3-3泰勒公式98992

误差 Rn( x) f ( x) Pn( x)
Pn和 Rn的确定
分析:
1.若在 x0 点相交
y
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
x0
y f (x)
x
假设 Pn(k) ( x0 ) f (k) ( x0 ) k 1,2,, n
lim
x x0
Rn (x) n( x x0 )n1
lim
x x0
n(n
Rn( x ) 1)( x
x0
)n2
lim
xx0
R( n1) n
(
x
)
n!(x x0 )
Rn(n) ( x0 )
0
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
定理1 （泰勒(Taylor)公式）
如果函数 f ( x)在 x0处具有 n 阶导数,则当 x
在 x0的邻域内时, f ( x)可以表示为:
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x 2!
0
)
(
x
x0
)2
f
(
n) (x0 n!
(1 x)100 1 100x 100 99 x2 o( x2 ) 2
(1
1 2 x )40
1 40 (2x)

n
n 1
Rn( 2 ) n( n 1)( 2 x0 )
( 2在x0与1之间)
如此下去,经过( n 1) 次后,得
Rn ( x ) ( x x0 )
n1

R
n 1!
( 在 x0与 n之间 ,也在 x 0 与 x 之间)
$3-3Taylor公式 9
( n1 ) n
$3-3Taylor公式 2
例如, 当 x 很小时, e 1 x , ln( 1 x ) x
x
ye
ye
x
x
y x
y ln(1 x )
y 1 x
o o
$3-3Taylor公式 3
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 问题:
寻找函数 P ( x ) ,使得 f ( x ) P ( x ) ,
两函数 Rn ( x ) 及 ( x x 0 )
n1
在以 x 0 及 x 为
端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
Rn ( x ) ( x x0 )
n1

Rn ( x ) Rn ( x0 ) ( x x0 )
n1
0 ( 1 在 x 0 与 x 之间 )

R n ( 1 ) ( n 1 )( 1 x 0 )
f
(4)
(0) 0,
… ，
f
(n)
( 0 ) 依次取 0， ，， 1 . 1 0 -
若令n=2m,则
sin x x x
3

x
5

x
7
m 1 … ( 1)
x
2 m 1
3!
5!
7!

例3 解∵ f
f
(k )
(k )
( x) = sin( x + k⋅ ) ⋅
2
π
k = 2m (m = 1,2,⋯ 0, ) (0) = sink = − (−1)m−1 ,k = 2m − 1 2
π
3
5 2m−1
x x x m−1 − + ∴sinx= x− + −⋯ (−1) (2m − 1)! 3! 5! +R2m( x) 2m 其中 o( x ) m 2m+1π ) (−1) x + sin(θcos(θ x) 2m+1(0 < θ < 1) 2 R2m ( x) = x (2m+ 1)! +
2 3
f ( x) = x + 3x + 2x + 4, f (−1) = 4, 2 f ′( x) = 3x + 6x + 2, f ′(−1) = −1, f ′′(−1) = 0, f ′′( x) = 6x + 6, f ′′′( x) = 6, f ′′′( x) = 6, 故得 f ( x) = 4 + (−1)( x + 1)
3 2
麦克劳林(Maclaurin)公式 麦克劳林(Maclaurin)公式 泰勒公式: 泰勒公式(Maclaurin) :
0 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − 00 ) x 0 (n) 0 f ( x0 ) f ′′( x0 ) 0 n 2 ( x − 00 ) +⋯+ x + ( x − x0 ) 0 2! n! ( n+1) (ξ ) f (θ x) n+1 ( x − x0 ) + 0 ( n + 1) !

泰勒公式与三阶泰勒公式（TaylorFormula）是数学中一种使用级数计算函数值的方法，由英国数学家蒂姆泰勒于1715年发现。

泰勒公式的形式为由n项的级数展开构成的公式，它可用于计算函数在某一点的值，以及函数在某一点的极限。

泰勒公式有无限项，但实际应用中只需要计算有限多个项即可。

具体取几项，取决于计算的精度要求。

当取到第三项时，可以构成三阶（third order）的泰勒公式。

三阶泰勒公式的标准形式是：f(x)=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+frac{1}{2!}f(x_0)(x-x_0)^2+frac{1 }{3!}f(x_0)(x-x_0)^3+…其中x_0是函数f(x)的一点，f(x_0)表示f(x)的导数在点x_0的值，f’(x_0)表示f(x)的二阶导数在点x_0的值，f’’’(x_0)表示f(x)的三阶导数在点x_0的值。

三阶泰勒公式在实际应用中可以用来计算复杂函数的极限和值。

它是数值分析中一种常用的有限差分（finite difference）方法，广泛应用于工程中。

在数学研究中，三阶泰勒公式用来计算函数的变化趋势，主要有两种用法：一是用来估计函数的局部极大值、极小值；二是用来估计函数的极限值。

首先，可以判断f(x_0)的正负，从而进一步确定函数在点x_0附近是极大值还是极小值。

首先，如果f(x_0)>0，则说明函数在x_0附近是增加的，即f(x)是极小值；反之，如果f(x_0)＜0，则说明函数在x_0附近是减少的，即f(x)是极大值。

再以f(x_0)判断，如果f(x_0)>0，则f(x_0)>0；如果f(x_0)＜0，则f(x_0)＜0。

其次，可以用三阶泰勒公式估计函数的极限值。

如果函数f(x)在点x_0附近是可导的，并且f(x_0)和f(x_0)的绝对值越来越小，那么函数在点x_0附近的极限值就可以用三阶泰勒公式估计出来，因此可以用三阶泰勒公式估计函数在某一点的极限值。