上海市交大附中2018自主招生数学试卷(PDF版)

交大附中自主招生试卷

2018.03 第一部分

1. 已知1

x+x= -3，求x3+x

1

3+1000 .

2. x +1 + x = x + t 有增根，求所有可能的t之和. x x +1 x ( x +1)

3.AB ∥CD，AB=15，CD=10，AD=3，CB=4，求 S ABCD.

4.y = x 3-4 x +6，若a≤x≤b时，其中 x 的最小值为 a ，最大值为b，求a+b.

5.y =2( x -2)2+ m ，若抛物线与 x 轴交点与顶点组成正三角形，求 m 的值.

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6.DE 为 BC 的切线，正方形ABCD边长为200， BC 以BC为直径的半圆，求 DE 的长.

7. 在直角坐标系中，正∆ABC，B(2,0)，C(9

2, 0)过点O作直线DMN，OM=MN，

求M的横坐标.

8. 四圆相切⊙B与⊙C半径相同，⊙A过⊙D圆心，⊙A的半径为 9，求⊙B的半径.

9.横纵坐标均为整数的点为整点，（1

2

≤100），不经过整点，求a可取到的最大值.

10.G 为重心， DE 过重心， S∆ABC=1，求S∆ADE的最值，并证明结论.

第二部分（科学素养）

1.已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.

2.阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明

f [bx1+(1+ b) x2]< bf ( x1)+1-bf ( x2)

（1）b=1

4；（2）b=

1

3.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分）

3. 请用最优美的语言赞美仰晖班（80 字左右）（17 分）

4. 附加题（25 分）

⎧2 w+x+y+z= 1

⎪

⎪w +2 x + y + z =2

（2 points）solve the following system of equations for w.⎨

⎪w + x + 2 y+z= 2

⎪

+ y +2 z =1

⎩w + x

98

（4 points）Compute∑

∞

（6 points）Solve the equation x+ 4 x+ 16 x+ ⋅⋅⋅ + 4 x+ 3 - = 1.Express your

x

answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.

The gauss function [ x] denotes the greatest less than or equal to x

A）（3 points）Compute ⎡ 2018!+ 2015!⎤ ⎢ ⎥ ⎣ 2017!+ 2016!⎦

B）（4points）Let real numbers x,x,⋅⋅⋅,x be the solutions of the equation x2-3[x]-4=0，

1 2 n

find the value of x2 + x 2 + ⋅⋅⋅ + x2

1 2 n

C）（6 points）Find all ordered triples ( a, b, c) of positive real that satisfy：[a]bc=3，a[b]c=4，and ab[c]=5