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高一数学竞赛试题及答案201314

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1 高一数学竞赛试题

本卷满分为120分，考试时间为100分钟

一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。

1．已知集合{,,()},,,MababaRbR，集合{1,0,1}P，映射:fxx表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍为x，则以,ab为坐标的点组成的集合S有元素（ ）个

A．2 B．4 C．6 D．8

2 D为△ABC的边AB的中点，P为△ABC内一点，且满足,25APADBC，则APDABCSS△△（ ） A. 35 B. 25 C. 15 D. 310

3. 设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面， （ ） A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对

4．已知是函数 ()log2008,(1)afxxxa的一个零点，是函数()2008xgxxa的一个零点，则的值为（ ）

A．1 B．2008 C．22008 D．4016

5．函数()fx的定义域为D，若满足①()fx在D内是单调函数，②存在[,],mnD使()fx在[,]mn上的值域为11[,]22mn，那么就称()yfx为“好函数”。现有()log(),xafxak

(0,1)aa是“好函数”，则k的取值范围是（ ）

A．(0,) B．1(,)4 C．1(0,)4 D．1(0,]4

6．若3,0，则sinlog33等于（ ）A．sin B．sin1 C．sin

D．cos1

7．如图，一个棱长为a的立方体内有1个大球和8个小球，

大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切

且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角

都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，

变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（ ）。

O3O2O1HGFEDCBA

2 A．(633)2a B．(633)a

C．5382a D．(538)a

8．若271000444n为完全平方数，则正整数n满足 （ ）

A．1972n B．1972n C．1973n D．1970n

二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。

9．已知当6x时，函数sincosyxax取最大值，则函数sincosyaxx

图象的一条对称轴为 .

10．已知向量cba,,满足bacbacba,)(,0，若1a，则bc .

11．如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的

多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,

CC1=3.则这个多面体的体积为 .

12．把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成

两段），这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆

的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为

三、解答题：本大题共4小题，共54分。

13. （本大题满分10分）．

能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.

14．（本大题满分10分）已知定义域为R的函数abxfxx122是奇函数，求ba,的值。

15．（本小题12分）已知函数2()2cos()3cos21,4fxxxxR.

（1）求函数()fx单调递增区间； DCBAC1A1

3 （2）若{|(),[,]}42Ayyfxx，不等式3xm的解集为B，ABA，求实数m的取值范围。

16．(本小题满分16分) 设2()32fxaxbxc,若0abc,0)0(f,0)1(f.

（1）求证：方程()0fx在区间（0，1）内有两个不等的实数根；（2）若,,abc都为正整数，求abc的最小值。

（解答）

本卷满分为120分，考试时间为100分钟

1．已知集合{,,()},,,MababaRbR，集合{1,0,1}P，映射:fxx表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍为x，则以,ab为坐标的点组成的集合S有元素

（ C ）个

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】显然MP，∴111001,,,,,001111aaaaaabbbbbb有6组解，

4 6个元素。

2．设D为△ABC的边AB的中点，P为△ABC内一点，且满足,25APADBC，则APDABCSS△△ （ C ）A. 35

B. 25 C. 15 D. 310

【分析】如图25DPBEBC∴25ADBCADDPAP

四边形DPEB为平行四边形，1sin1215sin2APDABCADDPABCSSABBCADP△△，选C。

3. 设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面， 答： [D]

A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对

解 任作a的平面，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作的垂线. b与

垂线确定的平面垂直于. 选D

4．已知当6x时，函数sincosyxax取最大值，则函数sincosyaxx图象的一条对称轴为（ A ）A．3x B．3x C．6x D．6x

【分析】∵当6x时，函数sincosyxax取最大值，∴213122aa

解得：3a，∴sincos2sin()6yaxxx，∴3x是它的一条对称轴，选A。

4．已知是函数 ()log2008,(1)afxxxa的一个零点，是函数

()2008xgxxa的一个零点，则的值为 （ B ）

A．1 B．2008 C．22008 D．4016

【分析】如图：是曲线2008yx与曲线logayx交点A的横

坐标，是曲线2008yx与曲线xya交点B的横坐标，

∵函数logayx与xya互为反函数，∴A与B关于直线y=x对称 EPDCBA

5 即为点A的纵坐标，∴2008，选B

5．函数()fx的定义域为D，若满足①()fx在D内是单调函数，②存在[,],mnD使()fx在[,]mn上的值域为11[,]22mn，那么就称()yfx为“好函数”。现有()log(),xafxak

(0,1)aa是“好函数”，则k的取值范围是 （ C ）

A．(0,) B．1(,)4 C．1(0,)4 D．1(0,]4

【分析】因为函数()log(),(0,1)xafxakaa在其定义域内为增函数，则若函数()yfx为“好函数”，方程1()2fxx必有两个不同实数根，∵1log()2xaakx

2xxaka20xxaak，∴方程20ttk有两个不同的正数根，1(0,)4k选C。

6．若3,0，则sinlog33等于（ ）A．sin B．sin1 C．sin

D．cos1

解：3331loglogsinlogsinsin31logsin0,333sin

7．如图，一个棱长为a的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余

（ D ）A．(633)2a B．(633)a C．5382a D．(538)a

【分析】大球的半径为2a，设小球的半径r，则

3123232322(31)rraaraa

设小球切截面CDE于F，则3433522araAFa

设ACx，利用等积法求得95332xAFa，所以2(538)CHaAFa

选D。

8．若271000444n为完全平方数，则正整数n满足 （ ）

A．1972n B．1972n C．1973n D．1970n O3O2O1HGFEDCBA

6 【分析】∵2710005419452544442(1222)nn，当25421945n，即1972n时，上式为完全平方数。

当1972n时，有2721945254272(27)272(2)12221222(21)nnnnn，所以上式不可能为完全平方数。选B

二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。

9．已知当6x时，函数sincosyxax取最大值，则函数sincosyaxx图象的一条对称轴为 3x

【分析】∵当6x时，函数sincosyxax取最大值，∴213122aa

解得：3a，∴sincos2sin()6yaxxx，∴3x是它的一条对称轴。

10．已知向量cba,,满足bacbacba,)(,0，若1a，则bc1.

