§2空间向量的运算导学案

数学•选修2－1[A]

3．1.1 空间向量及其加减运算

1．空间向量

(1)定义

□01在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．

(2)长度

□02向量的大小叫做向量的长度或□03模．

(3)表示方法

(4)几类特殊的空间向量

①零向量：□08规定长度为0的向量叫做零向量，记为□090.

②单位向量：□10模为1的向量称为单位向量．

③相反向量：□11与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为□12－a.

④相等向量：□13方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等数学•选修2－1[A]

长的有向线段表示□14同一向量或□15相等向量．

2．空间向量的加减法

(1)定义

类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：

OB→＝OA→＋AB→＝□16a＋b；

CA→＝OA→－OC→＝□17a－b.

(2)加法运算律

①交换律：a＋b＝□18b＋a；

②结合律：(a＋b)＋c＝□19a＋(b＋c)．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．( )

(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( )

(3)0向量是长度为0，没有方向的向量．( )

(4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.( )

答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________．

(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1→－AB→＋BC→化简后的结果是________．

(3)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式： 数学•选修2－1[A]

①AA1→－CB→＝________.

②AB1→＋B1C1→＋C1D1→＝________.

③12AD→＋12AB→－12A1A→＝________.

1 空间向量及其运算导学案

学科：高二数学 课型：新授课 课时：3课时 编写时间：2013.3.12

编写人：万秋红 审核人：刘刚 班级： 姓名：

【导案】

【学习目标】

1．了解空间向量的概念。

2．掌握空间向量的线性运算，数量积的定义和运算。

【学习重点、难点】

重点：空间向量的概念及其运算。

【学案】

1．空间向量

(1)空间向量的定义

在空间，把具有____________和_________的量叫做空间向量，向量的________叫做向量的长度或模.

(2)空间向量的表示方法

空间向量用___________表示，有向线段的___________表示向量的模. 如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作AB，其模记为___________或___________.

(3)特殊向量

①零向量：规定______________的向量叫做向量，记为_______________.

②单位向量：___________的向量称为单位向量.

③相反向量：与________长度________而方向__________的向量称为__________的相反向量，记为__________.

④相等向量：方向__________且模__________的向量称为相等向量. 在空间中，____________的有向线段表示同一向量或相等向量.

2．空间向量的加法、减法

类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算（如图）：

ABOAOBa＋b；

OCOACA a－b.

3．空间向量加法的运算律

2 (1)交换律 a＋b＝________________；

(2)结合律：（a＋b）＋c＝_________________.

4．空间向量的数乘运算

(1)定义：实数与空间向量a的乘积___________仍是一个_____________，称为向量的数乘运算.

高二数学协同教学模式——导学案NO. 主备人： 日期：

第1页 共2页 课题：空间向量及其线性运算

姓名：

一：学习目标

1、运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

2了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质。

二：课前预习

（1）复习：阅读教材P71-72填写下表

平面向量 空间向量

定义：

表示法：

向量的模

单位向量

零向量

加 法

减 法

数 乘

运 算

运

算

律

共线向量定理：

。

三：课堂研讨

例1：如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是B B1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

（1） 1BACB； 备

注 高二数学协同教学模式——导学案NO. 主备人： 日期：

第2页 共2页 （2）121AACBAC

（3）CBACAA1

变式1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)

例2：如图所示，在长方体BDACOADB中，OA=3,OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1,

点E，F分别是DB，BD的中点，设iOI，

jOJ，kOK，试用向量kji,,表示FOEO和。

四：学后反思

11121)4()(31)3()2()1(CCADABAAADABAAADABBCAB

§ 空间向量的数乘运算（一）

班级：二年级 组名：数学 设计人：

审核人：

领导审批：

学习目标

1. 驾驭空间向量的数乘运算律，能进行简洁的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面对量定理与它们的推论；

3. 能用空间向量的运算意义与运算律解决简洁的立体几何中的问题．

学习过程

一、课前打算（由学生完成）

（预习教材P86~ P87，找出怀疑之处）

复习1：化简：⑴ 5（32ab）+4（23ba）；

⑵ 63abcabc.

2：在平面上，什么叫做两个向量平行？

在平面上有两个向量,ab，若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是

二、新课导学 学习探究（由学生完成）

一：空间向量的共线

问题：空间随意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？

新知：空间向量的共线：

1. 假如表示空间向量的 所在的直线相互 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.

2. 空间向量共线：

定理：对空间随意两个向量,ab（0b）， //ab的充要条件是存在唯一

实数，使得

推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的随意一点O，点P在直线l上的充要条件是

,ab共线向量的充要条件中的0b，留反思：充分理解两个向量意零向量与任何向量共线.

学问应用：已知5,28,ABabBCab3CDab ，求证: 三点共线.

精讲例题 例1 已知直线，点O是直线外一点，若OPxOAyOB，且＝1，试推断三点是否共线？

变式：已知三点共线，点O是直线外一点，若12OPOAtOB，则t＝

例2 已知平行六面体''''ABCDABCD，点M是棱'的中点，点G在对角线'上，且'2:1,设CD=a，',CBbCCc，试用向量,,abc表示向量',,,CACACMCG.