《随机过程》第6章习题及参考答案

西 南 交 通 大 学本科生考试试卷B课程名称 随 机 过 程二零零三年二零零四年第一学期 考试日期班级 学号 姓名 成绩一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时间也是随机的若令为t 时刻的队长)(t X 即正在被服务的顾客和等待服务的顾客的总数目Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待时间}),({},),({T t t Y T t t X ∈∈是随机过程吗为什么二试写出随机过程),( ) sin()(+∞−∞∈Θ+=t t A t X ω的任意两个样本函数并画出其图形 1若A 是在(上均匀分布的随机变量)1 ,1−−ω在(0, 2π)上服从均匀分布而Θ为常数 2若A 服从上均匀分布)1 ,1(−Θ服从(0, 2π)上均匀分布而ω为常数三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程每位顾客订阅1年2年3年的概率分别为0.20.30.5彼此如何订阅是相互独立的每订阅一年店主即获利5元设Y (t )是[0, t )时段内店主从订阅中所获得总收入试求 1)]([t Y E 即[0, t )时段内总收入的平均收入2)]([t Y D四在电报信号传输中信号是由不同的电流符号给出C C −,且对于任意的t电路中电流X (t )具有概率分布2121)(i p C Ct X −因电流的发送有一个任意的持续时间电流变换符号的时间是随机的设X (t )在[0, t )内变量的次数N (t )为强度λ的泊松过程试讨论{的平稳性}0),(≥t tX五若每隔一分钟观察噪声电压以X (n )表示第n分钟观察噪声电压所得结果则X (n )为一随机变量}1),({≥n n X 为一随机过程此过程是马氏过程吗为什么六一质点在圆周上作随机游动圆周上共有N 格质点以概率p 顺时针游动一格以概率逆时针移动一格p q −=1试用马氏链描述游动过程并确定状态空间及转移概率矩阵七设一齐次马氏链的概率转移图如下图}0),({≥n n X 且已知其初始分布为31})0({==i XP 3,2,1=i21试求1 二步转移概率矩阵2 3)3(,2)1({==X X P }2)5(,=X参考解答一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时间也是随机的若令)(t X 为时刻的队长t 即正在被服务的顾客和等待服务的顾客的总数目Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待时间}),({},),({T t Y T t t X ∈∈是随机过程吗t 为什么解答若令X (t )为t 时刻的队长,则固定t 时, X (t )为一随机变量,其可能取值为0,1,2,…, 其参数空间为表示t 时刻的状态,故状态空间为因此为一随机过程}0|{≥=t t T ,n t X =)(},2,1,0{L =E , }0),({≥t t X若令Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待的时间, 则固定t 时, Y (t ) 为一随机变量,其可能取值为即其参数空间为为t 时刻的状态,故状态空间为因此亦为一随机过程0≥t , }0|{≥=t t T ,s t X =)(}0|{≥=s s E ,}0),({≥t t Y 二试写出.(1) 若A 是(-1, 1)上均匀分布, 为常数解答()sin()()X t A t t R ω=+Θ∈的任意两个样本函数,ωΘ图1取 12A =±得随机过程的两个样本函数图形如图111(sin(x t ω=+Θ2))21()sin()2t x t t ω=−+Θ(2)若 服为常Θ从(0,2),,U A πω数 解答 ()12,ππ=2()sin()cos()2sin()sin()X t A tA t X t A t A t πωωωπωΘ=+==+=−取三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度的一个泊松过程图2每为6位顾客订阅1年2年3年的概率分别为0.20.30.5彼此如何订阅是相互独立的每订阅一年店主即获利5元设Y (t [0t )时段内)是, 店主从订阅中所获得总收入试求1)]([t Y E 即[0, )时段内总收入的平均收入t2)]([t YD解答(1) 法一 设N(t)为订阅杂志的顾客数, 为订阅j 年的顾客数()j N t 123()()()()()N t N t N t N t N t ⇒=++且 (6)t π故由已知π123232323()3),()(2),()()()[0,)()10()15()()()10()15()531021550()2()100()225()2531002225500N