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数学竞赛试题高一及答案

数学竞赛试题高一及答案

数学竞赛试题高一及答案

一、选择题（每题5分，共20分）

1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？

A. g(x) = x^2 + 2x + 3

B. h(x) = -x^2 + 2x - 3

C. i(x) = x^2 - 2x + 3

D. j(x) = -x^2 - 2x - 3

答案：B

2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：

A. {1, 2, 3, 4}

B. {1, 2, 3}

C. {2, 3}

D. {1, 3, 4}

答案：A

3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

答案：C

4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是： A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

答案：B

二、填空题（每题5分，共20分）

1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。

答案：11

2. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。

答案：(3, 4)

3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。

答案：1

4. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。

答案：6

三、解答题（每题15分，共30分）

1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =

c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。

证明：

根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。因此，该三角形为直角三角形。

高一数学月考试题带答案-衡阳八中2013-2014学年高一下学期6月五科联赛数学试题(原卷版)

高一数学月考试题带答案-衡阳八中2013-2014学年高一下学期6月五科联赛数学试题(原卷版)

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.数列2，5，8，11，…，则23是这个数列的

A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项

2.已知ABC中4,43,30abA，则B等于

A、60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°

3.在ABC中，若sin:sin:sin3:4:5ABC，则Acos的值为

A、35 B、45 C、0 D、1

4.已知数列{}na中，21a，*11()2nnaanN，则101a的值为

A．50 B．51 C．52 D．53

5.若互不等的实数,,abc成等差数列，,,cab成等比数列，且310abc，则a

A. 4 B. 2 C. 2 D. 4

6.等差数列{}na的通项公式21nan，设数列11{}nnaa，其前n项和为nS，则nS等

A. 221nn B. 21nn C. 21nn D．以上都不对

7.在ABC中的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若60B,,abc且成等比数列，则ABC的形状为

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 不确定

8.等比数列{}na的前m项和为4,前2m项和为12,则它的前3m项和是

A.28 B.48 C.36 D.52

2013高一级数学竞赛试题范文

2013高一级数学竞赛试题范文

y

x O 三水中学2012—2013学年度高一级数学竞赛（决赛）试题

一、选择题 （本大题共6题，每小题5分，共30分，符合条件的选项有且只有一个）

1.如图中，给出的函数y=x2+ax+a的图像与x轴只有一个公共点，则a为( )

（A）0． （B）1．

（C）2． （D）4．

2.下列函数中，既是奇函数，又是在区间(,)上单调递增的函数是（ ）

A 2yxx B 2sinyxx C 3yxx D tanyx

3.已知集合|12,|21PxxMxaxa，若PMP，则实数a的取值范围是（ ）

A (,1] B [1,) C [1,1] D [1,)

4.在ABC中，(1,2),(34),(2,)ABCk，，若B为锐角，则实数k的取值范围是( )

A．5k B．5k C．35k D．335kk或

5.函数的3log3xy图象是（ ）

A B C D

6.已知函数()fx满足(1)2f，1()(1)1()fxfxfx(*)xN，则

)2012()2011()3()2()1(fffff 的值为 ( )

A．3 B．2 C．1 D．6 2 FEGABCD二、填空题（本大题共6题，每小题8分，共48分）

7.已知22tanx，则xsin

8. 已知点)0,1(A,点B为抛物线12xy的顶点，C点为抛物线上任意一点，则ACAB的最小值为

9.若任意Ax的，则Ax1，就称A是“和谐”集合，则在集合}5,4,3,2,1,21,31{M的所有非空子集中，“和谐”集合的个数是_________个

2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答

2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答

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. 20XX市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答

选择题答案

1 2 3 4 5 6

D B B A C A

填空题答案

1 2 3 4 5 6 7 8

132 −1043 4 128 11 63 {1979, 1985, 1991, 2003} 2222()mnmn

一、选择题〔满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均计0分〕

1．已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 3, 4, 5, 6}，则集合

C={(a, b)|aA, bB, 且关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根}

的元素个数为

〔A〕7．

〔B〕8．

〔C〕9． 〔D〕10．

解 当a＞0，b＞0时，x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.

设集合D={(a,

b)|aA, bB}，D的元素个数为5×5=25个，而C是D的子集，因此，集合C的元素如右面的整点图中的黑点所示：

因此,C的元素个数等于10．

2．已知2482aa，则24a+8a等于

〔A〕7． 〔B〕8． 〔C〕9． 〔D〕10．

解 2224824824882248aaaaaa．

3．如图所示，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数31kyx的图像上，若A点的坐标为(−2, −2)，则k等于

〔A〕2． 〔B〕1． 〔C〕0． 〔D〕−1．

解 因为矩形的对角线平分矩形的面积，所以

矩形CHOG的面积=矩形OFAE的面积=|−2|×|−2|= 4．

即 3k+1=OG×GC= 4，因此k =1． y=31kx

A B

F G

D E O H C

x y • • • • • 1 2 3 4 5 x y