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函数的极值及其求法

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高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件

高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件

3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.

函数的极值与最大值最小值

函数的极值与最大值最小值
极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 考察x=0是否是函数y=x3的 驻点, 是否是函数的极值点.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.

高数函数的极值与最大最小值

高数函数的极值与最大最小值
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C(x) = x3 例8. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是 − 6x2 +15x, 售出该产品 x 千件的收入是R(x) = 9x, 问是否 存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来. 解: 售出 x 千件产品的利润为 p(x) = R(x) − C(x) = −x3 + 6x2 − 6x p′(x) = −3x2 +12x − 6 = −3(x2 − 4x + 2) 令p′(x) = 0, 得 x1 = 2 − 2 ≈ 0.586 y x2 = 2 + 2 ≈ 3.414 p(x) 又 p′′(x) = −6x +12, 2− 2 p′′(x1) > 0, p′′(x2 ) < 0 2+ 2 x O 故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损.
第三章 三 第五节 函数的极值与 最大值最小值
一、函数的极值及其求法 函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题 最大值与最小值问题
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一、函数的极值及其求法 函数的极值及其求法
定义: 定义 在其中当 (1) 则称 称 (2) 则称 称 为 为 时, 的极大值点 , 极大值点 为函数的极大值 ; 极大值 的极小值点 , 极小值点 为函数的极小值 . 极小值
最小值
f (a), f (b)}
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特别: 特别 •当 在 内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大 (小)值 . •当 在 上单调 单调时, 最值必在端点处达到. 单调

函数的极值及其求解方法

函数的极值及其求解方法

函数的极值及其求解方法数学中，函数是一个非常重要的概念。

其中，自变量可以变化，从而影响函数的取值。

函数的极值是指函数曲线上的最高点或最低点所对应的函数值。

这些极值在数学和科学中具有广泛的应用，因此对于解题人而言，了解它们是非常必要的。

一、函数的极值函数的极值包括两种类型：极大值和极小值。

在函数图像上，极大值和极小值处的切线斜率为0。

极大值是指函数值在某个自变量区间中取得最大值。

极小值是指函数值在某个自变量区间中取得最小值。

二、函数极值的求解方法函数极值可以采用三种方法来求解：导数法、微积分法和图像观察法。

1、导数法导数法是求近邻哪里切线斜率为0。

这种方法非常高效，因为它可以使用函数的导数来快速找到极小值和极大值。

这种方法的主要思想是利用导数找到函数图像上切线斜率为零的点。

首先求出函数的导数，然后令导数等于0，求得解析解即可。

如果函数的导数被定义为正，则函数图像在该点上是开口向上的，也就是说，这个点是函数的极小值；反之，如果函数的导数被定义为负，则函数图像在该点上是开口向下的，也就是说，这个点是函数的极大值；如果函数的导数未定义，则该变量在该点上不存在极值。

2、微积分法微积分法与导数法类似，它也是通过计算导数来找到函数的极值。

但微积分法使用更多的技巧来进行计算，比如利用微积分的几何原理来解析确定极值的上界和下界。

微积分法包括常量法和约束最值法。

常量常数法，即固定其他变量，在某个范围内，确定其中一个变量。

约束最大化法是限制函数的自变量，使其满足约束条件，进而确定极值点（根据Lagrange乘子方法求解）。

3、图像观察法图像观察法是最简单的方法。

通过函数的图像观察函数的极值，特别适合于那些图像比较简单的问题。

这种方法的主要思想是直观地观察函数图像上最高点或最低点的位置。

通过这种方法，可以确定函数的大致极值，但无法精确得到极值点的位置。

一般它只适用于小型景观，因为它不需要带有数学式的增量的较高级导数。

总之，函数的极值在数学和科学中的应用非常广泛。

函数极值和其求法

函数极值和其求法
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
注 ①这个结论又称为Fermat定理
②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号
③不可导点也可能是极值点
可疑极值点：驻点、不可导点
可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一 步 判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、 右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题 即可得到解决。
证
(1)
f
( x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f ( x0 ) 0,
故f ( x0 x) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
当x 0时， 有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
所以,函数 f ( x)在x0 处取得极大值
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0. 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点，即方程 f ( x) 0的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点;
(4) 求极值.
证 只证(1),(2)与(3)类似证明。
因为在区间 x0 , x0 上 f (x) 0， 所以在区间 x0 , x0 上, f (x) 单调增

