成立35.在数列{a n }中，231518n a n n =+-，则a n 的最大值为（ ）A. 0B. 4C.313 D.213 36.在等差数列{a n }中，已知1a 与11a 的等差中项是15，9321=++a a a ，则9a =（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 637.已知等差数列{a n }的公差0≠d ，前n 项和为S n ，若对所有的)(*∈N n n ，都有10S S n ≥，则（ ）． A. 0≥n aB. 0109<⋅a aC. 172S S <D. 019≤S38.已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为n A 和n B ，且6302n n A n B n +=+，则使得nnb a 为整数的正整数n 的个数是（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 539.设数列{a n }满足31=a ，且对任意整数n ，总有1(1)(1)2n n n a a a +--=成立，则数列{a n }的前2018项的和为（ ） A. 588 B. 589C. 2018D. 201940.数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A. 1盏B. 2盏C. 3盏D. 4盏第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、（本题共10道小题，每小题7分，共70分）41.已知数列{ a n }的首项1133,()521n n n a a a n N a *+==∈+. (1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)记12111...n nS a a a =+++，若<100n S ，求最大正整数n . 42.已知在等比数列{a n }中，23411,92187a a a ==. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{b n }的前n 项和T n . 43.若{c n }是递增数列，数列{a n }满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +--…，则称{a n }是{c n }的“分隔数列”.（1）设2,1n n c n a n ==+，证明：数列{a n }是{c n }的分隔数列；（2）设4,n n c n S =-是{c n }的前n 项和，32n n d c -=，判断数列{S n }是否是数列{d n }的分隔数列，并说明理由；（3）设1,n n n c aq T -=是{c n }的前n 项和，若数列{T n }是{c n }的分隔数列，求实数a ，q 的取值范围． 44..在等比数列{a n }与等差数列{b n }中，11a =，12b =-，223a b +=-，334a b +=-. （1）求数列{a n }与数列{b n }的通项公式； （2）若n n n c a b =+，求数列{c n }的前n 项和S n . 45.已知数列{a n }各项均为正数，满足2333(1)122n n a n +⎛⎫+++= ⎪⎝⎭L ．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 46.已知数列{a n }满足： 12n n n a a ++=，且111,23nn n a b a ==-⨯.（1）求证：数列{b n }是等比数列；（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若10n n n a a tS +->对任意*n N ∈都成立．试求t 的取值范围． 47.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(,)n n a S 在直线22y x =-上. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设()23log 2n n nS b a -+=，求数列{b n }的前n 项和T n .48.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足55a =，410S =，0n b >，24b a =，416b a =.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令()()1211na n n n cb b +=--，求数列{c n }的前n 项和T n .49.已知数列{a n }满足11a =，11+=+n nn a a a （n N *∈）． （1）求2a ，3a ，4a 的值； （2）证明：数列{1na }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式． 50.定义12...nnp p p +++为n 个正数12,,...,n p p p 的“均倒数”．已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为1n． （1）求数列{a n }的通项公式． （2）设数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为T n ，若4n T <244m m --对一切*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围．（3）令9()10nn nb a=⋅，问：是否存在正整数k使得k nb b≥对一切*n N∈恒成立，如存在,求出k值；如不存在，说明理由．试卷答案1.A 【分析】写成n k =的式子和1n k =+的式子，两式相减可得. 【详解】当n k =时，左端式子为3123k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左端式子为3333(1)(12312())k k k k ++++++++⋅⋅⋅+++L ， 两式比较可知增加的式子为()()33312(1)k k k ++++++L .故选A.【点睛】本题主要考查数学归纳法，从n k =到1n k =+过渡时，注意三个地方，一是起始项，二是终止项，三是每一项之间的步长规律，侧重考查逻辑推理的核心素养. 2.B设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B. 3.B 【分析】由等差数列前n 项和公式得出21S 1121a =，结合数列{}n a 为递减数列确定10110,0a a ><，从而得到n S 最大时，n 的值为10.【详解】由题意可得()2111112120212110212S a d a d a ´=+=+= 10210a S ⋅<Q 10110a a ∴⋅<等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d < 则数列{}n a 为递减数列10110,0a a ∴><即当10n =时，n S 最大 故选B 。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的・请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知z = —1 —i,则（）A. 0B. 1C. V2D. 22. 已知命题p ： Vx e R , x +11> 1 ；命题 q ： > 0 , x 3 = x ，贝I （ ）A. p 和q 都是真命题B. ~^P 和q 都是真命题C. p 和「0都是真命题D. F 和「0都是真命题3. 已知向量口,直满足|4 = 1J q + 2，= 2,且— 则料=（）A. |B. —C.匝D. 12 2 24. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（）亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)频数612182410A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16(歹>0),从。

