椭圆极值原理与krein_Rutman定理以及抛物极值原理与算子半群

ｎ
’ 考虑 Ｌｕ≤０ &－ ａｉｊ（ ｘ） ｕｘｉｘｊ＋ｂｉｕｘｉ＋ｃ（ ｘ） ｕ≤０ ｉ， ｊ＝１
ｎ
’ 取 ｂｉ（ ｘ） ＝０ 则化为－ ａｉｊ（ ｘ） ｕｘｉｘｊ＋ｃ（ ｘ） ｕ≤０ ｉ， ｊ＝１
ｎ
’ (－ ａｉｊ（ ｘ） ｕｘｉｘｊ≥ｃ（ ｘ） ｕ ｉ， ｊ＝１
根据 ａｉｊ 的正定性可知 ｃ（ ｘ） ｕ≥０ 又 ∵ｃ（ ｘ） ≥０(ｕ（ ｘ） ≥０ 同 理 可 以 判 断 非 正 性 的 结 论 ［３］
１
理 可 得 ， 必 有 一 个 ｕ∈Ｈ０（ !） ， 使 得 （ *ｕ *ｕ） ＝（ ｆ（ ｕ０） ｕ） ， 即
方 程 式 （ ３） 有 解 不 妨 设 ｕ１， 可 以 对 ｆ 作 限 制 ， 以 及&!∈ｃｋ 时 ，
使 即得到 － △ｕ１＝ｆ（ ｕ０） ｉｎ!
即不会出现 ｖｊ≤ｕｉ 的情况。
根据 ｕｋ→ｕ＊ 当 ｋ→∞ ｉｎ! ｖｋ→ｖ＊ 当 ｋ→∞ ｉｎ!
’Ｌｕ＝ｆ（ ｕ）
即方程
有两个解 ｕ＊， ｖ＊。
ｕ｜&!＝０
’ ’ Ｌｕ＊＝ｆ（ ｕ＊） Ｌｖ＊＝ｆ（ ｖ＊）
即 ｕ＊， ｖ＊ 都是方程的解。
可知单调
ｕ＊｜&!＝０
ｖ＊｜&!＝０
１０７
迭代的本质就是弱极值是原理， 下面我们考虑椭圆强极值原 理 ｋｒｅｉｎ－ Ｒｕｔｍａｎ 定理。 １．２ 椭圆强极值原理与 ｋｒｅｉｎ－ Ｒｕｔｍａｎ 定理
且,ｘｉ 都有 ｕ０（ ｘｉ） ≤ｕ１（ ｘｉ） …≤…≤ｖ１（ ｘｉ） ≤ｖ０（ ｘｉ）
再利用 ｕ１ 以及 ｖ１ 关 于 ｘｉ 的 连 续 性 ， 从 而,ｘ∈! 闭 区 间
套定理都成立。从而 ｕｋ→ｕ＊ 当 ｋ→∞， ,ｘ∈!。
同样的单调减少的有界序列， 必有收敛的极限。
从而 ｖｋ→ｖ＊ 当 ｋ→∞， ,ｘ∈!。
’－ △ｕ０≤ｆ（ ｕ０）
ｕ｜&!≤０
’－ △ｖ０≥ｆ（ ｖ０）
ｕ｜&!≥０
对于方程 （ ３） ：
’－ △ｕ＝ｆ（ ｕ０）
ｕ｜&!＝０
作用法（ － △ｕ ｕ） ＝（ ｆ（ ｕ０） ｕ）
对于左边用分部积分法可得
…… （ １） …… （ ２） 我们可以在两边用 ｕ
) ) ) （ － △ｕ ｕ） ＝ － △ｕ·ｕｄｘ＝－ ｕｄ*ｕ＝－ ［ ｕ*ｕ｜&!－ *ｕｄｕ］ ) ∵ｕ＝０， ｏｎ&!
ｉｎ!