t t N t t N t t Y t t t N t N t EY t t EN t EN t t t t tDY t t DN t DN t t t t tππ++∴=++=×+×+==++=⋅+⋅+=111服从服从服从均为泊松过程记为内店主的总收入则Y(t )=5N 5EN 5D N法二 设店主从第n 个订阅者处获利X(n)则5 10 15X(n) p k 1/2 1/3 1/6X(n)相互独且 立 EX(n)=50/6, DX(n)=500/6()()()N t Y t X n =∑总获利100221()[(()/())](()/())(())5050(())(())5066(2)()(()())[[(()())/()]]500(())5006n k k EY t E E Y t N t E Y t N t k P N t k kP N t k E N t tDY t E Y t EY t E E Y t EY t N t E N t t =∞=∞==========−=−==∑∑四在电报信号传输中信号是由不同的电流符号给出C C −,且对于任意的t电路中电流X (t )具有概率分布2121)(ip C Ct X − 因电流的发送有一个任意的持续时间电流变换符号的时间是随机的 设X (t )在[0, t )内变量的次数N (t )为强度λ的泊松过程试讨论}0),({≥t t X的平稳性解答1对于任意的tEX (t)=02 +∞<=22)(c t EX3对于 时21t t <})()({})()({)()(),(221222122121c t X t X P c c t X t X P c t X t EX t t R X −=−===})({})({122122奇数偶数=−−=−=t t N P c t t N P c )(0121220)(21221212)!12())(()!2())((t t k k k t t k e k t t c e k t t c −−+∞=++∞=−−∑∑+−−−=λλλλ )(!))((122)(22)(01221212t t R c e c e k t t c X t t t t k k −==−−=−−−−+∞=∑λλλ类似地, 对于时, 有12t t <)(),(21221t t R c t t R X X −=因此,合并两式即得, )(),(122222112t t R c ec t t R X t t X −==−−λ与无关,可见,t }0),({≥t t X为宽平稳过程五 若每隔一分钟观察噪声电压以X (n )表示第n 分钟观察噪声电压所得结果则X (n )为一随机变量}1),({≥n n X 为一随机过程此过程是马氏过程吗为什么解答: 由于第n 分钟观察噪声电压所得结果与其它各次观察噪声电压所得结果互不影响,显然为独立随机序列}1),({≥n nX 因此对于任意的正整数, 的条件联合分布函数为 n n n n m <<<<L 21)(),(,),(),(21n X n X n X n X m L })(,)(|)({),,,,,,,|,(112121m m m n x n X x n X x n X P n n n x x x n x F ≤≤≤=L L L })(,)({})(,)(,)({1111m m m m x n X x n X P x n X x n X x n X P ≤≤≤≤≤=L L})({})({})({})({})({})({})({})({1111m m m m m m m m x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P ≤≤≤=≤≤≤≤≤=L L},|,{})(|)({})({})(,)({m m m m m m m m n x n x F x n X x n X P x n X P x n X x n X P =≤≤=≤≤≤=满足马尔科夫性,因此此过程是马氏过程六 一质点在圆周上作随机游动圆周上共有N 格质点以概率p 顺时针游动一格以概率逆时针移动一格p q −=1试用马氏链描述游动过程并确定状态空间及转移概率矩阵解答 将N 个格点分别记为1,2,…..,N如图排列 用X(n)表示n 时质点的位置显然它只与 X(n-1)时的位置有关与X(n-1)以前的位置无关满足马尔科夫性,因此为马氏过程}1),({≥n n X 其状态空间为E={ 1, 2, . . . . . .,N},参数空间为}1{≥=n T 故 为一马氏链}1),({≥n n X 其一步转移概率为((1)/())111ij p P X k j X k i p j i q j i i N o =+===+⎧⎪==−<<⎨⎪⎩其它1((1)/()1)2((1)/())11j N j p P X k j X k p j q j N o p P X k j X k N p