2.3变量间的相关关系[提出问题](1)吸烟可导致肺癌．(2)下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表．(3)y＝x2＋5(x问题1：吸烟一定可以导致肺癌吗？吸烟与患肺癌有关吗？提示：吸烟不一定患肺癌，但它们有一定的关系．问题2：小卖部中卖出的热茶杯数与当天气温有关吗？两者之间是如何变化的？提示：两者间有关系．随着气温的降低卖出的热茶杯数增加．问题3：y＝x2＋5(x∈R)中，x，y间是什么关系？提示：y与x间是函数关系，是一种确定关系．[导入新知]相关关系如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系．[化解疑难]两个变量间的关系分类两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，如某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系；再一类是不相关，即两变量没有任何关系．[提出问题]下表是某地搜集到的新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋的面积x(单位：m2)的数据：问题1：以x提示：如图所示：问题2：房屋的销售价格与房屋的面积有关系吗？提示：有关系．问题3：怎样描述房屋的销售价格与房屋的面积之间的变化关系？提示：大体上来看，面积越大，售价越高．但不是正比例函数关系．[导入新知]1．散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图，利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．2．正相关和负相关(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．[化解疑难]对正相关和负相关的理解(1)正相关随自变量的变大(或变小)，因变量也随之变大(或变小)，这种带有随机性的相关关系，我们称为正相关．例如，人年龄由小变大时，体内脂肪含量也由少变多．(2)负相关随自变量的变大(或变小)，因变量却随之变小(或变大)，这种带有随机性的相关关系，我们称为负相关．例如，汽车越重，每消耗1 L汽油所行驶的平均路程就越短．[提出问题]问题：在“知识点二”的问题中，能否估计出房屋面积为120 m2时的销售价格？如何估计？提示：能．根据散点图作出一条直线，求出直线方程，即可预测．[导入新知]回归直线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线；(2)回归方程：回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程：①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )； ②设所求回归方程为，其中a ^，b ^是待定参数；③由最小二乘法得其中：b ^是回归方程的斜率，a ^是截距． [化解疑难]回归直线方程与直线方程的区别线性回归直线方程中y 的上方加记号“^ ”是与实际值y 相区别，因为线性回归方程中“y ^”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它具有随机性，因而对于每一个具体的实际值而言，y ^的值只是比较接近，但存在一定的误差，即y ＝y ^＋e (其中e 为随机变量)，预测值y ^与实际值y 的接近程度由随机变量e 的标准差决定．[例1] (1)) ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示．②判断y与x是否具有线性相关关系．[解](1)在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．(2)①散点图如图所示．②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．[答案](1)②④[类题通法]两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．[活学活用]如图所示的两个变量不具有相关关系的是______(填序号)．解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．答案：①④[例2] 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：(1)(2)若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程． [解] (1)散点图如下：(2)数据如下表：可以求得b ^＝0.5，a ^＝0.4， 线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4. [类题通法]求线性回归方程的步骤(1)计算平均数x ，y ； (2)计算x i 与y i 的积，求∑i ＝1nx i y i ；(3)计算∑i ＝1nx 2i ；(4)将结果代入公式b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x2，求b ^；(5)用a ^＝y －b ^x ，求a ^； (6)写出回归方程． [活学活用]1．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝88＋12xD.y ^＝176 解析：选C 由题意得 x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176(cm)，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176(cm)，由于(x ，y )一定满足线性回归方程，经验证知选C. 2．已知变量x ，y 有如下对应数据：(1)作出散点图；(2)用最小二乘法求关于x ，y 的回归直线方程． 解：(1)散点图如图所示：(2)x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝1＋3＋4＋54＝134，∑i ＝14x i y i ＝1＋6＋12＋20＝39.∑i ＝14x 2i ＝1＋4＋9＋16＝30，b ^＝39－4×52×13430－4×⎝⎛⎭⎫522＝1310，a ^＝134－1310×52＝0，所以y ^＝1310x 为所求回归直线方程．[例3] 零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表是抽样试验结果：(1)如果y (2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的转速应该控制在什么范围内？[解] (1)由题意，可得x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438，∑i ＝14x 2i ＝660，则b ^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.728 6，a ^＝y －b ^x ＝－0.857 5.所以回归直线的方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5. (2)要使y ≤10，则0.728 6x －0.857 5≤10， 解得x ≤14.90.所以机器的转速应该控制在15转/秒以下． [类题通法]回归分析的三个步骤(1)进行相关性检验，若两变量无线性相关关系，则所求的线性回归方程毫无意义；(2)求回归直线方程，其关键是正确地求得a ^，b ^； (3)根据直线方程进行预测． [活学活用](全国乙卷)如图是我国2008年到2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2∑i ＝1n(y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a^＝y －b ^t .解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.892×2.646×0.55≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得 b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将2016年对应的t ＝9代入回归方程得 y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．6.线性相关关系的判断及回归方程的应用[典例] 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y (单位：吨标准煤)的几组对照数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？[解题流程][规范解答]x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5， i ＝1nx 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，∴b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 故线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故耗能约减少了90－70.35＝19.65(吨)标准煤．