(陕西版)高考数学分项汇编 专题07 不等式(含解析)理科

专题6 不等式恒成立问题

函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式恒成立问题一直是高考命题的热点,此类问题

一般会把函数、导数及不等式交汇考查,对能力要求比较高,难度也比较大,常见的题型是由不等式恒成立确定

参数范围问题,常见处理方法有：①构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不

等式,从而求出参数的取值范围．②分离变量,把问题转化为函数的最值问题．

(一) 与不等式恒成立问题有关的结论

①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)

min>A；

②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)

max

③. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)

min >0；

④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x)

max <0；

⑤. ∀x

1∈D, ∀x

2∈E,均有f(x

1) >g(x

2)恒成立,则f(x)

min> g(x)

max；

⑥. ∀x

1∈D, ∀x

2∈E,均有f(x

1)

2)恒成立,则f(x)

max < g(x)

min.

【例1】（2024届天津市河西区高三下学期质量调查三）已知函数2

2lnfxax

x=--,

2

21lngxaxax

x=-+-,其中aÎR．

(1)若

20f¢=,求实数a的值

(2)当0a>时,求函数

gx

的单调区间；

(3)

若存在21

,e

exéù

Î

êú

ëû使得不等式

fxgx£成立,求实数a的取值范围．

【解析】（1）因为2

2lnfxax

x=--,则

222a

fx

xx=-¢+,

由

20f¢=

可得

222

0

22a

-+=,

解得1

2a=.

（2）函数2

21lngxaxax

x=-+-的定义域为

0,¥+

,且2

22221212212axaxaxxa

gxa

xxxx-++--+

=-+=¢=,

当0a>时,令

【最新】数学《不等式》期末复习知识要点

一、选择题

1．已知函数2222,2{log,2xxxfxxx ，若0Rx，使得2054fxmm 成立，则实数m的取值范围为 （ ）

A．11,4 B．1,14 C．12,4 D．1,13

【答案】B

【解析】

由函数的解析式可得函数的最小值为：11f,则要考查的不等式转化为：2154mm，解得：114m，即实数m的取值范围为 1,14 .

本题选择B选项.

点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．

2．若,xy满足约束条件360601xyxyy，则122yx的最小值为( )

A．116 B．18 C．1 D．2

【答案】A

【解析】

【分析】

画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解．

【详解】

由题意，画出约束条件360601xyxyy所表示的可行域，如图所示，

其中可得(3,1)A，(5,1)B，(3,3)C，

因为1222yxxy，令zxy，当直线yxz经过A时，z取得最小值， 所以z的最小值为min314z，

则1222yxxy的最小值为41216.

故选：A．

【点睛】

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．

专题03不等式易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）

1．比较大小基本方法

关系方法

做差法

与0比较做商法

与1比较

ba0ba

)0(1ba

ba

，

或)0(1ba

ba

，

ba0ba

)0(1b

ba

ba0ba

)0(1ba

ba

，

或)0(1ba

ba

，

2．．等式的性质

（1）基本性质

性质性质内容

对称性abbaabba；

传递性cacbbacacbba，；，

可加性cbcaba

可乘性baccbabcaccba00，；，

同向

可加性dbcadcca，

同向同正

可乘性bdacdcba00，

可乘方性nn

baNnba*

0，

类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是

在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．

类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的

单调性．

比较法又分为作差比较法和作商比较法．

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大

小．

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式

乘积的形式，也可考虑使用作商法．易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．

(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后

者一般是解不等式的理论基础．

例．“0ab”是“11

高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明

7.4 基本不等式 考试要求 1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 知识梳理

1．基本不等式：ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

(3)其中a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．

(3)ab≤a＋b22 (a，b∈R)．

(4)a2＋b22≥a＋b22 (a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

3．利用基本不等式求最值

(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P.

(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.

注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)不等式ab≤a＋b22与ab≤a＋b2等号成立的条件是相同的．( × )

(2)y＝x＋1x的最小值是2.( × )

(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.( √ )

(4)函数y＝sin x＋4sin x，x∈0，π2的最小值为4.( × )

教材改编题

1．已知x>2，则x＋1x－2的最小值是( )

A．1 B．2 C．22 D．4

答案 D

解析 ∵x>2，

∴x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2≥2x－21x－2＋2＝4，

当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立．

2．函数y＝4－x－1x(x<0)( )

A．有最小值2 B．有最小值6

C．有最大值2 D．有最大值6

答案 B

解析 y＝4＋(－x)＋1－x