辛甫生公式余项“中间点”的渐进性及其应用

数值分析复习题（1） 第一章 引论 1、当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个 阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?（12分） 答：一般会有以下几阶段：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果； 建模过程中肯能会产生的误差：模型误差，观测误差；选用数值方法可能会产生的误差：截断误差；计算过程中可能会产生的误差：舍入误差和传播误差。 第二章 多项式插值 1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）： （1） i x -1 0 1/2 1 i f -3 -1/2 0 1 （2） i x -1 0 1/2 1 i f -3/2 1/2 解(1)： 方法一. 由 Lagrange 插值公式 )()()()()(332211003x l f x l f x l f x l f x L ?+?+?+?= )1)((31)2)()(1()1)(()(21 23210---=-----=x x x x x x x l , ))(1(2) 1)()(1()(2122 1 211--=--+= x x x x x x l ， 28 23311 222 (1)(1)()(1)()x x x l x x x +-= =--??-, )()1(12)()1()(21 2 1213-+=??-+=x x x x x x x l . 可得： )21()(2 3-=x x x L

5、已知 )(x f 在4)1(0,=i x i 的函数值如下表 i x 0 1 2 3 4 )(i x f 0 1 8 27 64 利用插值公式计算)5.0(f 的值。 （12分） 解：函数 )(x f 的差分表如下 i x i f i f ? i f 2? i f 3? i f 4? 0 0 1 1 1 6 7 6 2 8 12 0 19 6 3 27 18 37 4 64 5.01/)05.0(5.0=-==t x ，则，由Newton 向前插值公式， 可分别求得 5.05.010! 1)(0 01=?+=?+=t f f x N 25.0)1(!2!1)(0 2002-=-?+?+=t t f t f f x N 125.0)2)(1(! 3)()(0 323=--?+=t t t f x N x N 125.00125.0)3)(2)(1(! 4)()(0 434=+=---?+=t t t t f x N x N 第四章、数值积分算法 梯形公式： ()[()()]2 b a b a f x dx f a f b -≈ +? 中矩形公式：()()()2 b a a b f x dx b a f +≈-? 辛普生公式： ()[()4()+()]62 b a b a a b f x dx f a f f b -+≈+? 梯形公式和中矩形公式都具有一次代数精度，而辛普生公式具有三次代数精度。 4． 试给出],[b a 上复化辛普森求积公式, 并描述其自适应算法.

第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。

在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。

对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ 似乎问题已经解决，其实不然。

如1）()f x 是由测量或数值计算以数据表形式给出时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。

2）许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-=等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。

3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。

例如下列积分24111ln11arc 1)arc 1)xdxxtg tg C++=+⎡⎤+++-+⎣⎦⎰对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法—数值积分法。

1.1 数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。

由积分中值定理：对()[,]f x C a b∈，存在[,]a bξ∈，有()()()baf x dx b a fξ=-⎰表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a-而高为()fξ的矩形面积（图4-1）。

问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()fξ。

我们将()fξ称为区间[,]a b上的平均高度。

这样，只要对平均高度()fξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。

如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b a T f a f b -=+ (1.1)便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。

1.*x 为精确值x 的近似值；()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。

3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有6 位和7 1.73≈（三位有效数字）-211.73 10 2≤⨯。

4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。

5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。

6、 已知近似值2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 .7、 递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y =≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。

9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。

10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；13、为了使计算 ()()2334610111y x x x =++---- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。

和积法具体计算步骤和积法，也叫辛普森法则或者辛普森积分法，是一种数值积分方法，用于计算定积分的近似值。

它的基本思想是将函数曲线分割成若干小的曲线段，并在每个小曲线段上使用二次多项式来逼近函数，进而计算出近似的定积分值。

和积法的计算步骤如下：1.给定需要计算的定积分区间[a,b]，其中a为下限，b为上限；同时确定将区间分割为n个小区间的数量，n必须为偶数。

2.计算每个小区间的宽度Δx=(b-a)/n。

3. 将整个区间分割为n个小区间：a = x0, x1, ..., xn-1, xn = b。

4. 对于每个小区间，计算中间点的值，即xi = (xi-1 + xi)/2，其中i为小区间的编号。

5.计算每个小区间的积分近似值，使用二次多项式来逼近函数。

在每个小区间上，使用如下公式来计算积分近似值：∫(xi-1, xi) f(x) dx ≈ Δx/6 * [f(xi-1) + 4f(xi) + f(xi+1)]这里f(xi-1), f(xi), f(xi+1)分别为小区间两个端点和中点的函数值。

6.将所有小区间的积分近似值相加，得到最终的定积分的近似值。

7.如果需要更精确的近似值，可以增加n的个数，将区间分割得更细致，然后按照上述步骤重新计算。

需要注意的是，和积法要求区间分割的数量为偶数，这是因为每个小区间需要有一个中间点用于计算函数值。

另外，和积法对于一些特殊的曲线可能不适用，比如含有锐角或折线的曲线。

以下是一个具体的例子来说明和积法的计算过程。

假设需要计算函数f(x)=x^2在区间[0,2]的定积分。

1.给定定积分区间为[0,2]，我们选择将区间分割为6个小区间。

2.计算每个小区间的宽度Δx=(2-0)/6=0.3333.将整个区间分割为6个小区间：0,0.333,0.666,1,1.333,1.666,24.对于每个小区间，计算中间点的值：0.167,0.5,0.833,1.167,1.5,1.8335.计算每个小区间的积分近似值：∫(0, 0.333) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(0) + 4f(0.167) +f(0.333)] = 0.333/6 * [0^2 + 4*(0.167)^2 + (0.333)^2] = 0.0184∫(0.333, 0.666) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(0.333) + 4f(0.5) + f(0.666)] = 0.333/6 * [(0.333)^2 + 4*(0.5)^2 + (0.666)^2] =0.2848∫(0.666, 1) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(0.666) + 4f(0.833) +f(1)] = 0.333/6 * [(0.666)^2 + 4*(0.833)^2 + (1)^2] = 0.7408∫(1, 1.333) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(1) + 4f(1.167) +f(1.333)] = 0.333/6 * [(1)^2 + 4*(1.167)^2 + (1.333)^2] = 1.2216∫(1.333, 1.666) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(1.333) + 4f(1.5) + f(1.666)] = 0.333/6 * [(1.333)^2 + 4*(1.5)^2 + (1.666)^2] =1.4968∫(1.666, 2) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(1.666) + 4f(1.833) +f(2)] = 0.333/6 * [(1.666)^2 + 4*(1.833)^2 + (2)^2] = 1.78726.将所有小区间的积分近似值相加：0.0184+0.2848+0.7408+1.2216+1.4968+1.7872=5.5496所以，函数f(x)=x^2在区间[0,2]的定积分的近似值为5.5496以上就是和积法的具体计算步骤。