j q j N o =+===⎧⎪==⎨⎪⎩=+===⎧⎪==−⎨⎪⎩其它其它七设一齐次马氏链{的概率转移图如下图}0),(≥n n X 且已知其初始分布为31})0({==i XP 3,2,1=i21试求1二步转移概率矩阵2}2)5(,=X 3)3(,2)1({==X XP解答1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0012/12/102/12/10P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/104/14/12/14/14/12/10012/12/102/12/100012/12/102/12/102P 2}2)5(,3)3(,2)1({===X X X P}3)3(|2)5({}2)1(|3)3({}2)1({======X X P X X P X P2412141]02121[31])0([)2(31)2(23231=××++==∑=p p p p i i i西 南 交 通 大 学本科生考试试卷A课程名称随 机 过 程二零零二年二零零三年第一学期 考试日期 2003.1.6班级 学号 姓名 成绩 一10分设质点M 在一直线上移动每单位时间移动一次且只能在整数点上移动质点M 的移动是随机的试建立描述这一随机现象的随机过程 二20分试写出随机过程),( ) sin()(+∞−∞∈Θ+=t t A t X ω的任意两个样本函数并画出其图形1若A 是上均匀分布的随机变量)1 ,1(−ω, Θ均为常数2若Θ服从(0, 2π)上的均匀分布A , ω为常数三10分试求随机过程的一维分布函数} , cos )({R t t A t X ∈=ω一维概率密度函数自相关函数与协方差函数其中A 服从标准正态分布N (0,1)四20分设在[0, t )时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是3=λ人/分的泊松过程试求1在5分钟内有7位乘客到达售票处的概率2第3位乘客在3分钟内到达售票处的概率 五10分设)},( sin cos )({+∞−∞∈+=t t B t A t X ωωω为常数为一随机过程其中A 与B 是互不相关随机变量且 0)()(==B E A E2)()(σ==B D A D 试问此随机过程是否平稳过程为什么六20分设在每次试验中事件A 发生的概率为)10(<<p p 现将这项试验独立地重复进行多次以X (n )表示到第n 次为止事件A 发生的次数1试问{是何种随机过程},2,1),(L =n n X2试写出{的一维概率分布},2,1),(L =n n X七10分一只老鼠放在迷宫内见下图每隔单位时间老鼠在迷宫中移动一次随机地通过格子也就是说如果有R 条通路供离开那么选取其中任一条通路的概率为R1试用马氏链描述老鼠的移动规律给出它的状态空间和一步转移矩阵参考解答:一10分设质点M 在一直线上移动每单位时间移动一次且只能在整数点上移动质点M 的移动是随机的试建立描述这一随机现象的随机过程 解答设Y 为第n 个单位时刻质点M 所在位置, 而令随机变量n⎩⎨⎧−=向左移动一个整数单位质点向右移动一个整数单位质点M M X i 11L ,2,1=i 由于质点M 的移动是随机的, 故 21}1{}1{=−===X P X P 则在时刻 t=n 时, 质点所在的位置为M 1nn i i Y X ==∑,易知参数集为状态集为, 因此}1,{≥=n n T ,},2,1,0{L ±±=E {,1}n Y n ≥成为描述上述随机现象的随机过程二试写出. (1) 若A 是(-1, 1)上均匀分布, 为常数解答()sin()()X t A t t R ω=+Θ∈的任意两个样本函数,ωΘ图1取 12A =±得随机过程的两个样本函数图形如图111(sin(x t ω=+Θ2))21()sin()2t x t t ω=−+Θ 见图1(2)若 服为常Θ从(0,2),,U A πω数解答 ()12,2()sin()cos()2sin()sin()Xt A t A t X t A t A t πππωωωπωΘ=取=+==+=− 见图2{()cos ,}X t A t t R ωω=∈是一常数三试求随机过程的一维分布函数一维概率其中A 服从标准正态分布N (0, 1)密度函数自相关函数与自协方差函数 解答在一个给定时刻t 0随机变量X (t )为A 的性函数0线而A 服从标准正态分布N (0, 1)由概率论知(t X 0)服从正态分布0(0,(cos ))N t ω2故一维率密度函数为概一维分布函数为自相关函数为12=((),())R X t X t 212(cos cos E A t t ωω)])t t DA A ωω=+212cos cos ([E 因为所以自协方差函数1,0,DA EA ==12cos cos t t ωω= 