探究动点背景下的线段最值问题
本文以一道中考试题为例，探讨动点背景下线段最值问题的常用方法，供参考.
题目 (2016年三明中考题)如图1，等边ABC ?中，4AB =，P 是BC 边上的动点，点P 关于AB 、AC 的对称点分别是M 、N ，则线段MN 长的取值范围是 .
分析 要求线段MN 长的取值范围，首先要解决与MN 长相关联量的问题.若连结PM ，PN ，分别与AB ，AC 边相交于点D ，E ，由轴对称的性质可知，AB ，AC 分别垂直平分线段PM ，PN ，即D ，E 分别为PM ，PN 的中点，因此，DE 为PMN ?的中位线，所以有2MN DE =.这样，就将MN 长的取值范围问题转化为求DE 的取值范围问题了.
方法一 特殊位置猜想法
特殊位置法是指通过对动点位于特殊点时，对线段长度值发生的变化作出分析，判断线段长度的取值范围.
解析 本题中动点P 的运动路径为线段BC .如果考虑运动的端点，也就是点P 与点B 或点C 重合时(此时点M 、N 分别与点B 、点C 重合)，不难发现此时MN 的长即为等边
ABC ?高的2倍，即.
当点P 为BC 边中点时(如图3)，连结PM ，PN 分别交AB ，AC 于点D ，E ，此时
PMN ?为顶角为120°的等腰三角形.不难计算出PD PE ==，根据对称性得到
PM PN ==，从而底边3DE ==.而通过点P 取异于这三点的任何一个位置，DE 的长都介于图2与图4中MN 的长度之间，故可以确定MN 长的取值范围是
6MN ≤≤.
点评 此种方法适用于题干条件比较简单、且为直线型变量取值范围的确定.由于操作的局限性，结果的准确性难以保证，往往需要采用其他方法对猜想进行严密的推算. 方法二 图示比较法.
图示比较法，是指将所需确定取值范围线段置于三角形或四边形中，借助于“两点之间线段最短”、“垂线段最短”等基本事实，判断其取值范围.
解析 如图5，若设BP x =，在PDE ?中，显然有DE PD PE ≤+.不难得到
2PD x =，(4)2PE x =?，从而得到(4)22
DE x x ≤+?=.在在图6中，
分别过点D 、E 作直线BC 的垂线，垂足为F 、G ，则有324PF PD x =
=，
3(4)24PG PF x ==?，33(4)344
DE FG PF PG x x ≥=+=+?=.
同样，DE ≤，因此，6MN ≤≤
点评 此种方法同样适用于较为简单的直线型变量取值范围的确定，难点在于比较对象的准确寻求.
方法三 构建函数法
构建函数法，是指设图形中某一线段长(或某一角度的角度)为自变量x ，建立所求元素关于x 的函数，根据自变量的取值范围与函数的增减性求出所求元素的取值范围.
解析 若设BP x =，在图7中，过点D 作EG 的垂线，垂足为H ，4DF GH x ==，
(4)4EG x =?，3FG =，由勾股定理不难得出223(2)94
DE x y =?+=(04)x ≤≤，该函数在平面直角坐标系中的图象如图8所示，不难看出当0x =或4时(此时点P 分别与
B 、
C 点重合),2y DE =有最大值，当2x =时(此时点P 为BC 边的中点). 2y DE =
有最小值3，故有3DE ≤≤6MN ≤≤.
或者在图9中，过点E 作直线MP 的垂线，垂足为K ，则2
PD x =，
(4)2PE x =?，60EPK ∠=°，由锐角三角函数可以求出(4)4
PK x =?，3(4)4EK x =?，在直角三角形DKN 中，运用勾股定理同样可以求得223(2)94
DE x =?+ (04)x ≤≤，其余同上解法.
点评 由于函数是研究变量关系的常见模型，因此这种方法是一种通法，最适用于题干背景较为复杂、运动对象遵循的规律不明显等问题.
方法四 坐标法
坐标法是通过设动点坐标，将所需确定范围的线段长度表示成动点坐标的函数关系式，然后确定所求元素的取值范围.
解析 如图10，建立平面直角坐标系，设点P 的坐标为(,0)x ，利用锐角三角函数不
难表示出D ，E 两点的坐标分别为(,)44x D x ?，((3,(4))44x E x ??，根据两点之间的距离公式，可以求得223(2)94
DE x =?+(04)x ≤≤，其余同上. 点评 平面直角坐标系能较好地实现“数”与“形”的结合，我们在求最值问题时，不妨一试.
教无定法，解题亦如此.我们在平时的教学中，要在实践中发现规律，在发现规律的过程中内化为经验、在内化为经验的同时提升解决问题的能力.