函数的极值与最大值最小值

函数的极值与最大值最小值
第五节 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的 例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,

2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间， 列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形

函数的单调性极值与最值



lim
x x0
f (x) x x0
由 f (x0 ) 0知, 存在 0,当0 x x0 时,
故当 x0 x x0 时，f (x) 0;

当x0 x x0
由第一充分条件知
时，f (x) f (x) 在 x0
0, 取极大值
一、函数的极值及其求法
定义:
在其中当
时,
(1)
则称 为 的极大点 ,
称 为函数的极大值 ;
(2)
则称 为 的极小点 ,
称 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点，极大值与极小值
统称为极值 .
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
x 2 , x5 为极大点, x1 , x4 , x6为极小点,
2 5
(
2 5
,

)
f (x)

0

f (x)
0
0.33
是极大点，其极大值为
是极小点，其极小值为
定理2 (极值第二充分条件) 二阶导数 , 且
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
证: (1)
f (x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0


当
f (x) f (x0 )
充分接近 o((时x ,
x上f0)(式nx)0左)(x端正x0负) 号由右f 端(nn) (第!x0一) (x项确x0定)n
,
故结论正确 .
y
f (x) 24 x (5x2 3), f (1) 0

第三章函数的极值与最值


一、函数极值的定义
y
yf(x)
a o x1
x2 x3
x4
b x 5 x 6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数 f ( x)在区间(a,b)内有定义 , x0是 (a,b)内的一个点 ,
如果存在着点 x0的一个邻域 ,对于这邻域内的 任何点 x,除了点 x0外, f ( x) f ( x0 )均成立 ,就称 f ( x0 )是函数 f ( x)的一个极大值 ;
(4) 求极值.
例1 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 数 2 9 x 5 的.极 解 f(x ) 3 x 2 6 x 9 3 (x 1 )x ( 3 ) 令f(x)0，得x 驻 1 1 ,x 2 点 3 . 列表讨论
x ( ,1) 1
f(x) 0
所 以 ,函 数 f(x )在 x 0 处 取 得 极 大 值
例2 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 2 数 2x 4 2的 0 .极 解 f(x)3x26x2 43 (x 4 )x ( 2 ) 令f(x)0，得x 1 驻 4 , x 点 2 2 . f(x ) 6 x 6 , f(4)18 0, 故极大f(值 4)60,
定理2(第一充分条件)
(1)如果x(x0 , x0),有f '(x) 0;而x(x0, x0 ),
有f '(x) 0，则f (x) 在x0 处取得极大值.
(2)如果x(x0 , x0),有f '(x) 0;而x(x0, x0 )
有f '(x) 0，则f (x) 在x0 处取得极小值.
二、应用举例
例1 求函y数 2x33x212x14的[在 3,4] 上的最大值 . 与最小值

极值与最值


y 1 x2
1
P ( x,1 x
1
A
2
)
所求三角形的面积为
1 x2 1 2 ( x 2 1)2 S ( x) ( x 1) ( x 0) 2 2x 4x
o
x
1 x2 1 2 ( x 2 1)2 S ( x) ( x 1) ( x 0) 2 2x 4x
解 设房租为每月 x元，
x 180 套， 租出去的房子有 50 10
每月总收入为
x 180 R( x ) ( x 20) 50 10
x R( x ) ( x 20) 68 10 x 1 70 x R( x ) 68 ( x 20) 5 10 10
第五节 函数的极值与 最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
定义:
在其中当
(1) 则称 称 (2) 为
时,
的极大值点 ,
为函数的极大值 ;
则称
称
为
的极小值点 ,
为函数的极小值 .
极大值点与极小值点统称为极值点 .
例如 , 函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 3 为极大值点, 是极大值
x1 0 , x2 1, x3 2
(9) 4 2 12 81 96 0
故函数在 x x 2 取最小值 0 ; 0在 x 1及 5 取最大值 5. 2 0 9 x 12 2
R( x ) 0
x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高。
350 最大收入为 R( x ) ( 350 20) 68 10 10890 (元)