’－ △ｖ０≥ｆ（ ｖ０）
再分析方程（ ２） ， 即 ｖ０｜&!≥０
’ 我们构造方程 － △ｖ＝ｆ（ ｖ０） ｖ｜&!＝０ 重复上述的分析过程， 我们可以得到 ｖ１ 满足方程
’－ △ｖ１＝ｆ（ ｖ０）
ｖ１｜&!＝０
…… （ ５）
’－ △（ ｖ０－ ｖ１） ≥０
（ ２） － （ ５） 可得+ ｖ０－ ｖ１｜&!≥０
考虑一些基本的例子的椭圆（ 抛物） 极值与单调迭代的关
系， 和 Ｋｒｅｉｎ－ Ｒｕｔｍａｎ 定理在梯度算子方程的特征值问题与椭
圆强极值运用， 以及算子半群性质与抛物强极值原理。通过这
些具体的例子使我们能够充分认识椭圆与抛物区别所在， 以
及其本身的特性。首先， 我们来看椭圆极值与单调迭代。
１ 二阶椭圆极值与 ｋｒｅｉｎ－ Ｒｕｔｍａｎ 定理
摘要： 极值控制理论是现代控制理论的基础之一， 在航天﹑航海﹑航空的指导﹑导航和控制方面都能用到［４］。从椭圆
极值原理与 ｋｒｅｉｎ－ Ｒｕｔｍａｎ 定理结合， 以及抛物极值原理与算子半群的关系中， 了解弱极值原理在单调迭代中的应
用， ｋｒｅｉｎ－ Ｒｕｔｍａｎ 定理是有限维的椭圆极值原理到无穷维的推广， 算子半群也是从有限维的抛物极值原理到无穷维
’ 我们看方程： － △ｕ＝ｆ（ ｕ１） ， 同样重复上述的过程， ｕ１｜&!≤０
’ 可以得到 － △ｕ２＝ｆ（ ｕ１） ｕ１｜&!＝０
……（ ４）
’ （ ３） － （ ４） 得 － △ｕ１－ （ － △ｕ２） ＝ｆ（ ｕ０） － ｆ（ ｕ１） ｕ１－ ｕ２｜&!＝０ 由于我们已经假设 ｆ 是连续单调增加的函数， 由于前面
＝ *ｕ·*ｕｄｘ＝（ *ｕ·*ｕ）
) 右边（ ｆ（ ｕ０） ｕ） ＝ ｆ（ ｕ０） ｕｄｘ
则 ｆ（ ｕ０） 可以看 ｕ 所在空间上的有界线性泛函，
１
而 （ *ｕ *ｕ） ＝（ （ ｕ ｕ） ） １ 由 于 Ｈ０ （ !） 空 间 是 Ｈｉｌｂｅｒｔ Ｈ０ （ !） １
空 间 ， 从 而 ｆ（ ｕ０） 看 作 Ｈ０（ !） 上 的 有 界 线 性 泛 函 ， 由 Ｒｉｅｓｚ 引
’－ △（ ｕ１－ ｖ１） ≤０
ｕ１－ ｖ１｜&!＝０
应 用 弱 极 值 原 理 （ ｉ） 的 结 论 知 道 ， ｍａｘ（ ｕ１－ ｖ１） ＝ｍａ ｘ （ ｕ１－
!#
&!
ｖ１） 又 ｕ１－ ｖ１ ｜&!＝０ 可得 ｕ１－ ｖ１≤０ ｉｎ! ∴ｕ１≤ｖ１
同样可证， 对,ｋ， 有 ｕｋ≤ｖｋ 。故两个序列叠加是合理的。
定理 ３： 设 ! 是 ＩＲｎ 中有界开集， Ｌ 定义同上， ｕ∈Ｃ２（ !） ∩Ｃ!#且 ｃ＝０（ ｃ≥０） ｉｎ!
