四柱坐标系与球坐标系简介
1．柱坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.
(2)空间任意一点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，z＝z.
2．球坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ.
柱坐标与直角坐标的互相转化
[例1] (1)设点A的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．
(2)已知点P的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标．
[思路点拨] 直接利用变换公式求解． [解] (1)由变换公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得ρ2＝x2＋y2，z＝z，
即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2.
tan θ＝yx＝3，又x＞0，y＞0.
庖丁巧解牛
知识·巧学
一、极坐标系的概念
1.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等，经常用距离和方向来表示一点的位置.用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标.
极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点.引一条射线Ox，叫做极轴.再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个极坐标系.
2.如图1-2-3，极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标.
图1-2-3
深化升华 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
1.特别规定：当M在极点时，它的极坐标ρ=0，θ可以取任意值.
2.平面上一点的极坐标是不唯一的，有无数种表示方法.坐标不唯一是由极角引起的.不同的极坐标可以写出统一表达式.
二、极坐标和直角坐标的互化
1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.
2.互化公式.0,tan,,sin,cos222xxyyxyx在进行两种坐标间的互化时,应注意以下几点:①两套公式是在三条规定下得到的;②由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定只在主值范围内求值;③由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简;④由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在是等价变形,否则,不是等价变形.
问题·探究
问题1 平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但为什么它并不是确定点的位置的唯一方法，为什么要使用极坐标?
探究:确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离这两个量，有时却是依靠距离与方位角（即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，甚至更贴近生活的如人听声音，不但有高低之分,还有方向之分.描述一个人所走的方向和路程，经常会这样说：从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到B点，再从B点向南偏西15°方向行走……描述某飞机的位置：飞行高度1 200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′……这种位置的刻画能够给人一个很直观的形象.
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. 选修4－4
坐标系与参数方程
第一节
坐 标 系
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： x′＝λ·xλ＞0，y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
平面直角坐标系下图形的伸缩变换
[典例] 求椭圆x24＋y2＝1，经过伸缩变换 x′＝12x，y′＝y后的曲线方程．
[解] 由 x′＝12x，y′＝y得到 x＝2x′，y＝y′.①
将①代入x24＋y2＝1，得4x′24＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.
因此椭圆x24＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.
[方法技巧]
应用伸缩变换公式时的两个注意点
(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式本节主要包括2个知识点：
1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；
2.极坐标系. .
. X＝axa>0，Y＝byb>0建立联系．
(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： x′＝3x，2y′＝y.求点A13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标．
2．求直线l：y＝6x经过φ： x′＝3x，2y′＝y变换后所得到的直线l′的方程．
3．求双曲线C：x2－y264＝1经过φ： x′＝3x，2y′＝y变换后所得曲线C′的焦点坐标．
第 1 页 共 6 页 选修4－4 坐标系与参数方程第1课时 坐 标 系
(对应学生用书(理)192～194页)
考情分析 考点新知
理解极坐标的概念．会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化．能运用极坐标解决相关问题．
①了解极坐标系.
②会正确将极坐标方程化为直角坐标方程.
③会根据所给条件建立直线、圆的极坐标方程，并能运用极坐标解题.
1. (选修44P17习题第7题改编)已知点M的直角坐标是(－1，3)，求点M的极坐标．
解：2，2kπ＋2π3(k∈Z)都是极坐标．
2. (选修44P32习题第4题改编)求直线xcosα＋ysinα＝0的极坐标方程．
解：ρcosθcosα＋ρsinθsinα＝0，cos(θ－α)＝0，取θ－α＝π2.
3. (选修44P32习题第5题改编)化极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0为直角坐标方程．
解：ρ(ρcosθ－1)＝0，ρ＝x2＋y2＝0，或ρcosθ＝x＝1.∴ 直角坐标系方程为x2＋y2＝0或x＝1.
4. 求极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线．
解：ρcosθ＝4sinθcosθ，cosθ＝0，或ρ＝4sinθ，即ρ2＝4ρsinθ，则θ＝kπ＋π2，或x2＋y2＝4y.∴ 表示的曲线为一条直线和一个圆．
5. (选修44P33习题第14题改编)求极坐标方程分别为ρ＝cosθ与ρ＝sinθ的两个圆的圆心距．
解：圆心分别为12，0和0，12，故圆心距为22.
1. 极坐标系是由距离(极径)与方向(极角)确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对(ρ，θ)与点不一一对应．这点应与直角坐标系区别开来．
2. 在极坐标系中，同一个点M的坐标形式不尽相同，M(ρ，θ)可表示为(ρ，θ＋2nπ)(n∈Z)．
3. 极坐标系中，极径ρ可以为负数，故M(ρ，θ)可表示为(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(n∈Z)．
