§6.3 泰勒公式
教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.3 泰勒公式 教学目标：掌握Taylor 公式,并能应用它解决一些有关的问题.
教学要求：（1）深刻理解Taylor 定理,掌握Taylor 公式,熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其
之间的差异；（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式,并能加以应用.（3）会用带Taylor 型余项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限.
教学重点：Taylor 公式
教学难点：Taylor 定理的证明及应用. 教学方法：系统讲授法. 教学过程： 引 言
不论在近似计算或理论分析中,我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数,这将会带来很大的方便.一般来说,最简单的是多项式,因为多项式是关于变量加、减、乘的运算,但是,怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？
上一节中,讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道,如果函数f 在点0x 可导,则有有限存在公式；
0000()()()()0()f x f x f x x x x x '=+-+-
即在0x 附近,用一次多项式1000()()()()p x f x f x x x '=+-逼近函数f(x)时,其误差为00()x x -.
然而,在很大场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为00()x x -,其中n 为多项式次数.为此,有如下的n 次多项式：
0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++-
易见：
00()n a p x =,01()1!n p x a '=
,02()2!n p x a ''=,…,()
0()
!
n n n p x a n =（多项式的系数由其各阶导数在0x 的取值唯一确定）.
对于一般的函数,设它在0x 点存在直到n 阶导数,由这些导数构造一个n 次多项式如下：
()00000()()
()()()()1!!
n n n f x f x T x f x x x x x n '=+-++-
称为函数f 在点0x 处泰勒多项式,()n T x 的各项函数,()0()
!
k f x k （k ＝1,2,…,n ）称为泰勒系数.
问题 当用泰勒多项式逼近f(x)时,其误差为0()()0(())n n f x T x x x -=- 一、带有皮亚诺余项的泰勒公式
定理1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数,则有0()()0(())n n f x T x x x =+-,即
()000000()()
()()()()0(())1!!
n n n f x f x f x f x x x x x x x n '=+-++-+-
即函数f 在点0x 处的泰勒公式；()()()n n R x f x T x =-称为泰勒公式的余项.
证明 设()()()n n R x f x T x =-, n a x x G )()(-=. 应用L 'Hospital 法则1-n 次, 并注意到
)()(a f n 存在, 就有
=====--→→)
()(lim )()(lim )1()
1(0
x G x R x G x R n n n a x n a x )(2)1()
)(()()(lim
)()1()1(a x n n a x a f a f x f n n n a x -------→ = 0)()()(lim !1)
()1()1(=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=--→a f a x a f x f n n n n a x . 称()
n n a x x R )()(-= 为Taylor 公式的Peano 型余项, 相应的Maclaurin 公式的Peano 型余项为)()(n n x x R =. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Peano 型余项的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 ).
注1、若f(x)在点0x 附近函数满足0()()0(())n
n f x P x x x =+-,其中
0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++- ,这并不意味着()n p x 必定是f 的泰勒多项式()n T x .但()n p x 并非f(x)的泰勒多项式()n T x .（因为除(0)0f '=外,f 在x ＝0出不再存在其它等于一阶的导数.）；
注2、满足条件0()()0(())n n f x P x x x =+-的n 次逼近多项式()n p x 是唯一的.由此可知,当f 满足定理1的条件时,满足要求0()()0(())n
n f x P x x x =+-的多项式()n p x 一定是f 在0x 点的泰勒
多项式()n T x ；
注3、泰勒公式0x ＝0的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin ）公式：
()(0)(0)()(0)0()1!!
n n
n f f f x f x x x n '=++++
引申 定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y ＝f(x)时余项大小的一种估计,但这种估计只告诉我们当0x x →时,误差是较0()n x x -高阶的无穷小量,这是一种“定性”的说法,并未从“量”上加以描述；换言之,当点给定时,相应的误差到底有多大？这从带Peano 余项的泰勒公式上看不出来.为此,我们有有必要余项作深入的讨论,以便得到一个易于计算或估计误差的形式. 二、带有Lagrange 型余项的Taylor 公式
定理2（泰勒） 若函数f 在[a,b]上存在直到n 阶的连续导函数,在(a,b)内存在n ＋1阶导函数,则对任意给定的0,[,]x x a b ∈,至少存在一点(,)a b ξ∈使得：
()(1)1000000()()()()()()()()1!!(1)!
n n n
n f x f x f f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+
（1） 证明 记()()()n n R x f x T x =-,要证(1)1
0()
()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+,记
10()()n n Q x x x +=-,不妨设0x x <,则(),()n n R x Q x 在0[,]x b 上有直到n 阶的连续导数,在0(,)x b 内存在1n +阶导数,又因为
()000()()()0n n n n R x R x R x '==== ,()000()()()0n n n n Q x Q x Q x '==== .
故在区间0[,]x x 上连续运用Cauchy 中值定理1n +次,就有
010010()()()()()()()()()()()()
n n n n n n
n n n n n n R x R x R x R R R x Q x Q x Q x Q Q Q x ξξξξ'''--===
-'''-
()()(1)20()()
(1)
02()()()()()()()()
n n n n n n n n n n n n n n n n R R R x R Q Q x Q Q ξξξξξξ++''-====-'' ,
其中,011n n x x ξξξξ-<<<<<< ,(1)(1)()()n n n R f ξξ++=,
(1)
()(1)!n n Q n ξ+=+, 从而得到