高考专题训练十五 计数原理、概率班级________ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分_______一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2020·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.34解析：∵甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等． ∴每场比赛甲、乙赢的概率均为12，记甲获冠军为事件A ，则P (A )＝12＋12×12＝34.答案：D2．(2020·浙江)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将随机地并排摆放到同一层上，则书架的同一科目的书都不相邻的概率是( )A.15B.25C.35D.45解析：利用间接法，所有书的摆放方法A 55＝120， 语文书相邻、数学书相邻共有A 22A 22A 33＝24， 语文书相邻数学书不相邻C 14A 22A 22＋2A 22A 22＝24， 数学书相邻，语文书不相邻C 14A 22A 22＋2A 22A 22＝24， ∴所有书不相邻的排法120－24×3＝48， ∴所有书不相邻的概率P ＝48120＝25.答案：B3．(2020·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.2 5D.12解析：条件概率P(B|A)＝P ABP AP(A)＝C23＋1C25＝410＝25，P(AB)＝1C25＝110，∴P(B|A)＝11025＝14.答案：B4．(2020·潍坊市高考适应性训练)如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有( )A．8种B．12种C．16种D．20种解析：如图，M，N，P，Q共有6条线段(桥抽象为线段)，任取3条有C36＝20种方法，减去不合题意的4种，则不同的方法有16种．答案：C5．设a1，a2，…，a n是1,2，…，n的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的个数称为a i的顺序数(i＝1,2，…，n)．如：在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1,3的顺序数为0.则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为( )A ．48B ．96C ．144D ．192解析：依题意，8排在第三位，7排在第五位，5排在第六或第七位，当5排在第六位时，6排在后两位，排法种数为C 12A 44＝48种，当5排在第七位时，6排在5前面，排法种数为C 14A 44＝96，故不同排列的种数为48＋96＝144，故选C.答案：C6．(2020·广州市2月综合测试(二))设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( )A.73B.53 C ．5 D ．3解析：由已知2a －3与a ＋2关于3对称，故(2a －3)＋(a ＋2)＝6，解得a ＝73.答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．(2020·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为________．解析：看电影概率34，打篮球概率116，∴不看书概率34＋116＝1316.答案：13168．(2020·湖北)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)解析：P ＝1－C 227C 230＝1－27×26230×292＝28145.答案：281459．(2020·福建)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．解析：P ＝C 13·C 12C 25＝610＝35.答案：3510．(2020·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能确定这两个“？”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.解析：令“？”处为p ，“！”处为q ，则2p ＋q ＝1.E (ξ)＝p ＋2q ＋3p ＝2(2p ＋q )＝2.答案：2三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(12分)(2020·天津)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中： ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )．解：(1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则 P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12.且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－7102＝9100. P (X ＝1)＝C 12710⎝⎛⎭⎪⎫1－710＝2150.P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100.所以X 的分布列是X 的数学期望E (X )＝0×100＋1×50＋2×100＝5. 12．(13分)(2020·辽宁)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．(1)假设n ＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)试验时每大块地分成8小块，即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm 2)如下表：应该种植哪一品种？附：样本数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为样本平均数．解：(1)X 可能的取值为0,1,2,3,4，且P (X ＝0)＝1C 48＝170，P (X ＝1)＝C 14C 34C 48＝835，P (X ＝2)＝C 24C 24C 48＝1835P (X ＝3)＝C 34C 14C 48＝835P (X ＝4)＝1C 48＝170即X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝0×170＋1×835＋2×1835＋3×835＋4×170＝2.(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x 甲＝18(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，s 2甲＝18[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25.品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x 乙＝18(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，s 2乙＝18[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56，由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．。