2011年高考全国卷理科数学解析版
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第1页 2011年高考全国卷理科数学解析版
第Ⅰ卷
一、选择题
(1)复数1zi,z为z的共轭复数，则1zzz
（A）2i （B）i （C）i （D）2i
[答案](B）。
[解析] 21(1)(1)(1)1111zzziiiiii，故选（B）
(2)函数2(0)yxx≥的反函数为
（A）2()4xyxR （B）2()4xyx≥0 （C）24yxxR （D）24()yxx≥0
[答案](B)
[解析]依题意知原函数的值域不会是负数，即反函数的定义域是x≥0，∴排出（A）、（C），
又点1,2在原函数上，∴点2,1必在反函数上，再排出（D），故选（B）
(3)下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是
（A）1ab （B）1ab （C）22ab （D）33ab
[答案](A)
[解析] 1abbab，而反之不成立，故选（A）
(4)设nS为等差数列na的前n项和，若11a，公差2d，224kkSS，则k
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
[答案]（D）
[解析] 21211242422241112115kkkkkkSSaaaakk
故选（D）
(5)设函数()cos(0)fxx，将()yfx的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于
第2页 （A）13 （B）3 （C）6 （D）9
[答案]（C）
[解析]因为，()yfx的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合
所以，函数()cos(0)fxx的周期的整数倍是3
即，2()63kkZk，又0，1k时，取得最小值6。故选（C）
(6)已知直二面角l，点A，,AClC为垂足，B，,BDlD为垂足．若2,2ABACBD，则D到平面ABC的距离等于
(A)23 (B)33 (C)63 (D) 1
[答案]（C）
[解析] ∵直二面角l
又，,,,AAClAClCAC
AC，连结BC，则BC
ACBC，223BCABAC
又，BDl，即BDDC，222CDBCBD
连结AD，设D到平面ABC的距离为h，则
111111333232DABCABCDRtABCRtBCDVVShSACACBChBDCDAC
12633BDCDBChBDCDhBC，故选（C）
(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
（A）4种 （B）10种 （C）18种 （D）20种
[答案]（B）
[解析]取得4本书的方式二类，①1本画册和3本集邮册，此时4位朋友中只有1人分到画册，有2
1 D
B C A
l. α
β 1
第3页 14C种赠送方法；②2本画册和2本集邮册，此时4位朋友中有2人分到画册，有24C种赠送方法。
1244434102CC，故选（B）
(8)曲线21xye在点(0，2)处的切线与直线0y和yx围成的三角形的面积为
(A)13 (B)12
(C)23 (D) 1
[答案](A)
[解析] y′2222xxee，
ky切线′02x，
曲线21xye在点(0，2)处的切线方程为：22yx
如图，2223yxyxyx，所求三角形的面积1211233，故选（A）
(9)设()fx是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()21fxxx，则5()2f=
(A) 12 (B)1 4 (C)14 (D)12
[答案]（A）
[解析] ()fx是周期为2的奇函数，5511()()(2)()2222ffff
又，当0≤x≤1时，()21fxxx，51111()()2(1)22222ff
故选（A）
(10)已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，直线24yx与C交于A、B两点，则cosAFB
A.45 B.35 C.35 D.45
[答案]（D）
[解析]设11(,)Axy、22(,)Bxy y= -2x+2
x y
y=x
(23,23)
y=0
0 1 2
第4页 2221242(4)2802,42424yxyyyyyyyxxy
∴(1,2)A、(4,4)B，又，抛物线2:4Cyx的焦点为(1,0)FF，
所以，(0,2),2FAFA，(3,4),5FBFB，03244cos255FAFBAFBFAFB
故选（D）
(11)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成60二面角的平面截该球面得圆N，若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为
(A)7 (B)9 (c)11 (D)13
[答案]（D）
[解析]依题意，图中AB、CD分别是圆M、圆N的直径，60AMD是平面和平面所成二面角的平面角。
∵圆M的面积为4，∴圆M的半径2BC，
∴22222421223OMOBBMOM
又，9030OMNAMD，
∴在132RtOMNONOM中
∴圆N的半径2216313NDODON，圆N的面积13，故选（D）
(12)设向量a、b、c满足1ab，12ab,,60acbc，则c的最大值等于
（A）2 （B）3 （C）2 （D）1
[答案]（A）
[解析] 1ab，12ab
121cos,,12012abababab
任取点O，作OAa、OBb，且,120ab D
C
B
A
M
O
N
第（11）题C′ B C
A O
第5页 设OCc，∵,60acbc， ∴点C在过O、A、B的圆的优弧AB上（如图示），
当OC经过圆心，即C在C处时OCc，c取得最大值，最大值为过O、A、B三点圆的直径，此时，60,90COACAO，2OCOA，即c的最大值2。
第Ⅱ卷
二、填空题
(13)20(1)x的二项展开式中，x的系数与9x的系数之差为
[答案] 0
[解析]由20(1)x212020()(1)rrrrrrTCxCx。
∴122rrx的系数为220C，99182rrx的系数为1820C
∴2182020CC2220200CC
(14) 已知∈(2，)，5sin5，则2tan .
[答案] 43
[解析] 552552sin1cos2(,)tan，122231242()214211()3tantantan
（15）已知1F、2F分别为双曲线22:1927xyC的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2| = .
[答案] 6
[解析]
双曲线22:13,33,6927xyCabc
1(6,0)F、2(6,0)F
又，AM为∠F1AF2的平分线，∴在12AFF中， x y
A C
0 M F2 F1
第6页 112122622262AFMFAFAFAFMF，
由双曲线的定义知，122266AFAFaAF
(16)已知点E、F分别在正方体1111ABCDABCD的棱1BB、1CC上，且12BEEB，12CFFC，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于
.
[答案] 23
[解析]建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设正方体的边长为3，则11BEFC，12EBCF，且有(3,3,0)A、(3,0,0)B、(3,0,1)E、(0,0,2)F、(0,0,0)C
(0,3,1)AE、(3,3,2)AF、(0,0,2)CF
设面AEF的一个法向量(,,)nxyz
3033320nAEyzzxynAFxyz，令3,(1,1,3),11znn得，
又，(0,0,2)CF是面ABC的一个法向量，所以
6322cos,,sin,,,32111111nCFnCFnCFtannCFnCF
三．解答题：
(17)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知90AC，2acb，求C．
[解析]909090sincos180()902sincos2cossin2cos22sinsin2sinACACAACBACCBCCCCacbACB正弦定理且
22cossin2cos21sin22cos21sin22(1sin2)CCCCCCC两边平方
