弹塑性力学讲义 第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理

满足
ij ,kk
1 Θ,ij 0 1
满足
应力解代入力的边界条件： 可验证应力解满足力的边界条件。 （作业 1） 因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0 为真解。 正六面体内各点主应力 应力求出后依次可求出 由物理方程得应变 满足应力法的所有方程，
1=2=3=-p。 ij，ui
1.1.3 本构（物理）方程（六个）
2 y yz zx xy ( )2 y x y z zx
ij
w ij Eijkl kl 各向同性 ij 线性时
ij 2 G ij ij kk
x
p(1 2 ) 1 1 x ( y z ) ( p 2p) y z E E E


xy yz zx 0
代入几何方程并积分可求位移
u p (1 2 ) p (1 2 ) x f1 ( y , z ) x c3 y c 2 z 1 E E
物理方程
ij ij ui 关系式。
几何方程积分
应变kl 用
ij 表示
uk 用i)

力的边界条件（在 S上）
变形协调方程用ij 表示（6 个）
求解ij 的基本方程（9 个）
5
用指标符号表示的基本方程
ji,j+fi=0
2 ij
ij ,kk
1 Θ,ij 0 1
指标符号表示

E ( ij ij kk ) (1 ) 1
(1 ) ij ij kk E E
ij
上述所有方程为
ij 、 ij、ui 在 V 上必须满足的方程，同时在 S 上
（边界上）有边界力或边界位移。
2
1.2 边界条件 1.2.1 力的边界条件
4.2
解的唯一性定理 线弹性体在给定体力、面力和约束条件下而处于平衡状态，变形
体内各点的应力、应变及位移的解是唯一的 ——解的唯一性定理。 可采用逆推法证明 设在 f i 、 Fi 、 ui 作用下有两组解 满足求解方程及边界条件。 将两组方程相减可得：
6
' ij ' , ij , ui'
和
第2节
位移法
弹性力学问题的待求函数共 15 个（ij 、 ij、ui） ，如果一视同仁的 同等看待，由给定的边界条件下求偏微分方程组的定解是不可能的。由物 理量所满足的方程组中显示出来） 。为了有效地求解，从 15 个量中选取一 部分作为基本待求未知函数，而其它待求函数看成由基本待求函数导出的 未知函数，这样使得求解方程减少，且主攻方向明确（求基本未知量） ，基 本未知函数选取不同，导出的求解步骤和方程名称不同，如：位移法、应
'' ij '' , ij , ui''
均能
平衡方程
' 'ji , j 'ji ,j 0
,
令 ij
' ji
' 'ji
则平衡方程为
ji , j 0
' ''
ij 满足无体力平衡方程（齐次方程） 。
在 S上
力的边界条件 n j ij n j ij 0 或
第五章
线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
第1节
基本方程和边界条件的汇总
在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变形体在承受外力作用时，发生 变形和抗力（内力） ，这些变形和内力应遵循的三个基本规律，从而导出了 待求物理量（应力、应变、位移）所须满足的基本方程，共十五个，现汇 总如下。 1.1 基本方程汇总 1.1.1 平衡微分方程（3 个） 体力与应力之关系： 指标符号表示
2 y z 2
2 2 z yz 2 ， zy y
2 x 2 z 2 zx 2 x xz z 2
yz zx xy 2 x ( )2 ， yz z y x x
2 z yz zx xy ( )2 y z z x yx
等截面柱体在自重作用下。
等截面柱体受体力 fz= -g（在图示坐标系）为柱的密度，g 为重力 加速度。 而 z y l
f z g
fx=fy=0
x x 由平衡微分方程
ji,j+fi=0
猜应力解：
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz
代入平衡微分方程，满足。 应力解代入应力表示的变形协调方程（常体力时） ：
在V上
4
边界条件： a. b. 或
ui ui
X n j ji n j G (ui , j u j ,i ) ij u k ,k
X i n j G (ui , j u j ,i ) ni u k ,k