高等数学第三章： 函数的极值与最值

因为在1的左右邻域内f (x)0
所以f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值
16
运用第一、第二充分条件需要注意:
(1) 若函数有导数不存在的点时, 则可用第一 充分条件来判定有无极值;
(2) 对于只有驻点而没有导数不存在的点, 则 可用第二充分条件判断有无极值.
17
例 证明x 1时, ex 1 1 x
2
y
比较得: 最大值为 3 4 ,
最小值为 3 4 3 3.
1
2 1O 1
2
2
2x
26
求函数 f ( x) | x 2 | ex 在[0,3]上的
最大值与最小值.
解
( x 2)e x
f
(x)


(x

2)e x
f
(
x)

( x 1)e

(x
1)e x
应用. 事实上,当f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0处可能有极大值,也可能有极小值, 也可能没有极值. 如, f1( x) x4, f2( x) x4, f3( x) x3 在x 0处分别属于上述三种情况.
仍用第一充分条件
15
例 求函数f(x)(x21)31的极值
一定是驻点或不可导点；此外最值也可能在区间 的端点处取得.
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
21
求连续函数 f (x)在闭区间[a, b]上的最大(小) 值的方法: (1) 将闭区间[a, b]内所有驻点和导数不存在的 点(即为极值可疑点)处的函数值和 区间端点的 函数值 f (a), f (b)比较, 其中最大(小)者就是 f (x) 在闭区间[a, b]上的最大(小)值. (2) 当 f (x)在闭区间[a, b]上单调时, 最值必在端 点处达到.
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令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 因 f (0) 6 0 , 故 f (0) 0为极小值 ;
又 f (1) f (1) 0 ,
y
故需用极值的第一充分条件来判别.
由于 f ( x)在 x 1左右邻域内不变号,
f ( x)在 x 1没有极值 .
1
1x
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13
定理4 设 f (x) 在点 x0 处 具有n 阶导数,且
f ( x0 ) f ( x0 ) f (n1)( x0 ) 0 , f (n) ( x0 ) 0 ,
2021/3/14
3
定理2 (第一充分条件) 设 f (x) 在点 x 0 处连续 ,
(1) 若 x(x0,x0)时, f(x)0, 而 x (x 0,x 0)
时, f(x)0, 则 f (x)在点 x 0 处取得极大值;
(2) 若 x(x0,x0)时, f(x)0,而 x (x 0,x 0)
二阶导数 , 且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0
(1) 若 f ( x0 ) 0 , 则 f ( x)在点 x0 取极大值 ; (2)若 f ( x0 ) 0 , 则 f ( x)在点 x0 取极小值 .
证故 (1 ) f存 (x 0 0 ,)使 lx x i0 在 0 f m (x x x 当 ) x fx 0 ( 0 x 0 ) 时 lx x , i0x x f f m ( ( x x x x ) 0 ) 0 00 ,
当 x ( x 0 ,x 0 ) 时 f( x ) ， 0 ; 当 x ( x 0 ,x 0 ) 时 f( x ) ， 0 ;
所 以 ， 函 数 f( x ) 在 x 0 处 取 得 极 大 值 ． 同理可证(2).
2021/3/14
10
例4 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 2 数 2x 4 2的 0 .极 解 f(x )3x26x2 43 (x 4 )x ( 2 ) 令f(x)0，得x 1 驻 4 , x 点 2 2 . f(x ) 6 x 6 , f(4)180, 故极大f(值 4)60,
