2016年安徽自主招生数学模拟题：空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面 ●知识梳理12 三个公理：（1符号表示为A ∈lB ∈l=> l α⊂A ∈αB ∈α【公理1作用】判断直线是否在平面内.（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

【公理2作】确定一个平面的依据。

（3符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L LA· αC·B ·A· α1．已知m，n分别是两条不重合的直线，a，b分别垂直于两不重合平面α，β，有以下四个命题：①若m⊥α，n∥b，且α⊥β，则m∥n；②若m∥a，n∥b，且α⊥β，则m⊥n；③若m∥α，n∥b，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥b，且α⊥β，则m∥n．其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③2．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面4．下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能6．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线C．已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，n⊥βD．m、n在平面α内的射影互相垂直，则m、n互相垂直7．已知平面α，β，γ，直线m，l，点A，有下面四个命题，其中正确的命题是（）A．若l⊂α，m∩α=A，则l与m必为异面直线B．若l∥α，l∥m，则m∥αC．若l⊂α，m⊂β，l∥β，m∥α，则α∥βD．若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，则l⊥α8．已知α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中所有正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．③④二．填空题9．（文）平面上三条直线x+2y-1=0，x+1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为．（将你认为所有正确的序号都填上）①0 ②1/2 ③1 ④2 ⑤3．10．空间中有7个点，其中有3个点在同一直线上，此外再无任何三点共线，由这7个点最多可确定个平面．三．解答题1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．2．四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3．DH：HA=2：3．（1）证明：点G、E、F、H四点共面；（2）证明：EF、GH、BD交于一点．2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2020年高考数学立体几何突破性讲练 03 空间点、直线、平面之间的位置关系一、考点传真：1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 二、知识点梳理：1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个 平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线， 经过空间任一点O 作直线 a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成 的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外，记作l⊄α.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．二、常用结论汇总——规律多一点1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．三、例题：例1.(2019全国卷III）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】 如图所示，联结BE ，BD .因为点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，所以BM ⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，因为BM 是BDE △中DE 边上的中线，EN 是BDE △中BD 边上的中线，直线BM ，EN 是相交直线，设DE a =，则BD =，BE ==，所以2BM a =，EN a ==， 所以BM EN ≠．故选B ．例2.（2019全国卷II ）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B【解析】对于A ，α内有无数条直线与β平行，则α与β相交或βα∥，排除； 对于B ，α内有两条相交直线与β平行，则βα∥；对于C ，α，β平行于同一条直线，则α与β相交或βα∥，排除； 对于D ，α，β垂直于同一平面，则α与β相交或βα∥，排除． 故选B ．例3.(2019全国卷III ）图1是由矩形ADEB 、Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.【解析】（1）由已知得AD BE ，CGBE ，所以ADCG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）取CG 的中点M ，联结EM ，DM .因为AB DE ∥，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG . 由已知，四边形BCGE 是菱形，且60EBC ∠=︒得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM . 因此DM ⊥CG .在Rt △DEM 中，1DE =，EM =，故2DM =.所以四边形ACGD 的面积为4.例4.(2018全国卷Ⅱ)在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A B C D 【答案】C【解析】如图，连接BE ，因为AB CD ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即EAB ∠．不妨设正方体的棱长为2，则1CE =，2BC =，由勾股定理得BE =AB ⊥平面11BCC B ，可得AB BE ⊥，所以tan BE EAB AB ∠==C ．例5.（2017新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是【答案】A【解析】由正方体的线线关系，易知B 、C 、D 中AB MQ ∥，所以AB ∥平面MNQ ， 只有A 不满足．选A ．例6.（2016年全国I 卷）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，αI平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．2 B ．2 C ．3 D ．13【答案】A【解析】因为过点A 的平面 与平面11CB D 平行，平面ABCD ∥平面1111A B C D ，所以m ∥11B D ∥BD ，又1A B ∥平面11CB D ，所以n ∥1A B ，则BD 与1A B 所成的角为所求角，所以m ，n 所成角的正弦值为2，选A ． 四、巩固练习：1.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是( ) A.① B.①④C.②③D.③④【答案】 B【解析】 显然命题①正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错. 命题③中，两个平面重合或相交，③错.三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.2．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )【答案】D【解析】 A ，B ，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面． 3.已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b ( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 【答案】 C【解析】 由已知得直线c 与b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b ∥c ，则a ∥b ，与已知a ，b 为异面直线相矛盾.4.