12121(2),())((),())()()X X C X t X t R X t X t m t m t =−0 所以 Co 2t X 2ωω=(因为,()X t R m t ∀∈=))(),((v 1t X 1t t cos cos 四设在[0,t )时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是3=λ人/分的泊松过程试求1在5分钟内有7位乘客到达售票处的概率2第3位乘在客3分钟内到达售票处的概率 解答设N(t)为[0t 内到达的乘客数则 N(t)(1) (3)t π773515(35((5)7N ==)15)7!7!P e e −×−×= 153315(3)((3)3)!n k k n P P N ek ττ∞−=≤=≥=∑表第个乘客到达的时间()21000 cos t 0cos 2t ωω⎧⎫⎛⎞⎪≠⎬⎪⎭1(,)f x t =()200 cos t 0cos 2dx t ω⎧⎫⎛⎞⎪≠⎬⎪⎭101(,)xF x t ω−∞=∫(2)。

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

解 (1)、令Z (t) W (t) At Z (t) E[W (t) At] At CZ (t1, t2 ) E[(Z (t1) Z (t1))(Z (t2 ) Z (t2 ))]
E[(W (t1) At1 At1)(W (t2 ) At2 At2 )]
E[W (t1)W (t2 )] 2 min{t1, t2}, t1, t2 0
例 2 已知随机过程 {X (t),t T}的均值函数X (t)和协 方差函数CX (t1,t2 ),(t)是普通函数.试求随机过程Y ( t) X (t) (t)的均值函数和协方差函数.
解 Y (t) E[ X (t) (t)] X (t) (t)
CY (t1, t2 ) E[(Y (t1) Y (t1))(Y (t2 ) Y (t2 ))] E[( X (t1) (t1) X (t1) (t1))
且P[ X (1) 0] P[ X (1) 1] 1
2
2
2
P[ X (1) 0] P[ X ( 1) 1] 1
2
2
2
0, x 0
F
( x;
1) 2
1 2
,
1,
0 x 1 x 1
1,
X
(1)
2,
出现H 出现T
P[ X
(1)
1]
P[ X
2 min{t1, t2} t1t2 , t1, t2 0
(3)、令Z (t) aW ( t )a2 Z (t) aE[W ( t a2)] 0
CZ (t1, t2 ) E[aW (t1 a2 )aW (t2 a2 )]
a2 E[W ( t1 a2 )W (t2 a2 )] a2 2 min{t1 a2 , t2 } a2 2 min{t1, t2}, t1, t2 0

习题 4以下如果没有指明变量 t 的取值范围，一般视为 t R ，平稳过程指宽平稳过程。

1. 设 X(t) sinUt ，这里 U 为 (0,2 )上的均匀分布证明：(a)验证宽平稳的性质0,t s21COV ( X (t ), X (t )) Esin 2Ut 1(b) EX(t) 2 t (1 cos(2 t)),与t 有关,11DX(t) sin(2 t)，与 t 有关，不平稳 .2 8 tX n (1) X n X n 1,X n (2) X n (1) X n (1)1 , ，证明：这些序列仍是平稳的证明：已知， EX nm,DX n2,COV(X n t ,X t ) (t)EX n(1) EX n EX n 1 0,DX n (1)D(X n 22X n 1 ) 22 (1) 12COV ( X n (1)t ,X (1))COV(X n t X n t 1,X n X n 1) COV(X n t ,X n ) COV(X n t 1,X n ) COV(X n t ,X n 1 ) COV(X n t 1,X n 1)2 (t) (t 1) (t 1)显然， X n (1)为平稳过程同理可证， X n (2) ,X n (3), 亦为平稳过程a) 若 t 1,2, ，证明{ X (t),t 1,2, } 是宽平稳但不是严平稳， b) 设 t [0, ) ，证明 {X(t),t 0} 既不是严平稳也不是宽平稳过程2EX(t) E sin(Ut )21dUCOV ( X (t ), X (s)) E(sinUt ?sinUs)12( cosUt ) 200,t 1 1,2, s)U)1{ 1[cos(ts)U ]02t1s [cos(t2s)U}?21t2. 设 { X n ,n 1,2, } 是 平 稳 序 列定 义 {X n (i),n 1,2, },in3.设Z n k 2(a k n u k) 这里k和a k为正常数， k=1 ， n; u1,...u n 是(0,2 )k1上独立均匀分布随机变量。