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高等数学泰勒公式1 泰勒公式介绍泰勒公式是一种重要的数学计算方法，它可以用来求解函数的数值解。
泰勒公式不像常用的无穷级数展开，而是用数值解的方式给出函数的近似值，从而使其在计算中更接近真实解。
泰勒公式最初是以JohnathanTaylor的名字命名的，但实际上，它可以追溯到叙利亚数学家艾哈迈德·泰勒，他是在1800年代末定义函数的隐函数形式的先驱者。
2 泰勒公式的定义泰勒公式可以被定义为：当f(x)是在点x0内可从某处n次可连续微分的函数时，令微分次数增加到n+1，则有：f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f'''(x_0)(x-x_0)^3}{3!}+\cdots+\frac{f^{(n+1)}(x_0)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} 3 泰勒公式的应用由于泰勒公式的本质是利用函数的多项式区间进行逼近，因此它可以用来求解根问题、最小值、积分以及其他的数学问题。
比如，用泰勒公式求根问题：假设存在一个函数f(x)，当x_0处f(x)可导数且f(x_0)=0时，f(x) = 0可以用泰勒公式写作：f(x) =f'(x_0) (x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 + \cdots = 0。
这样，x_0就是f(x) = 0的一个根，而当f''(x) > 0时，x_0是其唯一解。
泰勒公式也可以用来求函数的最大值或最小值，最大值或最小值的函数在泰勒公式处可导数并且函数值为零。
由于泰勒公式可以对函数值的近似表达作出估算，因此也可以用来做积分，将函数分段展开，然后用此泰勒展开式加以求和便可以求出积分值了。
4 泰勒公式的缺点虽然泰勒公式在多个应用中都表现出了优良的数值结果，但泰勒公式也有一定的缺点，比如函数值的计算方式比较复杂、计算量也太大，也有的函数集合不能只靠泰勒公式求解，甚至得到的数值可能不是最精确的值，所以使用时必须谨慎。
第三章：泰勒公式以及导数运用1.泰勒公式（注意：麦克劳林公式是特殊的泰勒公式，即00=x ）（1）)(!!212x xxe n nx o n x +++= 证：令e x x f =)(，e f x n x x f x f x f ='''=''=')()()()()( ，那么就有1)0()0()0()0()(='''=''='f n f f f ，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()(x x fennn xo n x f f +'+==)(!!212x xxn no n x +++ （2）)()!12(!5!3sin 121253)1(x xxxm m mo m x x ++++++-=- 证：令x x f sin )(=，)2sin()()(π⋅+=n x x f n ，故 2,1,0,12,2,02sin )0()1()(=⎪⎩⎪⎨⎧+===⋅=-m m n m n n mn f π，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+= ，故)()!12(!5!3)(121253)1(x xxxm m mo m x x f ++++++-=- （3）)()!2(!4!21cos 2242)1(x xx x m mm o m x +++-=- 证：令x x f cos )(=，)2cos()()(π⋅+=n x x f n ，故 2,1,0,12,02,2cos )0()1()(=⎪⎩⎪⎨⎧+===⋅=-m m n mn n m n f π,而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+=，故)()!2(!4!21)(2242)1(x xxxm mmo m x f +++-=- （4）)(!)1()1(!2)1(12)1(x x x x n n o n n x ++--+-++=+ααααααα 证：令)1()(x x f +=α，)1()1()1()()(x fnn n x +-+--=αααα ，故)1()1()0()(+--=n f n ααα ，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+=，故)(!)1()1(1)(x x n no n n x x f ++--++=αααα（5）)(3!2)1ln()1(132x x x x n nn o nx x ++-=+-- 证：令)1ln()(x x f +=，)1()1()!1()(1)(x f nn n n x +--=-，故)!1()0()1(1)(-⋅=--n n n f，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+=，故)(3!2)()1(132x x x x n nn o nx x f +++-=-- （6）按（4-x ）的幂展开多项式435)(234+-+-=x x f x x x 由32154)(23-+-='x x f x x ，23012)(2+-=''x x f x ，3024)(-='''x x f ，24)()4(=x f ，)5(0)()(≥=n x f n ，而21)4(='f ，74)4(=''f ，66)4(='''f ，根据泰勒公式得!)4()4)(4()4()()4()(n x f f x f x fnn -+-'+=（未带有余项），故)4()3()4(4321137)4(2156)(---+++-+-=x x x x x f 解：x x f 2121)(-='，x x f 2341)(--=''，x x f 2583)(-='''，x f x 27)4(1615)(--=，故41)4(='f ，321)4(-=''f ，2563)4(='''f ，ξ27)4(1615)(--=f，故根据带有拉格朗日余项的泰勒公式则有)!1()(!)4()4)(4()4()()4()4(1)1()(+++-'+=--++n n x f f x f x fx f n n nn ξ)4()4()4(42732384155121641)4(412)(-----+--+=⇒x x x x x f ξ（ξ在x 与4之间）（8）求函数x x f ln )(=按)2(-x 的幂展开的带有佩亚诺余项的n 阶泰勒公式解：xf n n n n x 1)!1()()1(1)(-=--2)1(1)!1()2(1)(n n n n f -=⇒--,故根据带有佩亚诺余项的泰勒公式则有][!)2()2)(2()2()()2()2()(--+++-'+=⇒x x fnnn o n x f f x f ][81)2(212ln )()2()2()1()2(12----+⋅+--+=⇒-x x x nnnn o n x x f解：⇒=+-xfn nn n x 1)(1!)()1()1()1(1)(1!)1(--+=-n nn n f)1()1(!)1()(++-=-⇒x x fnnn n ，故根据带有拉格朗日余项的泰勒公式得)!1()(!)1()1)(1()1()()1()1(1)1()(++-+-'+-=++++n n x f f x f x fx fn n n n ξξ2112)1()1()1()1()1(1)(++++-+++--+--=⇒n n n nx x x x x f ξ在1-与x 之间。
§3.3 泰勒公式教学内容：一．泰勒中值定理1.定理：(泰勒中值定理) 如果()f x 在含有0x 的某(,)a b 内具有直到1n +阶导数，则对任意(,)x a b ∈，有()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+，(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+，其中ξ介于0x 与x 之间．2. 泰勒多项式：n 次多项式()20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x p x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数()f x 在0x 处的n 阶泰勒多项式，其系数()0()(0,1,2,)!k k f x a k n n ==称为()f x 在0x 处泰勒系数.3.泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.4.称()200000000()()()()()()()()[()]2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-为n 阶带有佩亚诺型余项的泰勒公式．二．麦克劳林公式1.定理：如果函数()f x 在含有0=x 的某个开区间(,)a b 内具有直到1n +阶的导数，则对任意(,)x a b ∈，称()(1)21(0)(0)()()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θθ++'''=+++++<<+为函数()f x 的n 阶带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式 .2.带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式为()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x o x n '''=+++++．三．几个重要初等函数的麦克劳林公式例1.求函数()e xf x =的n 阶麦克劳林公式．例2.求函数()sin f x x =的n 阶麦克劳林公式．另外几个常用函数的麦克劳林公式:（1）242121cos 1(1)()2!4!(2)!mm m x x x x R x m -+=-+-+-+，其中 []2212221cos (1)πcos ()(1)(01)(22)!(22)!m m m m x m x R x x x m m θθθ++++++==-<<++．（2）231ln(1)(1)()23nn n x x x x x R x n-+=-+-+-+，其中11(1)()(01)(1)(1)n n n n R x x n x θθ++-=<<++． （3）2(1)(1)(1)(1)1()2!!n n n x x x x R x n ααααααα---++=+++++，其中11(1)(1)()()(1)(01)(1)!n n n n n R x x x n αααααθθ--+--+-=+<<+；（4）2311(1)()1nnn x x x x R x x=-+-++-++，其中，1x ≠-，112(1)()(01)(1)n n n n R x x x θθ+++-=<<+．四．泰勒公式的应用1.泰勒公式间接展开法：利用已知函数的麦克劳林公式，可以间接的写出某些复杂函数的泰勒公式或麦克劳林公式.2.利用泰勒公式求极限：带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式应用于求极限运算中，可以简化运算，它是求某些未定式极限的重要工具.3.求高阶导数值：若函数()f x 在点0x 处的泰勒公式可以使用间接展开法得到，则根据泰勒公式的唯一性，可以确定函数()f x 在点0x 处的各阶导数值.4.近似计算.五．例题讲解例3.求函数()e x f x x -=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．例4.求函数1()3f x x=+在1x =处的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式．例5.求极限240e 2cos 3lim →+-x x x x ．例6.设2()sin =f x x x ，试求(99)(0)f.例7.求无理数e 的近似值，使误差不超过610-．。