[类题通法]解答回归分析问题的四个注意点 (1)先用散点图确定是否线性相关； (2)准确计算回归方程中的各个系数； (3)回归直线必过样本中心；(4)利用回归直线方程求出的值只是估计值，会与实际值有一定的误差． [活学活用]某个体服装店经营某种服装在某周内所获纯利y (元)与该周每天销售这种服装的件数x (件)之间有一组数据如下表：(1)求x ，y ；(2)若纯利y 与每天销售这种服装的件数x 之间是线性相关的，求回归直线方程； (3)若该店每周至少要获纯利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？(以下数据供选择：∑i ＝17x 2i ＝280，∑i ＝17y 2i ＝45 309，∑i ＝17x i y i ＝3 487)解：(1)x ＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋97＝6，y ＝66＋69＋73＋81＋89＋90＋917≈79.86.(2)∵b ^＝3 487－7×6×79.86280－7×62≈4.75，a ^＝79.86－4.75×6＝51.36，∴纯利与每天销售件数x 之间的回归直线方程为y ^＝51.36＋4.75x . (3)当y ^＝200时，200＝4.75x ＋51.36，所以x ≈31.29.因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件．[随堂即时演练]1．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B ．y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200D ．y ^＝10x －200解析：选A ∵商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，∴b ＜0，排除B ，D.又∵x ＝0时，y ＞0，∴选A.2．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析：选C 由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关．3．若施肥量x (kg)与水稻产量y (kg)的线性回归方程为y ^＝5x ＋250，当施肥量为80 kg 时，预计水稻产量约为________kg.解析：把x ＝80 kg 代入回归方程可得其预测值 y ^＝5×80＋250＝650(kg)． 答案：6504．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表所示．__________________． 解析：由题意可知x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50.即样本中心为(5,50)．设回归直线方程为y ^＝6.5x ＋b ^， ∵回归直线过样本中心(x ，y )， ∴50＝6.5×5＋b ^， 即b ^＝17.5，∴回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5. 答案：y ^＝6.5x ＋17.55．2015年元旦前夕，某市统计局统计了该市2014年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(1)如果已知y 与x 是线性相关的，求回归方程； (2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出． (参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)解：(1)依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98， 又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.17，a ^＝y －b ^x ＝0.81， ∴y ^＝0.17x ＋0.81.∴所求的回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81.(2)当x ＝9时，y ^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．[课时达标检测]一、选择题1．下列命题正确的是( ) ①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．A ．①③④B ．②③④C ．③④⑤D ．②④⑤答案：C2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④答案：D3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时的销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元答案：B4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本的中心点(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 答案：D5．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，回归系数b ^( ) A ．不能小于0 B ．不能大于0 C ．不能等于0 D ．只能小于0答案：C 二、填空题6．正常情况下，年龄在18岁到38岁之间的人，体重y (单位：kg)对身高x (单位：cm)的回归方程为y ^＝0.72x －58.2，张红同学(20岁)身高为178 cm ，她的体重应该在________ kg左右．解析：用回归方程对身高为178 cm 的人的体重进行预测，当x ＝178时，y ^＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．答案：69.967．为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x (单元：万元)和年教育支出y (单位：万元)．调查显示年收入x 与年教育支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程为y ^＝0.15x ＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．解析：因为回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加0.15万元．答案：0.158．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x (单位：小时)与当天投篮的命中率：小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________．解析：小李这5天的平均投篮命中率y ＝15(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，x ＝3，b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝0.2＋0＋0＋0.1＋(－0.2)(－2)2＋(－1)2＋0＋12＋22＝0.01，a ^＝y －b ^x ＝0.47，∴线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.47， 则当x ＝6时，y ＝0.53.∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53. 答案：0.5 0.53三、解答题9．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：吨)，船员的人数为5～32人，船员人数y 关于吨位x 的回归方程为y ^＝9.5＋0.006 2x ，(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差人数； (2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数． 解：(1)设两艘船的吨位分别为x 1，x 2则 y ^1－y ^2＝9.5＋0.006 2x 1－(9.5＋0.006 2x 2) ＝0.006 2×1 000≈6， 即船员平均相差6人．(2)当x ＝192时，y ^＝9.5＋0.006 2×192≈11， 当x ＝3 246时，y ^＝9.5＋0.006 2×3 246≈30. 即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30和11.10．某工厂对某种产品的产量与成本进行资料分析后有如下数据：(1)画出散点图；(2)求成本y 与产量x 之间的线性回归方程； (3)预计产量为8千件时的成本．解：(1)散点图如下：(2)设成本y 与产量x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^， x ＝2＋3＋5＋64＝4，y ＝7＋8＋9＋124＝9.b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2＝1110＝1.1， a ^＝y －b ^x ＝9－1.1×4＝4.6. 所以，回归方程为y ^＝1.1x ＋4.6.(3)当x ＝8时，y ^＝1.1×8＋4.6＝8.8＋4.6＝13.4，即产量为8千件时，成本约为13.4万元．。