（ ｉ） 如果 Ｌｕ≤０ ｉｎ! 如果若 ｕ 在 ! 内部达到（ 非负） 最大值 ， 则 ｕ 在!#上 恒 为 常数 （ ｉｉ） 如果 Ｌｕ≥０ ｉｎ! 若 ｕ 在 ! 内 部 达 到 （ 非 正 ） 极 小 值 ， 则 则 ｕ 在 !# 上 恒 为 常数 注： 定理（ ３） （ ｉ） 中非负与（ ｉｉ） 中非正的定义判断：
定 义 １： 设 Ｘ 为 实 Ｂａｎａｃｈ 空 间 ， Ｋ 是 Ｘ 中 的 闭 凸 子 集 ， 如果它满足
（ １） 若)ｘ∈ｋ， !≥０ 则 !ｘ∈ｋ
ＨＥ Ｋａｉ－ ｙｉｎ （ Ｃｕｌｔｕｒｅ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍｉｎｘｉ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｌｏｎｇｙａｎ， Ｆｕｊｉａｎ， ３６４０２１， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｍａｘｉｍｕｍ ｃｏｎｔｒｏｌ ｉｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｏｄａｙ ａｓ ａ ｂａｓｅ． Ｉｔ ｉｓ ｗｉｄｅｌｙ ｕｓｅｄ ｉｎ ｇｕｉｄｉｎｇ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ ｉｎ ｓｐａｃｉｎｇ， ｓａｉｌｉｎｇ ａｎｄ ａｖｉａｔｉｎｇ ａｎｄ ｓｏ ｏｎ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｃｏｍｂｉｎｅｓ ｔｈｅ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｍａｘｉｍｕｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｗｉｔｈ ｋｒｅｉｎ－ Ｒｕｔｍａｎ ｔｈｅｏｒｙ，ａｎｄ ｃｏｍｂｉｎｅｓ ｐａｒａｂｏｌｉｃ ｍａｘｉｍｕｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｗｉｔｈ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｉｓ， ｉｔ ｈｅｌｐｓ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈａｔ ｗｅａｋ ｍａｘｉｍｕｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｐｌａｙｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｏｌｅ ｉｎ ｍｏｎｏｔｏｎｏｕｓ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ． ｋｒｅｉｎ－ Ｒｕｔｍａｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｆｒｏｍ ｍａｘｉｍｕｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｅ－ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｓｏ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ． Ａｎｄ ｔｈｅｎ， ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｃａｎ ｂｅ ｕｎｄｅｒｓｔｏｏｄ ｍｏｒｅ ｄｅｅｐｌｙ．Ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ａｔｔｒａｃｔｏｒ ｏｆ ｉｎｆｉｎｉｔｅ－ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ， ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ａｔｔｒａｃｔｏｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｍａｘｉｍｕｍ； ｍａｘｉｍｕｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ； ｅｌｌｉｐｓｅ； ｐａｒａｂｏｌａ； ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ
１．１ 极值原理与单调迭代
１．１．１ 定理 １： 椭圆弱极值原理
" 设
!!ＩＲｎ
的有界开集，
ｎ
Ｌ＝－ ａｉｊ（ ｘ）
ｉ， ｊ＝１
２
# $ｘｉ$ｘｊ
＋ｂｉ＋ｃ
其 中 ａｉｊ（ ｘ） 满 足 一 致 椭 圆 条 件 ， 且 ａｉｊ（ ｘ） ， ｂｉ（ ｘ） ； ｃ（ ｘ） 为 连
续函数， 若存在 ｕ∈Ｃ２（ !） ∩Ｃ（ !’） 且 ｃ（ ｘ） ≡０ ｉｎ!
注： ｕ０≤ｕ１≤…≤ｕｋ≤…≤ｖｋ…≤ｖ１≤ｖ０ 的合理性。
’ ’ 证明： 从构造中知道 － △ｕ１＝ｆ（ ｕ０） － △ｖ１＝ｆ（ ｖ０）
ｕ１｜&!＝０
ｖ１｜&!＝０
’ 两个方程相减可得： － △ｕ１－ （ － △ｖ１） ＝ｆ（ ｕ０） － ｆ（ ｖ０） ｕ１－ ｖ１｜&!＝０
∵ｕ０≤ｖ０， 且 ｆ 是单调增加的。从 而 ｆ （ ｕ０） ≤ｆ （ ｖ０） 即+
ｕ１｜&!＝０
ｏｎ!
…… （ ３）
’－ △ｕ０≤ｆ（ ｕ０）
由于方程（ １） 为 ｕ０｜&!≤０
’－ △（ ｕ０－ ｕ１） ≤０
则方程（ １） － （ ３） 得+ ｕ０－ ｕ１｜&!≤０
运用的弱极值原理（ ｉ） 结论， 可得： ｍａｘ（ ｕ０－ ｕ１） ＝ｍａｘ（ ｕ０－ ｕ１）
!#
&!
又 ∵ｕ０－ ｕ１｜&!≤０ 从而 ｕ０－ ｕ１≤０ ｉｎ!+ｕ０≤ｕ１ ｉｎ!
２
$ $ｘｉ２
， 此 时 算 子 Ｌ 中 的 ｂｉ（ ｘ） ≡０， ｃ（ ｘ） ≡
［收 稿 日 期 ］２００６— ０４— ０３ ［作者简介］何开银（ １９６５— ） ， 男， 福建武平人， 高级讲师， 主要从事数学教学工作。