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( ) A.12对 B.24对 C.36对D.48对【答案】 B【解析】 如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1；CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对).5．以下四个命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面； ③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】①显然是正确的，可用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1.6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C 与EF所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】 C【解析】连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.7.下列命题中正确的个数为()①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线.②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面五个点一定能确定10个平面.A.0B.1C.2D.3【答案】 C【解析】在①中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P，Q，R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a 与b确定一个平面α，而l上有A，B两点在该平面上，所以l⊂α，即a，b，l三线共面于α；同理a，c，l三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a，l，所以α与β重合，故这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错.8.已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】 B【解析】如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形.9.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个【答案】D【解析】设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．10.已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能【答案】 D【解析】.在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误.故选D.11.在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH 相交于点P，那么()A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外【答案】A【解析】如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．12. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”.刘徽注：“羡除，隧道也.其所穿地，上平下邪.”小明仿制羡除裁剪出如图所示的纸片，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝CD ＝DA ＝8，在等腰梯形ABEF 中，EF ＝6，AF ＝BE ＝6.将等腰梯形ABCD 沿AB 折起，使DF ＝CE ＝26，则五面体ABCDEF 中异面直线AC 与DE 所成角的余弦值为( )A.0B.24C.－24D.22【答案】 B【解析】 如图，过点C 作AB 的垂线，H 为垂足，易知BH ＝1，CH ＝37，AC ＝12.同理，在等腰梯形CDFE 中，对角线DE ＝6 2.过点C 作CG ∥DE 交FE 的延长线于点G ，易知四边形CDEG 是平行四边形，DE 綊CG ，连接AG ，则异面直线AC 与DE 所成的角即直线AC 与CG 所成的角.过点A 作AT ⊥EF ，交EF 的延长线于点T ， 则易知AT ＝42，TG ＝16，所以AG ＝12 2. 在△ACG 中，AG ＝122，AC ＝12，CG ＝DE ＝62， 由余弦定理得cos ∠ACG ＝144＋72－2882×12×62＝－24.因为异面直线所成的角在⎝⎛⎦⎤0，π2范围内，所以异面直线AC 与DE 所成角的余弦值为24. 13.在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点.若BD ，AC 所成的角为60°，且BD ＝AC ＝1，则EF 的长为________. 【答案】 12或32【解析】 如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF .因为OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×34＝32.14.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线. 其中正确的结论为________(填序号). 【答案】 ③④【解析】 直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误.15.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，有以下四个结论．①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上；④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．其中正确结论的序号为________．【答案】④【解析】如图所示．连接EH ，FG ，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ， 所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．16.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号).①AC ⊥BE ；②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E －ABC 的体积为定值；④B 1E ⊥BC 1.【答案】 ①②③【解析】 因AC ⊥平面BDD 1B 1，故①正确；因B 1D 1∥平面ABCD ，故②正确；记正方体的体积为V ，则V E －ABC ＝16V ，为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误. 17.如图所示,空间四边形ABCD 中,E,F,G 分别在AB,BC,CD 上,且满足AE ∶EB=CF ∶FB=2∶1,CG ∶GD=3∶1,过E,F,G 的平面交AD 于H,连接EH.(1)求AH ∶HD;(2)求证:EH,FG,BD 三线共点.【解析】 (1)∵ = =2,∴EF ∥AC,又EF ⊄平面ACD,AC ⊂平面ACD,∴EF ∥平面ACD, 又∵EF ⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ACD=GH,∴EF ∥GH.而EF ∥AC,∴AC ∥GH,∴= =3.∴AH ∶HD=3∶1.(2)证明:∵EF ∥GH,且 = , = ,∴EF≠GH,∴四边形EFGH 为梯形,∴直线EH,FG 必相交.设EH∩FG=P,则P ∈EH,而EH ⊂平面ABD,∴P ∈平面ABD,同理,P ∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,∴P ∈BD.∴EH,FG,BD 三线共点.18.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点.(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值.【解析】 (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83. (2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，即DE2＋EM2＝MD2，∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，∴tan∠EMD＝DEEM＝23＝63.∴异面直线OC与MD所成角的正切值为6 3.。