x1
2 5
;
不可导点 x2 0
x ( , 0) 0 (0 , 52)
2 5
(52 , )
f (x) 不存在
0
f (x)
0
3 5
(
2 5
2
)3Leabharlann x 0 是极大值点, 其极大值为 f (0) 0
x
2 5
是极小值点,
其极小值为
f
(
2 5
)
( ) 3
2
2 3
55
2021/3/14
9
定理3(第二充分条件) 设函数 f (x) 在点 x0 处 具有
x (,1) 1
f(x) 0
极
f (x)
大
值
(1,3) 3
0
极
小 值
(3,)
极大f值 (1)10, 极小值 f(3)2.2
2021/3/14
6
f(x ) x 3 3 x 2 9 x 5 图形如下
M
2021/3/14
m
7
2
例2 求出f函 (x)数 1(x2)3的极 . 值
解
f(x)2(x2)1 3 (x2)
f(2)180, 故极小值 f(2)4.8 f(x ) x 3 3 x 2 2x 4 2图0 形如下
2021/3/14
11
M
m
注意: f(x0)0时 ,f(x)在点 x0处不一定, 取 仍用定 2. 理
2021/3/14
12
例5. 求函数 f ( x) ( x2 1)3 1 的极值 .
解: f ( x) 6 x ( x2 1)2 , f ( x) 6 ( x2 1)(5 x2 1)
则 f(x0)0.
定义 使导数 (即 为 方 f零 (x)程 0 的 的点 实 )叫 做函 f(x)的 数驻 . 点
注意: 可 导 函 数 f(x )的 极 值 点 必 定 是 它 的 驻 点 , 但 函 数 的 驻 点 却 不 一 定 是 极 值 点 .
例如, y x3, yx00, 但x0不是极值 . 点
称 f ( x0 )为 f ( x)的一个极大值 (或极小值 )
极大值点与极小值点统称为极值点 .
极大值与极小值统称为极值 .
注意 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
不存在的点(称为可疑极值点).
2021/3/14
2
函数极值的求法
定理1(函数取得极值的必要条件)(费马定理) 设 f (x) 在点 x 0 处具有导数, 且在 x 0 处取得极值,
不 可 导 点 ; (2 )根 据 f(x )在 每 个 驻 点 或 不 可 导 点 的 左 右
邻 近 的 正 负 号 ,判 断 是 否 为 极 值 点 ; (3) 求极值.
2021/3/14
5
例1 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 数 2 9 x 5 的.极 解 f(x ) 3 x 2 6 x 9 3 (x 1 )x ( 3 ) 令f(x)0，得x 驻 1 1 ,x 点 2 3 . 列表讨论
3
当 x2时 ,f(x)不存 . 在
但函f数 (x)在该点连 . 续
当x2时，f(x)0;
M
当x2时，f(x)0.
f(2)1为 f(x)的极.大值
2021/3/14
8
2
例3 求函数 f ( x) ( x 1)x 3 的极值 .
解
f ( x)
2
x3
(
x
1)
2 3
x
1 3
5 3
x
2 5
3x
得驻点
第十节 函数的极值与最值 一、函数的极值及其求法
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
2021/3/14
x0
x
o
x0
x
1
定义 设函数 f ( x)的定义域为D , x0 D ,
若存在x0 的一个邻域U ( x0 ) D，使得x U( x0 ), 有 f ( x) f ( x0 ) (或 f ( x) f ( x0 ) ), 则称 x0为f ( x)的一个极大值点 (或极小值点 )
时, f(x)0, 则 f (x)在点 x 0 处取得极小值;
(3) 若 xU(x0,) 时, f (x) 的符号相同, 则 f (x)
在点 x 0 处无极值.
y
y
o x0
2021/3/14
x o x0
x(是极值点情形)
4
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
(1 )求 导 数 f(x ),并 求 出 f(x )的 全 部 驻 点 与