在 Su 上

在 S 上 在 S 上
力的边界条件转为用 ui 的偏微分表示的。 这类边界条件从形式上看可 以处理，但实际操作上有时较难处理。
n j ij 0
u i' u i'' 0
ij 在 S无面力（齐次边界条件）
令 ui ui ui
' ''
位移边界条件 或
u i 0
在 Su 无位移（齐次边界条件）
在弹性体无外力作用、表面无位移（无支座移动）情况属于自然状态— —弹性体无（初）应力、无变形。 ，则 ij=0，ui=0, ij=0 所以第一组解和第二组解相等。 唯一性定理的好处是无论用什么方法求解，只要能满足全部基本方程和 边界条件，就一定是问题的真解。
1.2.2 位移边界条件
ui ui
在 Su 上
u u
、
vv、 ww
由三个基本规律导出的应力、应变和位移满足的基本方程加上相应的 边界条件建立了线弹性问题解析法（微分提法）体系，从数学上看是求偏 微分方程组的边值问题。 当 S = S 时称为微分方程第一边值问题； 当 Su = S 时称为偏微分方程第二边值问题； 当 Su +S = S 称为偏微分方程第三边值问题。
u2=v=0 无法满足。所以希望能找到一种边界条件的合理简化方案。
M P P M
1855 年圣维南在梁理论的研究中提出: 由作用在物体局部表面上的平衡力系（即合力合力矩为零）所引起的
7
应变，在远离作用区的地方可以忽略不计，如下图。 P
P P/A
P P/A
P
因此，作用在弹性体局部面积上的力系可以用作用在同一局部面积上 的另一静力等效力系来代替。圣维南原理以利于求解实际问题，但解答在 原局部区域内是不能用。
Fi X i n j ji
在 S
上
X l x m yx n zx n1 11 n2 21 n3 31
Y l xy m y n zy n1 12 n2 22 n3 32
Z l xz m yz n z n1 13 n2 23 n3 33
第3节
应力法
当边界条件均为力的边界条件时，即 S =S时，如按位移法求解，则将 力的边界条件转为用位移一阶偏微分表示有时较难处理。如果将ij 作 为 基本未知量，力的边界条件可直接用，下面讨论一下用ij 作 为 基 本 未 知 函数求解基本方程。 选取ij 为基本未知函数， 而 ij 和 ui 均看成是由ij 导出的未知函数， 这样 15 个方程中某些方程成为的 基本未知 函数ij
3
力法和混合法。 位移法： 选取 ui 为基本未知函数，而
ij 和 ij 均看成是由 ui 导出的未知
物理方程
函数，这样 15 个方程中某些方程成为的 ui ij ij 关系式。 基本未知 函数 ui
几何方程
应变kl 用 ui 表示
应力kl 用 ui 表示
kl 用 ui 表示
2 2 2 x y xy 2 , xy y 2 x
u v w y y ， z z x ，
u v v w w u , yz ， zx y x z y x z
ij ,kl kl ,ij ik , jl jl ,ik 0
上式代入平衡微分方程，得到位移法的基本方程
G (u i , j u j ,i ) , j ij u k ,kj f i 0
在V上
或
G 2ui ( G)u j , ji f i 0
由于
在 V 上（拉米－纳维叶方程）
u j , j e ——为体积应变
G 2ui ( G)e,i f i 0
用 ui 表示的平衡微分方程 用 ui 表示的力的边界条件 （在 S上）
求解 ui 的基本方程（3 个）
用指标符号表示 应变用位移表示
位移边界条件（在 Su 上） ： ui
ui
ij (ui , j u j ,i )
1 2
线性各向同性材料的应力用位移表示：
ij G (u i , j u j ,i ) ij u k ,k
在V上 在V上
1 Θ，ij ij f k ,k ( f i , j f j ,i ) 1 1
Θ I ii
力的边界条件
X
i
n j
ij
在 S上
第4节
4.1
线弹性力学的几个原理
叠加原理 设线弹性体体积为 V，表面为 S，如果两组外力（体力和面力）
同时作用在物体上所产生的效果（应力、应变和位移）等于它们分别作用 所产生的效果之和。 由于线弹性力学的求解方程（15 个）均为线性微分（代数）方程， 很容易证明这个原理成立。 对于非线性问题，此原理不能。