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考点32 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.(2019·全国卷Ⅱ理科·T7同2019·全国卷Ⅱ文科·T7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面【命题意图】考查充要条件的判断以及线面平行的判断,属于中档题.【解析】选B.当α内有无数条直线与β平行,也可能两平面相交,故A错.同样当α,β平行于同一条直线或α,β垂直于同一平面时,两平面也可能相交,故C,D错.由面面平行的判定定理可得B正确.2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T8同2019·全国卷Ⅲ文科·T8)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线【命题意图】本题考查空间中线段的长度、直线的位置关系的判断,意在考查考生空间直线的相关概念、余弦定理的应用求解能力.【解析】选B.因为直线BM,EN都是平面BED内的直线,且不平行,即直线BM,EN是相交直线.设正方形ABCD的边长为2a,则由题意可得:DE=2a,DM=a,DN=√2a,DB=2√2a,根据余弦定理可得:BM2=DB2+DM2-2DB·DM cos∠BDE=9a2-4√2a2cos ∠BDE,EN2=DE2+DN2-2DE·DN cos∠BDE=6a2-4√2a2cos∠BDE,所以BM≠EN.二、解答题3.(2019·全国卷Ⅲ理科·T19)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A ,C ,G ,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE.(2)求图2中的二面角B -CG -A 的大小.【命题意图】本题考查空间中点、线、面的位置关系、面面垂直的证明,向量方法在求二面角中的应用,意在考查考生直观想象、数学运算、逻辑推理的求解能力.【解析】(1)由已知得AD ∥BE ,CG ∥BE ,所以AD ∥CG ,故AD ,CG 确定一个平面,从而A ,C ,G ,D 四点共面.由已知得AB ⊥BE ,AB ⊥BC ,故AB ⊥平面BCGE.又因为AB ⊂平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面BCGE.(2)作EH ⊥BC ,垂足为H.因为EH ⊂平面BCGE ,平面BCGE ⊥平面ABC ,所以EH ⊥平面ABC.由已知,菱形BCGE 的边长为2,∠EBC =60°,可求得BH =1,EH =√3.以H 为坐标原点,HC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz ,则A (-1,1,0),C (1,0,0),G (2,0,√3),=(1,0,√3),=(2,-1,0).设平面ACGD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则即{x +√3z =0,2x -y =0. 所以可取n =(3,6,-√3).又平面BCGE 的法向量可取为m =(0,1,0),所以cos n ,m =n ·m |n ||m |=√32. 因此二面角B -CG -A 的大小为30°.4.(2019·全国卷Ⅲ文科·T19)图1是由矩形ADEB 、Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形,其中AB =1,BE =BF =2,∠FBC =60°.将其沿AB ,BC 折起使得BE 与BF 重合,连接DG ,如图2.(1)证明图2中的A ,C ,G ,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE.(2)求图2中的四边形ACGD 的面积.【解析】(1)由已知得AD ∥BE ,CG ∥BE ,所以AD ∥CG ,故AD ,CG 确定一个平面,从而A ,C ,G ,D 四点共面.由已知得AB ⊥BE ,AB ⊥BC ,故AB ⊥平面BCGE.又因为AB ⊂平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面BCGE.(2)取CG 的中点M ,连接EM ,DM.因为AB ∥DE ,AB ⊥平面BCGE ,所以DE ⊥平面BCGE ,故DE ⊥CG.由已知,四边形BCGE 是菱形,且∠EBC =60°得EM ⊥CG ,故CG ⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=√3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.。

点、直线、平面之间的位置关系知识回顾1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间两条直线的位置关系（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行、异面．（2）异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（3）异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．3. 线面、面面的位置关系1．一条直线a和一个平面α有且仅有a⊂α，a∩α＝A或a∥α三种位置关系．(用符号语言表示)2．两平面α与β有且仅有α∥β或α∩β＝l两种位置关系(用符号语言表示)．题型讲解题型一概念例1、下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案：A例2、若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β答案：B例3、如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．解析：如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，又B是两平面的一个公共点，∴PB为两平面的交线.例4、空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形答案：B题型二异面直线例5、已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．答案：(1)60°(2)45°解析连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．例6、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．答案：①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．题型三线面关系例7、已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D例8、三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或2条 答案：D例9、平面α∥β，且a ⊂α，下列四个结论： ①a 和β内的所有直线平行； ②a 和β内的无数条直线平行； ③a 和β内的任何直线都不平行； ④a 和β无公共点． 其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C跟踪训练1. 文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B ．⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈α C ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α 答案：B2. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行C ．相交D ．三种关系都有可能答案：D3．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)答案：D4．正方体AC 1中，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1和AA 1DD 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90° 答案：B5．已知a 是一条直线，过a 作平面β，使β∥平面α，这样的β( ) A ．只能作一个 B ．至少有一个 C ．不存在 D ．至多有一个答案：D6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BA 1C 1和平面ACD 1的交线与棱CC 1的位置关系是________，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是________．答案：平行 平行 解析：如图所示，。